• Nie Znaleziono Wyników

Wpływ średnicy studni na jej wydajność

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wpływ średnicy studni na jej wydajność"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

ALFRED KĘPIŃSKI

WPŁYW ŚREDNICY STUDNI NA JEJ WYDAJNOŚĆ

UKD 551.491.54/56:628.112/.U3.2:531.717.1 W literaturze d o t y c z ą c e j studzien p r z y j ę ł a się o d

d a w n a opinia ustalona, ż e w p ł y w średnicy studni w i e r c o n e j na j e j w y d a j n o ś ć jest nieznaczny. W y c h o d z ą c z p o d s t a w o w e g o w z o r u na w y d a j n o ś ć studni d o s k o n a ł e j o s w o b o d n y m z w i e r c i a d l e w o d y (ryc. 1):

Q =

n • k(H' — h?)

In R [1] gdzie: Q — w y d a j n o ś ć studni w m3/sek, к — w s p ó ł c z y n n i k f i l t r a c j i w m/sek,

H — miąższość w a r s t w y w o d y przy studni w m ,

h — w y s o k o ś ć d y n a m i c z n e g o p o z i o m u w o d y przy studni n a d w a r s t w ą nieprzepuszczalną w m, R — p r o m i e ń zasięgu działania studni w m, r — p r o m i e ń studni w m ;

który to w z ó r w y r a z i ć m o ż n a także w postaci:

Q

1,36 •

к • s

(2H — s) Ig R

[2]

gdzie: Q, к, H, R, r — j a k w y ż e j , s — depresja z w i e r c i a d ł a w o d y w m ;

p r z y j m u j e się, że w z r o s t w i e l k o ś c i średnicy studni w y w i e r a n i e w i e l k i w p ł y w n a j e j w y d a j n o ś ć .

P o g l ą d ten m a d u ż e z n a c z e n i e p r a k t y c z n e dla p r o j e k t o w a n i a , b u d o w y i eksploatacji studzien w i e r c o nych, s t a n o w i ą c y c h p o d s t a w o w e u j ę c i a w ó d p o d z i e m -nych. P o n i e w a ż w istocie p o g l ą d ten nie jest słuszny, g d y ż nie u w z g l ę d n i a w a ż n e j dla p r a c y studni w i e l -kości, jaką s t a n o w i p r ę d k o ś ć n a p ł y w u w o d y na filtr studzienny, w n i n i e j s z e j p r a c y n a k o n k r e t n y m p r z y -kładzie studni w y k a z a n o j e g o b ł ę d n o ś ć . . Z a g a d n i e n i e w p ł y w u ś r e d n i c y studni na j e j w y d a j n o ś ć autor r o z p a t r u j e na p r z y k ł a d z i e studni d o skonałej, w y k o n a n e j w w a r s t w i e w o d o n o ś n e j o s w o -b o d n y m z w i e r c i a d l e w o d y i miąższości w a r s t w y w o d y p r z y studni H = 10 m o r a z w s p ó ł c z y n n i k u filtracji к = 0,0025 m/sek. K o r z y s t a j ą c z w z o r u [2] o b l i c z o n o w y d a j n o ś ć studni dla r ó ż n y c h w a r t o ś c i depresji przy n a s t ę p u j ą c y c h r o z m i a r a c h p r ó m i e n i a studni: rt = 0,05 m 7*2 = 0,10 m r3 = 0,25 m г4 = 0,50 m т*5 = 1,00 m

K o l e j n e w a r t o ś c i depresji s przy obliczaniu w y d a j ności studni dla k a ż d e g o w y m i e n i o n e g o w y ż e j p r o -mienia r p r z y j ę t o takie, ż e stosunek depresji s d o miąższości w a r s t w y w o d o n o ś n e j H w y n o s i : ' - - 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 i 1,0. H ' Z a k ł a d a m , ż e d ł u g o ś ć r o b o c z e j części filtru p r z y •każdej p r z y j ę t e j d e p r e s j i o d p o w i a d a w y s o k o ś c i słupa w o d y w studni. D l a t a k i e g o założenia o b l i c z o n o r o -boczą p o w i e r z c h n i ę filtru Ar dla p r z y j ę t y c h r o z m i a r ó w с

p r o m i e n i a studni r i p r z y j ę t y c h s t o s u n k ó w —.

H

W o p a r c i u o o b l i c z o n e w a r t o ś c i Q i A , w y z n a c z a m p r ę d k o ś c i n a p ł y w u w o d y na filtr studni v„ z z a l e ż -n o ś c i : Q Vn = — Ar Wszystkie o t r z y m a n e w a r t o ś c i Q, Ar, vn zostały z e -s t a w i o n e w z a ł ą c z o n e j tabeli.

Na p o d s t a w i e d a n y c h z tabeli sporządzono dla stu-dzien o r ó ż n y c h p r o m i e n i a c h w y k r e s y w y r a ż a j ą c e zależność m i ę d z y depresją s i w y d a j n o ś c i ą studni Q (ryc. 2) o r a z depresją s i prędkością n a p ł y w u w o d y na filtr vn (ryc. 3). Dla p r z y j ę t e g o g r u n t u w a r s t w y w o d o n o ś n e j o b l i -c z a m ze w z o r u Si-chardta m o ż l i w ą d o osiągnię-cia m a k s y m a l n ą p r ę d k o ś ć n a p ł y w u w o d y n a filtr. Sichardt, na p o d s t a w i e b a d a ń p r z e p r o w a d z o n y c h dla s t w i e r dzenia m o ż l i w o ś c i m a k s y m a l n e g o obniżenia z w i e r -ciadła w ó d g r u n t o w y c h za p o m o c ą studzien, ustalił dla g r u n t ó w s y p k i c h znaną zależność między w s p ó ł c z y n n i k i e m filtracji i m a k s y m a l n ą prędkością n a p ł y w u w o d y na filtr. Z b a d a ł on, że spadek z w i e r -ciadła w o d y w g r u n c i e p r z y rurze studziennej nie m o ż e o s i ą g n ą ć d o w o l n e j w i e l k o ś c i i w o b e c tego p r ę d k o ś ć n a p ł y w u w o d y na filtr studzienny nie m o ż e p r z e k r o c z y ć o k r e ś l o n e j dla d a n e g o gruntu wartości m a k -symalnej.

P r z y p o m p o w a n i u w o d y ze studzien doświadczalnych ilość d o p ł y w a j ą c e j d o studzien w o d y wzrastała w miarę zwiększania się depresji, aż do osiągnięcia m a k s y m a l n e j wartości. M a k s y m a l n y d o p ł y w w o d y do studni ustalał się j e d n o c z e ś n i e z osiągnięciem n a j -niższej r z ę d n e j z w i e r c i a d ł a w o d y w gruncie przy rurze studziennej. Dalsze z w i ę k s z e n i e depresji przy studni w o k r e ś l o n y c h w a r u n k a c h g r u n t o w y c h b y ł o n i e m o ż l i w e .

W e d ł u g ustaleń Sichardta osiągnięcie największego obniżenia z w i e r c i a d ł a w o d y p r z y studni w k a ż d y m p r z y p a d k u jest u z a l e ż n i o n e o d m a k s y m a l n e g o spadku z w i e r c i a d ł a w o d y , jaki m o ż e b y ć uzyskany w d a n y m g r u n c i e o o k r e ś l o n y m w s p ó ł c z y n n i k u filtracji, przy c z y m m a k s y m a l n ą w a r t o ś ć osiąga także p r ę d k o ś ć n a p ł y w u w o d y na filtr.

Dla szeregu g r u n t ó w o r ó ż n y c h wartościach w s p ó ł -czynnika filtracji w y z n a c z o n e zostały m a k s y m a l n e wartości s p a d k u z w i e r c i a d ł a w o d y z a o b s e r w o w a n e przy studni. P o z w o l i ł o to S i c h a r d t o w i na w y c i ą g n i ę -cie w n i o s k ó w o p r a w i d ł o w o ś c i przebiegu zależności m i ę d z y w s p ó ł c z y n n i k i e m f i l t r a c j i к i m a k s y m a l n y m s p a d k i e m z w i e r c i a d ł a w o d y p r z y studni i0. Uzyskane

dla szeregu wartości w s p ó ł c z y n n i k a filtracji k, w i e l -kości m a k s y m a l n e g o s p a d k u zwierciadła w o d y w gruncie przy studni i0 Sichardt przedstawił na w y kresie p o d a n y m na ryc. 4. O t r z y m a n a krzywa, w y -rażająca zależność m i ę d z y к i i0 p r z y j m u j e postać hiperboli i, stąd г0 • 15

\/k

[4] W s t a w i a j ą c zależność [4] d o w z o r u D a r c y ' e g o :

v = k-I

[5] o t r z y m u j e się w z ó r na m a k s y m a l n ą prędkość n a -p ł y w u w o d y d o studni

v

0

= к •

J/fc_ 15 [6] [7] w k t ó r y m : v„ — m a k s y m a l n a p r ę d k o ś ć n a p ł y w u w o d y d o s t u d -ni w m/sek.,

(2)

s m 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 H

/ 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 К = 3000 • s • У к m 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1,36 • к • s • (2H — s) 0 0,646 0,1224 0,1734 0,2176 0,2550 0,2856 0,3094 0,3264 0,3366 0,3400

I g ^

-r 0,05 m 0,10 m r 0,25 m 0,50 m 1,00 m 0 3,4771 3,7782 3,9542 4,07 92 4,1761 4,2553 4,3222 4,3802 4,4314 4,4771 0 3,1761 3,4771 3,6532 3,7782 3,8751 3,9542 4,0212 4,0792 4,1303 4,1761 0 2,7782 3,0792 3,2553 3,3802 3,4771 3,5563 3,6232 3,6812 3,7324 3,7782 0 2,4771 2,7782 2,9542 3,0792 3,1761 3,2553 3,3222 3,3802 3,4314 3,4771 0 2,1761 2,4771 2,6532 2,7782 2,8751 2,9542 3,0212 3,0792 3,1303 3,1761 Q m'/sek 0,05 m 0,10 m r 0,25 m 0,50 m 1,00 m 0 0,018 0,032 0,044 0,053 0,061 0,067 0,072 0,074 0,076 0,076 0 0,020 0,035 0,048 0,058 0,064 0,072 0,077 0,080 0,081 0,081 0 0,023 0,040 0,053 0,064 0,073 0,080 0,085 0,089 0,090 0,090 0 0,028 0,044 0,059 0,071 0,080 0,088 0,093 0,097 0,098 0,098 0 0,030 0,049 0,065 0,078 0,089 0,097 0,102 0,106 0,107 0,107 •A-r m2 0,05 m 0,10 m r 0,25 m 0,50 m 1,00 m 0,0780 0,0702 0,0624 0,0546 . 0,0468 0,0390 0,0312 0,0234 0,0156 0,0078 0 0,3141 0,2826 0,2512 0,2198 0,1884 0,1570 0,1256 0,0942 0,0628 0,0314 0 1,9635 1,7667 1,5704 1,3741 1,1778 0,9815 0,7852 0,5889 0,3926 0,1963 0 7,8540 7,0686 6,2832 5,4978 4,7124 3,9270 3,1416 2,3562 1,5708 0,7854 0 31,416 28,274 25,132 21,991 18,849 15,708 12,566 9,4248 6,2832 3,1416 0 Vn m/sek 0,05 m 0,10 m r 0,25 m 0,50 m

1,00

m 0 0,256 0,513 0,807 1,132 1,564 2,148 3,080 4,744 9,746 o° 0 0,071 0,139 0,227 0,308 0,408 0,573 0,818 1,274 2,580 oo 0 0,013 0,025 0,039 0,054 0,074 0,102 0,144 0,227 0,458 <» 0 0,0037 0,0070 0,0108 0,015 0,020 0,028 0,039 0,062 0,125 <*> 0 0,0010 0,0020 0,0030 0,0041 0,0057 0,0077 0,0108 0,0169 0,0341 °°

r

— f f

Wydajność Q[l/sek]

40 ВО 80 100

Warstwa nieprzepuszczalna

Ryc. 1. Fig. 1.

к — w s p ó ł c z y n n i k filtracji w m/sek., W r o z p a t r y w a n y m p r z y p a d k u , p r z y w s p ó ł c z y n n i k u f i l t r a c j i к = 0,0025 m / s e k , m a k s y m a l n a p r ę d k o ś ć n a -p ł y w u w o d y o s i ą g n ą ć m o ż e w a r t o ś ć :

v

0

|/0,0025 15 : 0,0033 m / s e k Z p r z e p r o w a d z o n y c h obliczeń, k t ó r y c h w y n i k i z e s t a w i o n e są w tabeli s t w i e r d z o n o , iż dla studni o m a -ł e j ś r e d n i c y m a k s y m a l n a p r ę d k o ś ć n a p -ł y w u w o d y osiągana jest j u ż p r z y n i e w i e l k i c h w a r t o ś c i a c h d e -presji z w i e r c i a d ł a w o d y w w a r s t w i e w o d o n o ś n e j p r z y rurze s t u d z i e n n e j , a p o n i e w a ż dalszy w z r o s t d e p r e s j i z w i e r c i a d ł a w o d y w studni nie w p ł y w a na j e d n o -czesne o b n i ż a n i e się z w i e r c i a d ł a w o d y w g r u n c i e p r z y studni, to i w y d a j n o ś ć studni j e s t t y m s a m y m ograniczona. Dalszy w z r o s t w y d a j n o ś c i z w i ą z a n y jest ze z w i ę k s z a n i e m się w a r t o ś c i d e p r e s j i z w i e r c i a d ł a w o d y w g r u n c i e p r z y rurach studni i z p r z e k r o c z e -n i e m m a k s y m a l -n e j w a r t o ś c i p r ę d k o ś c i -n a p ł y w u w o d y , c o w ś w i e t l e b a d a ń Sichardta nie jest m o ż l i w e .

J a k w y n i k a z w y k r e s u p o d a n e g o na ryc. 3, p r z y o k r e ś l o n e j ś r e d n i c y studni ( p r o m i e n i u studni) w z r o s t w y d a j n o ś c i studni i depresji z w i e r c i a d ł a w o d y , w p e w n y c h zakresach, p o w o d o w a ć b y musiał p r ę d k o ś ć n a -p ł y w u osiągającą w a r t o ś ć kilkudziesięciu c m / s e k , a n a w e t k i l k u m / s e k , c o nie jest m o ż l i w e p r z y p r z e p ł y w i e w o d y w g r u n t a c h sypkich. U z y s k a n i e w p r z y p a d k u g r u n t ó w s y p k i c h z o k r e ś l o n e j w a r s t w y w o d o -n o ś -n e j z w i ę k s z e -n i a w y d a j -n o ś c i stud-ni m o ż l i w e jest p r z e z p o w i ę k s z e n i e ś r e d n i c y filtru, a w i ę c p r z e z z w i ę k s z e n i e ś r e d n i c y studni.

(3)

Prędkość napływu wody v

n

[m/sek]

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 7- 6-

5-

1-1 ! 1 1 1 ^ - o " * 1

§

СЭ C5-

} i

3- Cs-

I

1

CJ-§

1 1

cx> ci' W p r z y p a d k u r o z p a t r y w a n e j studni, dla r ó ż n y c h w i e l k o ś c i p r o m i e n i a r, m a k s y m a l n a p r ę d k o ś ć n a p ł y w u v0 = 0,0033 m / s e k osiągana jest p r z y n a s t ę p u j ą c y c h w a r t o ś c i a c h d e p r e s j i s i w y d a j n o ś c i Q: r, = 0,05 m , p r z y s = ok. 0,00 m i Qn = ok. 0,00 m3/ s e k ; r2 = 0,10 m , p r z y s = 0,02 m i Qr, = 0,0009 m3/ s e k ; r3 = 0,25 m , p r z y s = 0,20 m i Qr 3 = 0,0065 m3/ s e k ; r4 = 0,50 m , p r z y s = 0,91 m i Qn = 0,0242 m3/ s e k ; r5 = 1,00 m, p r z y s = 3,30 m i Qr5 = 0,0695 m3/sek. G d y p o d a n e w y ż e j w a r t o ś c i m a k s y m a l n e j w y d a j ności studni dla w a r t o ś c i p r o m i e n i a studni r w y n o -s z ą c y c h :

r

l = 0,,05 m

7*2

= 0,10 m r3 = 0,25 m r4 = 0,50 m w y r a z i m y w s t o s u n k u d o m a k s y m a l n e j w y d a j n o ś c i studni o p r o m i e n i u r5 = 1,00 m , p r z y j m u j ą c tę ostat-nią za 1, to o t r z y m a m y c o n a s t ę p u j e :

Ryc. 4. Współczynnik к m/sek.

Fig. 4. Coefficient к misée.

dla studni o r , = 0,05 m dla studni o r2 = 0,10 m dla studni o r3 = 0,25 m dla studni o r4 = 0,50 m Q „ = 0,0 Qi 5 Qr 2 = 0,013 Qr 5 Qr3 = 0,093 Qr 5 Qr< = 0,348 Qr s Na ryc. 5 s p o r z ą d z o n y został w y k r e s stosunku m a k -s y m a l n y c h w y d a j n o ś c i -studni o p r o m i e n i u r = 0,05; 0.Д0; 0,25; 0,50 m d o m a k s y m a l n e j w y d a j n o ś c i studni o p r o m i e n i u r = 1,0 m . Z w y k r e s u tego w i d a ć j a k istotny w p ł y w n a w y d a j n o ś ć studni w i e r c o n e j m a średnica studni ( p r o m i e ń studni) w świetle p r ę d k o ś c i n a p ł y w u w o d y n a filtr studzienny.

Należy tu p o d k r e ś l i ć , ż e w y d a j n o ś c i studni o b l i c z o n e zostały przy d ł u g o ś c i filtru o d p o w i a d a j ą c e j w y s o k o ś c i słupa w o d y w w a r s t w i e w o d o n o ś n e j , a w i ę c w a r t o ś c i m a k s y m a l n e j w y d a j n o ś c i dla studzien o m n i e j s z y c h średnicach zostały o k r e ś l o n e p r z y w i ę k s z e j długości filtru niż dla studzien o s t o s u n k o w o w i ę k s z y c h ś r e d -nicach. Z a t e m m a k s y m a l n a w y d a j n o ś ć studzien o m n i e j s z y c h ś r e d n i c a c h ustalona została p r z y k o r z y s t niejszych w a r u n k a c h , niż studzien o średnicy w i ę k -szej. O t r z y m a n e w y n i k i t y m b a r d z i e j p o t w i e r d z a j ą w a ż n e znaczenie w p ł y w u ś r e d n i c y studni na j e j w y -d a j n o ś ć . W w y n i k u p o d a n y c h w y ż e j obliczeń i r o z w a ż a ń a u t o r d o c h o d z i d o n a s t ę p u j ą c y c h s t w i e r d z e ń : 1. Niesłuszny j e s t p o g l ą d , ż e w p ł y w średnicy s t u d ni ( p r o m i e n i a studni) na w y d a j n o ś ć studni jest n i e -w i e l k i . 2. W p ł y w ś r e d n i c y studni n a j e j w y d a j n o ś ć , j a k r ó w n i e ż n a d ł u g o t r w a ł ą p r a c ę studni m a zasadnicze znaczenie.

%

I

.er li •Э Ę s e

BO

40 20

0

/

/

f

/

• V

A * /

W

100%

80

60 40 20. 00,050,1 0,20,25 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 Promień studni r[m]

Ryc. 5. Fig. 5.

3. W ostatnich latach o b s e r w u j e się w prężnych, z a g r a n i c z n y c h o ś r o d k a c h w i e r t n i c t w a studziennego w y r a ź n ą d ą ż n o ś ć d o w y k o n y w a n i a studzien w i e r c o n y c h o m o ż l i w i e d u ż y c h ś r e d n i c a c h filtru, c o z w i ą z a -n e jest z w y c z u w a -n i e m p r z e z praktykę z-nacze-nia średnicy studni dla w y d a j n o ś c i i długotrwałej p r a c y studni.

L I T E R A T U R A

1. A b r a m ó w N. W., G e n i e w N. N., P a w ł ó w W . I. — W o d o s n a b ż j e n i j e , 1958.

2. G o ł ą b J. — Jak z d o b y w a m y wodę. dła g o s p o -darki n a r o d o w e j . W y d . G e o l . 1954.

3. B i e s k e E. — B o h r b r u n n e n , 1953.

4. K ę p i ń s k i A . — S p o s o b y wiercenia stosowane w h y d r o w i e r t n i c t w i e . G o s p . w o d . 1957, nr 8. 5. K ę p i ń s k i A . — H y d r o g e o l o g i s c h e U n t e r s u c h u n

-gen f u r W a s s e r v e r s o r g u g s z w e c k e auf G r u n d der in P o l e n a n g e w a n d t e n Planungspraxis. W a s s e r u n d B o d e n 1959, n r 5.

6. K ę p i ń s k i A . — Z a g a d n i e n i e w i e r t n i c t w a stu-dziennego. Gaz, w o d a i t e c h n i k a sanitarna, 1959, n r 7.

7. K ę p i ń s k i A . — Z a s z c z i t n y j e s a n i t a r n y j e z o n y i s t o c z n i k o w w o d o s n a b ż j e n i j a w Polsze. W o d o -s n a b ż j e n i j e i -sanitarnaja technika, 1961, nr 9.

(4)

8. K

~

P

i

11 ski A. -

Wyznaczanie srednicy studni

wierconej w oparciu

0

badania Sichardta. Gaz,

woda

i

technika sanitarna, 1962, nr 8.

9. K

~

P i 11 ski A. -

Wassereintrittsgeschwindigkeit

zum Brunnenfilter in bezug auf die Berechnung

der Filterdurehmesser. Schw

e

izerische Zeit. fUr

Hydrologie, 1962.

SUMMARY

In the literature dealing with the wells an opmlOn

is widespread that the influence of the diameter of

a drilled well is insignificant on1y. However, the

author basing on the computations presented in the

paper comes

to

the following conclusions:

1 -

an

o

pinion that the influence of the well

dia-meter (well

.

radius) is insignificant appears

to

be

wrong

,

2 -

the influence of a weB upon its yield and upon

long-tlasting work [so! considerable ianportance.

10.

K~pi11ski

A. -

Working Indices of Water

Well Screens

.

Water and Wat

e

r Engineering 1963,

No. 814

.

11.

Pr in z

E. -

Handbuch der Hydrologie, 1919

.

12.

Pr z e w 10 c k

i

0.

,

T k a c zen k

0

A.,

C

z a

r-n 0

c k

i

K. -

Studnie, 1961.

1

3

.

W 6 y c i

c

k i

K. -

Wodociqgi, 1954

.

PE3IOME

B

JU1TepaType no

KOJIoJJ;~aM

rocnoJJ;cTBYeT MHeIme,

'ITO JJ;M

a

MeTp 6ypoBoro

KOJIoJJ;~a

B He3Ha'IMTeJIbHOH

CTerreHM BJIII1HeT Ha ero JJ;e6MT.

MCXiO,lVI H3 npe~cTaB­

JIeHHbIX B cTaTbe paC'IeTOB M

IpaccY1KJJ;e~,

aBTC>p

JJ;eJIaer

CJIeJJ;yIO~e

3aKJIIO'I

e

HMH.

1.

npMHHTOe MHeHMe,

'!TO ~aMerp (pa~c

KO-JIoJJ;~a

O'Ka3bIBaeT He6oJIbllIoe BJIMHHMe

Ha

J\roMT

HBJIHeTCH HenpaBMJIbHbIM.

2.

.n;m~Merp KOJIOJ\~a pellIaIO~MM

06pa30M BJIMHer

H

a e

ro

J\e6MT

M npOJJ;OJI1K

II1

T

e

JIbHlOCTb pa60TbI.

Cytaty

Powiązane dokumenty

(b) Find the Cartesian equation of the plane Π that contains the two lines.. The line L passes through the midpoint

Port A is defined to be the origin of a set of coordinate axes and port B is located at the point (70, 30), where distances are measured

For a reflexive lcs X this need no longer be the case in general, where now weak compactness is meant in the sense of Grothendieck, that is, the image of some neighbourhood of zero

The class of well-posed linear systems contains most linear time-independent distributed parameter systems: internal or boundary control of PDE’s, integral equations, delay

Therefore, Theorem 4.3 may be generalized to all line graphs of multigraphs which possess maximal matchable subsets of vertices – for example, the line graphs of multigraphs

More precisely, we show that two submanifolds of type number greater than one having the same affine connections and second fundamental forms are affinely equivalent.. The type

In the proof of this theorem, the key role is played by an effective interpretation of the well-known fact that an irreducible polynomial which is reducible over the algebraic

Totally geodesic orientable real hypersurfaces M 2n+1 of a locally conformal Kaehler (l.c.K.) manifold M 2n+2 are shown to carry a naturally induced l.c.c.. manifolds in a natural