Die Berechnung der Bewegungsgrössen der gekoppelten Tauch- und Stampfschwingungen nach der erweiterten streifentheorie von Grim und die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das ϋberschreiten bestimmter Schranken durch diese Grössen

INSTITUT FUE SCHIFFBAU DER UNIVERS IP)iT HAMBURG

Bericht Nr. 2'1

Die Berechnung der Bewegungsgrößen der gekoppelten Tauch- und Stampísohwingungen nach der erweiterten Streifentheorie von Grim und die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ubersohreiten bestimm-ter Schranken durch diese Größen

von

Dr.-Ing. Maria KirsCh

Uamburg, Mai

₁₉₆₉

DEC.

_Lab.

y.. Scheepsbouwhcnd

ARCHIEF

Technische Hogschooí

INSTITUT FÜR SCHIFFBAU DER UNIVERSITAT HAMBURG

Bericht Nr. 2&1

Die Berechnung der Bewegungsgrößen der gekoppelten Tauch- und Stampfschwingungen nach der erweiterten Streifentheorie von Grim und die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Überschreiten

bestimm-ter Schranken durch diese Größen

von

Dr.-Iug. Maria Kirsäh

Die Aufzeichnungen sind entstanden an Hand einer von

Prof. Grim gehaltenen Sondervorlesung iiber die Theorie,

die dem von ihm aufgestellten Computer-Programm und den

Inhaltsverzeichnis

s.

Einleitung 1

A) Die Bewegung eines zweidimensionalen Körpers. 2

i) Die Voraussetzungen und die durch die Lösung zu 2

erfüllenden Bedingungen.

2) Die Lösungsmethode. 6

3) Lösungsans.tze für die periodische Druckverteilung. 7

4) Die Einführung einer fiktiven Zhigkeitskraf t. 12

5) Der Beweis, da die Bedingung der Energieabstrahlung 14 er:filhlt ist,

6) Die Suche nach einem Potential, das auch die Bedingung 28

an der Körperoberfläche erfüllt.

7) Die Erfüllung der Bedingung an der Körperkontur. 33

Die Einführung der Lewis-Formen. 34

Die Anwendung der Lewis-Formen bei den komplexen 37 Potentialen

+ iW.

Mathematische Zwischenbetrachtung: eine Reihen- 38 entwicklung.

Einführung der Reihenentwicklung in das komplexe 38 Potential (36) fUr die Körperkontur.

8) Bestimmung der Stromfunktion auf der Kontur für ver- 39 schwindende Frequenz.

9) Der hydrodynamische Druck und die hydrodynamische 45

Kraf t für verschwindende Frequenz.

io) Bestimmung der Stromfunktion auf der Kontur für nicht 49 verschwindende Frequenz.

ii) Der hydrodynamische Druck und die hydrodynamische 53 Kraft bei nicht verschWindender Frequenz.

II

-S.

B) Die Aufstellung und Lösung der Bewegungsgleichungen. 56

i) Die Integration der Bewegungsgröen. 56

2) Die rechten Seiten der Bewegungsgleichungen. 59

3) Die Lösung der Bewegungsgleicxìungen. 62 4) Die Beschleunigung, die Relativbewegung und das 62

Biegemoment.

C) Wahrscheinlichkeit. 66

i) Problemstellung. .66

2) Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Uber-schreiten gewisser Schranken.

67

Einleitung

Fr die Anwendbarkeit der Theorie und dea darauf basieren-den Programms sind zunächst, drei Voraussetzungen gemacht

worden:

i) Das Schiff läßt sich bisher nur durch Lewia-Spanten

da rs tel len.

Das Schiff fährt in einer längslaufenden Welle, wobei die beiden Möglichkeiten den Seegang von vorn oder von hinten berücksichtigen, d.h. daß die Wellenriohtung mit der Fahrtriohtung dea Schiffes entweder einen Winkel von 00 oder von 1800 bilden kann. Für Sohräganströmung

Ist das Programm bisher nicht eingerichtet.

Es werden nur die durch Stampf en und Tauchen erzeugten Bewegungsgrößen betrachtet.

Alle drei genannten Voraussetzungen sind nicht grundsätz-licher Art, also nicht in der allgemeinen Theorie begründet; sie könnten bei entsprechender Umarbeitung und Erweiterung dea Programms ohne weitekes fallengelassen werden.

Die Arbeit gliedert sIch in drei Teile. Im ersten Teil wird die Bewegung eines zweidimensionalen Körpers betrachtet, der harmonische Schwingungen ausführt. Im zweiten Teil werden die für die einzelnen Spanten erhaltenen Größen, z.B. die hydrodynamischen Massen, nach: der Strelfenmethode über die Schiffslange integriert und somit die Koeffizienten der bei-den Bewegungsgleiohungen für die gekoppelte Tauch- und Stampf-schwingung erhalten. Die Lösung dieser Gleichungen ergibt die Komponenten der Tauch- und Stampfamplitude, aus welchen die

resultierenden Tauoh- und Stampfamplituden berechnet werden und verschiedene daraus abgeleitete Bewegungsgrößen, z.B. die

-2

Relativbewegung oder die Besohleunigung an verschiedenen Stellen der Sohiffslange und das Biegemoment im Hauptspant, wobei die Gewichtsverteilung proportional der Verdrängung angenommen wurde. - Eine Erweiterung zur Berechnung des Bis-gemoments über die ganze Sohiffalänge unter Zugrundelegung der Gewiohtsverteilung Ist zur Zeit in Arbeit. - Im dritten Teil schließlich folgt die Berechnung der prozentualen Wahr-scheinlichkeiten des tibersohreitens gewisser Schranken durch die verschiedenen Bewegungsgrößen.

Tell A: Die Bewegung eines zweidimensionalen Körpers

i) Die Voraussetzungen und die durch die Lösung zu erfüllenden Bedingungen

Der Querschnitt des zweidimensionalen Körpers wird symmetrisch zu einer vertikalen Linie angenommen. Wenn dieser Körper har-monische Schwingungen ausführt, so sind drei verschiedene Ar-ten möglich: Quer-, Roll- und Pauohsohwlngungen. Hier soll nur die Vertikalbevegung (das Taohen) betrachtet werden. Gefragt

Ist nach den hydrodynamischefl Kräften, die bei dieser Schwin-gung auftreten.

Für die Behandlung dieses Problems werden folgende Vorausset-zungen gemacht:

i) Die Flüssigkeit Ist inkompressibel.

Die Flüssigkeitstiefß 18t unendlich.

Die Flüssigkeit ist zabigkeltsfrei.(Ftir scharfe Krümmungen, -z.B. an Soblingerkielen - Ist diese Voraussetzung auch nicht annähernd erfüllt; dort Ist der Einfluß der Zähigkeit sehr

bedeutend; jedoch dürfte dieser Einfluß auf die dúrch die Vertikalbewegung erzeugten Kräfte klein sein, so daß dafür

die Flüssigkeit als durchweg zählgkeitsfrei angesehen werden

¿&) Das Problem kann linearisiert werden. Die Linearisierung bedeutet das Fortlassen Glieder 2. Ordnung bei verschiede-nen Bedingungen (z.B. im allgemeiverschiede-nen bei der Bedingung für

die freie Oberfläche). Physikalisch bedeutet die Lineari-sierung, daß die Theorie undihre Ergebnisse nur für Bewe-gungen kleiner Amplitude gelten. Jedoch haben Untersuchun-gen (Z.B. VOU Dalzell beim Davidsot Laboratory) ergeben,

daß diese Einschränkung auch für schweren Seegang tragbar Ist. lin vorliegenden Fall erstreckt sich die Linearisierung auf die folgenden beiden Bedingungen:

Bei der Bedingung fur die freie Oberfläche werden die Glieder in der Bernoulli-Gleichung, die y2 enthalten, vernachlässigt.

Die Randbedingung am Körper wird exakt nur in der Mittel-lage erfüllt, - also nur beim Durchgang durch die Lage, die der Körper im Ruhezustand einnimmt, nicht bei den verschiedenen Lagen darüber und darunter beim Aus- und Eintauchen.

Als ergänzende Lieratur zu diesem Thema sind die Untersu-chung von Ursell am Kreiszlinder [i], die Arbeiten von Porter [2,3] und Teal

[1k]ZU

nennen, die auch experimen-telle Ergebnisse enthalten,und einige Arbeiten von' Grim [5,6].

Doch zunächst soll da Koordinatensystem festgelegt werden: Da wir es mit einem zweidimensionalen Körper zu tun haben, genügt die Fixierung der xy-Ebene.Die x-Achse soll in

Quer-richtung des Körpers n der horizontalen Ebene, die im Ru-hezustand in der Wasseroberfläche liegt, verlaufen, die y. Achse vertikal nach unten gerichtet sein. (Fig. i). Die

X

Fig.1 Festlegung der Koordinatenebene fur den

zweidimensionalen Korper

i) Die Kontinuitätabedingung.

Die Voraussetzung 3), daß die Flüssigkeit zahigkeitsfrei Ist, bedeutet allgemein, daß die Strömung ein Potential

, (x,y,z,t) hat. Für den ebenen Fall können wir das kouz-p.lexe Potential als Funktion der komplexen Variabein z = x + ly und der Zeit t schreiben:

(i) 4+

1W = F(x + iy,t).,

Der Realteil dieser Funktibn stellt das Strömungsp'otentïal

dar, der Imaginärtell die Stromfunktion. Dieses Potential erfüllt die Laplaoe-Gleichung, was gleichbedeutend ¡uit der Erfililung der Kontinuitätabedingung lst.

2) Die linearisierte Bedingung für die durch die' Bewegung de-formierte Oberfläche Ïautet in Worten: Der resultierende hydrodynamische Druck 'p an der momentanen Oberfläche ist gleich dem atmosphäriSchen' Druck, d.h. er Ist von der Zeit unabhängig, - die Ablitung des Druckes naòh der Zeit wird Null. - Der analytisoie Ausdruck der linearisierten

Bedingung für die freie Obrfläohe Ist:

(2) - gq;)=0 =.o

ist die zweite Ableitung des Potentials nach

der Zeit,

die Ableitung des Potentials nach y und g die Erdbesohleunigung.

y = O bedeutet die ungestörte freie Oberfläche (s. Koordiaten8ystem).

Nach Aufstellung der fur die Lö-sung notwendigen Voraussetzungen und der Wahl des Koordinatensy-stems sollen nun die Bedingungen genannt werden, die durch die

Die Gleichung (2) sagt aus, daß der in der Klammer stehende

Ausdruck für die ungestorte freie Oberfläche außerhalb der

Körperkontur gilt.

3)

Die Bedingung fur die Körperkontur: Durch die

Körperkon-tur kann keine Flüssigkeit fließen, d.h. die Komponente

u

der Körpergeschwindigkeit in Richtung der Normalen n

auf die Kontur ist gleich der entsprechenden Komponente

der FlüssigkeitsgesohWindigkeit, d.h. der Normalableltung

des Potentials (-. dies gilt für alle Konturpunkte -):

(3n=tmnucos

u Ist die Geschwindigkeit in vertikaler

Richtung,

(d.h. die Tauohgeschwindigke.it),

cc Ist der Winkel zwischen u und u

(Fig.2).

Kontur

Fig. 2

Die Vertikalgeschwindigkelt des Körpers und die

Komponente dieèer Geschwindigkeit normal zur Kontur.

Aus den Cauohy-Riemannaoben Bedingungen ergibt sich

'q8 ₌

_{n =}

oos

it die Ableitung der Stromfunktion nach dem Bogeiaelement

ds der Körperkontur.

Da dx.= oosocds, erhalten wir. nach Integration über die

Kör-perkontur den Sollwert der Stromfunktion

('&)

'V = u

X.

Fig. 3 zeigt eine Skizze der Körperkontur und daneben die

Ab-wicklung der Körperkontu

über z. tiber dieser Abwicklung Ist

-6

a) Körperkontur b) Sollwert der Stromfunktion liber der Abwicklung der Körperkontur

Fig. 3 Die Körperkontur und der Sollwert der Stromfunktion

l&) Die Bedingung im Unendlichen besagt, daß in unendlich gro-ßer Entfernung vom Körper (d.h. im ebenen Fa]], in unendli-cher Wassertiefe) die Bewegung abklingt, bzw. zu Null wird.

(5) Bewegung -.0 fUr

y - .

5) Die Strahlungsbedingung sagt aus, daß der Körper nur Ener-gie in die Flüssigkeit ausstrahlen kann, daß ein EnerEner-gie- Energie-transport in umgekehrter Richtung - von der Flüssigkeit in den Körper - nicht stattfinden kaún. (Auf diese Bedingung soll an späterer Stelle eingegangen werden.)

2) Die Lösungsmethode

Es gibt zwei übliche Wege, auf denen man zu einer Lösung ge-langen kann. Der erste Weg besteht darin, daß man sich den Körper durch Singu1aritäten ersetzt denkt (z.B. durch peno-disohe Quellen). Beim zweiten Weg untersucht man die Wirkung periodischer Drücke auf die freie Oberfläche der

Flüssigkeit

innerhalb der Körperkontur. Dadurch entsteht außerhalb des Körpers die Strömung, welche die geforderten Bedingungen er-füllt, wenn die Singularitten oder Drücke entsprechend be-stimmt werden können. Anders asgedrUokt: Anstelle der Stö-rung der Flüssigkeit durch die Anwesenheit der Körperkontur wird die gleiche Wirkung durch peniodisohe Drücke auf

7

dem eigentlich durch die Korperausdehnung die Flussigkeit verdrangt Ist. Hierzu Fig. 4. Die periodische

Druckvertei-lung soll mit p e ict bezeichnet werden (p ist die

Druck-amplitude, c die Kreisfrequenz). Im Folgenden soll zur

Lö-sung des Problems der zweite Weg beschritten werden.

periodische Druckverteilung

Körperkontur

y

Fig. 4 Periodische Druckverteilung auf der freien

Oberf lache innerhalb der Körperkontur.

3) Lösungsansatze für die periodische Druckverteilung

Zunächst soll nicht die gesamte Druckverteilung betrachtet werden, sondern nur einsohmaler Streifen derselben von der

Intervalibreite A Machen wi' die Interval]breite unendlich klein, so erhalten wir eine Einzeikraft. Mathematisch

ausge-drückt besagt dies, daß das Produkt

p

ein endlioher Wert fürA.O Ist.

Es kann also p gleich einer Einzeikraft P gesetzt werden, die in der Mitte dea Intervalls der Länge wirkt. Daraus ergibt sich, - da wir hier den zweldilensionalen. Fall betrach-ten, - für die Kraft P die Dimension , Kraft pro

Längen-einheit.

Wir können dafür auch sohreiben:

Lpdx = p

= P mit p=O fifr x#Ô, d.h. es wird das Intervall

(-L/2, + ¿/2) auf der x-Achse für die Druokverteiling

aus-gewählt.

Der 'Faktor

et

braucht bei 4ieser Betrachtung im Mornent

nicht berücksichtigt zu werdefl.

Die Lbsung dea Problems zéigt Lamb ausfUhrlich in seinem Lehr-buch

[7]

durch ein komplexes Potential + ilJ'

-8-Bier soll in einem kurzen Abriß die Entwicklung angedeutet

werden.

Es wird ein erster Lösungsansatz gemacht und geprüft, ob die-ses Potential die im 1. Abschnitt aufgestellten Bedingungen

erfüllt.

Als erster Lösungsansatz wird der folgende Ausdruck gewählt:

(A) '+ I'I = A

ecos(c4jt).

Es Ist zu prüfen, welche der geforderten Bedingungen durch (A)

erfulit werden.

i) Die Kontinuitätsbedingung Ist erfüllt.

2) Die Bedingung an der freien Oberfläche:

Aus dem komplexen Ausdruck (A) ergibt sich für den Realteil : = A

eoos(kx)cos(ut).

Die Bedingung für die freie Oberfläche lautete:

= ( -

g1)1..0 =

o p= Dichte der Flüssigkeit

Kraft . Zeit2 Länge3

(Normalerweise steht bei der Dimension von

f

im Nenner Länge4;

aber da wir hier den zweidimènaionalen Fall betrachten, ver-ringert sich die Längeneinhelt um eine Potenz).

Setzen wir die entepreohendeÙ Ableitungen von ein, so er-.

halten wir

(6) _{= ,(...} 2

+ gk)cs(wt) A

cos(kx)

Der !aktor e' wird gleich gins für y = O

Es besteht nun die Forderung, daß der Ausdruck (6) für gleich Null werden solid Dies ist einmal möglich dadurch, daß der Faktor

(-c2

+ gk) = o

wird. Das wäre die Lösung für eine freie Welle, die aber für unser Problem nicht aus-reichend Ist und die allein nicht die Erfüllung der Randbe-dingung der Körperkontur ermöglIchen würde.

Wir mussen also einen weiteren Lösungsansatz suchen.

Zu diesem Zweck stellen wir folgende Hilfsbetrachtung an:

Aus G].. (6) für

Pt erhalten wir durch Integration

=.p(-Q2+

gk)51fl(t)A

oos(kx),

wobei die Integrationskonstante gleich Null gesetzt ist.

Dieser Druckverlauf gilt fur das Potential (A) für die gan-ze freie Oberfläche von

-<xf-oo . Tatsächlich darf ein

Druck af die Oberfläche nur in einem unendlich kleinen

In-tervall der Breite L existieren. Um das zu erreichen, ha-ben wir nur die Moglichkeit - wenn die triviale Lösung der freien Welle nicht hinreichend Ist - eine unendliche Folge dieser Druckverläuf e In Abhängigkeit von der Wellenzahl k so zu bestImmen, daß das Ziel erreïohtwird, d.h. es Ist ei-ne1tere Integration über k erforderlioh.

Um nun zu einem 2., besseren Ansatz für das Potentiai zu ge-langen, benutzen wir das Fourlersche Theorem.

Dieses besagt folgendes:

Es sei eine Funktion f(x) in einem beliebigen endlichen In-tervall definiert. Es existiert eine Fourierenwicklung die-ser Funktion Í(x), wenn das Integral

J í(x)dx konvergent Ist, nämlich

-(7) f(x) = j' dk

f

f(ú)oos {k(x_u)] du

Gleichung (7) ist unter dem Namen Fourier-Theorem bekannt.

Da die genannten Bedingungefl für den Druokverlauf p(x) er-füllt sind, können wir das Fourier-Theorem auf dies!n anwen-den und erhalten, - mit Abänderung des

Integrationsinterval-les von(- ,

+ co) auf (- . , + i-), wobei, - wegen der

Kleinheit des Intervalles und damit des zu durchlaufenden Wertes u - der Faktor cos [k(x_u)} dur2h oos(kx) angenähert

werden kann, -: ₁ 2

p(x) = dk cos(kx)

lo

-Das Integral über p(u) Ist aber, - wie bereits vorher erwähnt - gleich der resultierenden Einzelkraft P:

p(u)du =P.

2

Folglïch ergibt sich:

p(x) =

J

oos(kx)dk

Berücksichtigen wir nun ioch, daß wir fur unsere Theorie periodisohe Drücke auf die Oberfläche vorausgesetzt hat-ten, so führen wir die Periodizität durch den Faktor sin( wt) in die Gleichung der Druckverteilung ein und er-halten schließlich den - nun auch zeltabhängigen -

Druck-verlauf:

(8)

p(xt) =

sin(wt)

.

Für diesen Druokverlauf p(x,t) führen wir die partielle Differentation naoh der Zeit aus und erhalten:

()

= - oos( t)

j

cos(kx)dk .

Diesen Ausdruck kann mn deiten als Summe über unendlich viele, unendlich kleine, harmonische Druckwellen. Jede dieser Elementardruokwellen wird eine harmonische Elemen-taroberfläohenwellé des Potntials (A) erzeugen. Zur Ab-änderung des ersten Ansatze$ (A) wird nun durch Vergleich der Koeffizienten von (6) und (9) die Größe A neu definiert:

+ gk)A = dk

Daraus folgt:

cP dk

So erhalten wir einen zweiten Lösungsansatz, der Jetzt durch die Integration über k für die gesamte Druckver-teilung gilt: f ik(x+iy) + 1W

=.

008

(cat)

r

e ₂ dk . - + gk [m_11 und

*

f 2 1 Endgültig mit ₌ y

_T

pg 1m ¡ej wird

(B) + i'' = P* oos(

_{cat) f}

dk.

k -v

Im Ansatz (B) Ist die Dimension [m2/s} in dem Faktor P enthalten, wabrend das Integral nun dimenslonslos Ist. Hieraus bilden wir die Bedingung auf der freien

Oberfl-che: - g = ik(x+iy)

_2P*oos(t)f e

k - dk P* oos(c4t)

fk

_°'dk

₌ e = p* oos(ct) g

f

(k-f)

ecos(kXJdk[4}

o Es Ist aber k - = Faktoren fort. 11

-g deshalb kürzen sich diese beiden

Wenn also der vorstehende Ausdruck für die freie Oberfläche gleich Null werden soll, so muß, - da

P*oos(t)g

O Ist, gelten:

(io) 11m

J

e cos(kx)dk= O für x

y_*o

Das ist auch der Fall, denn

i e'cos(kx)dk

_{= 2} y ₂

J

X +y

Für y .0 und x O wird de letztgenannte Ausdruck gleich Null. Nun ist zu untersuchen, welche der zu Beginn

12

-i) Die Koutinuitätsbedingung Ist erfuilt: = O. Die Bedingung fUr den Profiirand W = ux Ist durch den Ansatz (B) noch nicht erfuilt.

Die Bedingung auf der freien Oberfläche ( = o list erfüllt.

'i) Die Bedingung in unendlicher Wassertiefe:

Bewegung 'O fur ywc» ist erfullt.

Die Bedingung der Energieabstrahlung vom Körper nach bei-den Seiten muß noch näher untersucht werbei-den. Das soll im folgenden Abschnitt geschehen.

Dié Einführung einer fiktiven Zähigkeitskraft

Zunächst sollen noch einmal der Real- und der Imaginärteil dea Lösungsansatzes (B) hingeschrieben werden. Hierbei kön-nen wir im Moment den Faktor mit cet, der die Abhängigkeit von der Zeit ausdrückt und aùch den Faktor P*

außerachtlas-sen. Somit haben wir nun die dimensionslosen Ausdrücke:

oos(kx) dk = J

- V

e' siù(kx)

dk =

I

k -o

Wir machen nun folgende Substitutlonen:

K =,X= v.x,Yvy

s

Damit erhalten wir:

(ii)

fecos(Kx)

Íes1n(KX)

dK

j

K-I

J

K-1

o o

Diese Integranden haben Pole bei 'K = 1. Die Integration über den Pol gibt zunächst unbestimmte Werte. Wenn man einen

un 13 un

-endlich schmalen Integratiousbereich über dem Poi heraus-nimmt, so ergibt die Integration über diesen Bereich eine

der Größe nach beliebige freie Welle nit der Wellenzahl

K = 1.

Diese - zunächst beliebig große Welle - erfüllt jedoch die zusätzliche Bedingung

5)

der Energieabstrahlung nicht. Um diese Bedingung zu erfüllen und eine beliebige freie Welle auszuschalten, wird der Kunstgriff von Raleigh angewandt,

(Lamb, 6.Aufl., 1952, S.399 {7]): Es wird eine auf die Flächeneinheit bezogene Zähigkeitskraft w [kg/rn2]

eingeführt (mit w Ist hierbei die Relationsgeschwindig-keit bezeichnet). Vorn physikalischen Standpunkt aus ist dieses Vorgehen nicht exakt, da die obige Bedingung für die Zähigkeit für die reale Flüssigkeit nicht stimmt. Sie Ist aber theoret1schr gerechtfertigt, da später der Grenz-übergang 1u - O in der idealen Flüssigkeit gemacht wird.

Für das tentIal (ii) bèdeutet die Einführung dieser Zä-higkeitskraft, daß im Nenner des Integranden der Term

iL*

ergänzt wird. Auch die Bedingung 3) auf der freien Ober-fläche erfährt dadurch eine Abwandlung:

- gy I't)y=ø =

In dieser Bedingung hat die Dimension Zeiteinheit hoch Ninus Eins Das so abgeänderte Potential (ii), zu dem wir nun auch wieder den Faktor der Zeitabhängigkeit in der allgemeinen Form

et

hinzufügen wollen, wird also:

1-KY

,

(11*) = 11m eiJt _I

OO8KXdK

In Gi.(11*) ist die Gröi3e j dimensionslos, denn.sie Ist

aus durch Divisionduroh c entstanden: _{p. =}

-s--Dieses Potential erfüllt, mit Ausnahme der Bedingung 2) fur den Profiirand, alle anderen geforderten Bedingungen, auch die Bedingung

₅₎

der Energieabstrahlung. Letzteres Ist vor-erst eine noch nicht bewiesene Behauptung, die 1m nächsten Abschnitt bewiesen werden soll.

5)

Der Bewéls, daß die Bedingung der Energieabstrahlung erfüllt

ist.

Um dIesen Beweis anzutreten, betrachten wir den Gl.(1i*) analogen Ausdruck des normierten komplexen Potentials und versuchen den Wert dieses allgemeinen Integrals

dK +iW =

J

e1K

K-1+iL

o

zu bestimmen. Das Ist in der so vorhandenen Form (12) nióht ohne weiteres möglich. Zu diesem Zweck mUssen wir von der K-Aohse zur komplexen KM-Ebene übergehen, d.h. wir ersetzen die reele Größe K durch die komplexe Größe . Hierfür gilt

= K + 1M; d.h. auf der K-Aohse ist = K, also reéll.

Aus der Funktionentheorie Ist bekannt, daß das Integral ei-ner komplexen Funktion über einen geschlossenen Kurvenzug

gleich Null ist, wenn innerhalb der geschlossenen Kurve kein Poi liegt, d.h.

1

T

+ .

d = O,

wenn der geschlossene Kurvenzug so gewählt ist, daß der Pol = 1-is außerhalb des Kurveuzuges bleibt (Fig.

5).

Wir wollen nun so einen gesphiossenen Kurvenzug wählen, d.h. wir wollen das Integral (13) aus einer Reihe von Teilintegralen zusammensetzen, deren Integrationswege so verlaufen, daß der

Poi außerhalb des Kurvenzuges bleibt. Wir ersetzen also das Integral in (13) durch die Summe einiger Integrale, deren

15

jedes. einem bestimmten Integrationsweg entspricht. Die Summe dieser Integrale muß gleich Null sein. Als ersten Intetra-tionsweg wählen wir den Weg auf der reellen Achse, also das Intervall von K = O bis K = co

Damit ist das Integral J1 gleich dem Integral (12), dessen Wert wir suchen. Wir erhalten ihn als negative Summe der den verschiedenen anderen Wegen entsprechenden Integrale. Fur die Wahl des Kurvenzuges ist folgende Überlegung

not-wendig:

Wenn der positive Wert von 1/ X2+Y2 klein Ist - im Programm wurde alsSchranke der Wert 6 gewählt - verläuft der Kurven-zug aus Gründen der Konverpnz und der Reohentechnik anders als wenn der Betrag von V X2-i-Y2 groß ist.

\p0[

1-i

Fig. 5 Die Teliwegel bis V dea geschlossenen Kurvenzuges

¡ f für

VXZY2 < G

Fall a) lVx2 + Y2I

6.

Der gewählte Kurveuzug setzt sich aus

5 TeilkurvenzUgenzusammen:

Weg I auf der K-Achse von O bis co

Weg II Kreisbogen bei = co von O = O bis zu dem Schnittpunkt mit der Geraden III.

Weg III Gerade von dem Poi _{= l-Ip.} (bzw. einem kleinen Kreis um den Poi) mit der Steigung tan O = X/Y.

Weg IV Kreisbogen um den Poi von dem Winkel O der

Weg V. Ist der Teil einer Geraden in dem Viertel der

KM-Ebene, in welchem K ) Ound M < O; sie weicht aber so gerlugftigig von der K-Achse ab, daß spa-ter gezeigt werden wird, daß sie Im Grenzübergang als Teil der K-Achse in dem Intervall von K =

(i-C)

bis K = O betrachtet werden kann.

Für das Integral (13) können wir also schreiben:

e1 (x+iY)

(4) d = J1 + J2 + J3 + J + J5 = O

J

-1+1l.t

oder, da wir den Wert des Integrals J1 suchen:

(iii)

=

Wir stellen nun die einzelnen Integrale J1 bis J5 auf und versuchen, ihre Werte zu bestimmen, wobei es uns klar Ist, daß wir den Wert für J1 erst als negative Summe der übri-gen Integrale erhalten köúnen.

Integrationsweg I:

= Knit O

K co JI = [ euI«X+1 dK

K-1+11L

J1 Ist identisch mit dem Integral (12), dessen Wert bestimmt werden soll, *

Integrationsweg II: = R

e1.

Hierbei ist der Radius R un-endlich groß; die IntegratIonBsrariabl&hauft von O = O bis zu einen Wert O , der aufgrund der anschließenden Integrations-wege III und IV naher bestimmt wird.

Teh1te1

J2=

I dO

17

-Wir untersuchen den Exponenten der e-Funktion im Zähler des Integranden von J2.

iRe19(X+iY)=R_XSifl8_YCOSO+i(Xc088_Y81t18)J1

Hieraus ist ersichtlich, da für positive Werte von X

und Y der reelle Teil des Exponenten eine sehr groÇ3e nega-tive Zahl ist, daher geht der Zähler gegen Null; so wird der Integrand insgesamt gleich Null und damit J2 O,

d.h. das Integral J2 liefert keinen Anteil

zu

dem Vert des Integrals J.

Integrationsweg III: =(1-ip..) +v(Y+iX).

Die Integratlousvatlable y läuft von co bis e/Vx2+Y2, wo-bei der Radius des Kreises um den Pol = I - ljL ist.

Der Koeffizient von y in dem Ausdruck fUr ist naturlich von der Wahl des Endwlnkels 8 abhängig beim Integrations-weg II, denn die Gerade, die den IntegratlonsIntegrations-weg III

dar-stellt, schneidet die K-Aohse unter einem Winkel 9 , der

slob nur wenig von dem Winkel O unterscheidet. (Fig.5 zeigt den Sachverhalt stark vergröbert; hier unterscheiden sich der Winkel 9* und der Winkel 9, unter dem die lute-grationsgerade III die K-Achse schneidet, erheblich vonein-ander; verschiebt man den Kreisbogen II ins Unendliche, so verringern sich die Unterschiede, was aber auch nicht we-sentlich Ist, denn fUr unsere Betrachtung ist nur der

Win-kel e interessant, nicht der Winkel 8*, da J2 = O Ist).

tJber die Größe dieses Winkels wurde bisher lediglich die Aussage gemacht, daß er gxößer als Null und kleiner a1s

sein sollte. Das Ist die Inzlge Bedingung, die bei der Wahl des komplexen Koeffizienten von V zu beachten Ist.

Deshalb

wird dieser Koeffizient so gewählt, daß sich fUr das Integral J3 ein möglichst einfacher Ausdruck ergibt;

J3 = e

18

-und das geschieht durch (Y+ix) als Koeffizienten von y. Da der Wert C beliebig klein_ist, ist der Endwert des

In-tegrationsweges als festgelegt, um fur den

Win-kel e , dessen Anfangswert beim Integrationsweg IV

gleich dem,Sohnittwinkel e der Geraden des

Integrations-weges III mit der K-Aches sein muß, einen mgliohst einfa-ehen Ausdruck zu erhalten.

1

e(1IL

)(X+iY)eV(X2+Y2)

= I (Y+ix) dv

-'

j

v(Y+iX)

Der Integrand von J3 hat keinen Pol, deshalb kann im Expo-nenten der e-Funktion der Grenztibergang

u-.O

gemacht wer-den, und wir erhalten für J. den Ausdruck:

i(x+IY)

jc/yxa+ya

Nun entspricht aber der Integralausdruok der sogenannten Ei-Funktion, für die nach Definition {8J gilt:

Ei(-X)

=J

e_t

dt

Machen wirdem Integral von J3 die Substitution

t = v(X2+Y2), dt = (x2+Y2 )dv (f tir y - co folgt t - co und für

y

e - Ist t = e11x2+y2 ) -.

VI2

so erhalten wir (Yi+

Ei(_VX2+Y2)

f

dt e (x2+Y2) dv V

19

-Da der Betrag von

eVx2+ Y2

ein sehr kleiner Wert Ist, gilt die Näherung:

Ei(-& Vx2+y2' ln(

tcVx2+Y2

)

Hierin ist = 1.781 die Eulersohe Konstante. Damit er-halten wir für J3 den endgültigen Ausdruck:

J3 =

ei+1)

ln(Te\/X2+Y2)

Integratlonsweg IV:

De Integrationsweg IV umgeht den Poi auf einem Kreis mit dem Radius e , beginnend bei dem Wert e , durob welchen

der Anstieg der Geraden des Integrationsweges III oharak-terislert war und verläuft bis zu dem Wert Tr Für

gilt also der Ausdruck:

=

_-

+

ee8

.

Aus diesem Ausdruck und dem Ítir für den Integrations-weg III können wIr jetzt die Größe des Winkels 8

bestim-men, da - wie bereits gesagt' - beim Ubergang vom Integra-tionsweg III zum Integrationaweg IV der Winkel 8 er

glei-che sein muß. Es muß also gelten:

v(Y+1X) =

An der oberen Integrationsgreuze von J3 war aber v=/V'X2+Y2, folglich

e/vx2+y2

_{(Y+iX) =}

YIX

=

005

8 + i sin 9 ,, darauà durch Trennung von

Real-Vx+y2

und Imaginrteil und anschließende Division

8arctau

20

-Wir erhalten damit das Integral - wie bei J3 kann, da der

Integrand keinen Poi enthält, auch hier der Grenztibergaug

gemacht werden:

ir

I

i(x+iY)

J1,&= J

Ieed8

-X

arctg ;;;

Jli =

iei)(

T

-arotan

Integrationsweg V:

Bier können wir wieder setzen:

= K

(- eigentlich

= K - IM - L, M

-aber wir können bereits vor Aufstellung des Integrals den

Grenzübergang

,t-"0 voLlziehen). Somit wird das Integral

über diesen Weg:

o

1

5= J

K-1

dK

i-t

Mit den Substitutionen y

= 1-K

dv = -dK wird

j5 =

J

dv =

e co

(-ij

fiv(x+iY)]

=

eI'1)

J

u=0

n!

_dv

Die gliedweise Integration liefert:

J5 =

i. +

(_1)fl fix+iY)}

1

-inC

_n.u!

oder

21

-Für große Werte X,Y konvergiert die Reihe in J5 sehr lang-sam, deshalb wurde zu Begiun dieses durch J1 bis J5

ge-schlossenen Integrationsweges vorausgesetzt, daß die Werte

VX2+Y2

unterhalb einer bestimmten Schranke

nmlioh.6

-bleiben.

Setzen wir nun die Ausdrücke für die Integrale J2 bis J5 in die ai.(i'&) für J1 ein, so erhalten wir, da die Größe

(-inc ) in J5 sich gegen die Größe lue in J3 weghebt, -den Ausdruck (15) J1 = 11m 1K(X+IY) e

dK=

JK-1

+ Ij.t o =

f

_in[rV+Y2]_

(_l)n{i(x+iY)ln n n! -i(rr-arctg) n 1

furVX

2 2 = 6

Zwecks Trennung der Real- ud Imaginärteile setzen wir. i(:XiY) _{= il/x2}

2iarotg

i/2y2'i(+arCtg

1)

2'

i

arctg

Damit erhalten wir für das Potential in (ii*) aus

(i1**) ' = 11m

.

¡

elK

+iy)

e(_hlT)

dK

t-lI.o

j

o

wobei nun der Faktor

et

fortgelassen Ist ( x+Y )

(i6) 4=

eoosX{ _ln(IVX2+Y2_

.

_n! oos(narot4)

_{_iwi}

esinX

arot4

2)tI

sin(narot)J

L fl.fl!

und für die Stromfunktiou V'x2+y2

(I/2y2)

(17)1V0 =

esinxf_iu(r

cos(narotg)-iir ri1 +

eoosX

f

arotg +

'

otx2

y2)fl _sin(uarot4)}

L.

n.nI

fl I

Damit haben wir die Ausdrücke für und

P

für

den Fall,

daß /X2-+Y2 6 bleibt.

Für

Vx2

+Y2 > 6 müssen wir, um hierfür zu einem anderen Aus-druck zu gelangen, - dessen Berechnung für diesen Fall

gün-stiger Ist, - den geschlossenen Kurvenzug in der komplexen -Ebene anders wählen. Dabei haben wir zwei Fälle geson-dert zu betrachten:

a) X>O.

Zu betrachten Ist wieder das komplexe Integral

I

+

mit = K + iM, nun aber über einen anderen geschlossenen Kurveuzug, der wiederum den 'ol außerhalb laßt. Der Weg, der diesmal aus Teilen besteht ist in Fig. 6 skizziert. Der

erste Weg Ist gleich dem ersten Weg im Falle

Vx2 Y2

6. ¡M;

¡ii

-

22

-'Pot 1-&

Fig. 6. Der Kurvenzug für den Fall Vx2 > 6 und X > O. Wir haben also wieder

Damit erhalten wir:

o o

-

23

-d.h. das Integral, dessen Wert bestimmt werden soll.

Für das Integral über den 2. Weg, - den Kreisbogen 1m

Unend-C- lIchen, -_diesmal von O = o bis e = j. , - gilt ebenfalls,

wie bel 6,

= o .

Auf dem Weg III ist = IM; das Integrationsintervall ver-lauft von bis O.

Der Grenzübergang j.t-O kann wieder gemacht werden, da die Singularität sich nicht auf diesem Wege befindet. Es ergibt

sich

e1

I

_M(X+iY)

3=J

iM_l1dM.=J

+i

Um dieses Integral zu lösen, betrachten wir.zunäohst ein ähn-liches - komplizierter erscheinendes - Integral, für das wir eine partielle Integration ausführen:

o

I

-M(X+1Y)

e _dM

3

_-J

(M+1)

In J3* setzen wir für die paitlelle Integration:

(M+l)r dv = -M(X+iY) u = ,

-(Ml)r+

_-(X1Y)

e r e (M+l)r l_(M+ir(X+iy)} j (M+i)

J

-M(XiY)

M(XIY)

-M(X.i-iY)

r+i

24

-Fur das letzte Integral in diesem Ausdruck fur J3* wird die partielle Integration wiederholt, wodurch sich wieder ein Ausdruck ergibt, der praktisch das gleiche Integral enthält,

nur hat sich die Potenz von (M+i) im Nenner des Integranden

wiederum um i erhöht.

Durch wiederholte Anwendung der partiellen Integration erhält man die folgende Entwicklung:

i

r

_f

i

r+1

*

3 _{_Ir(X+IY) (X+iY)} _ir+l(X+iY) _(X+iY) N

I

r + 2(

I

_lr+2(X+IY) _(x+IY) _jr+3(X+jy) L... jr+n(X+jy)n(r_l)I

Dies Ist eine semikonvergente Reihe; ihre Summierung darf nur bis zu dem Wert N erfolgen, für den der kleinste Wert der Sum-menglieder erreicht wird; an dieser Stelle muß die Reihe abge-brochen werden, da die Terme dann wieder größer werden.

Aus J3* erhält man leicht den Ausdruck für J3, indem man r = I

setzt: J

1ç'

(-i)(n-i)i 3 -t und damit r iK(X+IY) (18) _11ml e dK = (_1)n(_1)1

r°J K-i +

.0

*1

;;i

[i(x+iY)1m

für 11x2 + X2 > '6 Ùnd

x > o

Für die Berechnung zur Trennung von Real und Imaginärteil -wird wiòder gesetzt:

25

i(x+1Y)=\Ix2+Y2 0iarotg. siu(arctg))

und der Ausdruck (18) dementsprechend umgeformt.

b) X< O

In diesem Fall verläuft der geschlossene Kurvenzug spiegel-bildlich zu dem Kurvenzug im Fall a) (Fig.7); gespiegelt Ist der Kurvenzug an der K-Achse.

Da sich diesmal der Pol innerhalb des geschlossenen Kurveuzu-ges befifldet, hat dieser nicht den Wert Null, sondern den Wert des Residuums, d.h. es gilt:

Fig. 7

e1 (X + IY)

i

+ iI.L

M

=

2rie

.

Der geschlossene Kurvenzug fUr den Fall

V x2+y2 6 und X < O.

J1 ist, - wie in den vorhergehenden Fällen, - das gesuchte

Integral.

Der Weg II liefert wieder keinen Beitrag, d.h. es gilt ₂ = O.

Der Weg III auf der M-Aehse von - oo bis O ergibt, - analog wie im Fall a) behandelt, - den Wert

Ni .1n,_.

_{-i) ULLJ}

=

+

L.

[i(XiY}"

r=1

IIcy

11m

j

e oos(KX) dK o

fiAr verschiedene Werte X,Y gefinden haben, wollen wir nun das vo1lstndige, aber norinierte Potential In möglichst allgemeiner Form hinschreiben durch Hinzufügen des Faktors der Zeitabhängigkeit

et.und

eines konstanten Faktors A0. Wir erhalten somit das Potential, das wir nun nennen

wollen:

=

A0et

_11m

i

ecos()

gJ.-O

J K-1 + lj.L

o und analog die Stromfunktion

26

-Damit erhalten wir den Ausdruck fur das gesuchte Integral

11m J

e«1

N n + dK _{= >2}

(-i) (n-1)!

-

2T

n=1 [i(XiY)} o für 11x2+y2 > 6 und X < O

Mit Hilfe von (18) und (19) erhalten wir - bei Verwendung des Ausdrucks für i(x+iY) von S.21 - aus (ii**)

fUr

_4), wenn

> 6

(16*) cf (n-1)!oos(n arctg )

-'WesinX - i 1reoosX

n=1

(1/xe +

und für die Stronifunktion

N

(17*)l(m1tm arotg)

_{- 1teoosX -}

_iTesinX

n=1. yïT1)fl

Nachdem wir die Lösungen des Integrals

K- 1+

27

-W0 = A

eWt

um

e sin(KX)

°

F°

.1

K-1+if

dK.

o

Nun fuhren wir den Beweis, daß das Potentiál (20) die Badin-. gung 5) der Energieabstrahlung nach allen Seiten erfullt, d.h. daß dieses Potential tatsachlich aine Stromung darstellt,

bei der Wellen vom Körper fortlaufen.

Zu diesem Zweck nehmen wir eine Umformung des Integrals vor:

fecos(KX)dK

=

t°J

K-1+i

r e11

+

=lim

I

dK.

K-1

o

Wir untersuchen an der freien Oberfläche, d.h. fur Y-' O,

welche Werte dieses Integral in großer Entfernung vom Kör-per, d.h. für

X-'+oo

und für

X,-oo

annimmt.

i) X-o+

Es war:

um

dK

T

K-1 +

o N

= -(-i)

(n-1)! n=1 [i(x+iY)} ].lIn e1 -X+IY)

dK=

l_L-.-0 .1 K-1 +

ift

= (u-1)! 2 n=i.

Die Sume über u verschwindet für X

--+ co

folglich gilt:

11m

ecos(KX).

-

jeiX_Y

-' J K-1 + Y-.0 o und

28

-2)

X-'-Die Entwicklung verläuft analog wie im Fall X-+oo; das Ergeb-nis unterscheidet sich nur durch das Vorzeichen von X:

11m

ÍecosKX)dK

= -

iTelX_Y

:g

JK-1iZ

x.-Damit gelten

für

das Potential folgende Ausdrücke:

11m = -A011r

e_eït

X-' + co

lim -Y i(ct+X)

XQO0

-A011Te e

Somit Ist bewiesen, daß das Potential auch die Bedingung der EnergieabstrahlUng erfüllt, da (24) und (25) Oberf1-chenwellen beschreiben, die von dem Körper weglaufen. Wir haben mit also ein Potential gefunden, das alle Bedin-' gungen - mit Ausnahme der Randbedingung für die Körperkon-tur, - erfüllt. Es bleibt also die Aufgabe, ein' noch

auge-esj

meiner/Potential zu finden, das alle Bedingungen, auch die an der Körperkontur, erfüllt.

Die Suche nach einem Potential, das auch die Bedingung an der Körperkontur erfüllt.

Gegenüber dem vorhergehenden Abschnitt wird zunaohst die De-finition des Potentials etwas geändert. Wir schreiben:

C)

+ iW

A,( c+ iW0),

d.h. in Abanderung der Gleichungen (20) bis

(25)

ist jetzt der konstante Faktor A0 nicht in dem Potential c enthalten;

29

-abér Ist das Potential, das alle geforderten Bedingun-gen - mit Ausnahme der Bedingung an der Korperkontur - er-füllt. Im Lösungsansatz (C) Ist also noch die Wahl von A0 frei. Dies allein genügt jedoch nicht, um die Bedingung an der Körperkontur zu erfüllen. Deshalb wird ein neuer Lo-sungsansatz gemacht, bei dem zu dem.komplexen Potential

A0( + _{weitere Teilpotentlale A( c' + i')}

hinzu-gefügt werden:

(D) + lr =

A0(0

+ 11P )+

A1(Ç + iW1)

+ A2(c2 ₊

Wieviele solöher Teilpotentiale der Lösungsansatz D) enthal-ten muß, um die Bedingung auf der Körperkontur zu erfu]len, die-se Frage soll zunächst offenbleiben. Ihre Beantwortung wird von der gewünschten Genauigkeit der Ergebnisse abhängen, - wobei natürlich durch die Methode, Ihre Voraussetzungen und Einschrän-kungen und die Genauigkeit der vorgegebenen Größen ohnehin ei-ne Genaulgkeitsschranke gegeben ist, die - einmal erreicht - auch

durch das Hinzufügen noch so

vif

1er Tellpotentla].e nicht

über-schritten werden kann.

Die erste Aufgabe zur Erfüllung des Lösungsansatzes D) besteht nun zunächst darin, geeignete Teilpotentiale zu finden, durch

deren Hinzunahme zu dem Potential A0(

'+i P0)

die Bedingung auf der Körperkontur erfüllt w.rd, ohne daß dabei die anderen -durch bereits erfilllteù - Bedingungen verletzt werden. Zu diesem Zweck

wird eine periodische Stromung, symmetisoh

zu X =0 angenommen (Fig.8),die durch zwei periodische Kräfte bel X = L erzeugt wird '

Pe

____ X

Das bedeutet, daß wir den Ausdruck

(26)

hm

e'dK

iK(X+ ) iK(X- )} =

K-1 + e + e o co f

+IK(xIY)

hm/e

_K-1

₊ dl i 0iK +

e_1J

o

bestimmen müssen. (In derlgeschweiftefl Klammer könnten wir X = O setzen, da Symmetrie zu X = O vorausgesetzt war.) Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, wird bei X = O ein perio disoher Druck doppelter Stärke, dessen Phase um 1800 ver-schoben Ist, hinzugefügt, d.h. in der geschweiften Klammer kommt noch das Glied -2e1 = -2 (wegen X =

o)

hinzu:

30

-(26*) 11m e+uI«X+1')

[e+e4

- 2

J

ß.L-iOj

_K-1

₊

o

Für

die e-Funktionen in der geschweiften Klammer schreiben wir die Reihenansätze und erha:lten:

itch

i2K22

i3K33

= I + + + 3! 1K

12K22

i3K3i3

1iT2! -

31

-2

2N: = 2 K N=l

Wenn wir die von K unabhängigen Faktoren

(2(_l)N)4/(2N)!

fue dem Integralausdruok (26*) heraus-undin die Koeffizienten A miteinbeziehen, so erhalten wir den Integralausdruok

co (27) co " K2Ne .moJ

K1

+ iIL o

dl.

31

-Anstelle vòn (27) bilden wir noch einen einfacheren Integral-ausdruck, indem wir von dem Integral (27) ein Integral abzie-hen, welches sich von (27) nur dadurch unterscheidet, daß die

Potenz von K um zwei geringer ist, - also

i2

beträgt:

(K2N K2N2 1K(X+IY) 11m )e dK =

K-1 +i

o =

J

K2N_2(K+l)eH«4dK

o

Der Integralausdruok (28) erfüllt alle geforderten Bedingungen, mit Ausnahme der Bedingung an der Körperkontur. Durch Addition

einer Reihe solcher Integrale wird auch letztgenannte Bedingung erfüllt werden. Doch zunächst soll aus (28) das komplexe

Poten-tial +

iW

gebildet werden. Das Integral auf der rechten

Seite von (28) kann geschlossen integriert werden; dabei set-zen wir 2M-2 = 2n und erhalten:

J

K2(K l)edK

JK2fl+1e

+1Y)dK +JK2fle+1dK.

o

Die Verte der beiden Integrale auf der rechten Seite von (29) entnehmen wir einer Integraltafel und erhalten, - da n ganzzablig

-co

(29*)jK2U(K+1)e1dK

(1)fI(2h1+1)! (2n!)

(+iY)22

(x+iY)21 Ì

o

Die konstanten Faktoren (_1)fl (2n-i-1)1 _{nehmen wir wieder in die}

Koeffizienten der komplexen Potentiale hinein und erhalten:

i i

+

32

-Die Ausdrucke (30) sind in den LösungsansatZ D) einzuführen,

der noch durch den Faktor

et,

durch den die Abhangigkeit

von der Zeit ausgedrückt

wird, vervollstandigt

wird, so daß

der endgültige vollständige

LösungsansatZ nun wird:

D*) 4)

j

=

[A0(0

+ if0)

+

iW)} elt

Doch zunächst wollen wir

prüfen, ob die Bedingung an

der

freien Oberfläche durch

(30) erfüllt Ist. Dafür Ist es

not-wendig, auch bel der Gleichung

(30) bereits den Faktor

zu berücksichtigen.

Die Bedingung an der freien

Oberfläche lautete:

gc)=0

= O

Aus. (30) ergibt sich:

utt

2eICi)t

=

_W2et

k

j2n1+

2y_o

-i(2n+2)

Y

= I

(x+iY)2

12(2n

+ i)

(2n+I)

(x+iY)+2

_J p

d.h. d.e Bedingung an

der freien Oberfläche

wird durch die

Potentiale

dea Ausdrucks (yo) für

beliebiges n erftillt.

folglich

I

Dies Ist aber noch nicht die gesuchte Ableitung,

da diese

nach der dimensionslosen

Koordinate Y =

(c,2/g),Y erfolgt Ist

und

selbst auch nicht die

Dimension eines Potentials

hat,

sondern eine dimensionSlOae Größe Ist. Folglich muß der

Aus-druck für ('YYO noch

mit c.y2Jg multipliziert

werden, damit

die Dimensionen von

tt

und g

Uberein8tiefl. Somit

gilt:

- 33

7) Die Erfüllung der Bedingung an der KörperkontUr,

Die Bedingung fur die Körperkontur besagt, daß durch die Kon-tur keine Strömung hindurchgeheu darf. Daraus ergab sich, daß fur die StromfunktiOn an der KörperkontUr gelten muß:

= U

X

Der Index K soll anzeigen, daß es sich um die Werte der Strom-funktion an der KörperkOntUr handelt.

Ergänzen wir nun noch die Stromfunktion durch Hinzufügen dea Zeitfaktors

e1t

und normieren wir sie durch Multiplikation ¡nitP/g, so erhalten wir die Forderung, daß die nunmehr di-mensionslose StromfunktiOn am Körper sein muß:

(31) _{sol1, K} =

elt

uX mit X _{= -.} X Der LösungsansatZ D*) lautet aber:

+ i = e jA0(

+i) +

An(+1Wn)

Unsere 'Aufgabe besteht deshaibdarin, eine genügende Anzahl komplexer Poteutia.e

4+iW,

zu wählen und die Koeffizienten

fUr n = 0,1,2,.... so zu bestimmen, daß mit genügender Ge-nauigkeit gilt:

1sol1,K 1ist,K

d.h. der Ist-Wert der StromfunktiOn an der KörperkofltUr muß mit hinreichender Genauigkeit mit dem Soll-Wert der Strömfunk-tion übereinstimmen.

Um dies zu erreichen, benitzt Ian folgendes Verfahren:

3

-wir es vorerst mit dem ebenen Fall zu tun haben). Die Sum-mierung geht damit in dem Lösungsansatz D von n=1 bis

n = N-1. Wir erhalten somit N lineare Gleichungen zur Be-stimmung der Koef:tizienten A0, A1, A2,...AN..l.

DieseMethode gilt fUr beliebige Profliformen. Zur Verein-fachung der Rechnung wird sie durch die Einführung von Lewis-Spanten spezialisiert, d.h. die tatsächlichen Spant-formen werden durch LevisSpant-formen angenähert. - Urspriinglioh wurden diese Formen von Lewis zwecks konformer Abbildung

eingeführt. - Von dieser Möglichkeit wird hier nicht Ge-brauch gemacht; es geht bei unserer Aufgabe lediglich um die analytische Darstellung der Profilkontur.

a) Die EinfUhrun der Lewis-Formen FUrdie Lewis-Formen gilt:

(32)

(z + iy)1 = C .(e6 + ae8 + be138 )

Der Index K in (32) zeigt an, daß es sich um die Werte xy. fur die Profilkontur handelt; C Ist eine später zu bestimmen-de Konstante.

Wichtig fUr uns Ist, daß: jeder Punkt der Profilkontur nur durch einen Parameter, nämlich den Parameter e , definiert

Ist.

Die Profileigensohaften sind gegeben durch die Lewisparame-ter a,b, oder - in unserem Programm - durch folgende beiden

Größen:

Das Verhältnis der halben Spantbrelte zum Spanttiefgang U = Bspt/(2Tspt),

die Spautvölligkeit

Diese beiden Größen stehen mit den Lewis-Parametern a,b in folgendem Zusammenhang: (33) 35 -H 1+a+b - 1-a+b it (1-a2-3b2) (3&) j Spt = (l-a2+2b+b2)

Fig. 9 zeigt die Skizze eines Lewis-Profils mit Angabe der Werte Q = O, T/2 und rr Im xy-Koordinatensystem.

=ir e o

y

Fig. 9 Skizze eines Lewis-Profils.

Zu beachten Ist, daß die Größen H und l3Spt nicht völlig

willkürlich miteinander gekoppelt sein dürfen, da dann evtl. "nicht reale" Lewis-Formen auftreten können, d.h. der ana-lytische Ausdruck liefert dann eine Kontur, die eine Schleï-fe bildet und damit die Spautfiache in einen positiven und einen - wenn auch kleïnen - negativen Flchenanteil aufteilt,-und in der Praxis dürfen natürlich keine negativen .Spantfl-chen auftreten (Fig. io).

y

Fig. 10. BeispIel fiAr ein ncht reales Lewis-Spant., Die Grenze für reale Lewis-Spanten wird gegeben durch die

Bediugunen:

36

-Aufgrund dieser Bedingungen kann man eine Grerizkurve auf-stellen für = f(H), die für reale Lewis-Formen von ¡3 nicht unterschrItten werden darf (Fig. i1;.Skizze).

H

Fig. 11. Grenzkurve für 3 für teale Lewis-Formen.

Wenn aufgrund der vorgegebenen Größen und H eines tat-sächlichen Spants diese Kurve unterschritten wird, muß man gewissermaßen einen Kompromiß eingehen. Man wird die Werte

j3 und H gerade so weit abändern, daß sie unmittelbar über

oder direkt auf der Grenzkurve liegen. Praktisch bedeutet das eine Änderung der vorgegebenen Spantform durch Verrin-gerung entweder der Breite oder des Tiefgangs unter Beibe-haltung des Wertes der Spantfläche. -. Um zusätzliche Vorar-beiten für die Benutzung des Reohenprogramms zu vermeiden, ist die Prüfung, ob durch die vorgegebenen Daten realò Lewis-Formen erzielt weiden, in das Programm mit aufgenom-men worden und ebenfallé die eventuell notwendige Umrech-nung dieser Größen.

An dieser Stelle soll noch lçurz erwähnt werden, daß es durchaus möglich ist., auch andere Prof ilfamilien als die

Lewis-Formen zu wählen, z.B. die Darstellung

(x+Iy)K = C

durch die eine noch bessere Anpassung an die tatsächlichen Spautformen erreicht werden könnte; allerdings erhöht sich hierbei die Zahl der notwendigen, vorgegebenen Parameter von zwei auf drei, was üatürlioh eine gewisse Erweiterung

37

-des Programms und eine Verlängerung der Rechenzeit bedeuten. würde. - Deshalb Ist hier vorerst mit Lewis-Formen gerech-net worden, die ja auch recht gute Näherungen der Spantfor-men geben.

Es soll nun der Koeffizient C in Gleichung (32) bestimmt werden. Das Ist denkbar einfach.

Für Q = O Ist y = O und x

_{= Bst/2}

folglich gilt:

B C

= 2(1+a+b)

Da wir weiterhin - wie auch vorher - mit den dimensionslo-sen Größen X,Y rechnen wollen, müsdimensionslo-sen wir die Gleichung (32) noch mit c)2/g multiplizieren und erhalten:

(32*)

(x+IY)K _{= 2(1+a+b)}

Ç

(e10+ae+be130)

Der Kürze halber schreiben wir für. den Vorfaktor:

V - 2(i+a+b) g

b) Die Anwendung der Lewis-Foimen bei den komplexen Potentialen .

Wir wenden uns nun dem Ausdruqk (30) für das komplexe Poten-tall 1fl+iWn zu, wobei wir die Zuordnung der Indizes n zu den Potenzen auf der rechten Seite nun so vornehmen - was uns ja frelsteht, - daß wir di,e Potenzen um 2 verringern. Das gibt demnach:

i

+1W

= n

(X+iY)2' - (2n-1)(X+lY)2"'1

In (30*) setzen wir den Ausdruòk (32*) ein und erhalten

(36) =

*

.=

j9

I iv

2n

o) Mathematische Zwlschenbetraohtun: Es gilt: i - 38

(e19+ae10+be39)

= (i+ae129+be'40)

Hierbei Ist: (37) ae-219

+be

<1,

co eine Reihenentwicklun. wennial +

Ibl(

I

Diese Bedingung Ist fUr die Lewisformen erfUlit.

Folglich kann man den Ausdruök in eine binomische Reihe

ent-wickeln:

e9

(_i)m(P_1)(ae_]29+be_O)m

(38)

(I+ae129+be"0)

m=O

[1_P(ae_i29+be49)

+ . s

d) Einführun& der ReihenentwicklUn in das komplexe Potential

Da die Bedingung (37) für Lew1s-Spanten erfüllt Ist, kann man die beiden Terme auf der reoh1en Seite von Gleichung (36) durch die Reiheneutwiokiung (38) ersetzen und dann Real- und Imaginar-Bel der weiteren Rechnung lassen wir wieder den konstanten

Vorfaktor

lAv*2fl)

fort, d.h. wir nehmen ihn als Faktor In den Koeffizienten An mit hinein, wie wir es bereits vorher verschiedentlich mit den konstanten Voríaktoren taten.

Um nun den Ausdruck fur 1'nK getrennt schreiben zu können,

Ist es notwendig, eine mathematische Zwischenbetrachtung einzusohälten.

39

-teil voneinander trennen.

Für

die Stromfunktion auf der Kör-perkontur erhält man dann - nach Fortlassen des Faktors

l/(v*2) - (wie bereits vorher erwähnt):

_sin(2n9)2n[asin((2u+2)9)+bsin1((2nhi)9)} -2 2iu((2n+4)Q»Zabsin((2n+6)O)+b2sin((2n+8)9)]+ - 2n(2n+1)[a - 2n-1 1oos((2n_1)O)_(2n_1){acos((2u+1)O)+boos((2n+3)Q)] + (2n_1)2n[a2cos((2fl+3)Q)+2abcos((2fl+5)Q)+b2005((2fl+7)9)}.'}. 2

Durch (39) ist die Stromfunktion auf der Kontur durch eine Sinusentwicklung für gerade Vielfache von O und eine Cosinus-entwicklung für ungerade Vielfache von O gegeben. Im Folgenden sind die Vorfaktoren A so zu bestimmen, daß AflWfl+A0JQ den Sollwert der Stronifunktion auf der Kontur ergibt.

8) Bestimmung der Stromfunktion auf der Kontur fur verschwin-dende Frequenz

Zuerst soll dieser Fall unterèucht werden, weil er einfacher ist als der allgemeine Fall. Wir haben die Frequenz

- O und deshalb auch

v' -

O

Wir erinnern uns an die Bedingung für die Körperkontur:

(31) 'so11,K =

elt

uX.

Über der Abwicklung der Kontur aufgetragen, ergibt dies das in Fig. 3 aufgetragene BUd. In (39) bleibt - da fur -'O auch

Sinusfunk 40 Sinusfunk

-tionen erhalten, was folgendes Bild ergibt: Fig. 12

o

Fig. 12

_'n,K

nach

(39)

fur

O

Der Vergleich von Fig. 12 mit Fig.

3

zeigt, daß wir keine

Übereinstimmung erzielen können, wieviele n-Werte wir auch

nehmen mögen.

Deshalb ist es unbedingt notwendig, auch das Glied

zu berücksichtigen.

Nach Gleichung (15) gilt fiAr kleine Werte X,Y die Entwlokliing:

11m

I

(X+àej(x+jy[ln{x2+y2{j(x+jy)]U

- iT-arotg)

LoJK_l+iIt

I

n.ni

o L n1

Für v*-.0 gilt auch XKO und

_{K'° der}

Index K soll

anzei-gen, daß es sich um die normierten Werte 'X,Y der Körperkontur

handelt. In diesem Falle strebt der Wert von[i(X+iY.

)]/(nn1)

ebenfalls gegen Null und e

-.1, und wir haben die

'Entwick-lung:

f

_ii«xK+1YK)

fr...arctg)

(40)

limle

dK=-1n

+ ij.i.

KJ

o

Wir hatten aber - Gleichung (20), (21) - Jetzt unterWeglassung

des Vorfaktors A

_O

et

-= uni

I

1cos(KX)

o

t°jK_1+iF

o

iirnf5hh1(dx

o

.

Setzen wir in diesen. Ausdrücken I (e1KX+e_1KX) cos(KX) = und arotg

_r

K

Wir zeichnen WOK als Funktion von in dem Intervall

O Q ir' (Fig. 13).

Der Vergleich mit Fig. 3 zeigt, dal3 der Kurvenverlauf in beiden Fällen sehr ähnlich ist, d.h. wir haben mit dem

Aus-druck (41) fttr schon eine Funktion gefunden,. die der Stromfunktion 'W8011 sehr ähnlich ist.

i IKX

sin(KX) ₌ -r(e

-e1),

so erhalten wir bei Berücksichtigung von (40) auf der Körper-kontur für w - O

C

-lnVX+Y

- _ÌTr}

Die Aufgabe besteht nunmehr d8rin, die Funktionen

'nK - (n = O,1,2,...N-1) - mit solchen Koeffizienten An zu multiplizieren, daß die Bedingung für die Körperkontur er-füllt Ist, d.h. daß gilt:

N-1

AW

_soll,K

Zu diesem Zweck wird zunächst der Ausdruck

OK aus ('ii)

umgeformt; - eigentlich sollte das durch Einsetzen der Lewis-Koordinaten geschehen. Da dies einen sehr

umständli-chen Ausdruck ergeben würde, schlägt Grim zunächst einen anderen Weg ein: Er geht aus von der bekannten Gleichung:

Y

(i)

x + iY =1/x2 + ,2 iarctg

Andererseits gilt für die Lewis-Formen Gleichung (32)..

Das Gleichsetzen dieser Gleichung mit Gl.('&3) ergibt fur die Körperkontur:

v*e19(1+ae_210+be_419) =V'4 +

y'

-

arctg)

Von dem vorstehenden Ausdruck wird der Logarithmus gebil-det:

lny*+iQ+in(1ae_219+be_19)lfl/4+Y+

i( -

arctgy)

Betrachten wir hiervon nur den Imaginärteil, so erhalten wir für den Arcustangens den folgenden Ausdruck:

XK

(4411) arctg

-=

-

9 - Im

lñ(1+ae_29+be10)J

Den Imaginärteil des Ausdrucks in der geschweiften Klammer erha1en wir, wenn wir diesen Ausdruck in eine Reihe ent-wickeln; das ist möglich, weil jaf _{+ fbi <}

1.

Die

Reihen-entwicklung

erfolgt

nach der Formel:

x2 x3 X4 mit

ae2+be49

an SteIle von x.

Durch Verwendung der Eulerschen Formel e_ILP=

oos-isinq

lassen sich In der ReihenentwoklUng Real- und Imaginärtell

'43

-voneinander trennen, und wir erhalten

XK IT

(45) 'oK = arctan = (. - Q)+asin(29)+(b..4!.)sin(4Q) +

2 2

+(- +ab)sin(69) + (e- - a b + )sin(89) +...

Nachdem WoK durch (45) bestimmt Ist, wird der Soll-Wert

der Stromfunktion - Gleichung (31) - nach Sinusfunktionen mit geraden Vielfachen von Q entwickelt, um eine

Gegenuber-stellung von Ist-Wert und Soll-Wert zu ermöglichen.

Eier soll noch einmal Gleichung (31) hingeschrieben werden ( - der Faktor wird wieder vorläufig fortgelassen - ):

uw2

₌

Q + bcos(3Q) (31*)

'1so11K = g XK ,

Zum Vergleich mit dem Ist-Wert der Stromfunktion an der Kör-perkontur soll

so1lK in (31*) ebenfalls durch eine Entwick-lung nach sin(2n9) dargestellt werden. Dies geschieht durch Fourier-Entwicklungen der Funktionen

f1(Q)

_{= cosQ_i+}

und ti(o) = oos(3e)-l+.o daraus erhalten wir;

cos9 =

(-e+I

,(2t))

und ni n(4n2-1) co 2 Tr oos(3Q) = - Q ₊ . 9sin2nQ)) n=1 n(4n

-9)

.

Für-

erhielten wir:

A0

a s A0

-Diese Ausdrücke für 0089 und oos(39) werden in (31*) einge-setzt. Es ergibt sich:

'00 00

9sin(2u9)

n1

n(4u2.-1) n1 n(,kn2_$)J

sollKT

Aus dem Lösungsansatz D*) erhalten wir für den Ist-Wert der Stromfunkt ion:

istK = A0 WOK +

-(a2/2+b)A0 +

_{2aA1 -A2}

2

5)

_'oic

₌ - O + a sin(29) + (b--)sin(&9) +.... und fur

nK gelangt für c-.O der Klammerausdruck mit den Cosi-nusfunktionen in Gleichung (39i) in Fortfall, weil hierfür der

Vorfaktor v*/(2n+1)_O geht.

Der Vergleich der Koóffizienten von 'Tr/2-9, sin(29), sin(40),

sin(60),.... ergibt: = v 2 A1 =

v*(uj

_.b)

-

*t1_:! + 9b) - 30 (a3/3_ab)A0+(-3a2+2b)A1+4A2A3 = .

P4,*(

.4b)

Damit haben wir in (.'&6) ein liieares Gleichungssystem zur

Fall cò-'O besonders einfach Ist.

Durch Einsetzen von

* BLI)2

i

V

1+a+b

-

(Gleichung auf S.37) - erhalten wir fur A0 den einfachen

Ausdruck:

U

A0=

err

9) Der hydrodynamische Druck und die hydrodynamische Kraft

fUr verschwindende Frequenz

Der resultierende Druck setzt sich aus dem hydrodynamischen

Druck und dem hydrostatischen Druck zusammen:

Kraft

i

(2*7)

p = -r

_+pgy

_{LngeJ

Hierbei sind nur lineare Glieder berücksichtigt.

Der erste Term In (2*7) entspricht dem hydrodynamischen, der

zweite dem hydrostatischen Druòk; ersterer soll fur den Fall

' 0 bestImmt werden. Aus dem Lösungsansatz D*) haben wir

für das Potential

=

eQt jA0

+EA

J

und

Für das Potential

auf 4er Krperkontur hatten wir fur

O den folgenden Ausdruck (Gl.41) erhalten:

2

=

icet[Aoto

e

Damit wird der hydrodynamische Druck an der Kontur des

Profils:

hK =

_p1etA0(_

f

4+4+ jir )+EAxÌ

- 46

-Die hydrodynamische Kraft _h pro Laugeneinheit ergibt sich durch Integration des hydrodynamischen Druckes uber die

Kör-perkontur.

Für O sind alle Koeffizienten A reell und ebenfalls

.al-le mit Ausnahme von

Da die dimensionsiosèn Ordinaten

und K° für

-O.

gilt auch

-

In(r/4+4).

c'o.

Im Verhältnis dazu sind die Terme A klein und werden deshalb vernachlässigt.

Damit erhalten wir für die hydrodynamische Kraft je Längen-einheit bei verschwindender Frequenz:

fhKK

ifca)et

Ao[_ln/4+4)..B_i1r ..B1

Kontur

oder

1'h = -

ipweIt

[_in(.-V' 4+4)B-17r

B} .

;.

Wir sehen daß die hydrodynamische Kraft sich aus zwei Teilen zusammensetzt, der hydrodynamisohen Trägheitskraft T1 und der hydrodynamischen Dämpfungskraft T2:

T1 =

f

C, e14)t lIB2 in( a)

mit R

=i/4+4

und

T2

_0it

2

Die Ausdrücke (f&9) gelten Zur das Halbkreisprofil exakt; fur andere Konturen stellen sie eine Näherung dar.

Die Schwiugungsgesohwlndigkeit Ist

= die Beschleunigung

=

i(JetU

Daraus ergibt sich, daß die hydrodynamische Damfpuugskraft in Phase mit der Geschwindigkeit ist, die hydrodynamische Prägheitskraft in Phase mit der Beschleunigung.

Die linke Seite der Schwingungsgleichung lautet:

..

(m+m")z0 + Ni. + pgBz0

Darin sind m'z0 _{die Trgheitskraft, die aus der}

Beschleu-nigung der Sohiffsmasse resultiert,

m

"z0

_{die hydrodynamische Trägheitskraft,} die hydrodynamische Dämpfungskraft,

d.h.

B2 2

(51) mT' = _p - in (a- R)

N = puB2

in" bezeichnet die hydrodynamiabhe Masse.

Der Dämpíungskoefîizieut N kann aber auch aus dem Amplituden-verhältnis, d.h. dem VerhältniS der Amplitude der Oberflächen-wellen, die sich vom KSrper entfernen, zur Amplitude der

Tauoh 48 Tauoh

-bewegung errechnet werden. Es gilt

_2

N=A

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für N erhalten wir

(52) X

Die Ausdrücke (51) und (52) gelten exakt für das Halbkreis-profil. Tragen wir die Größen m" und X über dem dimensions-losen Frequenzparameter

¿1g

. B/2 auf, so hat die Kurve X

für

= O den Anstiegtgo=

2,:X selbst wird gleich O; die

hydrodynamische Masse ¡n" wird für a = O unendlich.

-

O

und ¡n" - co für c - O gilt für alle Profile, nioht nur ttir den Halbkreis (Fig. 14).

q - " Kreis

m1A

z

ga

Fig. 14. Skizzierung des Kurvenverlas vOn ¡ntt und X für

verschiedene Profile. -- Kreisprofil

Zur Bestimmung der Dämpfungskrft und der hydrodynamischen Tragheitskraft werden in der Prozedur ZPSIMO das Amplituden-. verhaltnis SAR

= X

und das Verhältnis der hydrodynamischen Massen des Profils und des Halbkreisprofils

,B21r

f/

: berechnet. g B 2 x2 = oder

io) Bestimmung der Stromfunktion auf der Kontur für nicht verschwindende Frequenz

Der geforderte Soll-Wert der Stromfunktion

so11K bleibt unverändert wie bei der verschwindenden Frequenz_Gl.(31**) -; somit bleibt auch die rechte Seite des Gleichungssystems (46) unverändert.

Fig. 15. Verlauf der Stromfunktionen uber 9.

Kurven fUr L) = O.

Es ändern sich aber die Stromfznktionen und damit auch die Koeffizienten von A auf der linken Seite des Gleichungssy-stems.

Für hatten wir den Ausdruck (39) abgeleitet. Bei ver-schwindender Frequenz behielten wir davon nur den Term mit Sinusfunktionen ubrig, da fUrL)-' O ebenfalls v* Jetzt

mussen wir auch den Term mit den Cosinusfunktionen berück-sichtigen. Dies geschieht, indem wir durch Fourieranalyse die Funktionen

008

[(2n_1)O}

- (i-9)

in Sinusfunktionen von geraden Vielfachen von 9 umformen.

Es gilt allgemein:

cos mO

-

--o

50

-ir

mit f

a =

. j

(cos(mQ)-i + ..o) sin(2n0)dO

2

2 rn

n('&u2-m2) folglich

cos(mQ) = (i-O) +

2>

m2sin(2n9)

n=i n(4n2 -in2)

Wir ersetzen also die Cosinusfunktionen in (39) durch den Ausdruck (52), wobei wir - entsprechend dem gewählten Ge-naulgkeitsgrad N = 4 - nur die Funktionen oos(3Q),

_cos(50).

Und cos(70) berücksichtigen und auch die Summenbildung nacb dem 4. Term abbrechen. Jedoch ehe wir diese Entwicklung vor.-nehmen, vereinfachen wir noch die Determinante des Gleichungs-systems, dessen ursprüngliche Form lautet:

AO'I'OK +

AWx

_=soll,K

n=1

(Diese Vereinfaohtung Ist zwar In dem Rechenprogramm enthalten; sie wäre jedoch für das Rechnen mit der Maschine nicht notwen-dig. Sie war sehr notwendig, als noch von Rand gerechnet wOrden

mußte).

Der Index K gibt an, daß es sih um die Werte der Stromfunktion auf der Körperkontur handelt. uf der linken Seite des

Glei-chungssystems stehen die Ist-Wèrte, auf der rechten Seite die Soll-Werte. Werden für die Reihen

₍₃₉₎

für n1,2,3,4 ein-gesetzt, so steht iù der'

_5.

Spalte der Koeffizlentenmatrix Lür

ein Ausdruck, der siòh aus Gliedern mit sin(8Q) und

öos(70) zusammensetzt; die 4. Spalte fUr'P, enthält Terme mit sin(69), sin(80),

oos(5)

und oos(70), die

_3.

Spalte für

Terme mit sin(Li9), siu(60), sin(80), cos(30), cos(50) und cos(70), die 2. Spalte für

1K Terme mit sin(29), sin(49), sin(60), sin(80), cosO, cos(30), cos(50), cos(70). Da der Wert einer Determinante sich nicht ändert, wenn man eine

Zei-le oder Spalte mit einem beliebigen Faktor multipliziert und zu einer anderen Zeile, bzw. Spalte addiert, wird dïes zur Vereinfachung der Determinante hier getan; und zwar wird die 5. Spalte mït 7a multipliziert und zur Li. Spalte addiert. In der Li. Spalte steht nun also nicht mehr

3K sondern \V3K7aW4K,

ein Ausdruck, der keinen Term mehr mit cos(70) enthält, von den Cosinusfunktionen also nur noch einen Term mit oos(50).

Durch die Wahl geeigneter Faktoren werden so in gleicher Wei-se aus der 3. Spalte die Glieder mit cos(70) und cos(50) eli-miniert, aus der 2. Spalte die Glieder mit oos(70), cos(50),

005(30), so daß jetzt die Spalten 2 bis 3 außer den Sinusgile-dern.nur noch jeweils ein Cosinusgliéd enthalten und zwar nach-einander cosO, cos(30), oos(50), oos(70).

Wir haben somit das Gleicbungssystem

(53*) A0

loK+Al {WIK3a;K+5(2a +b)f +7(5a36abW

'1 +

+ A2[12K+5&1,K+7(3a2+b»I1LiK} _{+A3(tr3K+7a;K) +A4W4K=WS01ÌK}

Die Funktion

oK könnte auf gleiche Art wie die unter Zu-grundelegung des analytischen Ausdrucks - bzw. der analytischen AusdrUcke (17) und (17*),da wir die Fälle VX2+Y2 kleiner und größer 6 untersuchten - berechnet werden. Jedoch wenn man die-sè Ausdrücke betrachtet, so erkennt man, daß abgesehen davon, daß zwei Fouriereutwicklungen notwendig wären, diese Ausdrüoke sehr umfangreich sind und die Fourierentwioklung sehr mühselig

52

-wäre. Deshalb werden mit Hilfe dieser Formeln die F0-Werte für je 11 Punkte der Körperkontur (deSpants) berechnet, und die Fourieranalyse erfolgt anschließend für die Differenz zwischen der numerisch vorgegebenen 1Y0-Funktiou und ihrem Wert für Q = O nach Sinusfunktionen von geraden Vielfachen des Parameters Q. In diesem Ausdruck treten also nur Sinus-und keine Cosinusfunktionen auf. Daher entfällt auch eine Umformung der ersten Spalte der Koeffizientenmatrix des Glei-chungssystems, und diese enthält also nur die Werte WOK,nicht aber eine Kombination mehrerer ''UK_Funct1onet1. Da die Funktion W0K einen Real- und einen Imaginärteil besitzt, ergibt sich

durch die Trennung von Real- und Imaginärteil ein lineares Gleichungssystem von 10 Gleichungen für die 10 Unbekannten ARn AI (n=O,1,2,3,1i), wobei mit AR die Realteile und mit AI die Imaginärteile von A bezeichnet sind. Da die Funktion

K auf der rechten Seite des Gleichungssystems rein reell Ist, 8t die rechte Seite für die Imaginärteile stets gleich Null. Bezeichnen wir die Funktion auf der rechten Seite mit EPB(n =1,2,3,4,5), die Realteile der Koeffizienten auf der linken Seite des Gleichungssystems mit EPA, die Imaginärtei-le - die nur für

OK auftreten - mit EQA und ordnen wir die

Gleichungen so, daß wir zierst die Terme.mït AR(n=0,1,2,3,J&) sammeln und anschließend die Perme mit AI und wählen wir die Reihenfolge der Gleichungen in. der Art, daßwir stets. abwech-selnd eine Gleichung der Real-, und eine der Imaginärteile ha-ben, so hat das Gleichungssystem folgendes Aussehen

s

(53**) _{EPA ARE_1 - EQAkI AI0 = EPBk}

mit k =

1,2,3,4,5.

n=1

.5

EQAkI AIt. +

EEPAIU AI1

= O

n=1