Jan Konior
Oś liczbowa i jej rola w nauczaniu
szkolnym matematyki
Nauczyciel i Szkoła 2 (9), 131-143
Jan Konior
Oś liczbowa i jej rola w nauczaniu szkolnym
matematyki
N auczanie szkolne m atem atyki w ykorzystuje szeroko układ w spółrzędnych w przestrzeni jedno-, dwu- i trójw ym iarow ej. W każdym z tych przypadków jego rola w szkolnym kursie je st inna. N ajm niej byw a eksploatow any układ w spółrzęd nych w przestrzeni. D aleko częściej w ystępuje płaski układ w spółrzędnych, choć pozostaje on głów nie środkiem w nauce o funkcji. Podstaw ow a i najbardziej dy daktycznie zróżnicow ana rola w edukacji m atem atycznej przypada osi liczbowej. Z ad an iem tego arty k u łu je s t a n a liz a n ie k tó ry c h asp ek tó w je j w y k o rz y sta n ia w szkole, zw łaszcza na poziom ie w czesnoszkolnym. Z uw agi na rozległość tematu należało dokonać w yboru. Padł on na zagadnienia dydaktyczne mniej om aw iane w literaturze lub nie om aw iane w cale. R ozw ażania w zasadzie po m ijają kw estie typow o m etodyczne, tj. dotyczące bezpośrednio sposobów organizow ania pracy z uczniami. O pisy takich m etod można znaleźć w literaturze przedm iotu, głównie w przew odnikach dla nauczyciela i nie tylko (por. np. czterotom ow ą pozycję [7]).
1. Pojęcia bieżące i usługowe
W śród pojęć opracow yw anych w szkolnym nauczaniu m atem atyki w ystępu j ą takie, które po ich w prow adzeniu są poddaw ane dalszem u system atycznem u badaniu. U czeń odkryw a i poznaje coraz to now e ich w łasności, rozw aża p o zo stające dotąd poza g ran icą obserw acji now e zw iązki z innym i pojęciam i. R oz rasta się treść pojęcia; często podlega ono procesow i stopniow ego uogólniania, zajm u je inne m iejsce w zreo rg an izo w an ej b ądź ciągle p rzestru k tu ro w y w an ej całości. Takimi są niektóre podstaw ow e figury geom etryczne. Początkow o ubogi we w łasności kw adrat obrasta później w bogactw o cech m niej w idocznych „go łym o kiem ” lub niew idocznych, ja k choćby niew spółm ierność je g o boku i p rze kątnej, a od prostych w łasności trójkąta przechodzi się z czasem do badania róż nych punktów osobliw ych z nim zw iązanych (co m oże obfitow ać w rezultaty za skakujące naw et dla tych, którzy etap m atem atycznych początków m a ją ju ż daw no za sobą).
A le są też pojęcia, którym w procesie edukacji m atem atycznej przypada od m ienna rola — usługow a1; zajm ują one inną pozycję. Pojaw iają się w nim (bo nie raz trudno m ówić o jakim ś odrębnym akcie ich wprowadzania i wyraźnego kształ tow ania, porów nyw alnym zrprzypadkiem poprzednim ) po to, aby m ogły być w y korzystyw ane jedynie w roli narzędzi. Co prawda z uwagi na ścisłe zw iązki logicz ne w danej rodzinie pojęć matematycznych każde z nich gra w niej rolę w pew nym sensie usługow ą w zględem innych (na przykład służy do określenia innego p o ję cia lub badania jego własności), ale te, które m am y na uwadze, są niem al w yłącznie środkiem lepszego poznania innych, konstruktem pom ocniczym niezm iennie w ten sposób eksploatowanym. Jako przykłady m ogą posłużyć: niektóre algorytm y dzia łań, pojęcie zmiennej (por. [3]), w pew nym stopniu pojęcie system u dziesiątkowo- pozycyjnego (nie dajemy w prost odpowiedzi na pytanie, co to je st system dziesiąt- kow o-pozycyjny, dość w cześnie uczym y raczej tylko reguł posługiw ania się nim, aby zeń później uczynić praktyczne narzędzie w sposób niem al niew idoczny sta le w ykorzystyw ane) oraz pojęcie układu w spółrzędnych, w szczególności na pro stej, która je s t w tedy — zgodnie ze zw yczajem i żargonem szkolnym — nazyw a na osią liczbow ą2. Ten ostatni przypadek je st nieco bardziej złożony, ale zasadni czo nie odbiega od pozostałych, gdy za kryterium typizacji szkolnych pojęć m a tem atycznych przyjm ujem y — ja k tutaj — rolę w yznaczoną im w procesie opra cow yw ania treści program ow ych. D la w ygody i krótkości w ysłow ień nazyw am y j ą rolą usługow ą, a sam e te pojęcia — pojęciam i usługow ym i.
2. Obecność osi liczbowej w programach szkolnych i w nauczaniu matematyki O znaczeniu osi liczbowej (płaskiego i przestrzennego układu współrzędnych) w kursie szkolnym decydują dwa powody: teoretyczny, którego źródłem w m ate m atyce je st dokonanie K artezjusza, oraz dydaktyczny. W nauczaniu oś liczbow a i układ w spółrzędnych (zw łaszcza płaski) były od daw na obecne. Jednak ostatnie dziesięciolecia przyniosły w tym zakresie dość istotne zmiany. Polskie program y nauczania m atem atyki do lat siedem dziesiątych przew idyw ały układ w spółrzęd nych w nauczaniu systematycznym; był on w ykorzystyw any tradycyjnie przy w y
1 R ozróżnianie pojęć bieżących i usługow ych nie oznacza zam iaru ich traktow ania ja k o czło nów opozycji; nie pow inno też być utożsam iane ze spotykanym nieraz w program ach szkolnych po działem na pojęcia (tem aty) podstaw ow e i w spierające. Ten ostatni m a u podstaw charakter lo k al ny, to znaczy, że pojęcia w spierające w klasie poprzedniej m ogą stać się podtaw ow ym i w następ nej, N atom iast status pojęć bieżących i usługow ych w zasadzie nie zm ienia się z biegiem lat nauki, raczej się utrw ala.
2 Ze w zględu na trad y cję i łatw ość porozum ienia się na gruncie obiegow ego ję z y k a szkolne go będziem y tej nazwy, a także pojętej w sensie szkolnym nazw y „układ w spółrzędnych” używ ać, konfrontując je później z uściślonym i term inam i w prow adzonym i w punkcie 4. To sam o dotyczy używ anej n ieraz obiegow o nazw y „prosta liczbow a” .
Jan K o n io r — O ś liczbowa i jej rola w nauczaniu szkolnym m atem atyki 1 3 3
kresach funkcji, zaś oś liczbowa służyła głów nie do geom etrycznego przedstaw ia nia przedziałów liczbow ych, w szczególności do ilustrow ania rozw iązań nierów ności. W okresie burzliw ych reform 1960-1980 w różnych krajach w nauczaniu pojaw iło się w iele now ych pojęć m atem atycznych, zm ian i śm iałych koncepcji. Życie zweryfikowało później zbyt daleko idące zamierzenia, ale część w ytrzym ała próbę czasu. N aszą szkołę om inęły radykalne reformy. W tym czasie jed n ak na rodzim ym gruncie wyrosły różne idee; niektóre z nich okazały się później korzyst ne. N ależy do nich idea dotycząca obecności osi liczbowej od początku szkolnej edukacji m atem atycznej oraz inna niż dotąd — daleko bardziej zróżnicow ania — koncepcja je j dydaktycznego w ykorzystyw ania w tym nauczaniu. Począw szy od lat sied em d ziesiąty ch oś liczbow a p o jaw ia się w ięc w ro d zim y ch p ro jek tach i program ach ju ż na poziom ie nauczania w czesnoszkolnego.
3. Perspektywa historyczna
M nogościow e pojm ow anie figur geom etrycznych — w tym prostej, od któ rej wychodzimy, konstruując oś liczbow ą— jest w ytworem nowszych czasów i ma głów nie m otyw y teoretyczne (w e w spółczesnej m atem atyce tw orzy się system y nadbudow yw ane z reguły nad klasyczną logiką i teorią mnogości). Przez całe stu lecia figury geom etryczne nie były traktow ane w prost jako zbiory punktów. K on sekw entne podejście do figur jak o zbiorów przyjęte w szkole od sam ego p ocząt ku nie w ynikałoby więc z racji historycznych. N ie byłoby też m otyw ow ane w zglę dami psychologicznym i, gdyż synkretyczny charakter w czesnego m yślenia i ten dencja do holistycznego traktow ania poznaw anych obiektów niezupełnie przystają do m nogościow ego ujęcia (dlatego też takiego, w pełni konsekw entnego podej ścia realizow anego od sam ego początku w nauczaniu się nie zaleca). O dcinek — rozum iany przez m łodszych uczniów jeszcze bardzo konkretnie — je s t początko wo czym ś jednym , nie w yróżniają oni w nim system atycznie cząstek — punktów. Ten sam sposób m yślenia odnosi się w tym okresie do pro stej. A le na prostej m ożna „um ieszczać” punkty, o których mówimy, że na niej leżą. M yśl, iż m ożna by z nią kojarzyć zbiór punktów, powoli jed n ak przestaje być zupełnie obca. Stop niowo — wraz z rozw ojem zdolności do abstrakcyjnego myślenia — prosta nabie ra „charakteru m nogościow ego” i m oże być tak traktow ana lub nie, w zależności od potrzeby i okoliczności. Jest to droga długa, znaczona w ielom a trudnościam i i charakteryzująca się w szkole naiw nym , ale ciągle ew oluującym rozum ieniem . Linia prosta, podobnie ja k przestrzeń i czas, je s t continuum , którego pojęciow e opanow anie i w gląd w je g o strukturę nie są łatw e naw et dla dojrzałych umysłów. D ylem at, czy prosta „składa się” z punktów (i w ja k i sposób — bo przecież nie na w zór sznura koralików, gdzie każdy ma z obu stron sąsiada), je s t je d n ą z trud ności, które um ysł ludzki napotyka w stopniowym opanowywaniu prostej jako con tinuum i z którym i borykano się od zarania system atycznej działalności poznaw
czej. Та pojęciowa ewolucja u dziecka, wykraczająca jeszcze daleko poza okres młod- szoszkolny, przypomina w uproszczeniu pewne wątki historycznego procesu, co jest argum entem na rzecz tzw. zasady paralelizm u w dydaktyce m atem atyki (por. [1]). Spójrzmy z tej perspektywy na początki geometrii, sięgające głębokiej starożytności i na wybrane, charakterystyczne ścieżki późniejszego jej rozwoju. Starożytni Grecy podnieśli geometrię — początkowo praktyczną dziedzinę — do rangi dyscypliny na ukowej. Jej przedmiotem stały się obiekty myślowe, tj. abstrakty, wśród nich oderwane pojęcie punktu. W danym zagadnieniu dla Greków istniały tylko te punkty, które można było w jego ram ach oddzielnie skonstruować środkami klasycznymi, tj. przy pomocy cyrkla i linijki. Takie stanowisko wynikało konsekwentnie z filozofii platońskiej: fi gury geometryczne miały egzystować ponadczasowo jako pozaprzestrzenne idee, były całościami. A le skonstruowane punkty — na przykład punkt styczności prostej do okręgu — leżały na prostej. W ten sposób Grecy — ja k poglądowo mówi Lebesgue3 — rozpoczęli historyczny proces „obsadzania” prostej punktami. Już pitagorejczycy odkryli — mówiąc dzisiejszym językiem — istnienie luk na prostej ; koniec przekąt nej kwadratu jednostkowego odłożonej na osi od punktu zerowego wskazuje taką lukę. Rozwój różnych dyscyplin matematycznych, w szczególności algebry, pozwalał przez wieki kontynuować „nasycanie” prostej różnego rodzaju punktami — liczbami, któ re były klasyfikowane ze względu na odsłaniające się nowe potrzeby tych dziedzin. W śród wielu matematyków mających tu epokowe zasługi wymienimy jedynie Karte- zjusza, Lindemanna, Cantora i Dedekinda. W dzisiejszym rozumieniu linię prostą cha rakteryzuje aksjomatyka euklidesowej geometrii opracowana u schyłku poprzednie go stulecia przez Hilberta. W śród innych aksjomatem charakteryzującym prostą jest aksjomat zupełności. W ten sposób prosta ostatecznie została — mówiąc obrazowo — opisana jak o tw ór pełny, do którego nie m ożna ju ż w łączyć now ych obiektów bez naruszania postulowanych własności.
4. M a te m a ty c z n e p o jęcia osi i u k ła d u w sp ó łrz ę d n y c h o ra z ich o d p o w ied n ik i pog ląd o w e w n a u c z a n iu szkolnym
Dalsze uwagi z konieczności nie m ają charakteru system atycznego w ykładu; dążenie do pełnej ścisłości i dopracow yw anie form alnych szczegółów pozostaje na drugim planie, chodzi jedynie o zaakcentow anie istotnych etapów w m atem a tycznej konstrukcji pojęć stanowiących przedm iot niniejszej analizy oraz stw orze nie w łaściw ego tła dla dydaktycznych rozw ażań.
N iech dana będzie prosta a\ obieram y na niej punkt O i zaczepiam y w nim niezerow y w ektor ö f tej prostej, który będziem y też oznaczać krócej przez O sią zbudow aną na prostej a lub krótko osią nazywamy układ czyli parę (a , ~<t) złożoną z prostej a oraz w ektora ~e\ punkt O zw ie się w ów czas początkiem osi, w ektor ? w e rso re m tej osi, zaś zw rot w ersora ~e jej zw rotem .
1 H. L ebesgue: Leçons sur les constructions géométriques, Paris 1950 (przytaczam za arty kułem [5]).
Jan K o n io r — O ś liczbowa i jej rola w nauczaniu szkolnym m atem atyki 135 Z przyjętego określenia wynika, że na tej samej prostej m ożna zbudow ać wiele osi, ustalając dow olnie początek oraz w ybierając w różny sposób wersor.
Rys. 1
G raficznie przedstaw iam y oś ja k na rys. la. zbliżonym do tradycyjnych ilustra cji podręcznikowych. Pow ielanie w podręcznikach konfiguracji w tym usytuow a niu je s t podyktow ane w zględam i praktycznym i; rów nie popraw ne układy przed staw iają rysunki lb oraz le (ten ostatni sygnalizuje w sposób um ow ny możliw ość zbudow ania w ielu osi na tej samej prostej). D ysponując o sią obierzm y na prostej a dow olny punkt P. W iadom o, że istnieje dokładnie jed n a liczba rzeczyw i sta x , przy której spełniony je st w arunek O p = x 'O Î czyli ö f i = x*e. W ten sposób każdem u punktow i P prostej a m ożem y przyporządkow ać jednoznacznie liczbę rzeczyw istą x. Takie przyporządkow anie je st funkcją, którą nazyw am y zbudow a nym na prostej a układem w spółrzędnych o początku O i w ersorze et. N a ozna czenie tej funkcji przyjm iem y symbol u i zapiszem y j ą w zorem x = u(P); w szcze gólności mamy wtedy u(O) = 0 i u(I) = 1. L iczba* nosi nazw ę w spółrzędnej punk tu P w układzie w spółrzędnych u na prostej a. W ten sposób
— każdemu punktowi prostej a odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista, — każdej liczbie rzeczyw istej odpow iada tylko jed en punkt na prostej a. M ów i się, że taka odpow iedniość je st funkcją w zajem nie jed n o zn a czn ą (bi-jekcją) odw zorow ującą zbiór punktów prostej a na zbiór R liczb rzeczyw istych. Bi- jekcja u zależy od param etrów O \ ~e. Lecz w szystkie takie bijekcje są izom orficz ne. Stąd też je st obojętne, gdzie na prostej a obierzem y punkt O i któremu z jej nie- zerowyeh wektorów przypadnie rola w ersora osi. Warto przy tym pam iętać, że taki w ybór je st wyróżnieniem punktu O i wektora"? na prostej a nie w ynikającym w na turalny sposób z samej jej struktury i zbioru w ektorów na niej leżących. O każdym takim indyw idualnym w yróżnieniu decydują w zględy pozam atem atyczne. Posłu gując się pojęciem układu w spółrzędnych na prostej, m ożna w podobny sposób
zdefiniow ać układ w spółrzędnych na płaszczyźnie oraz w przestrzeni. O kreślone wyżej pojęcia osi i układu współrzędnych zbudowanego na prostej są różne; oś jest parą złożoną z prostej i wybranego na niej wersora, układ współrzędnych je s t funk cją. Podobnie na płaszczyźnie (w przestrzeni) m ożna by sam układ dw óch (trzech) osi nazyw ać układem odniesienia, zaś przez układ w spółrzędnych rozum ieć bijek- cję określoną przy pom ocy tego układu odniesienia, ustalającą w zajem nie je d n o znaczną odpowiedniość między punktam i płaszczyzny (przestrzeni) a param i (trój kam i) uporządkow anym i liczb rzeczyw istych. To m atem atyczne rozróżnienie nie w ystępuje w szkole. Tutaj do końca operuje się nie sprecyzow anym ściśle poję ciem osi liczbow ej. Poglądow e traktow anie pojęcia osi pow oduje, że uczniow ie przez oś liczbową rozum ieją rysunek, który znamy z kart podręczników szkolnych. Podobnie z n azw ą układ w spółrzędnych na płaszczyźnie kojarzy się w szkole nie funkcję, lecz rysunek przedstaw iający dwie prostopadłe osie liczbow e rozum iane poglądow o. U spraw iedliw ieniem może być m.in. to, że pojęcia, które omawiamy, m ają głów nie charakter usługowy. Próby ich uściślania w klasach początkow ych byłyby oczyw iście niecelow e; form alizm użyty w podanych definicjach w ym aga odpow iedniego zaaw ansow ania odbiorcy.
5. Identyfikacja struktur poprzez układ współrzędnych i wynikający stąd jego sens dydaktyczny
D ysponując osią (a, e ), rozw ażm y zbiór w szystkich w ektorów prostej a, za czepionych w punkcie O. Wektory te możem y dodawać i mnożyć przez liczby rze czyw iste, co w olno traktow ać jak o dodaw anie punktów (końców tych w ektorów ) i m nożenie ich przez liczby. W ten sposób na prostej p ojaw ia się algebraiczna struktura przestrzeni w ektorow ej (oznaczm y j ą sym bolem {a; +, · }). Z drugiej strony zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem także m a strukturę przestrzeni w ektorow ej (tę strukturę algebraiczną oznaczam y sym bolem { / ? ; + ,· }). M ożna udow odnić, że układ w spółrzędnych u na prostej a spełnia następujące warunki:
(1) u(A + В) = u(A) + u(В) dla każdych punktów A, B e a ,
(2) u ( v · A) = v · u(A) dla każdego punktu А є a i każdej liczby v є Я. Znak + występujący po lewej stronie równości (1) oznacza dodaw aniepunk-tów A ß (wektorów OA i O B ), po prawej — dodawanie liczb; po lewej stronie wzoru (2) w ystępuje mnożenie punktu A (wektora O A) przez liczbę rzeczyw istą^, zaś po prawej mnożenie liczby u(A) przez liczbę v. Związki (1) i (2) oznaczają, że bijek- cja ii je st izom orfizmem przestrzeni w ektorowych {a; +, · } oraz { /? ; + ,· } , czyli izomorfizmem zbioru punktów prostej a z ich dodawaniem i mnożeniem przez liczby oraz zbioru Я liczb rzeczyw istych ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem.
Izom orfizm struktur algebraicznych oznacza, że są one pod pew nym w zglę dem podobne: działania w nich określone m ają te sam e w łasności (w ynikające z aksjom atów przestrzeni w ektorow ej). „Struktury izom orficzne (...) [określone
Jan K o n io r— O ś liczbow a i jej rola w nauczaniu szkolnym m atem atyki 1 3 7
w dwóch zbiorach — Ж ] identyfikujemy ze sobą w następującym sensie. Zarówno w pierwszym zbiorze, ja k i w drugim interesują nas z punktu widzenia algebry tylko określone w nich działania i wynikające z nich związki i własności elem entów tych zbiorów, a nie indywidualne cechy tych elementów. W strukturach izomorficznych wła sności te i związki między elementami są identyczne, nie ma więc potrzeby rozpatry wać ich osobno w pierwszym zbiorze i osobno w drugim. Wprawdzie najczęściej zbio ry te są zupełnie od siebie różne, ale ich algebraiczna organizacja jest całkowicie je d nakowa” ([6], str. 64).
To podobieństwo zbioru punktów na prostej a i zbioru R liczb rzeczywistych ze względu na określone w nich własności działań (wynikające z postulowanych aksjo matów przestrzeni wektorowej) stanowi matematyczną podstawę zabiegów w klasie, polegających na ilustrowaniu niektórych własności działań na liczbach za pom ocą osi liczbowej. Wykorzystujemy wówczas układ współrzędnych. Zbiór punktów na prostej
a — gdy bierzemy pod uwagę tylko podane wcześniej działania i wspomniane ich wła
sności — m a bowiem podobną organizację jak zbiór fi. Badając te własności, może my punkty zastępować liczbami i vice versa, bez obawy, że zajmując się punktami uzy skamy coś, co dotyczy punktów, a nie dotyczy liczb.
Podobieństwo pod względem niektórych własności algebraicznych działań nie wy czerpuje analogii między zbiorem punktów prostej, a zbiorem wszystkich liczb rzeczy wistych. Jeśli zainteresujemy się porządkiem i odległością w każdym z nich, to okaże się, że mają one taką samą budowę porządkową i metryczną przy odpowiednio określonych relacjach porządkujących i metrykach. Wyrażamy to dokładniej, stwierdzając izomorfizm ich struktur porządkowych i fakt, że jedną z tych przestrzeni metrycznych można prze prowadzić na drugą za pomocą izometrii. W sytuacjach lekcyjnych i zadaniowych wy korzystujemy tę analogię w różnych zakresach (algebraicznym, porządkowym, metrycz nym), nie zastanawiając się nieraz nad tym, ze względu na intuicyjność występujących tu pojęć, jaki izomorfizm w danym ogniwie naszego rozumowania naprawdę interwe niuje. Wartość dydaktyczna tego izomorfizmu polega na tym, że uczeń— poznając nowe fakty — może zamiennie operować punktami na prostej bądź liczbami, w zależności od tego, co w danej chwili przyniesie lepsze efekty lub co okaże się dlań wygodniejsze4.
4 W zw iązku z przeprow adzoną analizą sform ułujm y jeszcze uw agą uzupełniającą. K olejność opracow yw ania pojęć w nauczaniu je st podyktow ana przede w szystkim w zglądam i psychologiczny mi, a m ateriał szkolny nie je st zorganizow any ściśle w edług struktur w yodrębnionych w m atem aty ce. N a przykład dość w cześnie dziecko poznaje — obok innych w łasności — przem ienność m noże nia (która bywa rozw ażana rów nież jak o dodaw anie jednakow ych składników). Z punktu w idzenia strukturalnej organizacji matem atyki rozw aża więc uporządkow any półpierścień przem ienny z jed n o ścią (por. [2], str. 118), podczas gdy w charakterystyce roli układu w spółrzędnych m ówiliśm y najpierw o przestrzeni w ektorow ej, nadm ieniając dalej o strukturze porządkow ej i m etrycznej. W m ateriale szkolnym przenikają się różne — nie tylko w ym ienione — struktury m atem atyki, stanow iąc w prak tyce je g o realizacji naturalne całości m etodyczne. N atom iast form alizm y w m atem atyce nakazują te struktury rozdzielać oraz inaczej porządkow ać: w edług kryteriów obow iązujących w teorii.
W szkolnym języku i zresztą w samej m atem atyce te analogie znalazły w yraz w zam iennym używ aniu o kreśleń „pu n k t” i „liczb a” („para lic z b ” b ądź „trójka liczb” — odpow iednio na płaszczyźnie lub w przestrzeni), gdy posługujem y się układem w spółrzędnych, choć liczba i punkt s ą — co do swej natury — zupełnie innym i obiektam i m atem atycznym i. To postępow anie nie od początku edukacji m atem atycznej m a taki pełny, form alny charakter. C zasem bow iem z różnych po w odów (na przykład z uw agi na w iek uczniów , którzy jeszcze nie „w yposażyli” prostej w punkty tak, ja k byłoby to konieczne w rozw ażanym zagadnieniu, bądź też biorąc pod uw agę specyfikę bieżącego problem u) operujem y odcinkam i, trak tując je na prostej a p odobnie ja k odcinki skierow ane (w ektory).
6. Wybrane kwestie dydaktyczne dotyczące wykorzystania osi liczbowej w edukacji matematycznej
Ideę zw iązaną z o becnością osi liczbowej od początku nauczania m ożna by scharakteryzow ać, naw iązując do w spom nianego w cześniej (por p. 3) historycz nego procesu „obsadzania” prostej liczbam i. R ozpoczynając od liczb pierw szej dziesiątki, dziecko um iejscaw ia na osi te liczby, które aktualnie poznaje. W tym perm anentnym procesie „now e” liczby ciągle znajdują m iejsce na prostej, n ieja ko j ą w zbogacając. Jednocześnie stale je s t na niej jeszcze m iejsce i ten intuicyjny fakt od początku obecny w postępowaniu nauczyciela i w konkretnych działaniach ucznia m a znaczenie poznaw czo-m otyw uj ące (w ynika stąd choćby taki szczegół metodyczny, że punkt reprezentujący liczbę 0 warto obierać nie na końcu kreski, lecz w pew nym odstępie od niego). Prosta liczbow a nie je s t w ięc od razu „pełną” osią liczbow ą w sensie używ anym w m atem atyce dorosłej. M ożna by pow iedzieć, że na p oczątku — a tak nap raw d ę aż do m om entu pop rzed zająceg o form alne z a m knięcie nauki o liczbie w szkole — w ystępuje ona jak o obiekt o charakterze po ten cjaln y m . Tak w czesne w prow adzanie osi liczbow ej nie m oże n aw iązy w ać w prost do gotow ego pojęcia prostej, czy naw et odcinka, gdyż zorganizow any pro ces kształtow ania tych pojęć jeszcze się w pełni nie rozpoczął. D obrze m odelują prostą liczbow ą takie przedmioty, ja k linijka, termometr, szlaczki liczbow e itp., od których zaczynam y i z których dzieci m ogą w yabstrahow ać potrzebny im obraz. N a przykład na term om etrze zaokiennym m ają okazję zetknąć się spontanicznie z liczbam i w yrażającym i tem peratury poniżej zera, co m ożna w ykorzystać do um o tyw ow ania w spom nianego ju ż położenia początku osi. Prosta liczbow a pojaw ia się w ięc początkow o jak o schem at odw zorow ujący zasadnicze cechy tych przedm io tów, skonkretyzow any w rysunku. N anoszenie liczb 0,1, 2, 3, , n na p ro stą od
byw a się w różnych sytuacjach, które nauczyciel stw arza na lekcji. W śród nich warto zorganizować ćw iczenia polegające na szeregowym układaniu — od punktu m ającego spełniać rolę początku osi — klocków jednakow ej długości z jednocze snym zaznaczaniem przez dzieci na niej punktów o w spółrzędnych będących k o
Jan K o nior — O ś liczbowa i jej rola w nauczaniu szkolnym m atem atyki 139 lejnym i liczbami naturalnym i, gdy bierzem y klocki jednostkow e bądź niekolejny- mi, gdy klocki są dłuższe. N a tą sytuacją zw racam y tu uw agą, gdyż m a ona zna czenie nie tylko techniczne, ja k m ogłoby sią pow ierzchow nie w ydawać; służy nie tylko skalow aniu osi. Pow tarzając takie ćw iczenie, otw ieram y dziecku drogę pro w a d zącą do o d k ry cia i stopniow ego opanow yw ania w ażnego fak tu ogólnego, w yrażającego się w tzw. zasadzie A rchim edesa, która głosi, że:
O dkładając kolejno od pew nego punktu na prostej odcinek tak, aby ko niec odłożonego ju ż odcinka był początkiem następnego, przekroczym y za którym ś krokiem zadany z góry punkt tej prostej.
Jest to w ersja geom etryczna tej zasady ogólnej; dla liczb m oże ona być w ypow ie dziana tak:
Jeśli a, b є R+ i a ^ 0, to istnieje liczba naturalna n taka, że n · a > b (sym bol fî+ oznacza tu zbiór w szystkich liczb rzeczyw istych nieujem - nych).
W praw dzie zasada ta okaże się podstaw ow ym tw ierdzeniem dopiero w zaaw an sow anym kursie szkolnym , ale nauczanie początkow e m a ju ż tutaj okazję w ypeł nić sw ą rolę perspektyw iczną, przygotow ując pierw ociny pojęć i tw ierdzeń m ate m atycznych oraz tw orząc zalążki, bez których m yślenie ucznia nie m ogłoby osią gnąć pełni dojrzałości. O dkładanie klocków w zdłuż prostej je s t pierw szym zorga nizowanym dośw iadczeniem na tem at zasady A rchim edesa, która ma spontaniczne zastosow ania w życiu codziennym , ale bez której nie m ożna także udow odnić w ielu istotnych tw ierdzeń m atem atycznych.
G łów ne zadanie edukacji m atem atycznej w czesnego okresu szkolnego — ukształtow anie zrębów pojęcia liczby naturalnej — bynajm niej nie sprow adza się w yłącznie do opanow ania pojedynczych liczb naturalnych, na przykład w ram ach m onografii takich liczb, naw et gdy je s t pow iązane z um iejętnością popraw nego li czenia i w yraża się w dostatecznie sprawnym operow aniu notacją w system ie dzie siątkow ym . P o jęcie to k ształtu je się i p ogłębia także przez pozn aw an ie relacji i działań na liczbach naturalnych. O gólniej: poznanie liczby naturalnej to pozna nie struktury zbioru liczb naturalnych.
Zbiór ten m a fundam entalną w łasność, bez której pełne opanow anie pojęcia liczby naturalnej nie byłoby możliwe. Zasada indukcji matem atycznej — bo o niej tu m ow a — określa w pew nym sensie budow ę tego zbioru: po każdej liczbie n a turalnej je s t bezpośrednio następna. O znacza to, że każdą m ożna osiągnąć przez kolejne dodaw anie jedynki. D ziecko powinno m ieć w iele okazji do poglądow ego przeżyw ania tego i podobnych faktów poprzez „przeskakiw anie” z liczby na liczbę na osi liczbowej, co może być sym ulow ane w różny sposób, na przykład przez ko lejne odkładanie ustalonego odcinka. Chodzi m.in. rów nież o ćw iczenia angażu jące zm ysł słuchu, m ające charakter rytm iczny itp., typu: jedno z dzieci kolejno w skazuje i odczytuje głośno liczby naturalnego ciągu na osi, pozostałe orzekają
chórem — lub „w yklaskują” zgodnie z u m o w ą — czy w ym ieniono liczbę p arzy stą, czy też nie; w kolejnych edycjach zabaw y uw zględnia się oba zw roty na osi i rozpoczyna w różnych jej punktach odpow iadających liczbom naturalnym .
Samo sform ułow anie zasady indukcji matem atycznej i je j form alne w ykorzy styw anie będzie przedm iotem nauczania dopiero w klasach licealnych. M ożna j ą w ypow iedzieć następująco:
Jeżeli
1° liczba 0 m a pew ną w łasność w(n) dotyczącą liczb naturalnych i
2° z tego, że m a tę w łasność liczba naturalna k, w ynika, że p o s ia d a ją rów nież liczba k+1, to każda liczba naturalna posiada w łasność w(n).
Struktura logiczna tego tw ierdzenia oraz form a językow a są trudne naw et dla star szych uczniów, choć w yraża ono intuicje, nad rozw ojem których pracujem y w na uczaniu od początku. N ajbardziej elem entarne i podstaw ow e fakty nieraz w ym y kają się św iadom ości i trudno je zauw ażyć; nie dostrzegli też bezpośrednio zasa dy indukcji starożytni Grecy.
W arunek 2° zwany je st nieraz w arunkiem dziedziczenia; postuluje on bowiem, aby w łasność w(n) dziedziczyła się, tj. „przechodziła” z liczby naturalnej к na licz b ę k+1, bezpośrednio następującą po liczbie k. W kontekście całego tw ierdzenia w yraża on przez to w m atem atycznej form ie intuicje dotyczące przeprow adzania tzw. rozum ow ań rekurencyjnych (od recurrere — biec z pow rotem ). R ozum ow a nie rekurencyjne stosuje się rów nież poza m atem atyką. Polega ono na znajdow a niu i określaniu nie znanych stanów aktualnych przez znane stany poprzednie dzię ki regularności szeregu ow ych w cześniejszych zdarzeń. Tak rozum uje dziecko, jeśli przew iduje, iż przeskakując na osi co d rugą liczbę naturalną (gdy rozpoczę ło od zera) z pew nością napotka liczbę parzystą, choćby zechciało szukać bardzo daleko. Jest to oczywiście rozumowanie nieformalne i nieuświadom ione, ale oparte na rozw ijającej się intuicji rekurencji.
W arunkiem tego rozw oju w nauczaniu je s t planow e organizow anie stosow nych ćw iczeń. Jednym z nich m ogłaby być na przykład sytuacyjna zabaw a „w ie w iórka zagrzebuje orzechy” . W iewiórka, skacząc po osi, trafia tylko na liczby 1, 2, 3 itd. Pod w ybraną lic z b ą — weźmy liczbę 5 — chow a pew ną ilość orzechów, a pod każdą następną o dw a więcej. W swej w ędrów ce dochodzi do punktu odpo w iadającego liczbie 8. N a pytanie, ile orzechów należy dołożyć pod piątkę, aby było tyle sam o, co pod ósem ką w iele m łodszych dzieci — ja k w skazują przepro w adzone w podobnych okolicznościach badania psychologiczne (por.[7], tom 1, str. 187) — nie potrafi dać odpow iedzi; dla rozw oju intuicji rekurencji potrzebne są rozm aite doświadczenia. Intuicje związane z rekurencją uw aża się z kolei za ko nieczne w procesie kształtow ania pojęcia liczby naturalnej. B. R ussel podkreślał, że indukcja m atem atyczna je st częścią charakterystyki liczby naturalnej, w ręcz jej
Jan K o n io r — O ś liczbow a i jej rola w nauczaniu szkolnym m atem atyki 141 konstytutywnym składnikiem. D la pełności obrazu dodajmy jednak, że poglądy na niektóre om aw iane kw estie nie zaw sze są zbieżne. C zęść badaczy sądzi, iż reku- rencja je s t predyspozycją człow iekow i daną, preegzystuje w jeg o św iadom ości, inni akcentują konieczność jej kształtow ania.
W ykorzystując racjonalnie oś liczbow ą w opracow yw aniu pojęć i tw ierdzeń m atem atycznych, otw ieram y m łodem u um ysłow i drogę do m atem atycznego roz woju w dwóch uzupełniających się kierunkach. Weźmy dla przykładu jeden z nich: arytm etyczne praw o przem ienności dodaw ania. Z jednej strony, przechodząc od liczb do prostej lub na odwrót, uczeń stale zamienia w sytuacjach m yślow ych jedne obiekty na drugie: zastępuje liczby punktam i (odcinkam i, w ektoram i) i vice ver sa. Taka transform acja daje mu okazję do stopniow ego w yabstrahow yw ania (por. [4]) i utrw alania najogólniejszego schem atu obecnego zarów no w czynności do daw ania określonego na punktach, ja k i w dodaw aniu liczb, gdy obiekty dodaw a ne bierze w dow olnej kolejności: schem atu binarnej operacji kom utatyw nej. Dla o siągnięcia tej ogólności w ażne je s t, by m yśl ucznia niejako ignorow ała to, iż w jednym przypadku dodaje się liczby, a w drugim punkty; pow inna się od treścio w ych aspektów rozważanej sytuacji stopniowo uwalniać. Co je st istotne w począt kow ych etapach, to próba — zapew ne daleka od pełnego pow odzenia — abstrak cyjnego ujęcia przem ienności, a przede w szystkim okazja do kontaktu z m etodycz nie zorganizow aną sytuacją.
Z drugiej strony w każdym z dwu rozw ażanych m odeli w idać specyficzne cechy obiektów i zachodzących tam związków. N arzucają się one uczniow i z dużą siłą. D odaw anie w zbiorze R lub w jeg o podzbiorze je s t dlań przem ienne jako d o d a w a n i e l i c z b . Podobnie dodaw anie odcinków (w ektorów lub punktów na prostej — zależnie od interpretacji), które dla dziecka je s t zw iązane z treścią pojęcia „odcinek” (wektor, punkt), w ykonuje ono, zm ieniając ich porządek, gdyż to je s t s k ł a d a n i e o d c i n k ó w . M ożna by to w idzenie i zw iązany z nim sposób m yślenia chw ilow o nazw ać atrybutyw nym . Oto sytuacja, w której takie „treściow e” składniki występują. Dziecko wykonuje dodawanie 3 + 4 . Zm iana po rządku składników w tym przypadku nie daje mu specjalnych korzyści praktycz nych. Już je d n a k przy obliczaniu sum y 2 + 7 przez kolejne dodaw anie jed y n k i w arto z niej skorzystać. N atom iast na osi naw et w tym ostatnim przypadku zm ia na kolejności dodaw anych odcinków nie przyniesie podobnych efektów; tutaj fakt, że tę sam ą sum ę m ożna tw orzyć, nie zw racając uw agi na kolejność danych skład ników, m a raczej tylko znaczenie teoretyczne. D ostrzeganie takich, w pew nym sen sie specyficznych, cech każdego z rozw ażanych m odeli je st ułatw ione przy w ie lokrotnych konfrontacjach jednego m odelu z drugim . Jest ono przede w szystkim dydaktycznie istotne jak o elem ent konstruow ania tzw. pam ięci m odeli, która w y daje się niezbędna w m yśleniu typu m atem atycznego. Zapew nia mu bow iem nie zbędną elastyczność i możliwość tw órczego funkcjonowania na każdym poziomie.
Ponad tą przem iennością, zw iązaną w św iadom ości u cznia z n atu rą dodaw a nych obiektów, leży przem ienność operacji w sensie ogólnym , o której była m ow a w cześniej. W ydaje się, że w pełnym rozum ieniu praw a przem ienności dodaw ania liczb rzeczywistych, ju ż na poziom ie szkolnym zaaw ansow anym , partycypuje je d na i druga. Tak więc — podsum ujm y ten fragm ent — racjonalne działania dydak tyczne dotyczące w ykorzystania osi liczbow ej m o g ą sprzyjać rozw ojow i m yśli ucznia w dwóch aspektach: ogólnym (co m a źródło m.in. w istnieniu i funkcjono w aniu izom orfizm u m iędzy strukturą zadaną na prostej, a odpow iednią strukturą w zbiorze liczb) i atrybutyw nym (prow adzącym do kom pletow ania standardow ych m odeli, niezbędnych w operatyw nym m yśleniu m atem atycznym ).
W rozw ażaniach m etodycznych postulujących wykorzystywanie osi liczbowej na ogół m ówi się o geom etrycznej interpretacji pojęć i zw iązków liczbow ych na prostej. To jednokierunkow e przejście od liczb do osi je st w pew nym sensie uspra w iedliw ione. Ale trzeba z naciskiem podkreślić, że posługując się osią liczbow ą w nauczaniu, rozw ijam y zarów no pojęcia arytm etyczne, ja k i pojęcie prostej. N ie należy jed n ak w żadnym razie zakładać, że dzieje się to autom atycznie. Poznaw a nie coraz w iększych liczb — przy ich odpowiedniej ekspozycji metodycznej na osi — ułatw i zapew ne w przyszłości zrozum ienie nieograniczoności prostej.
Obcow anie z osią liczbow ąjest też w ażnym elem entem ułatw iającym ucznio wi stopniow e opanow yw anie nieskończoności w zakresie i w form ie dostępnej w szkole. Intuicje dotyczące tego trudnego pojęcia, z którym zm agali się m atem a tycy (filozoficzny punkt w idzenia pozostaw iam y na uboczu) od starożytności, leżą u podstaw kształtow ania w ielu pojęć m atem atycznych z geom etrii i arytm etyki szkolnej. W procesie form ow ania się sam ego pojęcia prostej są obecne zarów no przy rozw ażaniu jej nieograniczoności, ja k i przy dokonyw aniu p e rm a n e n tn e g o podziału, który w ystępuje ju ż w e w czesnych okresach nauki o ułam kach i ich p o rów nyw aniu, a później pojaw ia się z okazji analizy pojęcia gęstości zbioru liczb w ym iernych. Jako przykłady pochodzące z bardziej zaaw ansow anego poziom u m ożna w skazać pojęcie kresu, granicy, ciągłości funkcji itp. Pow odzenie w opa now aniu tych pojęć m a swe źródła m.in. w perspektyw icznych i przem yślanych zabiegach m etodycznych na poziom ie w czesnoszkolnym .
Bibliografia
R. D uda: Z a sa d a p a ra le lizm u w dydaktyce. „D y d ak ty k a M a te m a ty k i” 1 (1982), str. 127-138.
A. G rzegorczyk: Zarys arytm etyki teoretycznej. PW N , W arszawa 1971. J. Konior: Budowa i lektura tekstu m atem atycznego. P odstaw y nauki czy
tania tekstów m atem atycznych w szkole. Prace N aukow e U niw ersytetu Ś ląskie
Jan K o n io r — O ś liczbowa i jej rola w nauczaniu szkolnym m atem atyki 143 J. K o n io r: C zym j e s t p o ję c ie m a tem a tyczn e. P race N au k o w e W SE W w M ysłow icach (zeszyt nr 3): Szkoła po lska u progu nadchodzącego w ieku (red. P. K ow olik), „Im puls” , K raków 1999, str. 163-177.
Z. K rygow ska: O pojęciach pierw otnych w kursie system atyczno-dedukcyj-
nym geom etrii w szkole. Rocznik N aukow o-D ydaktyczny W yższej Szkoły Peda
gogicznej w K rakow ie, nr 1, M atem atyka, str. 115-126.
Z. Opial: A lgebra w yższa. U niw ersytet Jagielloński, K raków 1964.
Z. Sem adeni (red.): N auczanie p o czą tko w e m atem atyki. P odręcznik dla na
