• Nie Znaleziono Wyników

Całkowanie funkcji wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Całkowanie funkcji wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych"

Copied!
14
0
0

Pełen tekst

(1)

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkę postaci

R

sin , cosx x dx

, gdzie R jest funkcją wymierną zmiennych

sin , cos

x

x

możemy zawsze sprowadzić do całki funkcji wymiernej stosując podstawienie (uniwersalne)

tg

x

t

2

Wówczas sin , cos ,x x dx są funkcjami wymiernymi zmiennej t sinx t , cos , t x t t dx dt t        2 1 1 1 2 1 2 2 2 2

(2)

Przypadki szczególne

1. Jeżeli R

sin , cosx x

 R

sin , cosx x

(R jest funkcją nieparzystą wzglę-dem sin x ), podstawiamy: cos x t .

2. Jeżeli R

sin , cosxx

 R

sin , cosx x

(R jest funkcją nieparzystą wzglę-dem

cos x

), podstawiamy: sin xt .

3. Jeżeli

R

sin , cos

x

x

R

sin , cos

x

x

(R jest funkcją nieparzystą względem sin x i cosx jednocześnie), podstawiamy: tg x t .

(3)

Wzory rekurencyjne

J

x dx

n

x

x

n

n

J

n

n

n

n

 

sin

1

cos sin

1

1

2

n N (wzór stosowany zasadniczo dla n parzystych)

J x dx n x J n

tgn tgn  n 1 1 1 2 .

(4)

Całkowanie funkcji wymiernych

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów.

Jeżeli F x G xn

   

, m są wielomianami stopnia n i m, gdzie n m wówczas funkcję

   

F x G x

n

m nazywamy funkcją wymierną właściwą, jeżeli natomiast n m , to

funkcję tę nazywamy funkcją wymierną niewłaściwą.

Funkcję wymierną niewłaściwą przedstawiamy w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:

 

 

 

 

 

F x

G x

H

x

R x

G x

k m

n m n m k m

(5)

Funkcję wymierną właściwą rozkładamy na sumę ułamków prostych, tzn. funkcji wymiernych postaci:

A x a A x B ax bx c n N b ac n n n n n         , , 2 2 4 0 gdzie

(6)

Całkowania ułamków prostych 1.

A

x a

dx

 

A

x a C

 

ln

, 2.

A dx

x a

A

n x a

C

n

n n n n

1

1

1

1

,

(7)

3.

2

Ax

B dx

ax

bx

c

funkcję podcałkową przedstawiamy w postaci

Ax b

ax

bx c

A

ax b

ax

bx c

B

A b

ax

bx c





2

2

2 2

2

2

1

2

2 2 ax b dx ax bx c ax bx c C       

ln dx ax bx c dx a x b a a 2 2 2 2 4                 

stosując podstawienia x b a t  

2 sprowadzamy tę całkę do całki postaci dt

t C

1 2  

arctg t

(8)

4.

A x B dx ax bx c n N n n n n     

2 , , 1

Daną całkę przedstawiamy w postaci sumy całek:

A x B dx ax bx c A ax b dx ax bx c B A b dx ax bx C n n n n n n              

2 2 2 2 2 2

(9)

Całkę pierwszą obliczamy stosując podstawienie ax2 bx c t  , natomiast

drugą całkę sprowadzamy do całki postaci J

dt t nn

1 2 , przez sprowadzenie

funkcji ax2  bx c do postaci kanonicznej (analogicznie jak w p. 3.).

Całkę

J

n możemy obliczyć stosując np. podstawienia trygonometryczne

(10)

Całkowanie funkcji niewymiernych

Poniższe wzory dotyczą funkcji typu R u v

,

co oznacza funkcję wymierną zmiennych u, v. 1.

R x

ax b

cx d

dx

ad bc

n

,





0

Podstawienie (sprowadzamy całkę do całki funkcji wymiernej)

ax b

cx d

t

n

(11)

2.

R x

,

ax

bx c dx

2

Podstawienia Eulera (na ogół nieefektywne, prowadzące do skomplikowanych całek funkcji wymiernych)

ax bx c a x t a xt c c t x x 2 1 0 0 0                , , , 

x

1 – jeden z pierwiastków trójmianu ax2 bx c .

(12)

Przypadki szczególne 3.

 

 

f xf x dx Podstawienie

f x

t

4. dx ax2  bx c

Sprowadzamy trójmian ax2  bx c do postaci kanonicznej i otrzymujemy

całki typu: dt t t C 2 2   

arc sin lub dt t2 k t t k C 2     

ln .

(13)

5.

Ax B dx x ax bx c    

2 Podstawiamy

x

 

t

1

6.Metoda współczynników nieoznaczonych

a x

a

x

a x a dx

ax

bx c

b x

b

x

b x b

ax

bx c

dx

ax

bx c

n n n n n n n n

 

 

 

     

1 1 1 0 2 1 1 2 2 1 0 2 2

...

...

Współczynniki b ii

 0 1, , ..., n 1

,  znajdujemy po zróżniczkowaniu obu

(14)

Podstawienia trygonometryczne 7.

R x a

,

x

dx x a

sin

t

2

2





8.

R x a

,

x

dx x a

t

2

2





tg

9.

t

a

x

dx

a

x

x

R

cos

,

2 2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.. Caªkowanie

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.. Caªkowanie

Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z moŜliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje

Poda¢ przykªad funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola 1.. Poda¢ przykªad równania kwadratowego, którego rozwi¡zaniem s¡ jedynie

Gdybyśmy chcieli znaleźć rozkład, należałoby powyż- szą równość przemnożyć stronami przez wspólny mianownik, powymnażać, a następnie ułożyć i rozwiązać układ 18

[r]

Liczba całkowita n jest większa od

Na wyspach Bergamutach podobno jest kot w butach i podobno zamiast zwy- kłych funkcji trygonometrycznych używają tam funkcji losinus, nosinus oraz sosinus podlegających