Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkę postaci
R
sin , cosx x dx
, gdzie R jest funkcją wymierną zmiennychsin , cos
x
x
możemy zawsze sprowadzić do całki funkcji wymiernej stosując podstawienie (uniwersalne)tg
x
t
2
Wówczas sin , cos ,x x dx są funkcjami wymiernymi zmiennej t sinx t , cos , t x t t dx dt t 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2
Przypadki szczególne
1. Jeżeli R
sin , cosx x
R
sin , cosx x
(R jest funkcją nieparzystą wzglę-dem sin x ), podstawiamy: cos x t .2. Jeżeli R
sin , cosx x
R
sin , cosx x
(R jest funkcją nieparzystą wzglę-demcos x
), podstawiamy: sin x t .3. Jeżeli
R
sin , cos
x
x
R
sin , cos
x
x
(R jest funkcją nieparzystą względem sin x i cosx jednocześnie), podstawiamy: tg x t .Wzory rekurencyjne
J
x dx
n
x
x
n
n
J
n
n
n
n
sin
1
cos sin
11
2n N (wzór stosowany zasadniczo dla n parzystych)
J x dx n x J n
tgn tgn n 1 1 1 2 .Całkowanie funkcji wymiernych
Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów.
Jeżeli F x G xn
, m są wielomianami stopnia n i m, gdzie n m wówczas funkcję
F x G x
n
m nazywamy funkcją wymierną właściwą, jeżeli natomiast n m , to
funkcję tę nazywamy funkcją wymierną niewłaściwą.
Funkcję wymierną niewłaściwą przedstawiamy w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:
F x
G x
H
x
R x
G x
k m
n m n m k m
Funkcję wymierną właściwą rozkładamy na sumę ułamków prostych, tzn. funkcji wymiernych postaci:
A x a A x B ax bx c n N b ac n n n n n , , 2 2 4 0 gdzieCałkowania ułamków prostych 1.
A
x a
dx
A
x a C
ln
, 2.
A dx
x a
A
n x a
C
n
n n n n
1
1
1
1,
3.
2
Ax
B dx
ax
bx
c
funkcję podcałkową przedstawiamy w postaciAx b
ax
bx c
A
ax b
ax
bx c
B
A b
ax
bx c
22
2 22
2
1
2
2 2 ax b dx ax bx c ax bx c C
ln dx ax bx c dx a x b a a 2 2 2 2 4
stosując podstawienia x b a t 2 sprowadzamy tę całkę do całki postaci dt
t C
1 2
arctg t4.
A x B dx ax bx c n N n n n n
2 , , 1Daną całkę przedstawiamy w postaci sumy całek:
A x B dx ax bx c A ax b dx ax bx c B A b dx ax bx C n n n n n n
2 2 2 2 2 2Całkę pierwszą obliczamy stosując podstawienie ax2 bx c t , natomiast
drugą całkę sprowadzamy do całki postaci J
dt t n n
1 2 , przez sprowadzeniefunkcji ax2 bx c do postaci kanonicznej (analogicznie jak w p. 3.).
Całkę
J
n możemy obliczyć stosując np. podstawienia trygonometryczneCałkowanie funkcji niewymiernych
Poniższe wzory dotyczą funkcji typu R u v
,
co oznacza funkcję wymierną zmiennych u, v. 1.R x
ax b
cx d
dx
ad bc
n,
0
Podstawienie (sprowadzamy całkę do całki funkcji wymiernej)
ax b
cx d
t
n
2.
R x
,
ax
bx c dx
2
Podstawienia Eulera (na ogół nieefektywne, prowadzące do skomplikowanych całek funkcji wymiernych)
ax bx c a x t a xt c c t x x 2 1 0 0 0 , , , x
1 – jeden z pierwiastków trójmianu ax2 bx c .Przypadki szczególne 3.
f xf x dx Podstawienief x
t
4. dx ax2 bx c
Sprowadzamy trójmian ax2 bx c do postaci kanonicznej i otrzymujemy
całki typu: dt t t C 2 2
arc sin lub dt t2 k t t k C 2
ln .5.
Ax B dx x ax bx c
2 Podstawiamyx
t
1
6.Metoda współczynników nieoznaczonych
a x
a
x
a x a dx
ax
bx c
b x
b
x
b x b
ax
bx c
dx
ax
bx c
n n n n n n n n
1 1 1 0 2 1 1 2 2 1 0 2 2...
...
Współczynniki b ii
0 1, , ..., n 1
, znajdujemy po zróżniczkowaniu obuPodstawienia trygonometryczne 7.