Wpływ banku na zmiany kumulatywne w sferze konsumpcji

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 780. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2008. Beata Ciałowicz Katedra Matematyki. Wpływ banku na zmiany kumulatywne w sferze konsumpcji 1. Wprowadzenie W teorii rozwoju gospodarczego J. Schumpetera [1960] punktem wyjścia badań jest gospodarka statyczna w stanie równowagi (ruch okrężny życia gospodarczego modelowany przez rozszerzenie kumulatywne). Odmienną sytuację stanowi rozwój gospodarczy, czyli zmiana o charakterze nieciągłym, co oznacza wytrącenie gospodarki ze stanu równowagi statycznej, niewykazujące przy tym tendencji powrotu do stanu wyjściowego. Główną przyczyną rozwoju gospodarczego są innowacje, czyli nowe kombinacje produkcyjne i handlowe [Schumpeter 1960]. Pojawienie się innowacji powoduje zakłócenie równowagi, co zmusza przedsiębiorców do zmiany (rozszerzenia) swej działalności poprzez wprowadzenie nowych technologii, produkowanie nowych towarów itp. Realizacja przedsięwzięcia innowacyjnego wymaga posiadania przez przedsiębiorców niezbędnych do tego środków finansowych, które nie istniały w stanie statycznym, ponieważ stan równowagi oznacza pełne wykorzystanie czynników produkcji, czyli zerowy zysk. Zatem innowacje mogą być realizowane tylko poprzez kredyt udzielany przez bank [Kruś 2003]. Rola banków polega więc na pośrednictwie pomiędzy producentami, którzy chcą zrealizować nowe kombinacje czynników produkcji, a resztą uczestników rynku. Banki odgrywają rolę łącznika pomiędzy sferą produkcji a sferą konsumpcji, kreując i dostarczając przedsiębiorcom nową siłę nabywczą w postaci kredytu powstałego z oszczędności konsumentów. Oznacza to potrzebę wprowadzenia pieniądza do modelu ekonomii z własnością prywatną, jako specyficznego towaru, który może przyczynić się do lepszego zaspokojenia potrzeb konsumentów lub osiągnięcia większego dochodu producenta..

(2) Beata Ciałowicz. 16. Jednocześnie działalność banków oraz zmiany innowacyjne w sferze produkcji wpływają na zmiany w sferze konsumpcji. Wynika to z założenia, że konsumenci mają swoje udziały zarówno w zyskach producentów, jak i w zyskach banków, więc przy rozszerzeniu innowacyjnym systemu produkcji lub zmianach kumulatywnych w sferze finansowej ulegną zmianie ich ograniczenia budżetowe. Ponadto pojawienie się na rynku nowych towarów powoduje zmiany w preferencjach konsumentów, którzy muszą dostosować się do nowej sytuacji na rynku. Zmiany w preferencjach i zbiorach budżetowych mogą prowadzić do lepszego zaspokojenia ich potrzeb. Zauważmy też, że zmiany zachodzące w sferze konsumpcji mogą mieć charakter kumulatywny. Zgodnie z powyższymi uwagami celem przedstawionej pracy jest analiza związku ujmującego wpływ działalności banków oraz zmian innowacyjnych w sferze produkcji na zmiany kumulatywne w sferze konsumpcji. Nasze rozważania ograniczymy do technologicznego rozszerzenia innowacyjnego, w którym nie zmienia się wymiar przestrzeni towarów ani zbiór podmiotów gospodarczych. W tym celu najpierw przypomniana zostanie konstrukcja modelu systemu ekonomicznego z pieniądzem jako połączenia systemu produkcji z kredytem, systemu konsumpcji z oszczędnościami oraz systemu finansowego. W dalszej części zdefiniowane zostanie pojęcie słabego technologicznego rozszerzenia innowacyjnego danego modelu oraz rozszerzenia kumulatywnego sfery konsumpcji i sfery finansowej. Na koniec przedstawiony zostanie, w postaci odpowiedniego twierdzenia, wpływ zmian innowacyjnych w sferze produkcji i zmian kumulatywnych w sferze finansowej na rozszerzenie kumulatywne sfery konsumpcji. 2. Konstrukcja modelu systemu ekonomicznego z pieniądzem Rozważmy formalny model systemu produkcji z kredytem [Ciałowicz 1998] jako dwuzakresowy system relacyjny postaci: Pk = (B, ℜℓ+1, ChPk),. gdzie ChPk = (y, p, η, π, c) oznacza charakterystykę systemu Pk, przy czym: – B – skończony zbiór producentów B = {j: j = 1, …, n}, – ℜℓ+1 – przestrzeń towarów, – y ⊂ B × P (ℜℓ+1) – korespondencja zbiorów produkcyjnych, która każdemu j-temu producentowi, dla j ∈ B przypisuje zbiór produkcji Yj reprezentujący możliwą dla niego technologię wytwarzania. Każdy element yj ∈ Yj tego zbioru jest ℓ+1-wymiarowym wektorem, którego ostatnia współrzędna oznacza wysokość kredytu zaciągniętego przez danego producenta,.

(3) Wpływ banku na zmiany kumulatywne…. 17. – p ∈ ℜℓ+1 – wektor cen, przy czym ostatnia współrzędna wynosi pℓ+1 = 1 + rk, gdzie rk jest oprocentowaniem kredytu (zakładamy, że wszystkie kredyty są równo oprocentowane), – η ⊂ B × P (ℜℓ+1) – korespondencja podaży, która każdemu producentowi przypisuje zbiór planów produkcji maksymalizujących jego zysk przy systemie cen p, tzn. dla każdego j = 1, …, n: η (j) := η j (p) := {y’j ∈ Yj: py’j = max py j}, yj ∈Yj. – π ⊂ B × ℜ – funkcja zysku mierząca wartość zysku maksymalnego, tzn. dla każdego j = 1, …, n π (j) := π j(p) := max py j, yj ∈Yj. – c: B → ℜ– – funkcja kredytu, która każdemu j-temu producentowi przypisuje kredyt cj ≤ 0 (zgodnie z optyką producentów, dla których kredyt traktowany jest jako wejście). W tak opisanym systemie producenci działający na ℓ+1-wymiarowej przestrzeni towarów starają się, by przy danym systemie cen p zoptymalizować swoje działanie tak, aby osiągnąć maksymalne zyski. Drugą grupę podmiotów gospodarczych w omawianym modelu gospodarki stanowią konsumenci. Rozważmy więc formalny model systemu konsumpcji z oszczędnościami [Ciałowicz 1998] jako trzyzakresowy system relacyjny postaci: PKo), Ko = (A, ℜℓ+1, P , Ch. gdzie ChKo = (x, e, ε, p, β, φ, s) oznacza charakterystykę systemu Ko, przy czym: – A = {i: i = 1, …, m} – skończony zbiór konsumentów, – P ⊂ PP(ℜ2(ℓ+1)) – rodzina wszystkich relacji preferencji ¥i ⊂ ℜ2(ℓ+1) określonych na przestrzeni towarów, – x ⊂ A × P(ℜℓ+1) – korespondencja zbiorów konsumpcji, która każdemu i-temu konsumentowi przypisuje zbiór konsumpcji Xi ⊂ ℜℓ+1, reprezentujący możliwe dla niego plany konsumpcyjne. Korespondencja ta informuje o planach konsumpcyjnych możliwych do realizacji dla każdego z konsumentów, – e ⊂ A × ℜℓ+1 – odwzorowanie zasobu początkowego, które każdemu i-temu konsumentowi dla i = 1, 2, …, m przypisuje pewien początkowy zasób towarów ei ∈ Xi, – ε ⊂ A × P(ℜ2(ℓ+1)) – korespondencja, która każdemu i-temu konsumentowi P dla i = 1, 2, …, m przypisuje relację preferencji ¥i ∈ P (zawężoną do zbioru konsumpcji Xi), – p ∈ ℜℓ+1 – wektor cen, przy czym ostatnia współrzędna wynosi pℓ+1 = ro, gdzie ro jest oprocentowaniem oszczędności, – β ⊂ A × P(ℜℓ+1) – korespondencja zbiorów budżetowych, która każdemu konsumentowi i ∈ A przyporządkowuje zbiór jego ograniczeń budżetowych βi ⊂ Xi przy systemie cen p i zasobie początkowym ei ,.

(4) Beata Ciałowicz. 18. – φ ⊂ A × P(ℜℓ+1) – korespondencja popytu, która każdemu i-temu konsumentowi dla i ∈ A przypisuje plany konsumpcji maksymalizujące jego preferencje na zbiorze budżetowym, – s: A → ℜ+ – funkcja oszczędności, która każdemu i-temu konsumentowi przypisuje oszczędności si ≥ 0 (zgodnie z optyką konsumentów, dla których oszczędności traktowane są jako wejście). Głównym celem konsumenta jest maksymalizacja jego preferencji na zbiorze ograniczeń budżetowych. Oznacza to, że przy danym systemie cen oraz danym zasobie początkowym konsument wybiera plan konsumpcyjny maksymalizujący jego preferencje na zbiorze jego ograniczeń budżetowych. Logiczną konsekwencją wprowadzenia pieniądza jako dodatkowego towaru w sferze produkcji i konsumpcji jest konieczność dołączenia sfery bankowej, pośredniczącej w systemie ekonomicznym pomiędzy systemami produkcji i konsumpcji. Jako ostatni element naszego modelu rozważmy więc formalny model systemu finansowego [Ciałowicz 1998] w postaci dwuzakresowego systemu relacyjnego: F = (M, ℜℓ+1, ChF),. gdzie ChF = (f, p, γ, ζ) oznacza charakterystykę systemu F, przy czym: – M = {r: r = 1, …, k} – skończony zbiór banków, – f ⊂ M × P(ℜℓ+1) – korespondencja zbiorów finansowych, która każdemu bankowi r = 1, …, k przypisuje zbiór możliwych dla niego planów finansowych Fr ⊂ ℜℓ+1. Każdy plan finansowy f r ∈ Fr banku ma postać: f r = (0, …, 0, –cr – sr), przy czym cr = ∑ i =1 crj jest sumą kredytów udzielonych przez bank r-ty wszystkim producenn. tom (crj oznacza wysokość kredytu udzielonego przez bank r producentowi j-temu) oraz sr = ∑ i =1 sir jest sumą oszczędności złożonych w banku r przez wszystkich m. konsumentów (sir oznacza wielkość oszczędności konsumenta i-tego powierzoną bankowi r-temu), – p ∈ ℜℓ+1 – system cen, przy czym ostatnia współrzędna wektora cen będzie określała różnicę w oprocentowaniu kredytów i oszczędności pℓ+1= rk – ro, gdzie rk oznacza oprocentowanie kredytów, ro – oprocentowanie oszczędności, – γ ⊂ M × P(ℜℓ+1) – korespondencja optymalnych planów finansowych (korespondencja podaży), która każdemu bankowi r = 1,…, k przypisuje zbiór planów finansowych maksymalizujących jego zysk przy danej stopie procentowej, przy czym zysk r-tego banku realizującego plan finansowy f r przy systemie cen p wyraża formuła: z(p, f r) := rk(–∑ i =1 crj) – ro(∑ i =1 sir) będąca wartością realną nadwyżki n. m. kredytów nad oszczędnościami, tzn. γ(r) = γr(p) := {f r’ ∈ Fr: z(p, f r’) = max z(p, f r)} dla każdego r ∈ M,. fr ∈ Fr.

(5) Wpływ banku na zmiany kumulatywne…. 19. – ζ: M → ℜ – funkcja zysku mierząca wartość zysku maksymalnego, tzn. ζ(r) = ζr(p) := max z(p, f r). fr ∈ Fr. W podanym modelu systemu finansowego działalność banku polega na tym, że przy danym wektorze cen wybiera on plan maksymalizujący jego zysk na zbiorze planów finansowych dopuszczalnych dla niego, podobnie jak to robią producenci. Niech dany będzie model systemu ekonomicznego z własnością prywatną z pieniądzem [Ciałowicz 1998] jako połączenie sfery konsumpcji i sfery produkcji ze sferą pieniężną (bankową) w postaci: Em = (Pk, Ko, F, c , s, Θ, λ, ϖ),. gdzie: – Pk – system produkcji z kredytem, – Ko – system konsumpcji z oszczędnościami, – F – system finansowy, – c: M × B → ℜ– – rozszerzona funkcja kredytu, przy czym niedodatnia liczba crj = c(r, j) oznacza wysokość kredytu udzielonego przez bank r producentowi j (jak wyżej), – s: A × M → ℜ+ – rozszerzona funkcja oszczędności, przy czym nieujemna liczba sir = s(i, r) oznacza wielkość oszczędności konsumenta i powierzoną bankowi r, – Θ: (A × B) → [0, 1] – funkcja opisująca udziały konsumentów w zyskach producentów, przy czym Θ (i, j) := Θij jest udziałem i-tego konsumenta w zyskach j-tego producenta. Dla danego i-tego konsumenta liczby Θi1, …, Θij, …, Θin oznaczają, jaką część zysku każdego producenta on otrzymuje, przy czym Θij ≥ 0 oraz. ∑ i =1Θij = 1 dla każdego j = 1, 2, …, n, m. – λ: (A × M) → [0, 1] – funkcja opisująca udziały konsumentów w zyskach banków, przy czym λ(i, r) = λir oznacza wielkość udziału i-tego konsumenta w zym skach r-tego banku oraz ∑ i =1 λ ir = 1 dla każdego r = 1, …, k,. – ϖ ∈ ℜℓ+1 – zasób całkowity ekonomii, czyli ilość towarów danych a priori, dostępnych dla każdego podmiotu ekonomicznego. Jest to cały kapitał ekonomii istniejący w chwili obecnej. Z zasobu całkowitego każdy i-ty konsument otrzym muje wielkość ϖi ∈ ℜℓ+1, przy czym ϖ = ∑ i =1ϖi. Punkt ϖi = ei opisuje dane ilości towarów, które są do dyspozycji i-tego konsumenta, oraz te, które on udostępnia przez swoją działalność. Model Em będziemy dalej nazywać systemem ekonomicznym (Debreu) z własnością prywatną z pieniądzem lub krócej: systemem ekonomicznym z pieniądzem. W tak skonstruowanym systemie działalność każdego z podmiotów gospodarczych polega na wyborze i realizacji planu dla niego optymalnego przy danym systemie cen. Oprócz swych standardowych działań w sferze realnej przy danym.

(6) Beata Ciałowicz. 20. systemie cen, a więc danej stopie procentowej, konsumenci najpierw decydują, jaką część swojego zasobu przeznaczyć na oszczędności tak, by uzyskać optymalny dla siebie koszyk towarów (względem relacji preferencji) w zbiorze możliwych planów konsumpcyjnych. Z kolei producenci, chcąc osiągnąć jak największy zysk, pobierają pewien kredyt, co pozwala im na rozszerzenie w tym celu zbioru możliwych planów produkcyjnych. Bank natomiast optymalizuje swoje postępowanie, wybierając plan finansowy maksymalizujący jego zysk. Działania takie wyznaczają stan ogólnej równowagi konkurencyjnej w ekonomii z własnością prywatną z pieniądzem. 3. Rozszerzenie innowacyjne systemu ekonomicznego z pieniądzem Zgodnie z teorią Schumpetera głównym czynnikiem ekonomicznych zmian są nowe kombinacje czynników produkcji. Pojęcie kombinacji, określanych mianem innowacji, jest tutaj bardzo szeroko rozumiane. Zmiany innowacyjne mogą polegać na [Schumpeter 1960]: 1) wytworzeniu nowego towaru lub wprowadzeniu na rynek towaru o nowych właściwościach, 2) wykorzystaniu nowej metody produkcyjnej, 3) znalezieniu nowego rynku zbytu dla istniejących już towarów, 4) zdobyciu nowych źródeł surowców, 5) wprowadzeniu nowej gospodarczej organizacji produkcji, czyli pojawieniu się na rynku nowego uczestnika – producenta. Biorąc pod uwagę różne przypadki pojawiania się nowych kombinacji różnych materialnych składników i produkcyjnej siły człowieka, można wyróżnić odpowiednie rodzaje innowacyjności ze względu na zmiany występujące w charakterystyce danego modelu ekonomicznego. Nasze rozważania zacznijmy od przytoczenia definicji rozszerzenia innowacyjnego systemu produkcji (bez kredytu), czyniąc ją punktem wyjścia dalszych szczegółowych analiz. Definicja 1 [Malawski 1999]. System produkcji P’ = (B’, ℜℓ’, y’, p’, η’, π’) nazwiemy silnym rozszerzeniem innowacyjnym w skali mikro systemu P = (B, ℜℓ, y, p, η, π), symbolicznie P ⊂i P’, jeśli zachodzą następujące warunki: 1) l < l’ 2) ∃j’ ∈ B’ ∀j ∈ B (2.1) proj Y’j’ / ℜℓ ⊄ Yj (2.2) proj p’ / ℜℓ = p (2.3) proj η’j’(p’) / ℜℓ ⊄ η j(p) (2.4) πj(p) < π’j’(p’)..

(7) Wpływ banku na zmiany kumulatywne…. 21. Warunek (1) podanej definicji oznacza, że na rynku pojawił się nowy towar, tj. towar, z którym uczestnicy rynku nie są jeszcze obeznani, lub nowy gatunek jakiegoś towaru. Jednocześnie nie wiadomo, czy jest on produkowany przez całkowicie nowego producenta, czy przez firmę już istniejącą. Punkt (2) mówi nam o zmianach w zbiorze producentów, wśród których pojawił się pewien wyróżniony producent j’, którego wolno nazwać innowatorem. Producent ten ma możliwość zrealizowania planu produkcyjnego nieosiągalnego dla innych producentów nie tylko ze względu na pojawienie się nowego towaru, ale również z uwagi na produkcję towarów już istniejących. Z warunku (2.1) wynika, że istnieje taki j’ ∈ B’ (innowator), że dla każdego j ∈ B proj Y’j’/ ℜℓ ⊄ Yj. Stąd istnieje taki y’j’ ∈ Y’j’ , że proj y’j’/ℜℓ ∉ Yj. Takie wyróżnione plany y’j’ nazwiemy innowacyjnymi planami produkcji. Zgodnie z powyższą definicją innowacyjne plany produkcyjne wykraczają poza możliwości technologiczne pozostałych producentów, a osiągany przez innowatora maksymalny zysk jest większy od maksymalnych zysków innych uczestników rynku. Zakładamy przy tym, że ceny produktów już istniejących nie zmieniają się, natomiast system cen powiększa się o dodatkowe współrzędne dotyczące nowych towarów (punkt 2.2). Biorąc pod uwagę, że w naszym modelu może działać kilku innowatorów, oznaczmy przez Bˆ zbiór wszystkich producentów, dla których innowacyjne plany produkcji są technologicznie możliwe. W przedstawionej powyżej definicji przymiotnik „silny” dotyczy zmiany w wymiarze przestrzeni towarów, natomiast skala mikro informuje nas o zasięgu innowacji, która w tym przypadku nie dotyczy całościowo modelu, a tylko poszczególnych producentów. Jak widać, przytoczona definicja jest częściowo niedookreślona, stąd można wyróżnić inne rodzaje innowacji ze względu na szczególne zmiany w charakterystyce modelu wyjściowego. Nasze rozważania ograniczymy do słabego technologicznego rozszerzenia innowacyjnego, w którym nie zmienia się zbiór producentów oraz wymiar przestrzeni towarów. Definicja 2 [Ciałowicz 2003]. System produkcji P’ = (B’, ℜℓ’, y’, p’, η’, π’) nazwiemy słabym technologicznym rozszerzeniem innowacyjnym w skali mikro systemu P = (B, ℜℓ, y, p, η, π), symbolicznie P ⊂ it P’, jeśli spełnione są warunki silnego rozszerzenia innowacyjnego w skali mikro i dodatkowo B’= B oraz ℓ’ = ℓ. Powyższa definicja oznacza, że w technologicznym rozszerzeniu innowacyjnym innowatorzy to producenci, którzy działali w modelu wyjściowym, ale dzięki wprowadzeniu nowych kombinacji środków produkcji stały się dla nich osiągalne nowe plany produkcyjne. Na podstawie przytoczonych definicji możemy wprowadzić pojecie słabego technologicznego rozszerzenia innowacyjnego w systemie produkcji powiększonym o kredyt..

(8) Beata Ciałowicz. 22. Definicja 3. System produkcji z kredytem Pk’ = (B, ℜℓ, Ch’Pk’) nazwiemy słabym technologicznym rozszerzeniem innowacyjnym w skali mikro systemu Pk = = (B, ℜℓ, ChPk), symbolicznie Pk ⊂it Pk’, jeśli zachodzą następujące warunki: 1) ∃j’ ∈ Bˆ ∀j ∈ B (1.1) Y’j’ ⊄ Yj (1.2) p’ = p (1.3) η’j’ (p’) ⊄ η j(p) (1.4) πj(p) < π’j’(p’). 2). ∑ cj. j ∈B. <. ∑ c’j’ .. j ∈B. Zgodnie z powyższą definicją technologiczne rozszerzenie innowacyjne systemu produkcji z kredytem zwiększa możliwości kredytowe systemu. Kolejnym krokiem jest określenie pojęcia technologicznego rozszerzenia innowacyjnego dla modelu ekonomii z pieniądzem. Biorąc pod uwagę zmiany zachodzące przy rozszerzeniu innowacyjnym sfery produkcji z kredytem, zauważmy, że nie wszystkie zmiany w sferze finansowej są ich pochodną. Stąd definiując rozszerzenie innowacyjne systemu ekonomicznego z pieniądzem, należy przyjąć dodatkowe założenia dotyczące sumy oszczędności funkcjonujących na rynku tak, by zachodzące zmiany były korzystne dla ogólnej kondycji banków. Przyjmujemy zarazem, że bankierzy nie są innowatorami, więc nie określamy wewnętrznych zmian systemu finansowego. Niech dane będą dwa systemy ekonomiczne z pieniądzem: gdzie: Pk = (B, ℜℓ+1, ChPk), Ko = (A, ℜℓ+1, P, ChKo), F = (M, ℜℓ+1, ChF). Em = (Pk, Ko, F, c, s, Θ, λ, ϖ),. oraz. E’m = (Pk’, Ko’, F’, c’, s’, Θ’, λ’, ϖ’), gdzie: Pk’ = (B, ℜℓ+1, ChPk’), PKo’), Ko’ = (A, ℜℓ+1, P , Ch ℓ+1 F’ = (M, ℜ , ChF’).. Definicja 4. System ekonomiczny z pieniądzem E’m nazywamy słabym technologicznym rozszerzeniem innowacyjnym w skali mikro systemu Em (symbolicznie Em ⊂it Em’), jeśli zachodzą następujące warunki:.

(9) Wpływ banku na zmiany kumulatywne…. 23. 1) Pk ⊂it Pk’ 2) ϖ ≤ ϖ’ k. k’. r =1. r ’= 1. 3) ∑ sr < ∑ sr’ . Zgodnie z powyższą definicją technologiczne rozszerzenie innowacyjne systemu ekonomicznego z pieniądzem jest związane ze zmianami innowacyjnymi w sferze produkcji. Jednocześnie zwiększają się możliwości kredytowe i oszczędnościowe uczestników rynku, co oznacza zmiany w sferze finansowej. 4. Związek technologicznego rozszerzenia innowacyjnego z rozszerzeniem kumulatywnym Zauważmy, że zmiany innowacyjne bez względu na ich rodzaj powodują poprawę efektywności ekonomicznej danego systemu ekonomicznego. Jednocześnie w pewnych przypadkach rozszerzenie innowacyjne będzie miało wpływ na rozszerzenie kumulatywne. Aby lepiej to wyjaśnić, zacznijmy od określenia definicji słabego rozszerzenia kumulatywnego. Pojęciem tym będziemy nazywać rozszerzenie zdefiniowane w następujący sposób dla systemu produkcji, poprzez rozszerzenie jego charakterystyki: Definicja 5. [Malawski 1999]. System produkcji P’ = (B’, ℜℓ, y’, p’, η’, π’) nazwiemy rozszerzeniem kumulatywnym systemu P = (B, ℜℓ, y, p, η, π), symbolicznie P ⊂c P’, jeśli zachodzą następujące warunki: 1) p ≤ p’ 2) ∀j ∈ B (2.1) Yj ⊂ Y’j (2.2) ηj(p) ⊂ η’j(p’) (2.3) πj(p) ≤ π’j(p’). W tak opisanym rozszerzeniu nie zmienia się wymiar przestrzeni towarów, jak również zbiór działających producentów, może natomiast ulec zmianie efektywność ekonomiczna danego systemu produkcji mierzona m.in. wielkością zysku maksymalnego. Warunek (2.1) definicji 5 oznacza, że dla każdego producenta mogą być osiągalne nowe plany produkcyjne i jednocześnie nadal są osiągalne plany możliwe do realizacji w modelu wcześniejszym, czyli nie zmniejszyły się jego możliwości technologiczne. Warunek (2.2) mówi o tym, że zbiory planów produkcji maksymalizujących zysk mogą się rozszerzyć. Kolejny warunek (2.3) określa możliwość osiągania wyższego zysku maksymalnego przez każdego z producentów. Zakładając przy tym, że ceny nie zmniejszyły się (warunek 1), możemy.

(10) Beata Ciałowicz. 24. rozszerzenie kumulatywne interpretować jako naturalny kierunek rozwoju systemu produkcji, jakkolwiek pozbawiony istotnych atrybutów innowacyjności. Na podstawie powyższej definicji możemy zdefiniować rozszerzenie kumulatywne systemu produkcji poszerzonego o kredyt. Definicja 6. System produkcji z kredytem Pk’ = (B’, ℜℓ+1, Ch’Pk’) nazwiemy rozszerzeniem kumulatywnym systemu Pk = (B, ℜℓ+1, ChPk), symbolicznie Pk ⊂c Pk’, jeśli zachodzą następujące warunki: 1) p ≤ p’ 2) ∀j ∈ B (2.1) Yj ⊂ Y’j (2.2) η j(p) ⊂ η’j(p’) (2.3) πj(p) ≤ π’j(p’) (2.4) cj = c’j .. W tak opisanym rozszerzeniu kumulatywnym wysokość kredytu zaciągniętego przez każdego producenta nie zmienia się. Zauważmy, że zmiany innowacyjne w systemie produkcji z kredytem mogą dotyczyć tylko części producentów (innowatorów), możliwe jest więc jednoczesne zachodzenie zmian kumulatywnych dla przedsiębiorców niebędących innowatorami. Definicja 7. Technologiczne rozszerzenie innowacyjne systemu produkcji z kredytem zachowuje silne rozszerzenie kumulatywne w zbiorze producentów B / Bˆ (w zbiorze producentów niebędących innowatorami), jeśli: 1) Pk ⊂it Pk’ 2) Pˆ k ⊂c Pˆ k’,. gdzie:. ˆ ℜℓ+1, Ch ˆ ), Pˆ k (B / B, Pk ℓ+1 Ch ˆ ˆ P k’ = (B / B, ℜ , Pk ˆ ).. Analogicznie jak dla systemu produkcji definiujemy rozszerzenie kumulatywne dla systemu konsumpcji. Definicja 8 [Malawski 1999]. System konsumpcji K’ = (A, ℜℓ, P , x’,Pe’, ε’, p’, β’, ϕ’) jest rozszerzeniem kumulatywnym systemu K = (A, ℜℓ, P , x,Pe, ε, p, β, ϕ), symbolicznie K ⊆c K’, jeśli: 1) p ≤ p’ 2) ∀i ∈ A (2.1) Xi ⊂ X’i .

(11) Wpływ banku na zmiany kumulatywne…. 25. (2.2) ei ≤ e’i (2.3) εi ⊂ ε’i ⇔ ¥ ’i | Xi2 = ¥i (2.4) βi (p, ei) ⊂ β’i (p’, e’i) (2.5) ϕi(εi, p, ei) ⊂ ϕ’i(ε’i, p’, e’i) ⇔ ∀ x*i ∈ ϕi(εi, p, ei) ∀ xi*’ ∈ ϕ’i (ε’i,p’, e’i) xi* ¥ i xi*’.. Wykorzystując powyższą definicję, możemy następnie zdefiniować rozszerzenie kumulatywne systemu konsumpcji z oszczędnościami. Definicja 9. System konsumpcji z oszczednościami Ko’ = (A, ℜℓ+1, P , x’,Pe’, ε’, p’, β’, ϕ’, s’) jest rozszerzeniem kumulatywnym systemu Ko = (A, ℜℓ+1, P , x,Pe, ε, p, β, ϕ, s), symbolicznie Ko ⊆c Ko’, jeśli: 1) p ≤ p’ 2) ∀i ∈ A (2.1) Xi ⊂ X’i (2.2) ei ≤ e’i (2.3) εi ⊂ ε’i ⇔ ¥ ’i | Xi2 = ¥i (2.4) βi (p, ei) ⊂ β’i (p’, e’i) (2.5) ϕi(εi, p, ei) ⊂ ϕ’i(ε’i, p’, e’i) (2.6) si = s’i .. Zgodnie z powyższą definicją rozszerzenie kumulatywne sfery konsumpcji nie zmienia oszczędności konsumentów. Analogicznie jak dla systemu produkcji możemy też zdefiniować rozszerzenie kumulatywne systemu finansowego. Definicja 10. System finansowy F’ = (M, ℜℓ+1, f’, p’, γ’, ζ’) jest rozszerzeniem kumulatywnym systemu F = (M, ℜℓ+1, f, p, γ, ζ), symbolicznie F ⊂c F’, jeżeli: 1) p ≤ p’ 2) ∀r ∈ M (2.1) Fr ⊂ F’r (2.2) γr(p) ⊂ γr’(p’) (2.3) ζr(p) ≤ ζ’r (p’).. Zauważmy, że relacja słabego rozszerzenia kumulatywnego jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, czyli jest relacją częściowego porządku. Przedstawione powyżej definicje pozwalają na podanie twierdzenia ujmującego związek pomiędzy technologicznymi zmianami innowacyjnymi w sferze produkcji, zmianami kumulatywnymi w sferze finansowej oraz zmianami kumulatywnymi w sferze konsumpcji..

(12) Beata Ciałowicz. 26. Twierdzenie 1. Niech dane będą systemy ekonomiczne z pieniądzem E m = = (Pk, Ko, F, c, s, Θ, λ, ϖ) i E’m = (Pk’, Ko’, F’, c’, s’, Θ’, λ’, ϖ’), takie że Em ⊂it Em’ (definicja 4). Jeżeli rozszerzenie innowacyjne systemu produkcji z kredytem (Pk ⊂it Pk’) zachowuje rozszerzenie kumulatywne w zbiorze B / Bˆ (definicja 7), a także: 1) F ⊆c F’ (definicja 10) 2) θ = θ’ 3) λ = λ’ 4) ∀i ∈ A (4.1) Xi ⊂ X’i (4. 2) ei ≤ ei’ (4.3) εi ⊂ εi ’ ⇔ ¥ ’i | Xi2 = ¥i (4.4) si ≤ si’. wtedy Ko ⊆c Ko’ (nastąpi rozszerzenie kumulatywne sfery konsumpcji z oszczędnościami – definicja 9). Dowód. Dla dowodu tego twierdzenia wystarczy wykazać, że: ∀i ∈ A 1) βi(p, ei) ⊂ βi’(p’, ei) (punkt 2.4 definicji 9). 2) ϕi(εi, p, ei) ⊂ ϕ’i (ε’i, p’, e’i) ⇔ ∀xi* ∈ ϕi(εi, p, ei) ∀xi*’∈ ϕ’i (ε’i,p’,e’i) xi* ¥ i xi*’ (punkt 2.5 definicji 9). Ad 1. βi(p, ei) = {xi ∈ Xi: pxi ≤ wi = pei + ∑ θij πj(p) +. j ∈B. ∑ λir ζr(p)}. r∈ M. βi’(p’, ei’) = {x’i ∈ Xi’: p’xi’ ≤ wi’ = p’ei’ + ∑ θij π’j(p’) + j ∈B. ∑ λir ζ’r(p’)}.. r∈ M. Z założenia (4.2) oraz warunku (1) definicji 10 mamy, że dla każdego i ∈ A:. pei ≤ p’ei’.. (1). Jednocześnie z warunku (1.4) definicji 3 dla każdego j’∈ Bˆ (innowatora) i dla każdego j ∈ B πj(p) < π’j’(p’) ⇒ ∀j’∈ Bˆ πj’(p) < π’j’(p’), a także z warunku (2.3) definicji 9 ∀j ∈ B / Bˆ πj(p) ≤ π’j(p’) mamy, że dla każdego producenta j ∈ B πj(p) ≤ π’j(p’). Jeśli dodatkowo uwzględnimy założenie (2) mówiące, że dla dowolnych i ∈ A, j ∈ B θij = const, otrzymujemy: dla każdego i ∈ A oraz dla każdego j ∈ B. Θij πj(p) ≤ Θij π’j(p’).. (2). Analogicznie, biorąc pod uwagę, że dla dla dowolnych i ∈ A, r ∈ M λir = const (założenie 3) oraz z warunku (2.3) definicji 10 otrzymujemy:.

(13) Wpływ banku na zmiany kumulatywne…. 27. dla każdego i ∈ A oraz dla każdego r ∈ M. λir ζr(p) ≤ λir ζr’(p’).. (3). Z wzorów (1), (2) i (3) wynika, że:. wi = pei + ∑ θij πj(p) + j ∈B. ∑ λir ζr(p) ≤ wi’ = p’ei’+ ∑ θij π’j(p’) + ∑ λir ζr’(p’). . r∈ M. j ∈B. r∈ M. (4). Oznacza to, że dla każdego i = 1, …, m zgodnie z określeniem zbioru budżetowego xi ∈ βi(p, ei) ⇔ xi ∈ Xi oraz pxi ≤ wi z założenia (4.1) wynika, że jeśli xi ∈ Xi , to xi ∈ Xi’, natomiast z (1) p’xi ≤ wi’, czyli xi ∈ βi’(p’, ei’). Ad 2. Dla dowodu nie wprost zakładamy, że istnieje konsument i ∈ {1, …, m}, dla którego ϕi(εi, p, ei) ⊄ ϕ’i (ε’i, p’, e’i) ⇔ istnieje xi ∈ ϕi(εi, p, ei) oraz istnieje xi’ ∈ ϕ’i (ε’i, p’, e’i), takie że xi’p i xi . (5) Jednocześnie ponieważ xi ∈ βi(p, ei), to z udowodnionego wcześniej warunku (1) wynika, że xi ∈ βi’(p’, ei), a zatem dla każdego xi’ ∈ ϕ’i(ε’i, p’, e’i) ⊂ βi’(p’, ei) xi ¥ i xi ’, co jest sprzeczne z (5). 5. Podsumowanie Przedstawiona praca stanowi próbę analizy wpływu wyróżnionych zmian innowacyjnych w sferze produkcji na zmiany kumulatywne w sferze konsumpcji ze szczególnym uwzględnieniem roli banków. Nie wyczerpuje to jednak całości problematyki, ponieważ: – nie zostały uwzględnione inne rodzaje rozszerzenia innowacyjnego dopuszczające zmiany w wymiarze przestrzeni towarów oraz w zbiorze uczestników rynku, – pominięto w rozważaniach kredyt konsumpcyjny, którego pojawienie się oznacza stworzenie nowej siły nabywczej na rynku, czego skutkiem jest wzrost popytu na pewne towary, – pominięte zostały ograniczenia w działalności uczestników rynku (np. związane z mnożnikową ekspansją depozytów bankowych), – nie uwzględniono możliwości racjonowania kredytów przez banki, co wiąże się z oceną opłacalności wprowadzenia danej innowacji. Uwzględnienie wymienionych czynników wymaga obszerniejszego opracowania. Literatura Ciałowicz B. [1998], Aksjomatyczna analiza teorii rozwoju gospodarczego Josepha A. Schumpetera, Praca doktorska, Kraków (maszynopis)..

(14) 28. Beata Ciałowicz. Ciałowicz B. [2003], Struktura zmian innowacyjnych w systemie produkcji, XXXII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki, Zakopane. Kruś L. [2003], Analiza finansowania przedsięwzięć innowacyjnych [w:] Modelowanie preferencji a ryzyko ‘03, red. T. Trzaskalik, AE w Katowicach, Katowice. Malawski A. [1999], Metoda aksjomatyczna w ekonomii, Ossolineum, Wrocław. Schumpeter J. [1960], Teoria rozwoju gospodarczego, PWN, Warszawa. The Influence of Banks on Cumulative Changes in the Consumption Sphere According to Schumpeter’s theory, the main cause of economic development is producer-driven innovation. The realisation of an innovative undertaking requires entrepreneurs to possess financial means which do not exist in the static state of circular flow. Thus, innovations can only be realised with the assistance of loaned money. Banks, therefore, are middleman between the producers and other participants on the market. They create and provide entrepreneurs with new purchasing power in the form of credit, which is made possible by savings. For this purpose the standard model of the Debreu economy with private ownership was expanded by the banking system, whose role is to extend credits and loans to both firms and households. The combination of bank activity and innovative changes that exists in the production sphere determines changes in the sphere consumption. This paper looks at the influence that banks and technological innovation in the production sphere have on cumulative changes in the consumption sphere in a private ownership economy with money..

(15)