Całka Riemanna. Definicje i twierdzenia.

(1)

Całka Riemanna

Domyślnie funkcja jest ograniczona i f : ,

[ ]

a b → .

Definicja. Podziałem przedziału

[

nazywamy ciąg punktów , i-tym

przedziałem podziału nazywamy przedział . Długość przedziału oznaczamy , a średnicą podziału . jest rodziną wszystkich podziałów przedziału [ ]

]

)

b a, ∆ b x x x a= ₀ < ₁ <…< _n = i s P s_i =

[

x_i₋₁,x_i i n ∆s ≤ Ρ

(

[

a,b 1 − − = ∆s_i x_i x_i b a

( )

i P = ≤ 1 max

]

, .

Definicja. Dla funkcji i dla podziału definiujemy

i . Górną sumą Riemanna dla funkcji wzg. podziału nazywamy

liczbę U , a dolną sumą Riemanna liczbę

[ ]

: , f a b →

( )

x f i s x∈ = inf ∆ ⋅ _i i s b x x x a P: = ₀ < ₁ <…< _n = f

(

)

_∑

= ∆ ⋅ = n i i s m P f L 1 n i∀≤ M f

( )

x i s x i ∈ = sup

(

)

= i P f , m_i M P

∑

= n 1 i , .

Uwaga. Dla dowolnej funkcji f : ,

[ ]

a b → oraz dowolnego podziału P∈Ρ

(

[ ]

a,b

)

, L

(

f,P

)

≤U

(

f,P .

Definicja. Podział nazywamy zagęszczeniem podziału , gdy , czyli

jeżeli o

i . Podział

nazywamy wspólnym zagęszczeniem podziałów , gdy .

[ ]

(

a b P∗∈Ρ , x x₁ < …< _n =

[ ]

(

a b P∈Ρ , j i m j n ∃ x =x ∀ ≤ ≤

[ ]

(

a,b

)

Ρ ∈ ∗ ∈ P P 0 P ∪ = ∗ b x a P: = ₀ < i

[ ]

(

a,b

)

Ρ b x x x a P∗ = ′ < ′ <_…< _n′ = 1 0 : t P ,₀ P∗∈ _P 1 P P1

Uwaga. Jeżeli jest zagęszczeniem podziału ,

, to

[ ]

(

a b P∗∈Ρ , b x_n′ = < < ′ … 1

[ ]

(

a b

)

P∈Ρ , P:a= x₀ < x₁ <…< x_n =b i x x a P∗ = ′ < 0 : _i _j

[

_j _j

]

m i n j ∃ s ⊃s = x′ x′ ∀ ₋ ≤ ≤ 1, .

Twierdzenie. Jeżeli P∗ jest zagęszczeniem przedziału , to P L

(

f,P

)

≤L

(

f,P∗

) (

≤U f,P∗

)

≤U

(

f,P

)

_.

Wniosek. . [ ] ( _, )

(

0

)

(

1 ,1 , , 0 P f U P f L b a P P ∈∀Ρ ≤

)

]

Definicja. Dolną całką Riemanna z funkcji na przedziale f

[

a,b nazywamy liczbę

( )

[ ] ( , )

(

sup , b P a b a f x dx L f P ∈Ρ =

∫

)

, a górną całką Riemanna liczbę

( )

[ ] ( , )

(

)

inf , P a b dx U f P ∈Ρ = b a f x

∫

. Uwaga.

( )

b a f x dx

∫

i

( )

b a f x dx

∫

są określone dla dowolnej funkcji ograniczonej f : ,

[ ]

a b → ,

( )

,

( )

b b a a f x dx f x dx∈

∫

oraz

( )

b b a a f x dx≤ f x dx

∫

.

Definicja. Mówimy, że f : ,

[ ]

a b → jest całkowalna w sensie Riemanna (R – całkowalna), gdy

( )

b b a a f x dx= f x dx

∫

. Wtedy liczbę

( )

b a

∫

( )

x dx

f x dx nazywamy całką (Riemanna) funkcji na przedziale

i oznaczamy . f

[

a,b

]

∫

b a f

Twierdzenie. Funkcja f : ,

[ ]

a b → jest R – całkowalna .

[ ] ( )

(

) (

)

ε ε∀ ∃ − < ⇔ Ρ ∈ >0P a,b U f,P L f,P Twierdzenie Riemanna. Zał, że f : ,

[ ]

a b → jest ciągła. Wtedy jest R-całkowalna. f

(2)

Twierdzenie. Zał, że f : ,

[ ]

a b → jest monotoniczna. Wtedy jest R-całkowalna. f

Uwaga. Istnieją funkcje monotoniczne, które nie są ciągłe.

Definicja. Zał, że ograniczona, , . Funkcję

nazywamy funkcją wyboru dla przedziału , gdy .

[ ]

: , f a b →

]

, a b

[ ]

(

,

)

P∈Ρ a b P a x: = ₀ < <x₁ …<x_n =b P

( )

_i i n∀≤ σ i ∈s

{

}

[

: 1, , n σ … →

Definicja. Sumą Riemanna dla funkcji względem podziału i funkcji nazywamy liczbę

. f P σ

(

)

(

( )

)

1 , , n _i i S f P σ f σ i s = =

∑

∆

Uwaga. Dla dowolnej funkcji wyboru zachodzą nierówności σ L f P

(

,

)

≤S f P

(

, ,σ

)

≤U f P

(

,

)

.

]

)

Definicja. Ciąg

(

P_{n n}

)

podziałów przedziału

[

a b, nazywamy normalnym, gdy lim

( )

_n 0.

n→∞∆ P =

Twierdzenie. Zał, że jest ciągła. Wtedy dla dowolnego normalnego ciągu przedziałów

przedziału

[

oraz dla dowolnego ciągu , gdzie jest funkcją wyboru podziału , .

[ ]

: , f a b →

]

( )

f x dx

( )

Pn n lim n→∞ , a b b a =

∫

( )

σn n σn Pn

(

, ,_n _n

)

S f P σ

Twierdzenie. Zał, że jest ograniczona. Jeżeli jest zbiorem punktów nieciągłości,

oraz istnieje skończony ciąg przedziałów otwartych i rozłącznych

(

takich, że

(1) i (2) . Wtedy jest R-całkowalna.

[ ]

: , f a b →

)

j

(

1 k i=

∑

( )

D f 0 ε >∀ D f , j j a b

( )

(

1 , k j j a b = ⊂

_∪

b_j−a_j

)

<ε f

Wniosek. Jeżeli zbiór punktów nieciągłości jest skończony, to jest R-całkowalna. f

Twierdzenie. Zał, że jest R-całkowalna, , jest ciągła. Wtedy

jest R-całkowalna. f → [ ],

( )

[

,

]

x a b∈∀ f x ∈ m M g m M:

[

,

]

→

[ ]

: , h g f= a b

Wniosek. Jeżeli f : ,

[ ]

a b → jest R-całkowalna, c∈ , to funkcje c⋅f , f , _f2 są R-całkowalne.

Twierdzenie. Jeżeli f : ,

[ ]

a b → jest R-całkowalna, c∈ , to b

( )

b

( )

.

a a

c f x dx c f x dx⋅ =

∫

Twierdzenie. Jeżeli są R-całkowalne, to jest R-całkowalna, i

.

[ ]

, : , f g a b →

( )

f x dx+ g x d f +g

(

)( )

b b b a a a f +g x dx= x

∫

Wniosek. Jeżeli są R-całkowalne, to jest R-całkowalna, i

.

[ ]

, : , f g a b →

( )

b b a a f x dx− g

∫

f −g

(

)( )

b

( )

a f −g x dx=

∫

x dx

[ ]

a b → jest R-całkowalna, oraz to .

[ ],

( )

0 x a b∈∀ f x ≥

( )

0 b a f x dx≥

∫

(3)

Twierdzenie. Jeżeli f g a b, : ,

[ ]

→ są R-całkowalne, to f g⋅ jest R-całkowalna.

[ ]

a b → jest R-całkowalna, to b

( )

b

( )

a a f x dx ≤ f x dx

∫

. Wniosek. Jeżeli [ ],

( )

x a b∈∀ f x ≤M i f : ,

[ ]

a b → jest R-całkowalna, to

( )

(

)

b a f x dx ≤M b a−

∫

.

Twierdzenie całkowe o wartości średniej. Zał, że jest ciągła. Wtedy

.

[ ]

: , f a b → [ ],

( )

( )(

)

b c a b a f x dx f c b a ∈∃

∫

= −

Twierdzenie o podziale przedziału całkowania. Zał, że jest R-całkowalna, .

Wtedy jest R-całkowalna na przedziałach

[ ]

i

[

, oraz .

[ ]

: , f a b →

]

f x

( )

a c b< <

( )

b c f x dx

∫

f a c, c b,

( )

b c a a dx= f x dx+

∫

Uwaga. Z faktu, że f a c i

[ ]

, f c b są R-całkowalne wynika, że

[ ]

, f : ,

[ ]

a b → jest R-całkowalna.

Wniosek. Jeżeli f : ,

[ ]

a b → jest R-całkowalna,

[ ]

c d, ⊂

[

a b,

]

, to jest R-całkowalna na

[ ]

.

]

f c d,

Definicja. Zał, że f : ,

[ ]

a b → jest R-całkowalna. Wtedy

( )

0, .

a a f x dx=

∫

b

( )

a

( )

a b f x dx= − f x dx

∫

Twierdzenie. Zał, że jest R-całkowalna. Wtedy dla dowolnych liczb

zachodzi .

[ ]

: , f a b →

( )

f x dx γ β α α = +

∫

[ ]

, , a b, α β γ ∈

( )

f x dx f x dx γ β

∫

Twierdzenie. Zał, że jest R-całkowalna, jest określona wzorem

. Wtedy jest ciągła.

[ ]

: , f a b → F

[ ]

: , F a b →

( )

x

( )

a F x =

∫

f t dt

Twierdzenie. Zał, że jest ciągła. Wtedy jest różniczkowalna na

oraz .

[ ]

: , f a b →

( )

f x

( )

∀ = [ ],

( )

x x a b a F x f t dt ∈∀ =

∫

[

a b, [ ], x a b∈ F x′

Definicja. Zał, że . Mówimy, że jest funkcją pierwotną dla funkcji , gdy

.

[ ]

, : , F f a b →

)

x F f [ ],

( )

(

x a b∈∀ F x′ = f

Wniosek. Jeżeli jest funkcją ciągłą, to posiada funkcję pierwotną. Funkcja pierwotna dla funkcji

jest określona wzorem .

f f dt f

( )

x a F x =

_∫

f t

Uwaga. (1) Jeżeli jest funkcją pierwotną dla funkcji , to też jest funkcją

pierwotną dla .

F f : ,

[ ]

a b →

c∀ +∈ F c

(4)

(2) Jeżeli F G, są funkcjami pierwotnymi dla f g a b, : ,

[ ]

→ , to .

[ ],

( )

c∈∃ ∀x a b∈ F x −G x =c

(3) Jeżeli f : ,

[ ]

a b → jest ciągła, jest funkcją pierwotną dla , to G f

( )

b b a a f t dt G b= −G a =G

∫

.

Twierdzenie. Zał, że jest R-całkowalna, jest funkcją pierwotną dla

. Wtedy .

[ ]

: , f a b →

( )

b a f t

∫

F f [ ],

( )

x a b∈ F x f x  _∀ _′ ₌      dt F b=

( )

−F a

( )

Definicja. Zał, że jest ciągła. Całką nieoznaczoną z funkcji nazywamy rodzinę

wszystkich funkcji pierwotnych dla , .

[ ]

: ,

f a b → f

f

_∫

f t dt

( )

=

{

F t

( )

+c c; ∈

}

Twierdzenie o całkowaniu przez części. Zał, że f g a b, : ,

[ ]

→ są klasy C . Wtedy 1

( ) ( )

b b b a a a f x g x dx′ = ⋅f g − f x g x dx

∫

.

Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Zał, że taka, że oraz

, , . Wtedy dla dowolnej funkcji ciągłej zachodzi

.

[ ] [

: ,a b c d, ϕ →

]

d

]

1 C ϕ ∈ → [ ],

( )

0 x a b∈∀ ϕ′ x ≠

( )

(

d b c a f t dt f

∫

( )

a c ϕ =

)( )

t ϕ ϕ′ = ⋅

( )

b ϕ =

( )

t dt

[ ]

: , f c d

Twierdzenie. Zał, że ; , jest R-całkowalna oraz . Wtedy też

jest R-całkowalna oraz .

[ ]

: , n f a b →

( )

li n f x dx=

[ ]

: , f a b →

( )

m b b n a a f x dx →∞

∫

n n∀∈ f fn f → → f

Wniosek. Jeżeli

∑

jest jednostajnie zbieżny na

[

oraz jest R-całkowalna na

[

, to

jest funkcją R-całkowalną, oraz .

( )

1 n n f x ∞ = , a b 1 1 b b n n a a ∞ ∞ = = =

∑

∫

n n∀∈ f

( )

f x dx , a b

( )

1 n n f x ∞ =

∑

f xn

( )

n      

Uwaga. Zał, że f_n→_→f jest istotne.

Całki niewłaściwe.

Definicja. Zał, że f : ,

[

a ∞ →

)

. Jeżeli

[

,

b a∀> f a b

( )

a f t ∞

∫

(

]

: , f −∞

jest R-całkowalna oraz istnieje , to mówimy, że dla istnieje całka niewłaściwa na półprostej

[

i oznaczamy ją

. Dodatkowo, jeżeli jest skończona, to mówimy że jest

R-całkowalna na

[

. Analogicznie, jeśli .

( )

lim x x a f t dt →∞

∫

f f , a

)

, a ∞

( )

lim x x a a f t dt ∞ →∞ =

∫

f t dt

( )

)

∞ dt b → Jeżeli f : → oraz

[

]

, , , a b∀∈ a b f a b< f

jest R-całkowalna oraz istnieje , to tę granicę

nazywamy całką niewłaściwą z na prostej i oznaczamy .

( )

lim y x x y f t dt →−∞ →+∞

∫

( )

f t dt +∞

∫

(5)

Twierdzenie.

( )

istnieje i jest skończona a f t dt ∞

∫

₀_M _{x x M}_, x

( )

x f t dt ε ε ′ ′ > ∈ > ⇔ ∀ ∃ ∀

∫

< .

Uwaga. (1) Jeżeli f : ,

[

a ∞ →

)

jest ciągła i nieujemna, to istnieje

( )

;

a

f t dt

∞

∫

(2) Jeżeli f : ,

[

a ∞ →

)

jest ciągła, nieujemna i niemalejąca, to

( )

;

a

f t dt

∞

= ∞

∫

(3) Jeżeli jest ciągła, nieujemna i nierosnąca, to jest skończona szereg

jest zbieżny.

[

)

: , f a ∞ →

)

n

( )

a f t dt ∞

∫

⇔

(

1 n f a ∞ = +

∑

Definicja. Zał, że oraz jest R-całkowalna na . Jeżeli istnieje,

to oznaczamy ją i nazywamy całką niewłaściwą z na

[

. Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą z . Zał, że , oraz istnieją całki niewłaściwe

,

∫

. Jeżeli wykonywalne jest dodawanie , to sumę tę nazywamy całką niewłaściwą z na

( )

.

[

)

: , f a b →

( )

f t dt

(

]

: , f a b → dt f a b, [ ], x a b∈∀ f

[

a x,

)

, a b

)

b c b a c f t +

]

0, 2 

( )

lim x x b a f t dt →

∫

b a

∫

f ∈ f t

( )

: , f a b →

(

, dt c a

( )

∫

( )

c a f t dt

∫

b

( )

c f t

∫

( )

dt

Zastosowanie całek w geometrii. I. Pole figury.

Pole figury _A_⊂ 2 to funkcja _{P A}_:

[

)

spełniająca:

+

→ = ∞

(1) jeżeli A A= ₁∪A oraz A₁∩A₂ = ∅, to P A

( )

=P A

( )

₁ +P A

( )

₂ ;

(2) jeżeli zbiór jest przesunięciem zbioru , to B A P B

( )

=P A

( )

.

Definicja. Jeżeli jest R-całkowalna, . Wtedy

możemy określić pole zbioru wzorem .

[ ]

: , f a b → ₊ A

( )

[ ]

( )

{

, ; , 0,

}

A= x y x∈ a b _{∧ ∈ }y f x

( )

f t dt

( )

b a P A =

∫

Definicja. Obszarem normalnym wyznaczonym przez funkcje ciągłe

nazywamy zbiór . Pole obszaru obliczamy

ze wzoru .

[ ]

, : , f g a b →

}

 P

(

g f≥ ≥0

)

(

,

)

N f g

(

,

) ( )

{

, ;

[ ]

,

( ) ( )

, N f g = x y x∈ a b _{∧ ∈ }y f x g x

(

)

(

,

)

(

)( )

b a f g =

∫

g− f t dt P N

Wniosek. Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji z osią OX jest równe P f

( )

b a

f t dt

∫

.

II. Obliczanie objętości figur obrotowych.

(6)

Definicja. Zał, że jest ciągła i nieujemna, to bryła otrzymana przez obrót wykresu funkcji dookoła osi , V f to objętość bryły . Wtedy V f .

[ ]

: , f a b → OX

(

( )

B f

( )

B f f

)

( )

2

( )

b a f x dx π =

∫

III. Obliczanie długości łuku.

Definicja. Zał, że . Wykres funkcji nazywamy łukiem o końcach

. Wtedy długość łuku wynosi

[ ]

1 : , f a b → ∈C

( )

b

)

f

( )

(

a f a,

) (

, ,b f f

(

( )

)

2 b a f x′ dx +

∫

1 .

IV. Obliczanie pól powierzchni bocznych.

Definicja. Jeżeli f : ,

[ ]

a b → jest ciągła, to pole powierzchni bocznej zakreślonej przez łuk wynosi