RO C ZN IK I F IL O Z O F IC Z N E Tom XLVII1, zeszyt 1 - 2000
P A W E Ł G A R B A C Z L u b l i n
U W A G I O G E N E Z I E
W S P Ó Ł C Z E S N E J L O G I K I M O D A L N E J
Jedną z najbujniej rozw iniętych gałęzi logiki w spółczesnej je s t logika m o d a l n a 1. B ogactw o p o p ra w n y ch form alnie s ystem ów przy czy n iło się j e d nakże do tego, że pocz ątk o w e nadzieje dotyczą ce ich zastosow ań ja k o u ż y tecznych pozn a w cz o narzędzi rozw iew ały się w m iarę rozw oju form alizm ów . Dziś coraz częściej w spom ina się o potrzebie filozoficznych dociekań d o ty czących ich wartości, które pom ogłyby w uk ieru n k o w an iu badań form alnych. W a rto więc w tym kontekście p rzypom nieć, ja k ie racje legły u podstaw k o n strukcji pierw szych now oczesnych system ów logiki m odalnej, tj. logik ścisłej implikacji C la re n c e ’a Irvinga L e w is a 2.
Z as a d n ic za i stale obecna w je g o rozw ażaniach arg u m e n tacja dotyczy nieadekw atności funktora „r>” klasycznego ra chunku zdań dla w yrażenia relacji im plikacji. Już w p ierw szym artykule a n o n su jąc y m potrze b ę zm iany istniejącego system u logiki - Im plication a n d the A lg e b r a o f L o g ic 3 zn a jd u je m y w stępne sform ułow anie i uzasadnienie tego poglądu. N a sz a utor stw ier dza tam:
„R ozw ój algebry logiki [tzn. logiki form alnej - przyp. P. G.] u ja w n ia dw a nieco zadziw iające tw ierdzenia: (1) zdanie (p r o p o s i ti o n ) fałszyw e implikuje d ow olne zdanie i (2) zdanie praw d ziw e je st im plik o w a n e przez d ow olne z d a nie. [...] Sam e w sobie nie są one ani tajem niczym i stw ierdzeniam i, ani z n a
1 Z w i ę z łe o m ó w i e n i e w a ż n i e js z y c h w y n i k ó w z tej d z ie d z i n y m o ż n a z n aleź ć m.in. w: L. G u m a ń s k i. L o g ik a m o d a ln a , „R u ch F i l o z o f i c z n y " , 4 1 ( 1 9 8 4 ) 163-177.
2 L ew is , j a k w ia d o m o , p r o p o n o w a ł osta te cz n ie pięć lo g ik śc isłej im p lik ac ji. P o n ie w a ż w z a s a d z ie ni e ró ż n ic o w a ł on sw y ch m o ty w ac ji w z g l ę d e m p o s z c z e g ó ln y c h logik , z a k ła d a m y t y m c z a s o w o , że z r e k o n s t r u o w a n e niżej u z a s a d n i e n i a o d n o s z ą się d o ni ch w s zy s tk ic h .
czącym i odkryciam i, ani wielkimi absurdam i. U ka zu ją one tylko, w j a s k r a w ym świetle, znaczenie «im plikuje», które zostało w łąc zo n e do tej alg eb ry ”4.
Z nac zenie to określa definicja: (1) p D q 3 d f ~p v q,
czyli, j a k odczytuje C. I. Lewis,
(2) W y raże n ie „P im plikuje Q ” znaczy na mocy definicji „P je s t fałszywe
lub Q jest p ra w d z iw e ” .
Dla z rozum ienia dalszych j e g o w y w odów u ży teczne je st przedstaw ienie pozornie mało istotnej uwagi, ja k ą za m ieszcza on w tym artykule w przypisie pierw szym . Jej konsekw encje d ecydują w szelako o kształcie i wartości w szystkich je g o dokonań:
„S ym bolizm [tzn. ję z y k rachunku logicznego - przyp. P. G.], który będzie używ any w tej pracy, je s t zaczerpnięty z pew nym i drobnym i zmianami z P rincipia M athem atica. Litery p, q reprezentują (sta n d f o r ) zdania lub
funkcje zdaniow e [tzn. formy zdaniow e - przyp. P. G.]. ozn a cza «im p lik u
je » . v je st znakiem alternatywy. ~p m oże być odczytane ja k o «nie-/?» lub «negacja p», lub «p je st fałszywe». P odobnie p m oże być odczytane tak, ja k j e s t zapisane, lub ja k o «p jest p ra w d z iw e » ” 6.
Jak łatwo dostrzec, Lew is traktuje ja k o identyczne: funktor, n azw ę funkto- ra, je g o m etajęzykow y odpow iednik. W przypadku negacji sym bolow i przypisuje je d n o c z e śn ie wyrażenia: „nie je s t tak, że” , „ n e g a c ja ” , „jest fa ł sz y w e ” .
Ów m ieszany, języ k o w o -m e ta ję z y k o w y sposób o d cz y ty w an ia funktorów klasycznego rachunku zdań je s t zachow any we w szystkich pracach autora współczesnej logiki m o d a ln e j7. D eterm inuje on sposób o d cz y ty w an ia formuł zbudow anych z tych funktorów . Oto kilka przykładów :
4 T a m ż e , s. 522.
5 A b y u n ik n ąć n i eje d n o zn a cz n o ś c i, z a c h o w u j ą c j e d n a k ż e s p e c y fik ę no tac ji L ew is a, p r z y j m u je m y , iż m ałe litery a lf a b etu ła c iń s k ie g o b ę d ą r e p re z e n t o w a ć z d an ia, w ie lk ie zaś - n azw y ty ch zdań.
6 L e w i s, art. cyt., s. 523.
7 Zob . np. t e n ż e , A S u rv e y o f S y m b o lic L o g ic , B e r k e l e y 1918, s. 292; t e n ż e, C. H. L a n g f o r d. S y m b o lic L o g ic , N e w Y ork 19 5 9 2, s. 80. W tej o statn iej p ra cy p o jaw ia się n o w y s p o s ó b o d c z y t a n i a - „ z a p r z e c z e n ie (th e c o n tr a d ic to r y o)) p ".
U W AG I O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J L O G IK I M O D A LN E J 171
F or m u ła rachunku O d c z y t a n ie form uły
p 3 (q 3 p) P r a w d z iw e z d a n ie j e s t im p l i k o w a n e prze z d o w o l n e zd an ie. - p (p 33 q) F a t s z y w e z d a n ie im plik u je d o w o l n e z d a n i e 8.
p 3 p v q P im plik uje „p lub q ”.
Jeśli P j e s t p r a w d z iw e , to P j e s t p r a w d z i w e lub d o w o l n e zda nie, Q, j e s t p r a w d z i w e 9.
P a q 3 p „Oba P i Q są p r a w d z i w e ” im plik u je ,.P jest p r a w d z i w e ” 10.
p a q 3 (p 3 q) Z d o w o l n y c h d w ó c h zdań p r a w d z i w y c h k a żd e im plik u je drugie.
~ (p 3 q) 3 (p 3 ~q ) Jeśli dane z danie nie im plik uje d o w o l n e g o i n n e g o zda nia, to i m p l i kuje j e g o neg a c ję .
(p 3 r) 3 (p 3 (q 3 r)) Jeśli dane zd an ie, P, im plik u je inne. R, to P im plik u je to. że R je st im p l i k o w a n e prze z d o w o l n e z d a n i e 11.
~ (p 3 q) 3 (q 3 - p ) Jeśli P m ate r ialn ie nie im plik u je Q, to Q im plik u je, że P j e s t fa ł s z y w e .
(p 3 q) v (p 3 ~q ) Przyn ajm niej j e d n o z d w ó c h - „P mate r ialn ie im plik u je Q". „P ma- j
lerial nie im plik u je, że Q j e s t f a ł s z y w e " , j e s t z a w s z e p r a w d z i w e 12, j
Stąd pow szechnie przyjm ow any pogląd głoszący, iż L ew is odczytał symbol „z>” j a k o m etajęzykow y o dpow iednik „z ... w ynika . . . ” , w y m ag a u z u p e łn ie n i a 13. A lbow iem nie tylko ten znak ma znaczenie m etajęz y k o w e w je g o lo gice, lecz rów nież pozostałe funktory rachunku zdań są c ha rakteryzow a ne w taki sposób. P onadto zdarza się, szczególnie w bardziej złożonych fo rm u łach, iż odczytuje on „z>” zarów no ja k o „ ... im plikuje . . . ” , j a k i „jeśli .... to . . . ” Przy tym nierzadkie jest, iż pozostałe funktory, w ystępując e w jednej form ule rachunku zdań kilkakrotnie, w je d n y m m iejscu są od cz y ty w an e w łaś nie j a k o funktory (tzn. ja k o w yrażenie j ę z y k a p rz ed m io to w eg o ), w innym
8 C. I. L e w i s, The C a lcu lu s o f S tric t Im p lic a tio n , „ M i n d ” , 2 3 ( 1 9 1 4 ) 243. ’ T e n ż e , Im p lic a tio n a n d the A lg e b ra o f L o g ic, s. 528.
10 T a m ż e , s. 530.
11 L e w i s . T he C a lcu lu s o f S tr ic t Im p lic a tio n , s. 243 n. 12 T e n ż e, L a n g f o r d , dz. cyt.. s. 144 n.
13 T w i e r d z e n i e tak ie m o ż n a z n aleź ć m.in. w: L. B o r k o w s k i. U w a g i o o k re sie w a ru n k o w y m o ra z im p lik a c ji m a te r ia ln e j i ś c is łe j, [w:] t e n ż e , S tu d ia lo g ic zn e . W ybór, L u b li n 1990, s. 338 n.; W . Q u i n c. M a th e m a tic a l L o g ic , C a m b r i d g e 1995, s. 27-32 , 32 n.
m iejscu j a k o swe nazwy lub m etajęz ykow e odpow iedniki. Z tego pow odu tw ierdzim y, że, wedle Lewisa,
(3) Jedno ze znaczeń w yra żenia „jeśli ..., to . . . ’’ je s t identyczne ze zn a cze niem „ ... im plikuje . . . ” 14
W. Quine, argum entując za brakiem potrzeby m odyfikacji logiki k lasy cz nej, podkreśla, iż B. Russell i A. W h itehead (a za nimi rów nie ż C. Lewis) pom ieszali w Prinicipia M a them atic a ję z y k z m etajęzykiem . Przypisali b o w iem okresow i w arunkow em u „jeśli ..., to . . . ” w yrażenie „ ... im plikuje . . . ” P ierw sze z nich należy przy tym do języ k a , a posługując się nim używ am y zdań, drugie zaś należy do m etajęzyka, a posługując się nim, nazyw am y zdania. N a d to przypisanie „z>” logiki zdań „ . .. im plikuje . . . ’’ je s t n ie p o p ra w ne składniow o, gdyż pierw sze w yrażenie je s t funktorem zd a n io tw ó rczy m od dw óch a rgum e ntów zdaniow ych, natom iast drugie tw orzy zd a n ia od dwóch nazw. Zatem krytyka L ew isa logiki klasycznej je st o tyle upraw niona, o ile założym y, iż funktor „z>” oznacza relację im plikacji (w co Q uine słusznie pow ątpiew a). Nie dotyczy natom iast rachunku, w którym temu sym bolow i p rzypisujem y w yrażenie „jeśli ..., to . . . ”
Jeśli chodzi o pierw szy zarzut Q u in e ’a d otyczący pom iesza n ia stopni języka , to m o żn a zauważyć, że w istocie autor A S u rve y o f S ym b o lic Logic przypisał w sposób nieupraw niony funktorow i „z>” znaczenie „ ... im plikuje . . . ” 16 Pociągnęło to za sobą, z racji faktycznej rozbieżności znaczeń tych wyrażeń, postaw ienie postulatu modyfikacji logiki klasycznej. Jedna kże p o n ie waż każdy rachunek logiczny interpretował on m etajęzykow o, ów zarzut jest cz ęściow o trafny jed y n ie ja k o krytyka przyjętej przez niego interpretacji klasycznego rachunku zdań. C zęściow o, gdyż tw ierdzi się czasam i, iż okres w a runkow y m a znaczenie m etajęzykow e, zw iązane z relacją w yprow
adzalnoś-14 M i m o c h o d e m w arto z a u w a ż y ć , iż L e w is d o strz eg a ł, że o k re s w a r u n k o w y j ę z y k a p o t o c z n e g o m a ta k ż e in n e z naczenia. T w ierd z i m .in., że w tzw. z d an iac h te r m i n u ją c y c h (ter m in a tin g sta te m e n ts ) s p ó jn ik „jeśli . .. . to . . . " nie m a ani z n a c z e n ia w y z n a c z o n e g o przez lo g ik ę k l a s y c z ną, ani z n a c z e n i a z w i ą z a n e g o z rela cją ścisłej im plikacji. S ą to z d a n ia o postaci o k re s u w a r u n k o w e g o „jeśli A. to E". które stw ie r d z a ją p rz e w i d y w a n i a d o t y c z ą c e p r z y s z łe g o d o ś w ia d c z e n ia p o d m io tu p o z n a ją c e g o E, m o g ą c e być w y w o ła n e p r z e z j e g o d z ia łan ie A. Zob. C. I. L e w i s. A n A n a ly s is o f K n o w led g e a n d V a lu a tio n , La Salle. III. 1946, s. 2 1 2 -226.
15 Q u i n e, dz. cyt.
16 D. S a n fo rd z w r a c a u w a g ę , iż j u ż w 1919 r. G. E. M o o r e d o s tr z e g a ł, że z ap rz es ta n ie tak ie g o s p o s o b u o d c z y t y w a n ia tego f u n k to ra p o z w a la na u n ik n ię c ie p a r a d o k s ó w materialn ej im plikacji. Z ob. G. E. M o o r e, C o m m o n p la c e B o o k ( 1 9 19 - 19 5 3 ), ed. C. L e w y , L o n d o n 1962, s. 255 n.
UW A G I O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J LO G IK I M O D A LN E J 173
c i 17. Z tej racji Lew is, co najwyżej, m ylnie odm ó w ił w y rażeniu „jeśli to . . . ” p rz ed m io to w eg o znaczenia p rz ypisyw anego mu w logice klasycznej.
Stąd nie m ożna rozum ieć tego zarzutu ja k o tw ierdzenia, iż tw órca logiki m odalnej p om ieszał w swojej logice interpretację ję z y k o w ą z m etajęzykow ą. C o p ra w d a pozornie w ydaje się, że odczytuje on form uły logiczne zarówno w sposób ję zy k o w y , j a k i m etajęzykow y, lecz posługując się w yrażeniam i, które zazwyczaj rozum ie się ja k o należące do ję z y k a prz ed m io to w eg o , nadaje im zaw sze sens m etaprzedm iotow y. Innym i słowy, logika - w edle niego - ma zaw sze charakter m etajęzykow y.
(4) Funktory logik ścisłej implikacji L ew isa należą do m etajęzyka.
W ydaje się, iż system y L e w is a m ogą być p o traktow a ne z jed n ej strony j a k o logiki, w których znaczenie „ « ’’ je st p e w n ą ap ro k sy m a cją znaczenia p o
tocznego okresu w arunkow ego, z drugiej strony ja k o logiki, w których denotuje relację implikacji, rozumianej j a k o w y p ro w ad za ln o ść je d n e g o zdania z innego. S tosune k tych d w óch ujęć zależy o czyw iście od praw dziw ości tezy 3.
P odobnie, korzystając np. z tw ierdzeń gram atyki logicznej sform ułow anych przez A. A nd e rso n a i N. B elnapa, łatwo oddalić zarzut błędu składniow ego. M o ż n a bow iem „z>” p rz yporzą dkow ać w yrażenie „to, że ..., im plikuje to, iż . . . ” , które m a tę sam ą kategorię składniową, co fu n k to r implikacji logiki z d a ń 18.
W racając do genezy w spółczesnej logiki m odalnej, obszerniej p rz ed staw i my teraz dalsze uw agi L ew isa o implikacji, w c h o d ząc e w kontekst u za sa d n ie nia system ów ścisłej implikacji. F orm uły zestaw ione w pow yższej tabeli reprezentują grupę w yrażeń, które u w aża on, na gruncie opisanego sposobu ich odczytyw ania, za fałszyw e tw ierdzenia o tejże relacji. Z a u w a ż a ponadto, iż definicja 1 w przyjm ow anej przez niego stylizacji m etajęzykow ej prowadzi do u zn a n ia za praw dziw e następujących zdań: „«C ez ar nie um arł» im plikuje «K siężyc je st zrobiony z zielonego sera»” ; „Jeśli nie je s t tak, iż «R zym p ło nie» im plikuje «N adchodzi B oże N arodzenie», to R zym płonie i nie n a d c h o
17 Zob. np. T. K o t a r b i ń s k i , E le m e n ty te o r ii p o zn a n ia , lo g ik i fo r m a ln e j i m e to d o lo g ii n a u k , W r o c ł a w 1990, s. 184; T. C z e ż o w s k i , G łó w n e za s a d y n a u k f ilo z o fic z n y c h , W r o c ł a w 1959, s. 70; A. R. A n d e r s o n, N. B e I n a p, E n ta ilm e n t: T h e L o g ic o f R e le v a n c e a n d N e c e ss ity , vol. I, P r i n c e t o n - L o n d o n 1975, A p p e n d i x , zwł. s. 491 n.; P. F. S t r a w s o n, „ I f ” a n d , , n ” , [w:] P h ilo s o p h ic a l G r o u n d s o f R a tio n a lity : In ten sio n s, C a teg o ries, E n d s. ed. R. G ra n d y . R. W ar n e r , O x f o r d 1986, s. 229-2 4 2 .
dzi Boże N a ro d zen ie” 19. Prowadzi ona także do następującej, szczególnie dziw nej, j a k j ą nazywa, konsekwencji:
„N apiszm y rów ną liczbę p raw dziw ych i fałszyw ych zdań na skraw kach papieru - w ybranych p rz ypadkow o i niezależnie od ich treści - i wrzućm y j e do kapelusza. W y c ią gnijm y następnie losow o dw a z nich. P ra w d o p o d o b ie ń
stwo, że pierw sze z nich m aterialnie im plikuje drugie, je s t rów ne 3A. P ra w d o p odobieństw o, że drugie m aterialnie im plikuje pierw sze, je st rów ne 3A. P ra w d o p odobieństw o, że każde z nich m aterialnie im plikuje drugie, je st Vi. N a to m iast p ra w d o podobieństw o, że żadne z nich nie im plikuje drugiego, jest
równe 0 .
Stąd nasz logik form ułuje następujące wnioski:
„Nie m o żn a konsekw entnie podtrzy m y w a ć poglądu, że d efinic ja implikacji za p o m o cą ekstensjonalnej alternatywy [tzn. alternatyw y logiki klasycznej - przyp. P. G.; też niżej] je st zg o d n a z ja k im k o lw ie k zw y k ły m (o r d in a ry ) lub uży tec zn y m znaczeniem tego słowa. [...] O becny rachunek zdań [tzn. logika klasyczna] je s t niepraw dziw y w tym sensie, w ja k im n ie -E u k lid e s o w a g e o m etria je s t niep ra w d ziw a [ . . . ] ”21
„Te tw ierdzenia [niektóre tezy k lasycznego ra chunku zdań, m.in. w y m ie nione w naszej tabeli - przyp. P. G.] są absurdalne tylko w tym sensie, iż w ża d n y m w ypadku nie m ożna ich stosow ać do naszych sposobów w n io sk o w ania i dow odzenia. W e w łaściw ym sensie nie są one w ogóle regułami w n io sk o w an ia [ . . . ] ”22
„Tym niem niej pra gm a tycznie m aterialna im plikacja je s t fa łsz y w ą w ocz y wisty sposób logiką. Jeśli «p im plikuje q » znaczy tylko «jest fałszem , że p je st p ra w dziw e i q je s t fałszyw e», to relacja implikacji je s t zbyt po w sze ch n a ( ubiq u ito u s), aby być w jak ik o lw ie k sposób użyteczna. Jeśli szukam y k o n sek wencji d o w olnego zdania, n apotykam y w szystkie praw dy, o których jesteśm y w stanie p o m y śle ć ”23.
„ [ ...] p 3 q i p s q nie są «im plikacją» i «ró w n o w ażn o śc ią » zwykłej logiki, gdyż, m ów iąc ściśle, p i q w algebrze nie są «zdaniam i», lecz tylko «w artościam i logicznym i» reprezentow anych zdań. Innym i słowy, m aterialna im plikacja i m aterialna ró w n o w ażn o ść są relacjam i zakresu zdań (relations
19 L e w i s, Im p lic a tio n a n d The A lg e b ra o f L o g ic , s. 527 n. 20 T e n ż e, L a n g f o r d , dz. cyt., s. 145.
" ' L e w i s , Im p lica tio n a n d the A lg e b ra o f L o g ic , s. 529 n. ' " T e n ż e , The C a lc u lu s o f S tr ic t Im p lic a tio n , s. 244. 23 T a m ż e , s. 246.
UW AGI O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J L O G IK I M O D A LN E J 175
o f the extensions o f propositions), podczas gdy „ im p lik a cja” i „ ró w n o w a ż ność” zwykłej logiki są relacjam i treści ( relations o f intension) i znacze-
• » 2 4
ma
Jego stanowisko w yraża więc teza:
(5) K ażde ze znaczeń funktora im plikuje . . . ” je st różne od znaczenia
p rzypisanego funktorow i „z>” w logice klasycznej.
P ow staje pytanie, ja k ie znaczenie przypisyw ał autor logiki m odalnej w y ra żeniu „ ... im plikuje . . . ” lub, inaczej m ów iąc, ja k rozum iał relację implikacji. C zęś c io w ą odpow ied ź przynoszą nam następujące uwagi:
„Nie je s t m ożliw e uniknięcie przyjęcia założenia, że istnieje pew ien o k re ślony i «w łaściw y» sens «implikuje». S łow o to denotuje tę relację, która jest obecna, gdy «popraw nie» (validly) p rzechodzim y od je d n e g o stw ierdzenia, lub zbioru stw ierdzeń, do innego stw ierdzenia bez o d w o ły w a n ia się do d o d a tk o w ego «uzasadnienia» (evidence). Jeśli system logiki sym bolicznej ma być stosow any do takich popraw nych w nioskow ań, to zna cze n ie «im plikuje», które w nim w ystępuje, musi być takim «w łaściw ym » znaczeniem . Nie p o w inniśm y pochopnie zakładać, że je st tylko j e d n o takie znaczenie, lecz m u si my twierdzić, iż je s t przynajm niej jedno. T w ierdzić tak jest tym sam ym , co twierdzić: istnieją pew ne sposoby rozum ow ania, które są p o pra w ne (co rr e ct) lub pow sze chnie obow iązujące (valid ), p rz eciw staw ione innym sposobom , które są niepopraw ne lub nie są pow sze chnie o b o w ią z u ją c e ” 25.
„G łów nym za daniem kanonu dedukcji [tzn. logiki form alnej - przyp. P. G.] je s t p o pra w ne w yznaczenie w łasności tej relacji, która zachodzi między do w o ln ą przesłanką, lub d o w olnym zbiorem przesłanek, a konkluzją, która m oże być w popraw ny sposób ( validly) w y prow adzona. Zazw yczaj tę relację naz y w am y im plikac ją”26.
Te i podobne uwagi odnośnie do implikacji m aterialnej i ścisłej27 są ar gu m en tem za następującym tw ierdzeniem :
(6) „Z danie P implikuje zdanie Q w sensie L e w is a ” - to tyle, co „Zdanie
Q je s t w yprow adzalne (dedukow alne) ze zdania P ” . Na relację tę Lew is nakłada następujące warunki:
"4 L e w i s, A S u rv e y o f S y m b o lic L o g ic, s. 2 3 0 n. 25 T a m ż e , s. 324.
26 L e w i s, L a n g f o r d , dz. cyt., s. 235. 27 T a m ż e , s. 139, 241, 246.
(7) Jeśli zdanie P je st praw dziw e i im plikuje zdanie Q, to zdanie Q je s t p ra w d z iw e 28.
(8) R elacja implikacji w inna u w zględniać także inne po za pra w dą i fałszem
„ . . .
99 wartości logiczne .(9) Z dan ie Q jest w yprow adzalne ze zdania P wtedy i tylko wtedy, gdy
w yrażenie „Zdanie P im plikuje zdanie Q ” je s t tautologią.
T w ierd zen ie 9 uzasadnia on odw ołując się do stanow iska, wedle którego tw ierdz enia o w yprow adzalności są zdaniam i k o n ie c z n y m i30. K luczow ym pojęciem je st tu pojęcie tautologii. T w ó rca logiki nieklasycznej w tym m iej scu przez tautologię rozum ie nie w yrażenie u znane w pew n y m rachunku logicznym , lecz form ę zdaniow ą, która je s t p ra w d z iw a dla w szelkich p o d stawień za zm ienne w o ln e 31. W arunki 6, 9 pociąg a ją kolejny w arunek, który w inna spełniać relacja m iędzy zdaniam i, aby być im plikacją:
(10) „Z danie P im plikuje zdanie Q ” je st tautologią w tedy i tylko wtedy,
gdy „Zdanie P im plikuje zdanie Q ” je st praw dziw e.
W a runku 10 nie spełnia, j a k zauw aża Lew is, im plikacja m aterialna ani żadna im plikacja praw dziw ościow a, tj. im plikacja, której w artość logiczna zależy od wartości logicznych jej a rg u m e n tó w 32. S pełnia j ą n atom iast im pli kacja ścisła, która zdefiniow ana je s t przez 11:
(11) „Zdanie P ściśle im plikuje zdanie Q ” - to tyle, co „Jest koniecznie
praw dziw e, że nie je s t tak, iż P je s t p ra w dziw e i Q je st fa łs z y w e ” , czyli uw zg lę d n ia jąc om ów iony sposób odcz y ty w an ia form uł rachunku zdań, (12) p -< q = d f ~ o ~(p a ~q).
A utor Sym bolic L ogic podkreśla przy tym, iż relacja o zn aczana przez nie jest je d y n ą relacją implikacji. T w ierdzi, że istnieje nieo k re ślo n a liczba logik, które w popraw ny sposób ujm u ją różne rodzaje p o pra w ności naszych w nioskow ań, czyli zaw ierają różne funktory implikacji. Każdy z nich musi je d n a k spełniać w ym ienione tu w a ru n k i33.
28 T a m ż e , s. 235.
29 C h o d z i tu np. o w arto ści: o c z y w iś c ie p r a w d z iw e , o c z y w i ś c i e fa łs z y w e , w ą tp liw e . Zob. L e w i s , A lte r n a tiv e S y s te m s o f L o g ic , „ T h e M o n i s t ” , 4 2 ( 1 9 3 2 ) 49 5.
311 T e n ż e, L a n g f o r d , dz. cyt., s. 241. 31 T a m ż e . s. 239 n.
32 T a m ż e . s. 240 n. 33 T a m ż e , s. 258- 26 0.
UW AG I O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J LOG IKI M O D A LN E J 177
O m ów iony przez nas m otyw m odyfikacji logiki klasycznej przez C. I. L e wisa je s t najczęściej podaw any j a k o m otyw jed y n y . T y m c z a se m z prac tego logika m ożna w ydobyć przynajm niej j e sz c z e dwie inne grupy m otywacji.
P ie rw s z a 34 dotyczy nieekstensjonalnych znaczeń funktora alternatywy. O tóż nasz logik w yróżnia cztery znaczenia, jak ie m o że m ieć alternatywa:
(13) „p lub q ” znaczy tyle, co „p v q ” ,
(14) „p lub q ” znaczy tyle, co „p albo q ” ' ,
(15) „p lub q ” znaczy tyle, co „Jest niem ożliw e, że ob a p i q są fałszy
w e ”36,
(16) „p lub q ” znaczy tyle, co „Jest niem ożliw e, że oba p i q są fałszyw e
i że oba p i q są p ra w d z iw e ”37.
D w ie pierw sze alternatywy naz y w a ekstensjonalnym i, dwie drugie intensjo- nalnym i. Przy tym najbardziej istotna je s t dla niego różnica z a c h o d zą ca m ię dzy n ierozłączną alternatyw ą ekstensjonalną (13) a n ieroz łącz ną alternatyw ą intensjonalną (75). Spójnik „lu b ” ma znaczenie określone przez 13 w zdaniu „C ezar um arł lub Księżyc jest zrobiony z zielonego se ra ”, a znaczenie 15 w zdaniu „M a ty ld a mnie nie k ocha lub je ste m k o c h a n y ” . L ew is w yróżnia następujące różnice m iędzy nimi zachodzące. P raw d z iw o ść alternatyw y eks- tensjonalnej nie m oże być znana niezależnie od praw dziw ości jej składników. N e gacja je d n e g o ze składników alternatyw y ekstensjonalnej nie implikuje drugiego. N e gacja alternatyw y ekstensjonalnej jest ró w n o w a ż n a z k o niunkcją negacji jej składników. O dpo w ie d n ie tw ierdzenia dla alternatyw y intensjonal- nej nie są praw dziw e. P onadto alternatyw a intensjonalna jest u ż y w a n a w for m ułow aniu dylem atów , czyli, w rozum ieniu Lewisa, zdań, które w yczerpują wszelkie m ożliwości. W y n ik a stąd, iż jeśli je d e n składnik alternatyw y użytej w taki sposób jest fałszywy, to implikuje to, że drugi z konieczności jest praw dziw y. A lternatyw a intensjonalna „p lub q ” im plikuje alternatyw ę ek sten sjonalną „p lub q", lecz nie vice versa. N asz logik stw ierdz a ponadto, że alternatyw a nieekstensjonalna m a się do ścisłej im plikacji tak samo, j a k alter n aty w a ek s tensjonalna do implikacji materialnej. Czyli
34 C h o d z i tu o p ie r w s z e ń s t w o c h r o n o lo g ic z n e . W e w c z e ś n i e js z y m a rty k u le, a n o n s u ją c y m p o tr z e b ę m o d y fik a cji logiki k las y czn ej, L e w is w p ie r w d y s k u t u j e w ła ś n ie tę r ó ż n o ro d n o ś ć znac ze ń . 35 F u n k t o r „ a lb o ” j e s t a lte rn a ty w ą w y k lu c za ją c ą. 36 Czyli ( 1 5 ’ ) p lub q = —0 —(p v q). 37 Czyli ( 1 6 ’) p lub q = ~ 0 ~ (p albo q).
(17) p lub (intensjonalnie) q wtedy i tylko wtedy, gdy negacja P im pli kuje Q.
U w agi te wskazują, że alternatyw a intensjonalna m a tu ch a rak ter meta- przedm iotow y, m ianow icie relacja m iędzy jej składnikam i angażuje pojęcie im plikacji, czyli w świetle 6 - d e d u k o w a ln o śc i38.
D ruga grupa uzasadnień o bejm uje poglądy w sp ó łau to ra Sym b o lic L ogic do tyczące m ożliwości. S tanow isko to i j e g o relację do logiki form alnej trafnie ujm u je rozw inięcie cytow anego j u ż fragm entu:
„W e w łaśc iw ym sensie nie są one [niektóre tezy k lasy cz n eg o rachunku zdań, m.in. w ym ienione w naszej tabeli - przyp. P. G.] w ogóle regułami w nioskow ania, lecz tylko zdaniam i o naturze dow o ln eg o świata, do którego stosow ałby się ten system materialnej implikacji. „W takim świecie wszystko, co m ożliw e (the all-possible), musi być rzeczyw iste, to, co p ra w d ziw e (the true), musi być konieczne, to, co przyp ad k o w e (the c o n tin g e n t), nie m oże istnieć, to, co fałszyw e (the fa ls e ), musi być absu rd aln e i niem ożliw e, a tw ierdzenie niezgodne z faktami musi być całk o w ic ie b e z se n so w n e ”39.
Tezy te są uzasadnione w sposób następujący. To, że każda m ożliw ość m usi zostać zrealizow ana, w ynika - jeg o zdaniem - z tego, iż w logice k la sycznej uto żsam ia się ekstensjonalną i intensjonalną alternatyw ę. T ym samym, skoro alternatyw a intensjonalna w ystępuje w zdaniach, które stw ierdzają w szystkie m ożliw ości (tj. w tzw. dylem atach), zatem to, iż są one praw dziw e j u ż wtedy, gdy je d e n z jej składników je s t praw dziw y, czyli j u ż wtedy, gdy zachodzi pew ien fakt w rzeczyw istości, pociąga, że zajście o w ego faktu w y czerpuje w szystkie m ożliw ości, jeśli w ystarczyło ono do praw dziw ości tej alternatywy. Tw ierdzenie, że to, co praw dziw e, je st k oniecznie praw dziw e, w ynika z tezy klasycznego ra chunku zdań „p 3 (~p 3 p )” i, przyjm ow anej przez Lew isa, definicji zdania koniecznego:
(18) P je s t konieczne wtedy i tylko wtedy, gdy n e g a cja P im plikuje P.
P odobnie tw ierdzenie, że to, co fałszywe, je st niem o żliw e i stąd absurdal ne, w ynika z tezy „~p 3 (p 3 ~ p )” przy L ew isow skiej definicji n ie m o ż li wości:
(19) P je s t niem ożliw e wtedy i tylko wtedy, gdy P im plikuje sw ą negację.
38 P o g l ą d y p r z e d s ta w io n e w tym p a rag ra fie str e s z c z a ją ro z w a ż a n ia L e w is a z Im p lica tio n a n d th e A lg e b ra o f L o g ic o raz The C a lcu lu s o f S tr ic t Im p lica tio n .
UW A G I O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J LO G IK I M O D A LN E J 179
Pozostałe dwie tezy w ynikają — oznajm ia nasz logik - z tez j u ż u z a s ad n io n ych40.
T w ierd zen ia 18 i 19 są tezami najsłabszej logiki ścisłej implikacji S I , a naw et jej podlogiki S I 41. W tym sensie po d an a przez ich p o m y sło d aw cę a rgum e ntacja je st adekw atna w zględem każdego z je g o system ów .
W ram ach krótkiej dygresji warto zauw ażyć, iż w p ro w a d z e n ie logiki trój w artościow ej J. Łukasiew icza, drugiego obok L ew isa pioniera logiki niekla- sycznej, rów nież było uzasadniane stw ierdzeniam i w ykorz y stu ją cy m i pojęcia m odalne. Logik polski, podobnie j a k Lewis, uw ażał, że przyjęcie logiki k la sycznej prow adzi do poglądu ontologicznego, głoszącego, że nie istnieje to, co p rzypadkow e, i że wszystko, co istnieje, j e st konieczne. Jedna kże w logice trójw artościow ej m ożliw ość ( resp. niem ożliw ość, konieczność) je s t d e fin io w a na w sposób diam etralnie odm ienny od lew isow skiego. M ian o w icie wedle Łukasiew icza:
(20) Jest m ożliwe, że p wtedy i tylko wtedy, gdy jeśli nie j e s t tak, iż p,
to p 42.
Z w a ży w szy na w spom niany sposób rozum ienia przez autora A Survey o f S y m bolic L ogic funktorów rachunku zdań (3), teza 18 je st ró w n o w ażn a z:
(21) Jest konieczne, że p wtedy i tylko wtedy, gdy jeśli nie je st tak, iż p ,
to p .
O trz ym a liśm y zatem dość zaskakujący wniosek, iż zdania konieczne w sensie L ew isa są zdaniam i m ożliw ym i w sensie Ł u kasiew ic za. Innymi słowy:
(22) Jest konieczne w sensie Lewisa, że p wtedy i tylko wtedy, gdy jest
m ożliw e w sensie Łukasiew icza, iż p.
R ozbieżność ta m a swe źródło w tym, iż L ew is i L u k asiew ic z dążyli do sprecy zo w a n ia rozbieżnych znaczeń w yrażenia „jest m ożliw e, ż e ” .
Pierw szy z nich dążył do ujęcia pew n eg o rodzaju m e tajęz y k o w eg o sensu m ożliw ości. Ś w iadczy o tym 18 oraz przykład (typ?) zdania koniecznego: kartezjańskie „Ja istnieję” . Zdanie to, za autorem M edytacji, u w ażał on za w ynikające ze swej negacji. Zatem m ożliw ość tak pojęta je s t zw ią zan a z rela cjam i pom iędzy zdaniam i i bezpośrednio dotyczy raczej relacji m iędzy ele
40 T a m ż e , s. 244 n.
41 Zob. J. J. Z e m a n, M oclal L o g ic : The L e w is-in o d a l S y s te m s , O x f o r d 1973, s. 81 n., 85.
42 Zob. J. L u k a s i e w i c z , U w a g i filo z o fic z n e o w ie lo w a r to ś c io w y c h sy ste m a c h r a c h u n k u zd a ń , [w:] t e n ż e , Z za g a d n ie ń lo g ik i i filo z o fii, W a r s z a w a 1961, s. 155.
m entam i wiedzy o rzeczyw istości niż relacji m iędzy e lem e nta m i rz ecz y w is tości. Jeśli u tożsam im y zdania m ożliw e ze zdaniam i, które są p ra w d ziw e po p oprzedzeniu je funktorem „jest m ożliw e, że” , to:
(23) Zdanie je s t m ożliw e wtedy i tylko wtedy, gdy nie im plikuje swej
własnej negacji. czyli w świetle 6
(24) Z dan ie je s t m ożliw e w tedy i tylko wtedy, gdy nie je st w yp ro w ad za ln e (dedukow alne) ze swej własnej negacji.
Tę k oncepcję m ożliwości, w łaśnie z racji w y s tęp o w a n ia w definicji w a ru n ków praw dziw ości dla zdań m ożliw ych w yra żenia „zdanie ... jest w y p ro w a dzalne ze zdania . . . ” , m ożna by nazw ać m etaprzedm iotow ą.
D rugi natom iast logik m ożliw ość w sw ym system ie w yraził na dw a spo soby. W e d le pierw szego do zdań m ożliw ych zaliczał zdania, które dziś nie są ani praw dziw e, ani fa łsz y w e43. C hodzi tu o m ożliw o ść w y ra żo n ą przez „trz ecią” wartość logiczną Yi. Z godnie z drugim sp o so b em zdanie m ożliw e je st to zdanie, które dziś nie je st fałszyw e44. Przy tym roz um ie niu m o ż liw o
ści p ra w d ziw e je s t w logice trójw artościow ej tw ierdzenie 20. Z d a n ia m ożliw e są to d o k ładnie te zdania, które w raz z funktorem „jest m ożliw e, że” (w sy m bolice Ł uk a sie w ic z a ozna cza nym przez „M ” ) tw o rz ą zd a n ia p raw dziw e. Z biór zdań m ożliw ych przy pierw szym rozum ieniu jest p o d z b io re m w łaściw ym zbiorow i zdań m ożliw ych przy drugim rozum ieniu. Stąd m ożliw o ść w yrażoną przez te pierw sze b ędziem y nazyw ać m ożliw ością w w ę ższym sensie,
możli-43 Zob. t e n ż e , O d e te r m in iz m ie , [w:] t e n ż e , Z za g a d n ie ń lo g ik i i filo z o fii, s. 125. N a s z lo gik m ó w i tu, że „is tn ie ją z dania, kt óre nie są ani p r a w d z i w e [dziś - pr zyp . P. G.; też niżej], ani f a łs zy w e [dziś], ty lk o j a k i e ś o b o jętn e . T ak im i są w s z y s tk i e z d a n ia o fak ta ch p r z y sz łych, k tó re nie są j e s z c z e o b e cn ie p r z esą d z o n e. [ . . . ] z d a n i o m tym nie o d p o w i a d a o n to lo g ic z- nie ani byt. ani nie byt, lec z m o ż liw o ść ”. „ W a r to ś ć tę m o ż e m y o z n a c z y ć p rz ez „ ‘/ i ” : je s t to m o ż liw o ś ć , k tó ra w y s tę p u je o b o k „ fałsz u " i „ p r a w d y ” j a k o trze cia w a r t o ś ć ” ( t e n ż e , U w agi filo z o fic z n e o w ie lo w a rto śc io w y c h sy ste m a c h ra c h u n k u zd a ń , s. 153).
44 C h o d z i tu o m o ż l i w o ś ć w y r a ż o n ą przez f u n k to r „ M ” o n a s tęp u jąc e j t ab e lce p r a w d z i w o ś cio w ej : p Mp 0 0 Vt 1 1 1
UW AG I O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J LO G IK I M O D A LN E J 181
wość zaś w yrażoną przez drugie zdania - m ożliw o ścią w sensie szerszym . P o n ie w aż definiujem y zdania m ożliw e przez u c z as o w io n e wartości logiczne, stąd rów nież zdania m ożliw e będziem y kw alifikow ać j a k o dziś m ożliw e45.
U stalenia te oparte są na L. B o rkow skiego interpretacji e lem e n tó w matrycy logiki Ł 346. W edle niej elem enty „ 1 ”, „'/i” , „ 0 ” m atrycy logiki Ł3 m ożna zinterpretow ać jak o , odpow iednio, „praw da dziś”, „ani pra w da dziś, ani fałsz d z iś ”, „fałsz dziś”47. A dekw atne ujęcie tego, co Ł uk asiew ic z rozum iał przez p ra w d ziw o ść „dziś” i fałszyw ość „dz iś” zdania, spraw ia pew n e trudności w ypływ a ją ce z tego, iż, ja k się wydaje, co innego d ecyduje tu o wartości logicznej „d z iś ” zdań, które stw ierdzają stany rzeczy dziś istniejące, a co innego o wartości logicznej „d z iś” zdań o przyszłych stanach rzeczy. Jeśli p ierw szy rodzaj zdań nazw iem y zdaniam i teraźniejszym i, a drugi przyszłymi, to wedle tw órcy logiki trójwartościowej:
(25) Zdanie teraźniejsze jest dziś praw dziw e wtedy i tylko wtedy, gdy ist
nieje dziś stan rzeczy, którego istnienie zdanie to stwierdza.
(26) Z dan ie teraźniejsze jest dziś fałszyw e wtedy i tylko wtedy, gdy nie
istnieje dziś stan rzeczy, którego istnienie zdanie to stwierdza. D efinicje te nie w ystępują w prost u naszego logika, lecz w ydaje się, iż gotów byłby on je przyjąć.
(27) Zdanie przyszłe je s t dziś p ra w d ziw e wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
dziś stan rzeczy, który je s t p rz y czy n ą stanu rzeczy, którego istnienie zdanie to stw ierd z a48.
45 T w ó r c a logiki tró jw arto ś c io w ej p ie r w s z ą m o ż l i w o ś ć n a z y w a ł m o ż l i w o ś c i ą w ogóle, n a to m i a s t o d p o w i e d n ik d rugiej - m o ż l i w o ś c i ą c zy s tą . Zob. tam ż e, przyp. 14.
46 Zob. L. B o r k o w s k i , K ilk a u w a g o z a s a d zie d w u w a r to ś c io w o ś c i i lo g ik a c h w ie lo w a r to ś c io w y c h , [w:] t e n ż e . S tu d ia lo g ic zn e , L u b lin 1990, s. 473 n.
47 S a m Ł u k a s ie w i c z w a rto ś ć J A ” u m ie s z c z a ł o b o k p r a w d y i fałs zu, k la s y c z n ie pojętyc h. R o z w a ż a n ia z aw a rte w a rty k u le B o r k o w s k ie g o o raz w n i k l iw a a n aliza r o z u m o w a ń tw ó rc y logiki n iek la s y cz n e j, na k tó rą bra k tu mie jsc a, w s k az u ją, iż taki w n i o s e k j e s t nie do u trzy m an ia.
O d m i e n n ą in te rp reta cją j e s t in te rp reta cja e p is te m o lo g ic z n a . W a r t o ś c io m m a t r y c y „1", J A " , „ 0 ” p r z y p o r z ą d k o w u j e m y n a s tę p u ją c e w art ości e p is te m o lo g ic z n e : „ p r a w d a d o w o d l i w a ” , „nieroz- st r z y g a ln o ś ć pod w z g l ę d e m p ra w d y i f a łs z u ” , „ fałsz d o w o d l i w y ” . Por. M. L e c h n i a k. Z a g a d n ie n ie in te r p r e ta c ji w a rto śc i m a tr y c lo g ik w ie lo w a rto śc io w y c h , L u b lin 1999, s. 162. W a r t o z a u w a ż y ć , iż p o d o b n ą in te rp reta cję logiki Ł u k a s ie w i c z a dał s a m L ew is . U niego: „ 1 ” o z n a c z a „z p e w n o ś c i ą p r a w d z i w e ” , J A " - „ w ą t p l i w e ” , „ 0 ” - „z p e w n o ś c i ą f a łs z y w e ” . Zob. L e w i s , A lte r n a tiv e S y s te m s o f L o g ic , s. 495 n.
48 „ Z w ro tu : « p r a w d ą j e s t w chwili i, że p » [ . . . ] u ż y w a m w z a s tę p s t w i e p o w ie d z e n ia : « je s t tak w chw ili /, że p » ” ( Ł u k a s i e w i c z , O d e te r m in iz m ie , s. 116); „Jest tak w chwili o b e c n e j, że Jan b ę d zie j u t r o w p o łu d n ie w d o m u , z n a c z y , że istn ie je w chwili ob e cn e j fakt, b ę d ąc y p r z y c z y n ą j u tr z e js z e j bytnośc i J a n a w d o m u [ .. .] P r z y c z y n a p r z y s z ł e g o fa ktu stw ie rd za
-(28) Zdanie przyszłe je st dziś fałszyw e wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dziś stan rzeczy, który je st p rz y czy n ą nieistnienia stanu rzeczy, k tóre go istnienie zdanie to stw ierdza49.
Stąd
(29) Nie istnieją teraźniejsze zdania dziś m ożliw e w sensie w ęższym .
(30) Z danie teraźniejsze je s t dziś m ożliw e w sensie szerszym w tedy i tylko
wtedy, gdy istnieje dziś stan rzeczy, którego istnienie zdanie to stw ier dza'”’0.
(31) Z dan ie przyszłe je st dziś m ożliw e w sensie w ę ższym wtedy i tylko
wtedy, gdy nie istnieje dziś stan rzeczy, który je s t p rz y c z y n ą stanu rzeczy, którego istnienie zdanie to stwierdza, i nie istnieje dziś stan rzeczy, który je s t prz yczyną nieistnienia stanu rzeczy, którego istnienie zdanie to stw ierd z a51.
(32) Zdanie przyszłe je st dziś m ożliw e w sensie szerszym wtedy i tylko
wtedy, gdy nie istnieje dziś stan rzeczy, który je s t p rz y czy n ą n ieistnie nia stanu rzeczy, którego istnienie zdanie to stw ierd z a52.
Z atem w ujęciu Ł u k asiew ic za zdania m ożliw e w sensie szerszym to (dla zdań o teraźniejszości) zdania stw ierdzające to, co j e s t dziś lub (dla zdań o przyszłości) zdania stw ierdzające to, czego nieistnienie nie jest dziś
przy-n e g o przez z d aprzy-n ie «/;», istprzy-n ie jąc a w chw ili /, j e s t re a lprzy-n ym o d p o w ie d przy-n ik ie m z dania: «jest tak w chw ili t. że /;» " (tam że , s. 122).
Ąv „ [ .. . ] is tnie je ró ż n ic a m ię d zy p r z y p a d k ie m , w k tó r y m nie u z n a j e m y z dania: « p r a w d ą je s t w chw ili o b e c n e j, że Jan b ę d z ie ju tr o w p o łu d n ie w d o m u » d late g o , że j u tr z e j s z a b y tn o ś ć czy n i e b y tn o ś ć J a n a w d o m u nie j e s t j e s z c z e w chw ili o b e cn e j p r z e s ą d z o n a , a p r z y p a d k i e m , w k t ó rym nie u z n a j e m y tego z d a n ia dlatego, że is tnie je w chw ili o b ecn ej p r z y c z y n a j u tr z e j s z e j j e g o n ieb y tn o ści. [ . . . ] tylk o w tym d ru g im p r z y p a d k u m a m y p r a w o o d r z u c ić to z d a n ie i p o w ie d z ie ć « n ie j e s t p ra w d ą w chw ili o b ecn ej, że Jan b ę d zie j u t r o w p o ł u d n ie w d o m u » ” ( L u k a s i e - w i c z, O d e te r m in iz m ie , s. 124).
M> Z d a n i a tera źn ie js ze d ziś m o ż liw e zatem to z d a n i a dziś p ra w d ziw e .
M „ G d y j u tr z e j s z a b y tn o ś ć czy n i e b y tn o ś ć J a n a w d o m u nie j e s t j e s z c z e w chw ili obecnej p r z e s ą d z o n a , to p o w ie m y : « m o że b y ć , że Jan b ędzie j u tr o w p o ł u d n ie w d o m u » , ale te ż «m oże b y ć, że Ja n nie b ę d z ie j u tr o w p o łu d n ie w d o m u » (Ł u k a s i e w i c z, O d e te r m in iz m ie , s. 124); „ Z d a n ia te [tzn. z d a n ia o b o jętn e , m o ż liw e w w ę ż s z y m s en sie - przyp. P. G.] nie są w chw ili o b e cn e j p r a w d z iw e , bo nie m ają ż a d n e g o r e a ln e g o o d p o w i e d n ik a , ani też nie są fa łs zy w e , bo ich z a p r z e c z e n ia ta k ż e nie m ają re aln eg o o d p o w i e d n i k a ” (tam że , s. 125).
52 Z d a n i a m i m o ż liw y m i w se nsi e sz e rs z y m s ą zd an ia: „ D ziś j e s t e m w W a r s z a w i e ” , o ile d z iś j e s t e m w W a r s z a w i e , „Za rok o tej p o rz e b ę d ę w W a r s z a w i e ” , o ile d z iś n ie istnieje p rz y c z y n a tego, że za rok o tej por ze n ie b ę d ę w W a r s z a w i e . T o d r u g ie z d a n ie j e s t zd an iem m o ż l i w y m w se nsi e w ę ż s z y m , jeś li p o n a d to dz iś nie is tnie je p r z y c z y n a tego, że za rok o tej p o r z e b ę d ę w W ars z a w ie.
U W AG I O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J LOG IKI M O D A LN E J 183
czy n o w o zdeterm inow ane. To, czego nieistnienie nie je s t dziś przy czy n o w o zdeterm inow ane, je s t tym, co będzie i czego istnienie je st dziś p rzyczynow o zdeterm inow ane, albo tym, co będzie i czego istnienie nie je s t dziś p rz y czy now o zdeterm inow ane, albo tym, czego nie będzie, lecz czego nieistnienie nie je s t dziś przy czy n o w o zdeterm inow ane. Innym i słowy, zdanie m ożliw e w sen
sie szerszym stw ierdza bądź to, co jest, bądź to, co będzie i czego istnienie je s t dziś zdeterm inow ane, bądź to, co będzie i czego istnienie nie jest dziś zdeterm inow ane, bądź to, czego nie będzie, lecz czego nieistnienie nie je st dziś zdeterm inow ane. O d p ow ie dnio dla m ożliw ości w sensie w ę ższy m zdanie m ożliw e stw ierdza tylko to, co będzie i czego istnienie nie je s t dziś zde te rm i n ow ane, lub to, czego nie będzie, lecz czego nieistnienie nie je st dziś zd e te r m inow ane. Obie te k oncepcje m ożliw ości w olno zatem n azw ać p rz ed m io tow ym i, g dyż zarów no w określeniu tego, co stw ierdza zdanie m ożliw e, ja k i w określeniu w arunków praw dziw ości w ystępują w yłącznie term iny n ale żące do j ę z y k a przedm iotow ego: „stan rzeczy dziś (nie) istnie je” , „przyczyna (nie)istnienia stanu rz ecz y” .
Teza, iż m ożliw ość m a w trójw artościow ej logice J. Ł u k a s ie w ic z a c h a rak ter przedm iotow y, nie rozstrzyga za gadnienia postaw y badaw czej, przy jakiej tw orzona była ta logika. M. L echniak twierdząc, że w aru n k iem postaw y naz y wanej przez niego ontologiczną je s t przyjęcie praw dy bez żadnych w a runków d o d atkow yc h ja k o kryterium u zn a w an ia zdań, rozstrzyga, iż logika ta ma c h arakter nieontologiczny, który n az y w a ep istem ologicznym . R zeczyw iście w tym system ie u znajem y nie te zdania, które są p ra w dziw e, lecz zdania, które są dziś praw dziw e. Z ałożenie indeterm inizm u o n tologic znego prowadzi w ów czas do sytuacji, w których nie będziem y uznaw ać pew nych zdań p ra w dziwych, m ianow icie tych, które choć są praw dziw e, to nie są dziś p ra w d z i we, tzn. dziś nie istnieje przyczyna istnienia stanu rzeczy, który stw ier d z a ją 53.
W racając do m etafizykalnego uzasad n ien ia logik ścisłej im plikacji, Lew is w yraźnie podkreśla, iż nie m a podstaw do o drz ucenia w sp o m n ian y ch d eter m inistycznych konsekw encji w świetle dostępnych mu danych. W y raża o p i nię, iż:
„Jeśli zapytam y teraz, czy świat aktualny je s t taki, by m ateria lna im plika cja m ogła się do niego stosować, to odpow ied ź nie je s t sa m o o c z y w ista ” .
M oże m y mieć, co prawda, inklinację, by zaprzeczyć, je d n a k przyczyną m oże tu być nasza ignorancja.
„Stąd decyzja [o m odyfikacji logiki klasycznej - przyp. P. G.] podjęta na gruncie m etafizycznym je st w ą tp liw a ”54.
Tym niem niej w oczach autora A Survey o f S ym b o lic L ogic to, iż w logice klasycznej nie m ożna odróżnić zdania p ra w d ziw eg o od zdania k o n iecznego oraz zdania fałszyw ego do zdania niem ożliw ego, je s t w adą tego system u, a m ożliw ość odróżnienia zaletą logik ścisłej im plikac ji55.
N a za k ończenie o m aw iania uzasadnienia w p ro w ad ze n ia logik ścisłej im pli kacji warto zauw ażyć, iż w je g o ramach pojaw ia się dość interesujący w yw ód autora logiki modalnej:
„O każ d y m zbiorze w zajem nie spójnych zdań m ożna pow iedzieć, iż defi niuje « m ożliw ą sytuację» lub «przypadek (case)» lub «stan rzeczy». [...] M ożem y za p o m o cą tych term inów p rzetłum aczyć p -< q ja k o « K a żd a sytua cja, w której p je st praw dziw e i q jest fałszyw e, jest niem ożliw a». [...] Z d a nie m oże być praw dziw e w pewnej m ożliwej sytuacji i fałszyw e w innych, lecz, faktycznie, musi być albo po prostu praw dziw e (sim ply true), albo po prostu fa łsz y w e ”56.
W yda je się, jak o b y Lew is antycypow ał j u ż w 1918 r. podstaw o w e idee zw ią zane z sem antyką Kripkego dla logik m odalnych.
P od su m o w u ją c rekonstrukcję uzasad n ien ia w p ro w a d z e n ia pierw szych syste m ów m odalnych, zw róćm y uw agę na m e taprzedm iotow y ch a rak ter arg u m e n ta cji. A rgum e nty z pierw szej i drugiej grupy opierają się na stw ierdzeniu nie- adekw atności funktorów logiki klasycznej dla w yra żania pew nych m etaprzed- m iotow ych pojęć: implikacji oraz alternatyw y intensjonalnej. A rgum ent z de- term inizm u logiki klasycznej, choć pozornie dotyczy w łasności świata, okazał się w ykorzystyw ać m etap rzed m io to w e pojęcie m ożliw ości. Fakt m etaprzed- m iotow ej genezy tych system ów w skazuje na potrzebę ostrożnego i starannie u z a sadnionego stosow ania ich do analizy w y w o d ó w filozoficznych z dziedz i ny ontologii czy metafizyki.
C. I. Lewis, ja k dobrze w iadom o, nie poprzestał na je d n y m system ie logiki nieklasycznej, lecz ostatecznie zapro p o n o w ał pięć konkure n cy jn y ch logik ścisłej im plikacji. Ich aksjom atyki m ożna znaleźć w tabeli (s. 1 85)57.
54 L e w i s, The C a lc u lu s o f S tr ic t Im p lic a tio n , s. 246. T e n ż e , L a n g f o r d , dz. cyt., s. 14.
56 Z o b . L e w i s , A S u rv e y o f S y m b o lic L o g ic, s. 33.
UW AG I O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J LOG IKI M O D A LN E J 185
A ksjo m aty ki C. I. L ew is a dl a logik ścisłej im plikacji
S I S2 S3 S4 " ... i S 5 A p A q « q A p p A q -< q A p p A q -< q A p p A q ^ q A p p A q - < q A p K p A q « p P A q « p p A ą < p P A q * p p A q ^ p S P«PaP p ^ p A p p < p A p p ^ p A p p < p A p J ( p A q ) A r - < p A ( q A r ) ( p A q ) A i - < p A ( q A r ) ( p A q ) A I - < p A ( q A ! ) ( p A q ) A r - < p A ( q A r ) ( P A q ) A r - < p A ( q A r ) 0 p < ~ ~ p p < ~ ~p p < — p p<— p p < — p M ( p < q ) A ( q - < i H ( p - < i ) ( p < q ) A ( q - < r ) - < ( p * < r ) ( p < q ) A ( q < r H ( p - < r ) ( p - < q ) A ( q « < r H ( p - < r ) ( p -< q ) A (q - < r )- < (p - < r ) j A p A ( p « q ) - c q P A (p -< q ) -< q p A ( p - « q ) < q P A (p -< q ) -< q T < X p A q ) - < o p - p < ~ p Y ( p -< q ) -< (~ q - < ~ p ) OOp-<Op 0p-<-0~0p R e g u ły w n io s k o w a n ia : 1) re g u ła p o d s ta w ia n ia .
2 ) re g u ła z a s tę p o w a n ia s tro n śc is łe j ró w n o w a ż n o ś c i, 3 ) re g u ła o d ry w a n ia d la im p lik a c ji ś c is łe j,
4 ) re g u ła d o łą c z a n ia k o n iu n k c ji.
P ierw szą je s t zaprezentow any w 1918 r. w A Survey o f S ym b o lic L ogic system, nazwany później logiką S3. W tym dziele ów system je s t traktowany ja k o je d y n a p o p ra w n a form alizacja relacji im plikacji, stąd je st nazyw any System em Ścisłej Im plikacji58. Z biór term inów pierw otnych obejm u je sy m
bole: „a” , które są funktoram i - odpow iednio: negacji, nie
m ożliw ości, koniunkcji, ścisłej ró w n o w a ż n o śc i39. Z a ich p o m o c ą są zd e fi n io w an e60:
re g u ł w n io s k o w a n ia . Z a u w a ż m y pr zy o k azji, że L e w is w r a m a c h j e d n e j reg u ły , n a zw a n e j przez n ieg o P o d s ta w i a n ie m (S u b stitu tio n ), u jm u je d w ie r ó ż n e o d sie b ie re guły - p o d s t a w i a n i a ( w y rażeń z d a n i o w y c h z a z m i e n n e z d a n i o w e ) i z a s tę p o w a n ia r ó w n o w a ż n o ś c i ścisłej.
58 „ M o ż e m y n a z w a ć ten rodzaj im plikacji „ ś c is łą ” (s ir ic t) p r z y n a j m n i e j w tym sensie, że j e j z n a c z e n i e j e s t w ę ż s z e niż z n a c z e n ie alg e b raic zn e j im p lik acji [tzn. im p lik acji k las ycznej logiki z d a n io w e j - przyp. P. G .] ” ( t e n ż e , Im p lic a tio n a n d T he A lg e b r a o f L o g ic , s. 526, przyp. 1).
59 L e w is st osu je tu d o ść n i e t y p o w ą sy m b o lik ę , któ rą z a s tę p u je m y z g o d n ą z s y m b o lik ą w s p ó łc z es n ą . M i a n o w i c i e negację , n i e m o ż liw o ś ć , k o n iu n k cję , a lte rn a ty w ę e k s ten s jo n a ln ą. a lte rn a ty w ę śc isł ą o z n a c z a z a p o m o c ą o d p o w ie d n io : „ x ” , „ + ” . „a” .
60 Z a k ła d a , iż a lte rn a ty w a i i m p lik a c ja m a te ria ln a m ają d e fin icje tak ie , j a k w lo gic e k la sy cznej :
(33) p v q = ~ (~ p a ~q), oraz I.
(35) funktor ścisłej implikacji:
(36) funktor ścisłej alternatywy: „ + ’
(37) funktor ścisłej rów now ażności:
(34) funktor spójności: „ o ” p o q = ~-(p a q )61,
p -< q = -~(p 3 q )62,
p + q = -(~p a ~q),
p = q = (p -< q) a (q -< p)63.
O ba funktory „ v ” , zgodnie z intuicjam i z nimi przedstaw ionym i,
proponuje odczytyw ać za pom ocą w ieloznacznego „ lu b ”64.
W ydaje się, iż powyżej zrekonstruow ane u za sadnienie dotyczy przede w szystkim właśnie tej logiki.
P onadto Lew is o m aw ia przy okazji rów nież „R ac hunek P otocznego W n io s k o w a n ia ” oraz „R achunek Spójności (C onsistencies)”. W e d le j e g o deklaracji są to podsystem y System u Ścisłej Im plikacji ze w zględu na niew ystępow anie w ich ję z y k a c h niektórych je g o sym boli65. T erm inam i pierw otnym i tego pierw szego są: negacja, ścisła im plikacja, k o niunkcja (klasyczna) i ścisła rów now ażność. Do symboli zdefiniow anych n ależą fu n k to r spójności i ścisła alternatywa. Nasz autor twierdzi, że zaletą R achunku P otocznego W n io sk o w a nia jest brak sym bolu (definicji) materialnej im plikacji (a także materialnej alternatyw y) oraz praw jej (ich) dotyczących. Term inam i pierw otnym i R achunku Spójności są: negacja, funktor niem ożliw ości, fu n k to r spójności i ścisła rów now ażność. D efiniow ane są natom iast ścisła alternatyw a i ścisła im plikacja. Brak jest zatem definicji „ m ate rialnych” fu n k to ró w koniunkcji, alternatyw y oraz im plikac ji66.
Kolejne d w a systemy - SI i S2 zostały przedstaw ione w rozdziale VI wydanej w 1932 r. razem z C oopera H arolda L an g fo rd a S y m b o lic L o g ic61. Sekcje I-IV tego rozdziału zaw ierają prezentację logiki S I , sekcja V u zupeł nia jej aksjom atykę, konstytuując system S2. A pendyks zaś do tej pracy
61 F u n k to r spójności m o ż n a n a zw a ć , j a k z a z n a c z a na sz logik , śc isłą k o n iu n k cją . 62 Je st to, rz ec z j a s n a , d e fin icja r ó w n o w a ż n a z 12.
63 T o , że fu n ktor ten j e d n o c z e ś n i e j e s t s y m b o l e m p ie r w o tn y m , z k tó reg o k o rz y s ta się przy d e fin icja ch s ym boli w tó rn y c h , j a k i s y m b o l e m z d e f in io w a n y m , j e s t o s o b l i w o ś c i ą logiki Lew is a.
64 R e k o n s tr u k c ja za: L e w i s, A S u rv e y o f S y m b o lic L o g ic , s. 2 9 2 -2 9 5 . A k s jo m a t ostatni dla tej logiki j e s t tu p o d a n y b łędnie (błąd z a u w a ż y ł E. Post). P o p r a w i o n a w e rsja a k s jo m a ty k i uk a za ła się w 1920 r. w „Journal o f P h ilo s o p h y , P s y c h o lo g y , and S c ien tific M e t h o d " . N a s z a ro z p ra w a p rz ed s ta w ia j ą z a A p p e n d i x e m II w S y m b o lic L o g ic.
65 Jeśli chodzi o R a c h u n e k P o to c z n e g o W n io s k o w a n ia , nie j e s t on p o d s y s te m e m p o p r a w i o nej wersji S3. Ostatni je g o a k s jo m a t nie j e s t p r a w e m S3, lec z d o p i e r o S5.
66 W r a m a c h tego rach u n k u L e w is czyni i n te res u jąc e s p o s tr z e ż e n ia o c e c h a c h relacji sp ójności. W y k a z u je m.in., iż nie je s t o n a łąc zn a ani prz ec h o d n ia .
67 W e w s tę p ie do tej p racy z n a jd u je m y w y ja ś n ien ie, iż f r a g m e n ty p o ś w ię c o n e s y s te m o m ścisłej im plikacji zost ały na p is an e przez s a m e g o Lew is a.
U W A G I O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J L O G IK I M O D A LN E J 1 8 7
za w iera aksjom atyki pozostałych system ów ścisłej implikacji: S4 i S 56X. A ksjom aty dla tych logik za proponow ał w cześniej O skar B e c k e r69. P rz e d stawim y teraz pokrótce tok je g o rozum ow ania.
Z apreze ntow aw szy p opra w ioną wersję logiki S3, logik niem iecki obszernie u za sadnia konieczność m odyfikacji aksjom atu 38 (który w ystęp o w a ł w b łę d nym system ie z 1918 r.):
(38) (p -< q) = (-q -< -p)
do postaci implikacji 39 (która je s t aksjom atem w popraw ionej logice z 1920 r.):
(39) (p -< q) -< (-q -< -p).
P odaje przykład sytuacji, w której im plikacja odw ro tn a do implikacji 39 je s t w oczyw isty sposób fa łsz y w a70.
Jedna kże - w yw odzi dalej - usunięcie tej im plikacji z S3 w y tw a rza w nim d o tk liw ą lukę. L o g ik a ta nie je s t bow iem system em zw artym (g e sc h lo ss e n ), tzn.:
(40) m a (przeliczalnie) nieskończenie wiele m odalności.
(41) pom iędzy tymi m odalnościam i nie zachodzi p orz ądek liniowy,
(42) m odalności ¡terowane nie są sprow adzalne (zu r ü ck fiih rb a r) do m o d al
ności prostych na skończenie w iele sposobów.
Z pozostałych w y w odów B eckera wynika, że rozum iał on m odalności oraz ich re dukow alność w sposób w spółczesny. M ian o w icie m odalność „ M ” (w ję z y k u S3 z A S urvey o f [...]) to skończony ciąg funktorów :
M o d aln o ść „ M ” je s t re d u k o w aln a do m odalności „ N ” wtedy i tylko wtedy, gdy w yra żenia „ M p ” i „N p” są ściśle ró w n o w ażn e w tym system ie i „ N ” składa się z m niejszej liczby symboli niż „ M ”71. P orządek, o którym m owa w 41, je s t to relacja w y nikania m iędzy w yrażeniam i j ę z y k a system u fo rm a ln e go zaczynającym i się od odpow iednich m odalności. W kontekście Ziir Logik d e r M oda litä te n nie je s t jasne, ja k należy rozum ieć uw a g ę 42. C hodzi p ra w dopo d o b n ie o inne sform ułow anie tw ierdzenia 40. Z ate m do wad S3 B ecke r zalicza n ieredukow alność m odalności oraz ich nieliniow e uporządkow anie.
'M P o m i ja m y tu s y s te m L e w is a z tzw. p o s tu late m e g z y s te n c ja ln y m , który z a w i e r a k w anty- f ik a to r s z c z e g ó ło w y p rz eb ieg a jąc y z b ió r zdań.
69 O. B e c k e r, Z u r L o g ik d e r M o d a litä te n , „ J a h rb u c h fü r P h ilo s o p h ie u n d P h ä n o m e n o l o g is ch e F o r s c h u n g " . 1 1(1930) 4 9 7 -5 4 8 .
70 T a m ż e , s. 5 0 4 n.
O kazało się, iż tylko teza 41 jest praw dziw a: W. Parry udow odnił w 1939 r., iż w logice S3 m am y 42 niered u k o w aln e m odalności; relacja w y nikania m iędzy nimi rzeczyw iście nie tw orzy porządku linio w eg o 72. P ra w d o podobnie nasz logik dalej podtrzy m y w a łb y pogląd, iż je s t to liczba zbyt duża, j a k na zwarty system m odalny.
W takiej perspektyw ie zrozum iała staje się m odyfikac ja dokonań Lewisa, j a k ą proponuje Becker. Otóż p o praw ioną ak sjom atykę S3 u zupełnia o ak sjo mat 43, co daje logikę, którą n az y w a system em sześciu m odalności. Lewis d w a lata później nada jej m iano system u S5.
(43) —p -< - p 7\
C e c h ą ch a rakterystyc zną tej logiki jest to, iż ma ona tylko sześć nieredu- kow alnych m odalności: p, ~p, -p, —p, —p, — p. Z nac zy to, że w S5 każde w yrażenie, które zaczyna się od ciągu funktorów złożonego z funktorów :
j e st rów n o w ażn e z w yrażeniem , które zaczyna się od je d n e j z tych sześciu m odalności. Dalej zależności inferencyjne p o m iędzy m odalnościam i tw orzą porz ądek liniowy, a m ianowicie:
(44A) —a im plikuje a .
(44B) a implikuje —a .
(45A) - a im plikuje ~ a .
(45B) ~ a im plikuje — a .
T ak zb udow any system spełnia wym ogi zw artości w edle B eckera. M o żn a zatem przyjąć, iż stanow ią one j e g o kontekst uzasadnienia, m im o że sam jego autor przyznaje pew nego rodzaju arbitralność przy w y b o rz e aksjom atu 4 3 74. Nie poprzestaje je d n a k ż e na logice S5. Nie u zasadniając szerzej tego kroku, proponuje rozszerzenie system u S3 o następujące aksjom aty:
(46) p -< —p.
(47) —p -< p.
A ksjom at 46 naz y w a aksjom atem B rouw era, natom iast 4 7 tw ierdzeniem w yra żają cym redukow alność m odalności. W tak sk o n stru o w an y m system ie m am y dziesięć nieredukow alnych m odalności. Stąd je s t on nazw any system em
72 N ie j e s t m ia n o w i c ie tak, że jeś li „ M p " nie im p lik u je „ N p ” , to „ N p ” im p l i k u je „ M p ” . g d z ie „ M ” i „ N ” są n i e r e d u k o w a ln y m i m o d a ln o ś c ia m i S3 (tam że , s. 165-174).
73 B e c k e r (art. cyt., s. 511 n.) z a u w a ż a p o n a d to , że 4 3 m o ż e z o s ta ć z a s tą p io n y przez 4 3 ’: ( 4 3 ’) - p ■< — p.
U W A G I O G E N E Z IE W S P Ó Ł C Z E S N E J LO G IK I M O D A LN E J 189
dziesięciu m o d aln o ści75. D ołączenie tylko 4 7 do S3 daje system oznaczony później przez L ew isa ja k o S4.
N a za kończenie prezentacji rozw ażań B eckera zw rócim y je s z c z e uw agę na je g o próbę sprecyzow ania rzeczow ego (s a c h lic h ) zna cze n ia system u sześciu i dziesięciu m odalności. P olega ona na prz y p o rzą d k o w an iu funktorom modal- nym tych system ów pojęć z pew nego dyskursu n ieform a lnego w taki sposób, aby p ow stałe z aksjom atów w yrażenia były pra w am i w tym że dyskursie. O p e racja ta m a określić rzeczow y (tj. p oza form alny) sens ję z y k o w y funkto- rów m odalnych. B ecker om aw ia najpierw zinterpretow any aksjom at 47. P raw o to stw ierdza (im plicite), że konieczność konieczności je st ko n iecz n o ścią po prostu (odpow iednio m ożliw ość m ożliw ości je s t m ożliw o ścią po prostu), czyli że sam a konieczność je st konieczna. Taki typ konieczności u to żsam ia n astęp nie z tym, co je s t form alnie aprioryczne w sensie E. H usserla (w odróżnieniu od m aterialnej aprioryczności, która choć je s t konieczna, to to, że tak jest, nie j e s t samo w sobie konieczne). Z tej racji konieczność, która spełnia tw ier dzenie 47, nazyw a idealną lub ab solutną76.
N astępnie autor Z u r L ogik [...] przechodzi do dyskusji aksjom atu 43, k o n stytuującego logikę S5. A ksjom at ten stwierdza, że każ da m ożliw ość im pliku je swą konieczność. W połączeniu z 4 7 (który zresztą w y n ik a z niego) d eter m inuje on najsilniejszy logicznie rodzaj konieczności oraz logicznie najsłab szy rodzaj m ożliw ości. M odalności te B ecke r lokuje w tej samej sferze, co poprzednio, dodając, iż tkw ią one w istocie tej sfery, tak że stw ierdzenia o m odalności m odalności nie w noszą nowej inform acji w porów n a n iu ze stw ierdzeniam i o samej m odalności. W tej sferze każ da struktura je s t k o n ie c z na istotow o ( w esensnotw endig), a skoro każ da m ożliw ość je st zrealizow ana, to każ da m ożliw ość je st konieczna. Stąd ograniczenie się tylko do aksjom atu 47, który nie pozw ala na redukcję konieczności m ożliw ości do m ożliwości, jest, j a k to form ułuje Becker, n iew ybaczalną połow icznością, czyli brakiem konsekw encji w interpretacji systemu fo rm a ln e g o 77. W y d a je się zatem, że m im o iż zw raca on uw agę na paradoksalne tezy S5, to jest to logika, którą, przy pow yższej interpretacji, u w ażał za najbardziej adekw atną.
75 T a m ż e , s. 5 1 2 -5 1 7 . B e c k e r p r o p o n u je ta k ż e k las ę logik , w k tó ry ch w y s tę p u j ą tzw. u o g ó l n io n e a k s jo m a ty B e ck e ra. Z o b . tam że, s. 5 2 1 -5 2 6 . P o n i e w a ż nie są o n e b e zp o ś re d n io z w i ą z a n e z lo gik am i le w is o w s k im i. p o m ij a m y ich p r e zen ta cję .
7,1 T a m ż e . s. 518. ' 7 T a m ż e , s. 519 n.
A ksjom at B rouw era jest potraktow any zdaw kow o. W Z u r L ogik d e r M o d a litäten znajdujem y jed y n ie stwierdzenie o j e g o praw dziw ości oraz o fałszy- wości implikacji o d w ro tn e j78.
Z powyższej charakterystyki dokonań O sk ara B eckera wynika, iż nie nale ży przypisyw ać autorstw a logik S4 i S5 tylko Lew isow i. W szczególności odkrycie tego drugiego systemu je s t zasługą B eckera, który p o za form alną konstrukcją podał również m otyw ację filozoficzną na j e g o rzecz. Sam Lewis, pow ołując się na pracę logika niem ieckiego, nie po św ięc a zresztą obu syste m om wiele uwagi poza niżej cy to w a n ą sugestią o zakresie stosow alności S5. W racając do wersji system ów m odalnych z S ym bolic L o g ic , zaznaczym y teraz różnice w stosunku do ujęcia z A Survey o f S y m bolic Logic. Do symboli
pierw otnych należą w późniejszym dziele: „a” , „ 0 ” , W y raże nia
o postaci „Op” czytam y „Jest m ożliw e (niesprzeczne (self-consistent)), że p ” .
Lew is d okonuje tu utożsam ienia funktora z poprzedniej pracy ze złoże
niem funktorów „~ 0” . Z a p om ocą symboli pierw otnych definiuje alternatyw ę (ekstensjonalną), im plikację m aterialną i ścisłą, funktor spójności, funktor konieczności. Z w raca uwagę brak definicji ścisłej alternatyw y. W ska zuje to na w ygaśnięcie drugiej ze w spom nianych motywacji.
F u n k to r spójności u m ożliw ia w p row adze nie rozróżnienia pom iędzy m ożli w ością absolutną, w yrażoną przez funktor „0” , a m o żliw o ścią relatywną, w yra żoną przez „ o ” .
(48) Jest absolutnie m ożliwe, że p wtedy i tylko wtedy, gdy Op.
(49) Jest możliwe, że p ze względu na to, że q, wtedy i tylko wtedy, gdy
Poq.
M iędzy tak zdefiniow anym i rachunkam i zachodzi n astęp u ją ca zależność: (50) T A U T S] c T A U T S2 c T A U T Si c T A U T S4 c T A U T s579.
Nasz autor nie w y pow iada się nigdzie szerzej na tem at racji w prow adzenia różnych logik ścisłej implikacji i p orz ucenia nazwy „System Ścisłej Im plika cji” dla S3, która to nazwa m iała w skazyw ać, iż jest tylko je d e n taki system. M o ż n a tylko stwierdzić pewien rodzaj „relaty w n eg o ” u z a sad n ien ia dla syste mu S2 w zględem systemu S I , tzn. jeśli system SI je st uzasadniony, to tym bardziej jest uzasadniony system S2.
M ianow icie w logice S I:
7S T a m ż e , s. 520.
79 Z b ió r T A U T Sn j e s t z b io re m tez logiki Sn. D o w ó d 5 0 m o ż n a z n a le ź ć w: G. H. H u g h e s . M. J. C r e s s w e l I, A n In tro d u c tio n to M o d a l L o g ic , L o n d o n 1974. s. 21 6-225.
