Drgania poprzeczne układu dwóch belek połączonych elementem sprężystym

(1)

M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 12 (1974)

DRGANIA P OP R Z E C Z N E UKŁADU D WÓCH BELEK POŁĄ CZON YCH ELEM EN TEM SPRĘ Ż YSTYM

Z BI G N I EW O N I S Z C Z U K (KR AKÓW)

W pracy rozpatrzon o poprzeczne drgania ukł adu zł oż oneg o z dwóch belek pryzma-tycznych poł ą czonych elementem sprę ż ystym. G órn a belka opatra jest koń cami n a sztyw-nych podporach, doln a zaś jest podwieszona na pierwszej za pomocą sprę ż ystego elementu n a cał ej dł ugoś ci belki (rys. 1).

wy

Rys. 1. Model ukł adu drgają cego

W przybliż eniu m odel ten odpowiada niektórym typom suwnic wzglę dnie mostów, ponieważ w takich konstrukcjach dość rzadko spotyka się przypadek, aby dź wigary noś ne miał y stał e przekroje poprzeczne, a takie został y przyję te w modelu. Kratowe (lub inne) poł ą czenie dź wigarów został o zastą pione liniowym elementem sprę ż ystym.

D la tak zbudowanego m odelu rozpatrzymy drgania swobodne belek oraz drgania wymuszone, wywoł ane harm onicznie zmiennymi sił ami skupionymi, przemieszczają cymi się ze stał ą , prę dkoś cią po belce dolnej.

Pracę należy traktować jako wstę pny krok do szerszej analizy postawionego problemu. Analiza ta bę dzie przeprowadzon a dla róż nych sposobów podparcia belki górnej i róż nych rodzajów obcią ż eń.

1. Drgania swobodne

Przyjmujemy nastę pują ce zał oż enia: a) ukł ad nie jest tł umiony, b) belki mają stał e przekroje poprzeczne i stał e m om en ty bezwł adnoś ci.

(2)

72 Z . ON ISZCZU K

Oznaczenia:

/ cał kowita dł ugość belki,

Fi,F2,Ji, J2 przekroje poprzeczne i momenty bezwł adnoś ci belek, WL = W i(x, i) przemieszczenie przekrojów górnej belki,

w2 = W i(x, t) przemieszczenie przekrojów dolnej belki,

x współ rzę dna okreś lają ca poł oż enie danego przekroju,

t czas,

k współ czynnik sprę ż ystoś ci elementu sprę ż ystego,

Q gę stość materiał u belek, E moduł Younga, li rozstaw belek.

R ó w n a n i a r u c h u ukł adu (rys. 1) mają nastę pują cą postać:

(1)

- wj) = 0,

(2)

(3)

Warunki brzegowe: w tn *\ . w 82 w2

8x

2 (0,0

- w

_t

( /

8x

2

,t)- = 0,

ri

u,

8

2

w

83w2

8x

3 (0,0 (0,0 82 W i

8x

2 ' 8x3 Warunki począ tkowe:

W i(x, 0) _ f^x), \ v

2

{x, 0) = f

a

(x),

(4)

dt

(x,0)

(5)

U kł ad równań (1), (2) sprowadzamy do postaci: . 32 w, , ,

= 0,

= 0 .

(6)

Izie

(7)

EL

dt2

k

i - 1 , 2 .

U kł ad równań (5), (6) rozwią zujemy metodą F ouriera, przewidują c rozwią zania w po-staci:

(3)

D R G AN I A POPRZECZN E U KŁAD U D WÓCH BELEK 73

Podstawiają c (8) do (5), (6) otrzymujemy

b

_t

b,X

₂

T^

a\

afx[" a\ f~ >'

X, a\

'a\ Xn aff

b3X1 T"

i2 a\ X2 a\ '.

gdzie A*, A* oznaczają stale rozdzielenia zmiennych. Ostatecznie po rozdzieleniu równań mamy

(9) 1 +a₁A^l = u , i Ą - a₂A₂l — u

oraz a2 Xilv > + (b1- a 2 iAf)Xi- blX2 = 0, (1 0) 2 2 4

F unkcja czasu (cał ka ogólna równ ań (9)) m a postać (11) T = Ccoscot+Dsinwł , gdzie co = at A

2

— a2 A"1 oznacza czę stość drgań wł asnych ukł adu.

Rozwią zań ukł adu równ ań (10) poszukujemy w postaci

(12.) Xx = Axe , X2 = A2e .

P o podstawieniu (12) d o (10) i przyrównaniu do zera wyznacznika zbudowanego ze współ -czynników wystę pują cych przy stał ych At,A2 otrzymujemy równanie

• ł2 «2 „ 8 t r S- .2/L .2\ i rJlCU , *2\ T«4 i /"Ł , v2\ fL r v2\ Ł L A

^*1 " 2 ' ' L " l \ ^ 2 —O) ) iHoyOi — Ct) 11/ ~r" l " l — ^ J v^2 — ^ y — *^1 ®1 = = w» które z uwagi n a oznaczenia (7) przyjmuje postać Jest to równanie kwadratowe wzglę dem r4 . A zatem (14)

Obydwa pierwiastki rf i r\ są dodatnie, jeż eli zachodzi nierówność

+F

4

Warunek (15) eliminuje z rozważ ań mał o interesują cy przypadek drgań belek jako ciał sztywnych, poł ą czonych elementem sprę ż ystym, oraz przypadek, kiedy drgania belek nie są w ogóle moż liwe.

Oznaczmy

(4)

74 Z. ONISZCZUK

Równanie charakterystyczne (13) ma osiem pierwiastków:

(16) +k

±

; - kil +ih; - ikr, +k

2

; - k

2

; +ik

2

; - ik

2

,

gdzie

i = i/ - =T.

Cał kami ogólnymi równań (10) są funkcje:

X

x

= C

1

sh(k

1

x)+C

2

ch{k

1

x)+C

3

sm(k

l

x)+C

4

.cos(k

1

x) +

X

2

=» D

1

sh.(k

1

x)+D

2

ch(k

1

x)+D

3

sm(k

1

x)+D

Ą

cos(k

i

x) +

+D

5

sh(k

2

x)+D

6

ch(k

2

x)+D

7

sm(k

2

x)+D

8

cos(k

2

x),

gdzie stał e C

u

A Q • 1, 2, ..., 8) są zwią zane zależ noś ciam

i wynikają cymi z równań (10):

(18)

ki

j

k

^

F

)

k

a i /? są liczbami rzeczywistymi. Mamy wię c tylko osiem dowolnych stał ych rzeczywistych.

Stał e wyznaczamy wykorzystują c warunki brzegowe (3). Otrzymujemy jednorodny ukł ad

oś miu równań algebraicznych:

C

₂

+ C

₄

+ C

₆

+ C

₈

= 0,

ki C₂ — /Ci C4 + K₂ C- 6 k₂ Cg = 0,

ocfcf Ci- ofcf C

3

+ j5 |C 5 - / ? |C

7

- 0,

C i sh z

x

+ C

2

c h z

1

+ C

3

sin 2r

1

+ 04.

C

5

sh z

2

+ C

6

c h z

2

+ C

7

si n z

2

+ C

8

c o sz

2

= 0,

k\ C

2

chz

x

— k\ C^va- Z

1

— k\ CĄ .cosz

x

+

k

2

C

6

ch.z

2

— fciC

7

sinz

2

~ fc2C

8

cosz

2

= 0,

+ fclC

₅

s

afci C

x

shz

x

+ afcj C

2

c h z

x

— afc| C

3

sinZj —

+PklC

s

shz

2

+pklC

6

chz

3

- pklC

1

shiz

i

- pklC

a

cosz2 = O,

+ ^|C

5

chz

2

+ / ?jfclC

6

shz

2

- i3AriC 7C OSZ

2

+ / 9A:|C

8

sm z

2

= 0.

Warunkiem istnienia niezerowych rozwią zań tego ukł adu jest zerowanie się

wyznacz-nika utworzonego ze współ czynników wystę pują cych przy poszukiwanych stał ych:

rf

2

shz

₁

sinz

_l

(l —ch z

₂

co sz

₂

) —sh z

₂

sin z

₂

( l—ch z

₁

co sz

₁

) +

(21) + J c h z

2

[(shzj — sinzj) (shz

2

co sz

2

—ch z

2

sinz

2

) — (shz

2

—

— sin z

2

) ( sh z

1

c o sz

1

- c h z

1

sin z

1

) ] == 0,

gdzie

(5)

D RG AN IA POPRZECZNE UKŁ ADU DWÓCH BELEK 75

Z powyż szeg

o równania otrzymamy ciąg rozwią zań na czę stoś c

i drgań wł asnych ca„ (k

L

, k

2

są funkcjami co).

Z wyraż enia (14) obliczymy cią g

i wartoś ci dla k

ln

,k

2n

.

Z ukł adu równań (19), (20) dla okreś lonej czę stoś c

i m„ wyznaczamy stał e C,„

(/ = 1, 2, ..., 8) w funkcji jednej ze stał ych, np. C

7

„ :

C_{l n} = R„C- !„- , C211 =

Cł u — ~^6n — ~(- >6n — G„C₇„, C₃„ = N„C- j„, C_5n = K„Cj„,

gdzie współ czynniki R

n

, G„, N„, K„ są stał e dla okreś lonej czę stoś c

i w

n

{

1

).

Ostatecznie mamy nastę pują c

e postacie drgań gł ównych (17) dla okreś lonej czę stoś c

i

X

in

=

+ [K

_n

sh(k

_2n

x) +s'm(k

_2n

x)] - G„ [ch{k

_2n

x) +cos(k

_2n

x)]},

% = C{a([R

+P„([K

n

sh(k

2

«x)+sin(k

2n

x)]- G„[ch.(k

2n

x)+cos(k

2n

x)])},

gdzie wolno przyjąć C

7

„ = 1.

Rozwią zania (8) rozpatrywanego problemu wyraż aj

ą się nastę pują cym

i szeregami:

, 0 = £Xm(x)T„(t) = 2J (A,,cosco„t+B„siaa>„t) x

„ sh(k

ln

x) + N „ sin(k

ln

x)] + G„ [ch(k

ln

x) +cos(k

v

,x)] +

+ [K

n

sh(k

2n

x)+sin k

2n

x)] - G„ [ch(fc

2n

x)+cos(k

2n

x)]},

(23)

W

2

(X,t) = Z

X

2,,(x)T

n

(t) = 5J (

A

n

COSm

»

t+jB

n

sina>

"0

X n = l n= l

x {a„ ([R

n

sh.(k

in

x) + N „ sin(fc

ln

x)] + G„[ch(k

u

,x) + cos(fc

ln

x)]) +

+ ^„ ( [K„ sh(Ar

2n

x)+ sin(A:

2n

x)] — G

n

[ch(k

2n

x)+cos(fc

2n

x)])},

gdzie stał e A„, B

n

wyznaczamy z warunków począ

tkowych wykorzystując warunek orto-gonalnoś ci postaci drgań gł ównych, który w tym przypadku m a postać

(24) ${F,X

_xi

X

_yj

+F

₂

X

_2l

X

_2j

]dx = Q dla

o

Z warunków począ tkowych (4) mamy:

n= l

(l

) Zgodnie z zasadami rozwią zywania ukł adów równań jednorodnych należ ał oby sprawdzić z ilu rozwią zań liniowo niezależ nych skł ada się podstawowy ukł ad rozwią zań.

(6)

76 Z . ONISZCZUK

P o odpowiednich przekształ ceniach otrzymujemy wyraż enia n a poszukiwane stał e: / [F1fi(x)X1„+F2f2(x)X2n)dx

(25) ,

Podsumowanie

1. W rozpatrzonym problemie drgań belek moż emy doszukać się pewnej analogi z drganiami dwóch m as poł ą czonych wię zią sprę ż ystą. Abstrahując od tego, że górn a belka jest podparta (co zresztą nie jest konieczne, gdyż rozważ

ania nasze przeprowadzimy w opar-ciu o wzory ogólne, w których warunki brzegowe jeszcze nie ingerują ), ukł ad o 2n(n - » oo) stopniach swobody moż emy sprowadzić do ukł adu o 2 stopniach swobody zakł adają c, że sztywność obu belek wzrasta nieskoń czenie.

Jeż eli EJl, EJ2 - » oo, to musi być r\n<2n — ~k\ „t2n = 0. Wtedy z (14) wynika

Of — £

więc

co2

= O o r a z OJ2

= „ „ •

Przyjmują c, że x = kl oznacza cał kowitą sztywność elementu sprę ż ystego, = QFXI, m2 = QF21—masy belek, otrzymujemy

m1nt2

Wyraż enie to okreś la czę stość drgań dwóch mas poł ą czonych jednym elementem sprę-ż ystym. Warunek (15) eliminuje ten mał o interesują cy przypadek drgań belek jako prę-tów nieskoń czenie sztywnych.

2. N a podstawie (14), (15) i (18) moż na wykazać, że

gdzie

1 1 4fe

2

Wynika z tego, że skł adowe wychyleń postaci drgań Xln,X2n przyporzą dkowane

współ czynnikom kln mają kierunek zgodny, natomiast przyporzą dkowane współ

(7)

D RG AN IA POPRZECZNE UKŁADU DWÓCH BELEK 77

Jeż eli przejdziemy teraz do ukł adu o dwóch stopniach swobody, to otrzymamy

„ _ R _ ^ _ «i

t2 m2

co rzeczywiś cie m a miejsce.

O peł nej analogii ukł adu skł adają cego się z dwóch belek i ukł adu dwumasowego moż na jedn ak mówić dopiero w przypadku, gdy górna belka nie jest podparta.

3. Z wyraż enia (14) wynika, że gdy sztywność górnej belki EĄ ~* oo, wtedy dolna belka drga jak belka n a sprę ż ystym podł ożu z czę stoś ciami

EJ2k$„+k

4. N a zakoń czenie warto podkreś lić, że w oparciu o przedstawiony sposób rozwią zania znalezienie swobodnych drgań belek przy róż nych typach podparcia zarówno górnej, jak i dolnej belki nie przedstawia trudnoś ci.

2. Drgania wymuszone

2.1. Ogólny przypadek drgań wymuszonych. Przejdziemy obecnie do wyznaczenia wymuszonych drgań belek, wywoł anych obcią ż eniami dowolnymi, przył oż onymi n a górnej i dolnej belce (rys. 2); I I w \ 1

HM

m

TrTTrrr

Wx,t)

y x

- JL

Rys. 2

A(x, t), f2(x, i) oznaczają obcią ż enia w odpowiednich punktach górnej i dolnej belki.

R uch ukł adu drgają cego (rys. 2) opisują równ an ia:

(26) _i

u- wr) "Mx, t),

(27) lI

- w

I

) =f

2

{x,t).

Peł ne rozwią zania tego ukł adu równ ań są nastę pują ce:

(28) W tmW t + W i, Wn =

gdzie wt, w2 oznaczają drgania swobodne belek, a.WxiW2 — drgania wymuszone. 6 M echanika Teoretyczna

(8)

78 Z . ON ISZCZU K

Wobec tego funkcje W

x

, W

2

muszą speł niać równania

(29)

E

(30)

E J

^ ^

+

^^W~

+k<

<

w

*~

W

^ - / »C . 0 .*

z warunkami brzegowymi typu (3) oraz nastę pują cym

i warunkami począ tkowymi:

(31)

8 W

_= o.

D o znalezienia rozwią zań powyż szeg

o ukł adu równań posł uż ymy się metodą rozkł adu

w/ g postaci drgań wł asnych.

Szukane funkcje przedstawiamy w postaci szeregów:

0 0

(32) W

_t

{x, 0 = 2/

S

» ( 0 4 W , i = 1,2,

« = 1

gdzie £ „ ( 0 oznacza nieznaną funkcję czasu, X

ln

(x), X

2

„(x) — postacie drgań wł asnych

(znane).

Podstawiając (32) do (29) i (30) otrzymujemy

(33) 2 [EJ^ X^ +QF.SL 'X^ - kS^ X^ - X^ )] = A(x, t),

(34) ^ [ ^ S

n

X2F+ QF

2

S '

n

'X

2 n

+kS„(X

2n

- X

ln

)] = / , ( , 0•*

n = l

Równanie (33) mnoż ymy przez X

lk

, (34) zaś przez X

2

\ .

P o zsumowaniu tych równań mamy

co

(35) £ [E(Ą X

lk

Xi™> +J

2

X

2k

X^)S„+Q(F

1

X

lll

X

1

„ +F

2

X

2k

X

2

„)S'

K

'

+ fc ( Z

2 t

- x

l t

) ( z

2 n

- x

l n

) s

n

] =Mx, t)x

11c

+f

2

{x, t)x

2k

.

Wiemy, że funkcje X

ln

,X

2

„ speł niają równania (10)

<8

_lB

+k(X

_2n

- X

_ln

),

E

( 30)

(9)

D R G AN I A POPRZECZN E U KŁ AD U D WÓCH BELEK 79

którą wprowadzamy do wyraż enia (35). U zyskane w ten sposób równanie

e

£ {F,x

lk

x

ln

+F

1

x

2k

x

2n

) [s;; +

m 2

n

s

n

] - A(x, t)x

lk

+f

2

(x, t)x

2k

n = l

cał kujemy obustronnie po dł ugoś ci belki. Przyjmując teraz k = n i biorąc pod uwagę

warunek ortogonalnoś ci (24), otrzymujemy równanie róż niczkow

e zwyczajne na poszuki-waną funkcję czasu

(37) SX+a>S*

n

=jH

n

(f),

gdzie

/ [fi(x, t)X

ln

(x)+f

2

(x, t)X

2

„(x))dx

(38) H

n

(t) - °

;

• / (F.Xl+F^ Ddx

o

Rozwią zanie równania (37) przy warunkach począ tkowych (31) ma postać

t

(39) S„ ( 0 = — f tf„(T)sinK(ć - r)]dz.

Zatem drgania wymuszone belek wyraż aj

ą się nastę pują cym

i wzorami:

Wx(x, t) =

2J x

^S

n

-

2J - ^-X I»J

Hn(^m[co

n

(t- r)]dr,

(40)

CO CO t

W

₂

(x, 0 = 2J

X2

"

S

"

=

/ - — ^ . I H„(T )ń n[w

_n

(t- x)]dr.

Cał kowite drgania belek mają postać

Wl

=

(41)

n= l Qa>> 0

f H

n

(r)sin[m

n

(t- T )]dr\ .

6*

(10)

80 Z . ONISZCZUK

2.2. Drgania poprzeczne przy obcią ż eniu skupionymi sił ami harmonicznymi przemieszczają cymi się ze stałą prę dkoś cią Tpo dolnej belce. Wyprowadzone wzory ogólne (38), (39), (40) wykorzysta-my teraz do znalezienia drgań belek w przypadku sił przemieszczają cych się (rys. 3).

O z n a c z e n i a : Px = Pxsincot, Pn = P2ń nmt oznaczają sił y wymuszają ce, » .

czę stość wymuszenia, a — ustaloną odległ ość mię dzy sił ami, c — stał ą prę dkość prze-mieszczania się sił (kierunek jej oznaczony jest na rys. 3).

(42)

Rys. 3

Zakł adamy, że w chwili t = 0 poł oż enie sił jest takie jak n a rys. 3.

Rozpoczniemy od ^obliczenia funkcji (38), która w tym przypadku m a postać: z

JMx,t)X

_2n

dx

H«(t)

= —

j [F.Xl

M ianownik tego wyraż enia po wprowadzeniu Xln, X2„ z (22) daje:

+G„ [Rn s h 2 Zl n +Nn si n 2 Zl n + (Nn+R„) s h Zl n si n Zl B + (i?„ ~Nn) c h Zl nc o s Zl n] ~

—I(JC,- 1)G + ~

k

2

„ \ "

"

4

- G„ [Kn sh 2 Z2 n +sin 2 Z2„+(K„ + l) sh Z2„ sin Z2 n + (Kn - l)chZ2ncosZ2n] ~

2c

3 / 1 lnKn+k2nRn)shZlnshZ2n lnR„ +k2nKn)chZlnchZ2n + (kln +k2nN„)smZlnsmZ2n

(11)

+ (k

ln

K

n

R„+k

2n

Gl)chZ

ln

shZ

2

„- (k

ln

Gi~k

2n

N

n

)smZ

ln

cosZ

2n

-- (k

ln

N

n

- k

2n

Gt)cosZ

ln

smZ

2n

} +

- (k

ln

R

n

+k

2n

)chZ

ln

cosZ

2n

}- (k

ln

GZ+k

2n

R

n

)shZ

ln

cosZ

2

„ +

R

n

+k

2n

Gt)chZ

ln

smZ

2n

+ (k

ln

G- k*

2n

K

n

N

n

)smZ

ln

chZ

2n

-- (k

ln

K„N„+k

2n

G

B 2

)cosZ

l n

shZ

2

„ +

+ GA(k

ln

K„- k

2

„N

n

)sinZ

Sn

shZ

2n

+ (k

ln

N„+k

gdzie

c

ln

= F

l

+a

2 n

F

2

, Z

ln

=k

ln

l,

c

3n

=

J

W liczniku wyraż eni

a (42) otrzymujemy nastę pują cą funkcję czasu:

L„{t) = Jf

₂

(x,t)X

_2n

dx =

smaitf {P^dlx-o o

= [QinSh(k

ln

ct)+Q

2n

ch(k

ln

ct)+Q

3n

sm(k

ln

c

+Q

_s

„sh(k

_2n

ct)+Q

₆

„ch(k

_2n

ct)+Q

_ln

sm(k

_2n

ct)+Q

_B

„cos(k

_2tt

ct)]sm(ot,

gdzie

fO dla x ^ et, fO; x ^ a+c,

**W- *'[l dla x ^ <**

+

^ { U i

Q

ln

= +a„[R„(P

1

+P

2

ch Qc

lH

a

Q

2

„ = +a„[G

n

(P

1

+P

2

ch (k

ln

a))+R

n

P

2

sh(k

ln

a)],

Qzn - +<x„[N„(P

₁

+P

₂

cos(k

_ln

a))- G

_n

P

₂

sm(k

_ln

a)],

Q» = +a„[G„(P*

1

+P

2

cos(k

ln

a))+N„P

2

sin(k

ln

a)],

Qsn = +p„[K

n

(P

1

+ P

2

ch (k

2n

a))- G

n

P

2

sh(k

2n

a)],

h (k

2n

a))- K„P

2

sh(k

2n

a)],

Qan= - ^„{Pi+P^osQc^a))- P

2

sm(k

2n

a)].

Ostatecznie H„{t) = L„(t)/ M„. Wprowadzają c to wyraż eni

e do wzoru (39) mamy

( 4 3 )

(12)

82 ' Z .O N I SZ C Z U K gdzie . (44) • Vn = u„vn, u„ = mlnm2nm3nmAn, v„ = nlnn2nn3„n4n, mln - (fcl nc) 2 - (eo+ a> „ )2 , nl B - (k2nc) 2 - (<o+(on) 2 , >»2n - (fclnc) 2 - (< w- co„ )2, n2n = (k2nc) 2 - (a>- (on) 2 , n3n = (fc2nc

w

_{6 n}

= ( f c

_{l B}

c )

2

- (co

2

- a>l), n

_{6 n}

= ( fc

_{2 n}

c )

2

- (co

2

- c a

2

) ,

U„(t) = sia(ot{v„[mlnm2„m6„(Qinsh(klnct)+Q2„ch(kln ct))-- m3nm4nmStt(Q3nsm(klnct)- Q4ncos(ku,ct))]+un[ninn2nn6n(Q5nsh(k2nct) +

h(k2n et)) - n3n nAn n5n (Q7„ sin(Ar2/1 et) - Q8n cos(k2l

, et))]} -~2mcoscot{(klnc)vn[minm2n(Qlnch(klnct)+Q2nsh(kinct)) + n (Q3ncos(kln ci)- QAnm\ {kln et))] + (k2n c)u„ [nlnn2„ (Qs„ch(k2„ct) +

+Q6nsh(k2act)) +n3„n4„(Q7„cos(k2nct)- QSnsm(k2nct))]} +

D rgania wymuszone belek wywoł ane sił ami przemieszczają cymi się mają postać

OO 0 0

**Wi(. O - 2jXi(x)S**

_n

(t) - ]? - ~Y X

_ln

(x)U

_n

(t),

(46)

W

2

(x, t)

=

Podsumowanie

1. Rozwią zania drgań wymuszonych (46) skł adają się , jak to wynika z funkcji czasu (45), z dwóch czę ś ci:

a) czystych drgań wymuszonych (zawierają czł ony sina>< i coscoć ),

b) drgań swobodnych (zawierają czł ony sinco„ż i cosa>„f)> które powstają w chwili przył oż enia sił zewnę trznych. N ależy je odróż nić od drgań swobodnych, które wynikają z odpowiednich warun ków począ tkowych.

Jest rzeczą oczywistą , że wzory (46) są sł uszne dopóki et < (l—d), to znaczy dopóki zachodzi ruch obcią ż enia. W momencie gdy t = —(l—d), obcią ż enie zostaje zdję

te i pozo-c

(13)

2. Zjawisko rezon an su m oże wystą pić dla każ dego skł adnika sum (46) przy okreś lonych wartoś ciach prę dkoś ci przemieszczania się sił wymuszają cych. Wynika to z wyraż enia (44). Przyrównują c V„ d o zera

otrzymujemy cztery prę dkoś ci rezonansowe przy ustalonej czę stoś ci wymuszenia co

0)+C0„ \CO — (O„\ CO+COn |(M — O)„|

c

\ n — T. > C

2 n T , C3n — r , CĄ „ — • - ,

"• In "i n K- 2n K- ln

z których podstawową prę dkoś cią rezonansową jest c2 n.

P odobn ie moż emy m ówić o czterech czę stoś ciach rezonansowych (przy ustalonej prę dkoś ci) wynikają cych bezpoś redn io z tych zależ noś ci. Przypadek co = co„ nie prowadź do rezonansu, chyba że c = 0 lub gdy sam a prę dkość jest już rezonansowa.

Literatura cytowana w tekś cie

1. S. D . PONOMARIEW, W spół czesne metody obliczeń wytrzymał oś ciowych w budowie maszyn, PWN , War-szawa 1957.

2. S. ZIEMBA, Analiza drgań , PWN , Warszawa 1959.

3. A. I I . <t>HJinnnoBj Kojiefimun defiopMupyeMux cucmeM «ManiHHocTpoeHHe», MocKBa 1970.

4. E. F . FOJIOCKOKOB, A. n . OmiH imoBj HecmaifuoHapHue Ko/ te6amiH Mexamteaaix cucmeM, «HayKOBa

flyM Ka», KHKB 1966.

5. S. KALISKI, Drgania i fale w ciał ach stał ych, PWN , Warszawa 1966.

P e 3 io M e

n o n E P E ^ I H BI E KOJIEBAHKLa CH CTEM ŁI ^BYX EAJIOK, CBH 3AH H BIX

ynpyrH M

SJIEM EH TOM

B p a6o T e paccM aTpH BaioTca n o n e p e ^ H b i e KoneSanH H CHCTeiww, cowoH m eft H 3 flByx npM M aTmiecKH X 6ajiOK3 CBfloaH H tix yn pyrH M 3JieMeHT0M. B e p xa sm 6ain< a o n n p a e T c a KOHiiama Ha JKSCTKH X o n o p a x. — n oflBeuieH a H a n epBoft n o Bc eń fljiH H e 6a jn «i n p n n oiwom n yn p yr o r o sneiweH Ta. AH ajiH 3H po-CHCTeMa H BJIH C TC H H eKOTopoit yn p o m eH H o ii MOAeJttio KpaH a ww. M ocra.

B pa6oT e npH BefleH M flH cJxfiepeH qH ajiBH bie ypaBH eH H H flBH >KeH H H CH creM bi, a TaKHce HaftfleHbi p e cBo6oflH bix Kone6aH H ft H BbiHy>KfleHHbix KOJieSaHHft n p H fleiicTBH H rapiwoH H iecKH X C H JI , H B H ->KymHXCH C nOCTOHHHOft CKOpOCTbIO n o HH5KHCH G aJIKe.

S u m m a r y

TRAN SVERSAL VIBRATION O F TH E SYSTEM O F TWO BEAMS CON N ECTED BY M EAN S OF AN ELASTIC ELEM EN T

I n this paper is discussed the transversal vibration of the system of two beams connected by means of an elastic element. The top beam's ends are supported on rigid supports. The lower beam is suspended by means of an elastic element on the first one. This system represents a certain simplified model of a gantry or a bridge. There are considered the free vibrations of the beams and forced vibrations caused by har-monic forces which move with a constant velocity on the lower beam. POLITECHNIKA KRAKOWSKA