1 Uwaga: W poni»szych zadaniach, je»eli nie jest zaznaczone inaczej, rozpatrujemy macierze nad ciaªem R. 1. Niech A =0 2 1 1 0 −1 , B =1 −1 0 2 oraz C = 0 −5 1. Oblicz (a) BA (c) CCT (e) AAT − 2B (b) ACT (d) CTC (f) (B2+ 5I 2)T. 2. Niech A =0 −53 0 −11 i B = 2 −3 1 −2 6 −10
.Poka», »e AB = I2, ale BA 6= I3.
3. Wyznacz wzór na macierz An, dla dowolnego n ∈ N, je»eli
(a) A =1 1 0 1 (b) A =cos α −sin α sin α cos α (c) A =1 1 1 1 (d) A =2 0 0 12 . 4. Niech A =1 31 2 ∈ M2(Z5)oraz B = 1 4 2 4 ∈ M2(Z5). Oblicz (a) A2+ B (b) AB (c) A2+ B2+ I 2. 5. Dla macierzy A =3 −14 8 i B =1 −1 20 3 6
znajd¹ tak¡ macierz X, »e A · X = B. 6. Wska» przykªad macierzy odwracalnych A, B ∈ M2(R), takich, »e A+B nie jest odwracalna.
7. Wyznacz wszystkie macierze ze zbioru M2(R) przemienne z macierz¡ A =
1 1 0 1
. 8. Niech A, B ∈ M2(R). Udowodnij, »e AB = BA ⇔ (A − B)(A + B) = A2− B2.
9. Poka», »e macierz A = 0 −1 1 −1
speªnia równo±¢ A3 = I
2 i wykorzystaj ten fakt do
wyz-naczenia macierzy A−1 w terminach macierzy A.
10. Poka», »e macierz A =2 43 1
speªnia równo±¢ A2− 3A − 10I
2 = 0i wykorzystaj ten fakt
do wyznaczenia macierzy A−1 w terminach macierzy A.
11. Zaªó»my, »e dla macierzy A ∈ Mn(R) zachodzi A2 = 0. Poka», »e macierz In+ A jest
odwracalna i wyra¹ (In+ A)−1 przy pomocy macierzy A.
12. Zaªó»my, »e macierze A, B ∈ Mn(k) s¡ odwracalne. Wyka», »e wówczas macierz AB jest
odwracalna i (AB)−1 = B−1A−1.
13. Niech A ∈ Mn(R) b¦dzie macierz¡ odwracaln¡. Udowodnij, »e AT jest macierz¡ odwracaln¡
i (AT)−1= (A−1)T.
14. Niech A ∈ Mn(R) b¦dzie macierz¡ odwracaln¡ i symetryczn¡. Udowodnij, »e macierz
odwrotna A−1 jest te» macierz¡ symetryczn¡.
15. Udowodnij, »e dla dowolnej macierzy B ∈ Mn(R) macierz A = B · BT jest macierz¡
symetryczn¡.
16. Udowodnij, »e iloczyn dwóch macierzy symetrycznych A i B jest macierz¡ symetryczn¡ ⇔ AB = BA.
17. Niech A ∈ Mn(R) b¦dzie macierz¡ odwracaln¡. Udowodnij, »e dla ka»dego k ∈ N macierz
2 18. Niech A ∈ Mn(R), c ∈ R. Wyra¹ det(cA) przy pomocy det(A).
19. Oblicz (z de nicji) wyznaczniki macierzy (a)cos α −sin αsin α cos α
∈ M2(R) (b)2 + i i 3 1 ∈ M2(C) (c) A = 1 2 3 1 2 3 1 3 3 ∈ M3(R)
20. Ustalmy macierz A ∈ Mn(k). Udowodnij, »e
(a) Je»eli macierz A zawiera wiersz zerowy, to det(A) = 0.
(b) Je»eli macierz A zawiera wiersz równy innemu wierszowi pomno»onemu przez element c ∈ k, to det(A) = 0 (wykorzystaj fakt, »e wyznacznik macierzy A nie ulega zmianie, gdy do wiersza macierzy A dodamy inny wiersz pomno»ony przez dowolny element c ∈ k). 21. Korzystaj¡c ze wzoru Laplace'a oblicz wyznaczniki macierzy
(a) macierze z zadania 19 (b) 1 1 2 2 1 2 6 6 2 3 3 7 3 3 3 7 ∈ M4(R) (c) 1 1 2 2 3 3 3 6 6 9 2 1 1 7 3 3 3 3 7 78 6 0 6 7 1 ∈ M5(R)
22. W±ród macierzy z zada« 19 i 21 wska» odwracalne.
23. Ustalmy n ∈ N. Oznaczmy przez Dn(k) (odp. Tn(k)) zbiór macierzy diagonalnych (odp.
górnotrójk¡tnych), tj. Dn(k) = {A = [aij] ∈ Mn(k) : aij = 0, dla i 6= j} (odp. Tn(k) =
{A = [aij] ∈ Mn(k) : aij = 0, dla i > j}).
(a) Znajd¹ wzór na det(A), dla dowolnej A ∈ Dn(k)(odp. A ∈ Tn(k)).
(b) Znajd¹ warunek konieczny i dostateczny na to, by macierz A ∈ Dn(k)(odp. A ∈ Tn(k))
byªa odwracalna.
24. Ustalmy A, B ∈ M2(k). Znajd¹ zwi¡zek mi¦dzy warto±ciami det(A), det(B) oraz det
h A 0
0 B i.
Jak mo»na uogólni¢ to rozumowanie?
25. Wyka», »e det(A−1) = (det(A))−1, dla dowolnej macierzy odwracalnej A ∈ M n(k).
26. Rozwi¡» poni»sze ukªady równa« liniowych metod¡ wyznaczników (Cramera).
(a) x1 + 5x2 = 12 2x1 + 3x2 = 10 (c) x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 7x1 + 14x2 + 20x3 + 27x4 = 0 5x1 + 10x2 + 16x3 + 19x4 = −2 3x1 + 5x2 + 6x3 + 13x4 = 5 (b) x1 + x2 + 2x3 = 1 2x1 + x2 + 2x3 = 1 6x2 + 2x3 = 1 (d) x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 7x1 + 14x2 + 20x3 + 27x4 = 0 5x1 + 10x2 + 16x3 + 19x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 + 13x4 + x5 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 = 1
27. Znajd¹ odwrotno±ci poni»szych macierzy metod¡ wyznaczników
(a)1 20 2 (b) 1 −1 2 2 1 3 1 0 2 (c) 1 2 2 2 3 4 1 0 2 1 3 2 1 2 3 3 (d) 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 28. Znajd¹ odwrotno±ci macierzy z zadania 27 metod¡ eliminacji Jordana-Gaussa.
29. Przedstaw równania z zadania 26 w postaci Ax = b, gdzie A ∈ Mn(R), b ∈ Mn×1(R) oraz
