1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
Definicja wartości bezwzględnej
=
x
<
−
≥
0
...
....
0
....
...
x
gdy
x
x
gdy
x
Własności wartości bezwzględnej
0
≥
x
x
x
=
−
y
x
y
x
⋅
=
⋅
y
x
y
x
=
a
a
n n=
, gdy
n
jest liczbą parzystąPrzykład 1.9.1. Oblicz:
a)
3
b)
−
3
c)
3
1
−
d)
0
e)
1
−
2
f)
2
−
1
g)
3
,
14
−
π
h)
(
3
−
3
)
2 Rozwiązanie Komentarza)
3
=
3
Wykorzystujemy definicję=
x
x
gdyx
≥
0
b)
−
3
=
3
Wykorzystujemy definicję=
x
−
x
gdyx
<
0
c)
3
1
3
1
=
−
Wykorzystujemy definicjęx
=
−
x
gdyx
<
0
d)
0
=
0
Wykorzystujemy definicję=
x
x
gdyx
≥
0
e)
1
−
2
=
−
1
+
2
Liczba1
−
2
jest ujemna, zatemwykorzystując definicję
x
=
−
x
gdyx
<
0
, opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając znak.f)
2
−
1
=
2
−
1
Liczba2
−
1
jest dodatnia, zatemwykorzystując definicję
x
=
x
gdyx
≥
0
, opuszczamy wartość bezwzględną nie zmieniając znaku.g)
3
,
14
−
π
=
−
3
,
14
+
π
π
=
3
,
14592654
...
, zatem liczba3
,
14
−
π
jest ujemna. Wykorzystując definicję=
x
−
x
gdyx
<
0
,opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając znak.
h)
(
3
−
3
)
2=
3
−
3
=
=
−
3
+
3
Wykorzystując własnośća
a
n n=
, gdy
n
jest liczbą parzystą, zastępujemy pierwiastek wartością bezwzględnąLiczba
3
−
3
jest ujemna, zatemwykorzystując definicję
x
=
−
x
gdyx
<
0
, opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając znak.Przykład 1.9.2. WyraŜenie
x
+
2
−
1
−
x
, gdy
x
∈
(
−
∞
,
−
3
)
zapisz bez uŜycia symbolu
wartości bezwzględnej.
Rozwiązanie Komentarz(
−
−
) (
−
−
)
=
=
−
−
+
x
x
x
x
2
1
2
1
=
−
x
−
2
−
1
+
x
=
−
3
WyraŜenie
x
+
2
dlax
∈
(
−
∞
,
−
3
)
jest
ujemne, zatem opuszczamy wartość bezwzględną z tego wyraŜenie zmieniając znak.WyraŜenie
1
−
x
dlax
∈
(
−
∞
,
−
3
)
jest
dodatnie, zatem opuszczamy wartość bezwzględną z tego wyraŜenie nie zmieniając znaku.Interpretacja wartości bezwzględnej
−
a
a
- a 0 a
Wartość bezwzględna liczby jest to odległość tej liczby od zera.
Równania z wartością bezwzględną
Jeśli
a
>
0
, to
x
=
a
⇔
x
=
a
∨
x
=
−
a
Jeśli
a
=
0
, to
x
=
a
⇔
x
=
0
Jeśli
a
<
0
, to
x
=
a
⇔
x
∈
∅
Nierówności z wartością bezwzględną
Jeśli
a
>
0
, to
x
<
a
⇔
x
<
a
∧
x
>
−
a
⇔
x
∈
(
−
a
,
a
)
Jeśli
a
>
0
, to
x
>
a
⇔
x
>
a
∨
x
<
−
a
⇔
x
∈
(
−
∞
,
−
a
) (
∪
a
,
+∞
)
Przykład 1.9.3. Korzystając z interpretacji wartości bezwzględnej rozwiąŜ równania i
nierówności.
a)
x
=
2
b)
x
=
0
c)
x
=
−
6
d)
x
<
3
e)
x
>
2
Rozwiązanie Komentarza)
x
=
2
x
=
2
∨
x
=
−
2
Równanie
x
=
2
spełniają liczby , których
odległość od 0 jest równa 2. Są to 2 i – 2 .b)
x
=
0
x
=
0
Równanie
x
=
0
spełniają liczby , których
odległość od 0 jest równa 0. Jest to 0.c)
x
=
−
6
brak rozwiązania
d)
x
<
3
x
∈
(
−
3
,
3
)
Nierówność
x
<
3
spełniają wszystkie liczby , których odległość od 0 jest mniejsza od 3.e)
x
>
2
x
∈
(
−
∞
,
−
2
) (
∪
2
,
+∞
)
Nierówność
x
>
2
spełniają wszystkie liczby , których odległość od 0 jest większa od 2.Przykład 1.9.4. RozwiąŜ równania
a)
x
−
3
=
5
b)
3
x
−
5
=
0
c)
−
x
=
5
−
x
3
2
Rozwiązanie Komentarza)
x
−
3
=
5
x
−
3
=
5
lubx
−
3
=
−
5
x
=
5
+
3
x
=
−
5
+
3
x
=
8
x
=
−
2
Odp. Równanie ma dwa rozwiązania: 8, -2
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność :
Jeśli
a
>
0
, to
x
=
a
⇔
x
=
a
∨
x
=
−
a
Rozwiązujemy otrzymane równania.b)
3
x
−
5
=
0
3
x
−
5
=
0
3
2
1
3
5
3
:
/
5
3
=
=
=
x
x
x
Odp. Równanie ma jedno rozwiązanie:
3
2
1
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność :
Jeśli
a
=
0
, to
x
=
a
⇔
x
=
0
c)
−
x
=
5
−
x
3
2
−
x
=
5
−
x
3
2
5
/
3
3
2
⋅
−
=
x
x
2
x
=
15
−
3
x
3
5
:
/
15
5
15
3
2
=
=
=
+
x
x
x
x
x
=
3
lub
x
=
−
3
Odp. Równanie ma dwa rozwiązania: 3 , -3
Równanie doprowadzamy do postaci
bx
+
c
=
a
, wykorzystując własności:y
x
y
x
⋅
=
⋅
,
y
x
y
x
=
Rozwiązujemy otrzymane równanie wykorzystując własność:
Jeśli
a
>
0
, tox
=
a
⇔
x
=
a
∨
x
=
−
a
Przykład 1.9.5. RozwiąŜ nierówności
a)
x
≤
4
b)
x
+
3
>
2
c)
x
+
1
≥
6
−
2
x
+
2
Rozwiązanie Komentarz
a)
x
≤
4
x
≤
4
i
x
≥
−
4
x
∈
−
4
,
4
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność:
Jeśli
a
>
0
, to
x
<
a
⇔
x
<
a
∧
x
>
−
a
Rozwiązanie przedstawiamy na osi liczbowej.b)
x
+
3
>
2
x
+
3
>
2
lub
x
+
3
<
−
2
x
>
2
−
3
x
<
−
2
−
3
x
>
−
1
x
<
−
5
x
∈
(
−
∞
,
−
5
) (
∪
−
1
,
+∞
)
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność:
Jeśli
a
>
0
, to
x
>
a
⇔
x
>
a
∨
x
<
−
a
Rozwiązujemy otrzymane równania .c)
x
+
1
≥
6
−
2
x
+
2
x
+
1
≥
6
−
2
(
x
+
1
)
x
+
1
≥
6
−
2
x
+
1
x
+
1
≥
6
−
2
x
+
1
x
+
1
+
2
x
+
1
≥
6
2
1
3
:
/
6
1
3
≥
+
≥
+
x
x
x
+
1
≥
2
lub
x
+
1
≤
−
2
x
≥
2
−
1
x
≤
−
2
−
1
x
≥
1
x
≤
−
3
x
∈
(
−
∞
,
−
3
∪
1
,
+
∞
)
Nierówność doprowadzamy do postaci
a
c
bx
+
≥
, wykorzystując własność:y
x
y
x
⋅
=
⋅
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność:
Jeśli
a
>
0
, to
x
>
a
⇔
x
>
a
∨
x
<
−
a
Rozwiązujemy otrzymane równania .Rozwiązania przedstawiamy na osi liczbowej
ĆWICZENIA
Ć
wiczenie 1.9.1. Oblicz:
a) (1pkt.)
−
11
b) (1pkt.)
2
3
−
5
c) (1pkt.)
(
4
−
5
)
2schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie odpowiedzi.1
Ć
wiczenie 1.9.2. Zapisz podane wyraŜenia bez wartości bezwzględnej, jeśli
0
,
0
<
>
b
a
:
a) (1pkt.)
b
a
2
b) (1pkt.)
a
−
b
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Zapisanie wyraŜeń bez wartości bezwzględnej.
1
Ć
wiczenie 1.9.3. RozwiąŜ równania:
a) (2pkt.)
2
x
−
3
=
4
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Zapisanie równania bez wartości bezwzględnej.
1
2 Podania rozwiązań równania.
1
b) (2pkt.)
x
2+
4
x
+
4
=
5
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Zapisanie równania przy uŜyciu wartości bezwzględnej.
1
2 Podania rozwiązań równania.
1
Ć
wiczenie 1.9.4. RozwiąŜ nierówności
a) (2pkt.)
x
−
3
≥
2
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Zapisanie nierówności bez wartości bezwzględnej.
1
2 Podanie rozwiązania nierówności w postaci przedziału lubsumy przedziałów.
1
b) (2pkt.)
x
+
2
+
2
x
+
4
<
12
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Zapisanie nierówności w postaci
