• Nie Znaleziono Wyników

 1.9. Warto bezwzgldna..pdf 

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share " 1.9. Warto bezwzgldna..pdf "

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA

Definicja wartości bezwzględnej

=

x

<

0

...

....

0

....

...

x

gdy

x

x

gdy

x

Własności wartości bezwzględnej

0

x

x

x

=

y

x

y

x

=

y

x

y

x

=

a

a

n n

=

, gdy

n

jest liczbą parzystą

Przykład 1.9.1. Oblicz:

a)

3

b)

3

c)

3

1

d)

0

e)

1

2

f)

2

1

g)

3

,

14

π

h)

(

3

3

)

2 Rozwiązanie Komentarz

a)

3

=

3

Wykorzystujemy definicję

=

x

x

gdy

x

0

b)

3

=

3

Wykorzystujemy definicję

=

x

x

gdy

x

<

0

c)

3

1

3

1

=

Wykorzystujemy definicję

x

=

x

gdy

x

<

0

d)

0

=

0

Wykorzystujemy definicję

=

x

x

gdy

x

0

e)

1

2

=

1

+

2

Liczba

1

2

jest ujemna, zatem

wykorzystując definicję

x

=

x

gdy

x

<

0

, opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając znak.

(2)

f)

2

1

=

2

1

Liczba

2

1

jest dodatnia, zatem

wykorzystując definicję

x

=

x

gdy

x

0

, opuszczamy wartość bezwzględną nie zmieniając znaku.

g)

3

,

14

π

=

3

,

14

+

π

π

=

3

,

14592654

...

, zatem liczba

3

,

14

π

jest ujemna. Wykorzystując definicję

=

x

x

gdy

x

<

0

,

opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając znak.

h)

(

3

3

)

2

=

3

3

=

=

3

+

3

Wykorzystując własność

a

a

n n

=

, gdy

n

jest liczbą parzystą, zastępujemy pierwiastek wartością bezwzględną

Liczba

3

3

jest ujemna, zatem

wykorzystując definicję

x

=

x

gdy

x

<

0

, opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając znak.

Przykład 1.9.2. WyraŜenie

x

+

2

1

x

, gdy

x

(

,

3

)

zapisz bez uŜycia symbolu

wartości bezwzględnej.

Rozwiązanie Komentarz

(

) (

)

=

=

+

x

x

x

x

2

1

2

1

=

x

2

1

+

x

=

3

WyraŜenie

x

+

2

dla

x

(

,

3

)

jest

ujemne, zatem opuszczamy wartość bezwzględną z tego wyraŜenie zmieniając znak.

WyraŜenie

1

x

dla

x

(

,

3

)

jest

dodatnie, zatem opuszczamy wartość bezwzględną z tego wyraŜenie nie zmieniając znaku.

(3)

Interpretacja wartości bezwzględnej

a

a

- a 0 a

Wartość bezwzględna liczby jest to odległość tej liczby od zera.

Równania z wartością bezwzględną

Jeśli

a

>

0

, to

x

=

a

x

=

a

x

=

a

Jeśli

a

=

0

, to

x

=

a

x

=

0

Jeśli

a

<

0

, to

x

=

a

x

Nierówności z wartością bezwzględną

Jeśli

a

>

0

, to

x

<

a

x

<

a

x

>

a

x

(

a

,

a

)

Jeśli

a

>

0

, to

x

>

a

x

>

a

x

<

a

x

(

,

a

) (

a

,

+∞

)

Przykład 1.9.3. Korzystając z interpretacji wartości bezwzględnej rozwiąŜ równania i

nierówności.

a)

x

=

2

b)

x

=

0

c)

x

=

6

d)

x

<

3

e)

x

>

2

Rozwiązanie Komentarz

a)

x

=

2

x

=

2

x

=

2

Równanie

x

=

2

spełniają liczby , których

odległość od 0 jest równa 2. Są to 2 i – 2 .

b)

x

=

0

x

=

0

Równanie

x

=

0

spełniają liczby , których

odległość od 0 jest równa 0. Jest to 0.

c)

x

=

6

brak rozwiązania

(4)

d)

x

<

3

x

(

3

,

3

)

Nierówność

x

<

3

spełniają wszystkie liczby , których odległość od 0 jest mniejsza od 3.

e)

x

>

2

x

(

,

2

) (

2

,

+∞

)

Nierówność

x

>

2

spełniają wszystkie liczby , których odległość od 0 jest większa od 2.

Przykład 1.9.4. RozwiąŜ równania

a)

x

3

=

5

b)

3

x

5

=

0

c)

x

=

5

x

3

2

Rozwiązanie Komentarz

a)

x

3

=

5

x

3

=

5

lub

x

3

=

5

x

=

5

+

3

x

=

5

+

3

x

=

8

x

=

2

Odp. Równanie ma dwa rozwiązania: 8, -2

Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność :

Jeśli

a

>

0

, to

x

=

a

x

=

a

x

=

a

Rozwiązujemy otrzymane równania.

b)

3

x

5

=

0

3

x

5

=

0

3

2

1

3

5

3

:

/

5

3

=

=

=

x

x

x

Odp. Równanie ma jedno rozwiązanie:

3

2

1

Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność :

Jeśli

a

=

0

, to

x

=

a

x

=

0

(5)

c)

x

=

5

x

3

2

x

=

5

x

3

2

5

/

3

3

2

=

x

x

2

x

=

15

3

x

3

5

:

/

15

5

15

3

2

=

=

=

+

x

x

x

x

x

=

3

lub

x

=

3

Odp. Równanie ma dwa rozwiązania: 3 , -3

Równanie doprowadzamy do postaci

bx

+

c

=

a

, wykorzystując własności:

y

x

y

x

=

,

y

x

y

x

=

Rozwiązujemy otrzymane równanie wykorzystując własność:

Jeśli

a

>

0

, to

x

=

a

x

=

a

x

=

a

Przykład 1.9.5. RozwiąŜ nierówności

a)

x

4

b)

x

+

3

>

2

c)

x

+

1

6

2

x

+

2

Rozwiązanie Komentarz

a)

x

4

x

4

i

x

4

x

4

,

4

Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność:

Jeśli

a

>

0

, to

x

<

a

x

<

a

x

>

a

Rozwiązanie przedstawiamy na osi liczbowej.

b)

x

+

3

>

2

x

+

3

>

2

lub

x

+

3

<

2

x

>

2

3

x

<

2

3

x

>

1

x

<

5

x

(

,

5

) (

1

,

+∞

)

Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność:

Jeśli

a

>

0

, to

x

>

a

x

>

a

x

<

a

Rozwiązujemy otrzymane równania .

(6)

c)

x

+

1

6

2

x

+

2

x

+

1

6

2

(

x

+

1

)

x

+

1

6

2

x

+

1

x

+

1

6

2

x

+

1

x

+

1

+

2

x

+

1

6

2

1

3

:

/

6

1

3

+

+

x

x

x

+

1

2

lub

x

+

1

2

x

2

1

x

2

1

x

1

x

3

x

(

,

3

1

,

+

)

Nierówność doprowadzamy do postaci

a

c

bx

+

, wykorzystując własność:

y

x

y

x

=

Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując własność:

Jeśli

a

>

0

, to

x

>

a

x

>

a

x

<

a

Rozwiązujemy otrzymane równania .

Rozwiązania przedstawiamy na osi liczbowej

ĆWICZENIA

Ć

wiczenie 1.9.1. Oblicz:

a) (1pkt.)

11

b) (1pkt.)

2

3

5

c) (1pkt.)

(

4

5

)

2

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie odpowiedzi.

1

Ć

wiczenie 1.9.2. Zapisz podane wyraŜenia bez wartości bezwzględnej, jeśli

0

,

0

<

>

b

a

:

a) (1pkt.)

b

a

2

b) (1pkt.)

a

b

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Zapisanie wyraŜeń bez wartości bezwzględnej.

1

Ć

wiczenie 1.9.3. RozwiąŜ równania:

(7)

a) (2pkt.)

2

x

3

=

4

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Zapisanie równania bez wartości bezwzględnej.

1

2 Podania rozwiązań równania.

1

b) (2pkt.)

x

2

+

4

x

+

4

=

5

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Zapisanie równania przy uŜyciu wartości bezwzględnej.

1

2 Podania rozwiązań równania.

1

Ć

wiczenie 1.9.4. RozwiąŜ nierówności

a) (2pkt.)

x

3

2

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Zapisanie nierówności bez wartości bezwzględnej.

1

2 Podanie rozwiązania nierówności w postaci przedziału lub

sumy przedziałów.

1

b) (2pkt.)

x

+

2

+

2

x

+

4

<

12

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Zapisanie nierówności w postaci

bx

+

c

<

a

1

2 Podanie rozwiązania nierówności w postaci przedziału lub

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wiesz już czym jest odległość (zobacz temat: Pojęcie odległości). W tej lekcji zajmiemy się szczegółowo odległością euklidesową między punktami na osi liczbowej. Ponieważ

[r]

U – Zaznaczają kolorem punkty odpowiadające liczbom dwucyfrowym o jednakowych cyfrach.. N – Poleca odnaleźć i wypisać liczby dwucyfrowe, których cyfra jedności jest dwa

Sprawdźcie, jakie jest dostępne wyposażenie w sali, jakie są możliwości i ograniczenia związane z przestrzenią i sprzętem oraz czego potrzebujecie, żeby spełnić

Obecnie zawodowo zajmuje się administracją oraz angażuję się w działania na rzecz społecznej odpowiedzialności biznesu. Powiem tylko, że mam psiaka adopciaka i uwielbiamy spacery

Interesujące jest też to, że choć Biblia wymienia dziesiątki obcych bogów, to jednak nie podaje z nazwy trójcy babilońskiej, którą ekscytują się Świadkowie

Flush zrodził się z lektury listów miłosnych Elizabeth Barret i Roberta Browninga, choć zapewne niemały wpływ na ksiąŜkę miał równieŜ pies samej Virginii Woolf – prezent

uczennicę w ogólnopolskich konkursach: Alfik i Kangur. b) konkursy literackie, dziennikarskie, czytelnicze, recytatorskie.. Powstała jako dwukartkowa broszura klasowa, ale