Fale elektromagnetyczne (pdf),

Spis treści

9 Fale elektromagnetyczne 3

9.1 Fale w jednym wymiarze . . . 3 9.2 Fale elektromagnetyczne w próżni . . . 13 9.3 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym . . . . 23 9.4 Absorpcja i dyspersja . . . 47

Elektrodynamika

Część 8

Fale elektromagnetyczne

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

∂2f ∂z2 = 1 v2 ∂2f ∂t2 równanie falowe f (z, t) = g(z − vt) + h(z + vt) rozwiązanie ogólne 9 Fale elektromagnetyczne

9.1 Fale w jednym wymiarze 9.1.1 Równanie falowe f z vt f(z, 0) f(z, t) v f (z, t) = f (z − vt, 0) = g(z − vt)

ν = 1 T = kv 2π = v λ, częstość ω = 2πν = kv, częstość kątowa

f (z, t) = A cos(kz − ωt + δ) fala biegnąca w prawo

f (z, t) = A cos(−kz − ωt + δ) fala biegnąca w lewo, k ⇒ −k

9.1.2 Fale sinusoidalne (i) Terminologia f (z, 0) δ/k maksimum centralne A λ v z f (z, t) = A cos[k(z − vt) + δ] λ = 2π

k , λ — długość fali, k — liczba falowa T = 2π

kv = λ

(iii) Liniowe kombinacje fal sinusoidalnych ˜ f (z, t) = ∞ Z −∞ ˜ A(k)ei(kz−ωt)dk

każdą falę można przedstawić w postaci kombinacji liniowej fal sinusoidalnych

Amplitudę ˜A(k) można wyznaczyć z warunków początkowych f (z, 0) i ˙

f (z, 0) przy wykorzystaniu teorii transformat Fouriera. (ii) Notacja zespolona

eiθ = cos θ + i sin θ wzór Eulera

f (z, t) = Re[Aei(kz−ωt+δ)] ˜

f (z, t) ≡ ˜Aei(kz−ωt) zespolona funkcja falowa ˜

A = Aeiδ zespolona amplituda

z

x

y

v

fala poprzeczna: polaryzacja pionowa, ˜f_v(z, t) = ˜Aei(kz−ωt)xˆ 9.1.4 Polaryzacja

v

z

x

y

v

ˆ

n

θ

fala poprzeczna: polaryzacja ukośna, ˜f(z, t) = ˜Aei(kz−ωt)nˆ ˆ

n = cos θ ˆx+ sin θ ˆy, θ — kąt polaryzacji ˜

f(z, t) = ( ˜A cos θ)ei(kz−ωt)xˆ + ( ˜A sin θ)ei(kz−ωt)yˆ

z

x

y

v

∇ · E = 0 i ∇ · B = 0 w obszarach bez ładunków ∆E = µ₀ǫ₀∂ 2_E ∂t2 , ∆B = µ0ǫ0 ∂2B ∂t2 ∆f = 1 v2 ∂2f ∂t2

każda składowa pól E i B spełnia

trójwymiarowe równanie falowe

v = _√ 1

µ₀ǫ₀ = 3, 00 · 10

8 _m/s prędkość fali elektromagnetycznej

w próżni 9.2 Fale elektromagnetyczne w próżni 9.2.1 Równanie falowe dla E i B

(i) _{∇ · E = 0, (iii) ∇ × E = −}∂B_∂t , (ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µ0ǫ0∂E_∂t ,

     równania Maxwella w obszarach bez ładunków i prądów ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = ∇ × −∂B ∂t ! = − ∂ ∂t(∇ × B) = −µ0ǫ0 ∂2E ∂t2 ∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B) − ∆B = ∇ × µ₀ǫ₀∂E ∂t ! = µ₀ǫ₀ ∂ ∂t(∇ × E) = −µ0ǫ0 ∂2B ∂t2

∇ × E = −∂B_∂t ⇒ −k( ˜E0)y = ω( ˜B0)x, k( ˜E0)x = ω( ˜B0)y

˜

B₀ = k

ω( ˆz × ˜E0)

pola E i B są zgodne w fazie

i wzajemnie prostopadłe B0 = k ωE0 = 1 cE0

amplitudy pola elektrycznego i

magnetycznego są ze sobą związane 9.2.2 Fale monochromatyczne płaskie

˜

E(z, t) = ˜E₀ei(kz−ωt), B(z, t) = ˜˜ B₀ei(kz−ωt)

z x y v fala płaska ∇ · E = 0 i ∇ · B = 0 ⇒ ( ˜E0)z = ( ˜B0)z = 0 fale są poprzeczne

E(z, t) = E0cos(kz − ωt + δ) ˆx

B(z, t) = 1_cE0 cos(kz − ωt + δ) ˆy

pola rzeczywiste

Kierunek pola elektrycznego określa polaryzację fali elektromagnetycznej. z x y c E E0 B E0/c

Jeśli ˜E(z, t) = ˜E₀ei(kz−ωt)xˆ, to ˜B(z, t) = 1 cE˜0e

E(r, t) = E_{0cos(k · r − ωt + δ) ˆ}n B(r, t) = 1 cE0 cos(k · r − ωt + δ)(ˆk× ˆn) c k r ˆ k _{· r}

dowolny kierunek propagacji

˜ E(r, t) = ˜E₀ei(k·r−ωt)nˆ ˜ B(r, t) = 1 cE˜0e i(k·r−ωt)_(ˆk × ˆn) = 1 ckˆ × ˜E(r, t) ˆ n _{· k = 0} fala poprzeczna ˆ

℘ = 1 c2S gęstość pędu ℘ = 1 cǫ0E 2 0 cos2(kz − ωt + δ) ˆz = 1 cu ˆz

dla płaskiej fali monochromatycznej hui = 1₂ǫ0E₀2 hSi = 1₂cǫ₀E₀2zˆ h℘i = _2c1 ǫ₀E₀2zˆ średnie po okresie I ≡ h|S|i = 1 2cǫ0E 2 0 natężenie fali

9.2.3 Energia i pęd fal elektromagnetycznych

u = 1 2 ǫ0E 2 ₊ 1 µ0 B2 ! B2 = 1 c2E 2 _{= µ}

0ǫ0E2 dla płaskiej fali monochromatycznej

u = ǫ₀E2 = ǫ₀E₀2 cos2_{(kz − ωt + δ)} wkład elektryczny i

magnetyczny są równe

S = 1

µ₀(E × B) gęstość strumienia energii S = cǫ0E₀2cos2(kz − ωt + δ) ˆz = cu ˆz

dla płaskiej fali monochromatycznej

v = _√1 ǫµ = c n n ≡ r _ǫµ ǫ0µ0 współczynnik załamania

µ/µ₀ ∼= 1, n ∼= √ǫ_r dla większości materiałów Poprzednie wyniki pozostają słuszne po zamianie ǫ_{0 → ǫ, µ0 → µ, c → v} u = 1 2 ǫE 2 ₊ 1 µB 2 ! gęstość energii

9.3 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym 9.3.1 Rozchodzenie się fal w ośrodkach liniowych

(i) _{∇ · D = 0, (iii) ∇ × E = −}∂B_∂t , (ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × H = ∂D_∂t ,      jeśli nie ma ładunków i prądów swobodnych D = ǫE, H = 1 µB w ośrodku liniowym (i) _{∇ · E = 0, (iii) ∇ × E = −}∂B_∂t ,

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µǫ∂E_∂t ,      w ośrodku liniowym i jednorodnym µ₀ǫ_{0 ⇒} µǫ

9.3.2 Odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym x z y 1 2 powierzchnia graniczna v₁ B_I E_I −v1 BR E_R v₂ B_T E_T S = 1 µ(E × B) wektor Poyntinga I = 1 2ǫvE 2 0 natężenie fali

Co się dzieje, gdy fala przechodzi z jednego ośrodka do drugiego?

(i) ǫ₁E₁⊥ = ǫ₂E₂⊥, (iii) E₁k = E₂k, (ii) B₁⊥ = B₂⊥, (iv) _µ1₁B₁k = _µ1₂B₂k,      warunki brzegowe

˜ E0I + ˜E0R = ˜E0T z (iii) 1 µ1  ₁ v1 ˜ E0_I − 1 v1 ˜ E0R  = 1 µ2  ₁ v2 ˜ E0T  z (iv) ˜ E0I − ˜E0R = β ˜E0T, β ≡ µ₁v₁ µ2v2 = µ1n2 µ2n1 ˜ E0R = 1 − β 1 + β ! ˜ E0I, E˜0T = 2 1 + β ! ˜ E0I ˜ E0R = _v 2 − v1 v₂ + v₁  ˜ E0I, E˜0T =  _2v 2 v₂ + v₁  ˜ E0I dla µ1 = µ2 = µ0 E0R =     v_{2 − v1} v₂ + v₁    E0I, E0T =     2v₂ v₂ + v₁    E0I amplitudy rzeczywiste ˜ E_I(z, t) = ˜E0Ie i(k1z−ωt)_xˆ ˜ B_I(z, t) = _v1₁E˜0Ie i(k1z−ωt)_yˆ      fala padająca ˜ E_R(z, t) = ˜E₀Re i(−k1z−ωt)_xˆ ˜ B_{R(z, t) = −v}1 1 ˜ E₀Re i(−k1z−ωt)_yˆ      fala odbita ˜ E_T(z, t) = ˜E₀Te i(k2z−ωt)_xˆ ˜ B_T(z, t) = _v1₂E˜₀Te i(k2z−ωt)_yˆ      fala przechodząca

9.3.3 Odbicie i przejście przy padaniu ukośnym z 1 2 płaszczyzna padania k_R k_I k_T θT θR θI E0R =     n_{1 − n2} n₁ + n₂    E0I, E0T =     2n₁ n₁ + n₂    E0I amplitudy rzeczywiste I = 1 2ǫvE 2 0 natężenie fali R ≡ IR I_I = E₀R E0I !2 = _n 1 − n2 n1 + n2 2 współczynnik odbicia T ≡ IT I_I = ǫ2v2 ǫ₁v₁ E0T E₀I !2 = 4n1n2 (n₁ + n₂)2 współczynnik przejścia

(. . . )ei(kI·r−ωt)

+ (. . . )ei(kR·r−ωt)

= (. . . )ei(kT·r−ωt)

dla z = 0

k_{I · r = kR · r = kT · r dla} z = 0

x(kI)x + y(kR)y = x(kR)x + y(kR)y = x(kT)x + y(kT)y

(k_I)_y = (k_R)_y = (k_T)_y dla x = 0

(k_I)_x = (k_R)_x = (k_T)_x dla y = 0

Wektory falowe fali padającej, odbitej i przechodzącej leżą w tej samej płaszczyźnie — płaszczyźnie padania — wyznaczonej przez wektor falowy fali padającej i normalną do powierzchni

˜ E_I(r, t) = ˜E₀Ie i(kI·r−ωt) ˜ B_I(r, t) = _v1₁[ ˆk_{I × ˜}E_I(r, t)]      fala padająca ˜ E_R(r, t) = ˜E₀Re i(kR·r−ωt) ˜ B_R(r, t) = _v1₁[ ˆk_{R × ˜}E_R(r, t)]      fala odbita ˜ E_T(r, t) = ˜E₀Re i(kT·r−ωt) ˜ B_T(r, t) = _v1₂[ ˆk_{T × ˜}E_T(r, t)]      fala przechodząca k_Iv₁ = k_Rv₁ = k_Tv₂ = ω _⇒ k_I = k_R = v2 v₁kT = n1 n₂kT

z 1 2 płaszczyzna padania k_R k_I θR θI

całkowite wewnętrzne odbicie (n₁ > n₂) kIsin θI = kR sin θR = kTsin θT

θ_I — kąt padania, θ_R — kąt odbicia, θ_T — kąt załamania Kąt padania jest równy kątowi

odbicia

θI = θR

Prawo załamania, prawo Snella sin θT sin θI = n1 n2 n1 < n2, θT < θI; n1 > n2, θT > θI n₁ > n₂, dla θ_I > θ_{gr ≡ arcsin} _n 2 n1  całkowite wewnętrzne odbicie

(i) ǫ₁( ˜E₀I + ˜E0R)z = ǫ2( ˜E0T)z

(ii) ( ˜B₀I + ˜B0R)z = ( ˜B0T)z

(iii) ( ˜E₀I + ˜E0R)x,y = ( ˜E0T)x,y

(iv) _µ1₁( ˜B₀I + ˜B0R)x,y = 1 µ2( ˜B0T)x,y                  na granicy ośrodków

Dla polaryzacji równoległej do płaszczyzny padania: ǫ_{1(− ˜}E₀I sin θI + ˜E0R sin θR) = ǫ2(− ˜E0T sin θT) z (i)

( ˜E₀I cos θI + ˜E0R cos θR) = ˜E0T cos θT z (iii)

1 µ₁v₁( ˜E0I − ˜E0R) = 1 µ₂v₂E˜0T z (iv) z x 1 2 płaszczyzna padania ⊙ ⊕ ⊙ k_R k_I k_T θT θR θI E_I E_R E_T B_I B_R B_T

10 20 30 40 50 60 70 80 90 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E0R E0I E0T E0I

θ

θ

E0I − ˜E0R = β ˜E0T z praw odbicia i załamania

β ≡ µ_µ1v1 2v2 = µ1n2 µ₂n₁ ˜ E0I + ˜E0R = α ˜E0T α ≡ cos θT cos θ_I ˜ E0R = α − β α + β ! ˜ E0I, E˜0T = 2 α + β ! ˜ E0I równania Fresnela

I_I = 1

2ǫ1v1E

2

0I cos θI natężenie fali padającej

I_R = 1

2ǫ1v1E

2

0R cos θR natężenie fali odbitej

I_T = 1

2ǫ2v2E

2

0T cos θT natężenie fali przechodzącej

R ≡ IR II = E0R E0I !2 = α − β α + β !2 współczynnik odbicia T ≡ IT II = ǫ2v2 ǫ1v1 E₀T E0I !2 cos θ_T cos θI = αβ 2 α + β !2 współczynnik przejścia α = p 1 − sin2θ_T cos θ_I = p 1 − [(n1/n2) sin θI]2 cos θ_I sin2 θ_B = 1 − β 2 (n₁/n₂)2 _{− β}2 kąt Brewstera µ₁ ∼= µ2 ⇒ β ∼= n2/n1, sin2 θB ∼= β2/(1 + β2) typowo tg θ_B ∼= n2 n₁

z x 1 2 płaszczyzna padania ⊙ ⊙ ⊙ k_R k_I k_T θT θR θI B_I B_R B_T E_I E_R E_T

fala spolaryzowana prostopadle do płaszczyzny padania

10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0_.2 0_.4 0_.6 0_.8 1

R

T

θ

θ

10 20 30 40 50 60 70 80 90 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E0R E0I E0T E0I θI n2 n1 = 1.5

Dla polaryzacji prostopadłej do płaszczyzny padania:

(i) ǫ1( ˜E0I + ˜E0R)z = ǫ2( ˜E0T)z

(ii) ( ˜B₀I + ˜B0R)z = ( ˜B0T)z

(iii) ( ˜E₀I + ˜E0R)x,y = ( ˜E0T)x,y

(iv) _µ1 1( ˜B0I + ˜B0R)x,y = 1 µ2( ˜B0T)x,y                  na granicy ośrodków ˜ E0I + ˜E0R = ˜E0T z (iii) ˜ E0I − ˜E0R = αβ ˜E0T z (iv) ˜ E₀R = 1 − αβ 1 + αβ ! ˜ E₀I, E˜0T = 2 1 + αβ ! ˜ E₀I równania Fresnela

10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0_.2 0_.4 0_.6 0_.8 1

R

T

θ

(i) _{∇ · E = 0, (iii) ∇ × E = −}∂B_∂t ,

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µǫ∂E_∂t + µσE,      równania Maxwella ∆E = µǫ∂_∂t2E2 + µσ∂E_∂t ∆B = µǫ∂_∂t2B2 + µσ∂B_∂t     

zmodyfikowane równania falowe

˜ E(z, t) = ˜E₀ei(˜kz−ωt) ˜ B(z, t) = ˜B₀ei(˜kz−ωt)      rozwiązania ˜

k2 = µǫω2 + iµσω zespolona liczba falowa ˜

k = k + iκ 9.4 Absorpcja i dyspersja

9.4.1 Fale elektromagnetyczne w przewodnikach J_sw = σE prawo Ohma

(i) _{∇ · E =} 1_ǫρ_{sw, (iii) ∇ × E = −}∂B_∂t ,

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µσE + µǫ∂E_∂t ,      równania Maxwella ∇ · Jsw = − ∂ρsw ∂t równanie ciągłości ∂ρ_sw ∂t = −σ(∇ · E) = − σ ǫρsw ⇒ ρsw(t) = e −(σ/ǫ)t_ρ sw(0)

˜ E(z, t) = ˜E₀e−κzei(kz−ωt)xˆ ˜ B(z, t) = _ω˜kE˜₀e−κzei(kz−ωt)yˆ z równań Maxwella pola są prostopadłe ˜ k = Keiφ K ≡ |˜k| = pk2 _{+ κ}2 _{= ω} v u u tǫµ s 1 +  _σ ǫω 2 φ ≡ arctg _κ k  B0eiδB = Keiφ ω E0e

iδ_{E pola nie są w fazie}

δB − δE = φ k ≡ ωqǫµ₂ "r 1 +_ǫωσ 2 + 1 #1/2 κ ≡ ωqǫµ₂ "r 1 +_ǫωσ 2 _{− 1} #1/2 ˜ E(z, t) = ˜E₀e−κzei(kz−ωt) ˜ B(z, t) = ˜B₀e−κzei(kz−ωt)      rozwiązania d ≡ 1 κ głębokość wnikania λ = 2π k , v = ω k, n = ck ω

9.4.2 Odbicie na powierzchni przewodzącej (i) ǫ₁E₁⊥ _{− ǫ2}E₂⊥ = σ_sw, (iii) E₁k = E₂k, (ii) B₁⊥ = B₂⊥, (iv) _µ1₁B₁k _{− µ}1 2B k 2 = Ksw × ˆn,      ˜ E_I(z, t) = ˜E₀Ie i(k1z−ωt)ˆ x ˜ B_I(z, t) = _v1 1 ˜ E₀Ie i(k1z−ωt)ˆ y      fala padająca ˜ E_R(z, t) = ˜E0Re i(−k1z−ωt)ˆ x ˜ B_{R(z, t) = −v}1 1 ˜ E0Re i(−k1z−ωt)ˆ y      fala odbita ˜ E_T(z, t) = ˜E0Te i(˜k2z−ωt)_xˆ ˜ B_T(z, t) = ˜k2 ω E˜0Te i(˜k2z−ωt)_yˆ      fala przechodząca B0 E₀ = K ω = v u u tǫµ s 1 +  _σ ǫω 2 rzeczywiste amplitudy E(z, t) = E0e−κzcos(kz − ωt + δE) ˆx B(z, t) = B0e−κzcos(kz − ωt + δE + φ) ˆy rozwiązania rzeczywiste z x y E B

9.4.3 Zależność przenikalności elektrycznej od częstości v = ω k prędkość fazowa vg = dω dk prędkość grupowa

Elektron związany można potraktować jak tłumiony oscylator harmoniczny. m d 2_x dt2 + mγ dx dt + mω 2 0x = qE0 cos(ωt) d2x˜ dt2 + γ d˜x dt + ω 2 0x =˜ q mE0e

−iωt _{w zmiennych zespolonych}

˜ E₀I + ˜E0R = ˜E0T z (iii) 1 µ1v1 ( ˜E₀I − ˜E0R) − ˜ k₂ µ2ω ˜ E₀T = 0 z (iv) przy Ksw = 0 ˜ E0I − ˜E0R = ˜β ˜E0T ˜ β ≡ µ_µ1v1 2ω ˜ k2 ˜ E₀R = 1 − ˜β 1 + ˜β ! ˜ E₀I, E˜0T = 2 1 + ˜β ! ˜ E₀I ˜

˜ ǫ_r = 1 + N q 2 mǫ₀ X j fj ω2_{j − ω}2 _{− iγ} jω zespolona względna przenikalność elektryczna ∆ ˜E = ˜ǫµ0 ∂2E˜ ∂t2

równanie falowe dla danej częstości w ośrodku dyspersyjnym

˜

E(z, t) = ˜E₀ei(˜kz−ωt) rozwiązanie ˜ k ≡ pǫµ˜ 0 ω = ω c √ ˜

ǫr zespolona liczba falowa

˜ k = k + iκ ˜ E(z, t) = ˜E₀e−κzei(kz−ωt) ˜ x(t) = ˜x₀e−iωt ˜ x₀ = q/m

ω₀2 _{− ω}2 _{− iγω}E0 amplituda drgań

˜

p(t) = q˜x(t) = q

2_/m

ω₀2 _{− ω}2 _{− iγω}E0e

−iωt _{moment dipolowy}

˜ P = N q 2 m   X j fj ω_j2 _{− ω}2 _{− iγ} jω  E˜ polaryzacja ośrodka ˜

P = ǫ₀χ˜_eE˜ zespolona podatność elektryczna

˜

0.8 1 1.2 1.4 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dyspersja anomalna

ω/ω

[n(ω) − 1]

n = 1 + N q 2 2mǫ0 X j fj ω_j2 _{− ω}2 daleko od rezonansów 1 ω_j2 _{− ω}2 = 1 ω_j2 1 − ω2 ω_j2 !−1 ∼ = 1 ω2_j 1 + ω2 ω_j2 ! dla ω < ωj n = 1 +   N q2 2mǫ0 X j f_j ω_j2  + ω2   N q2 2mǫ0 X j f_j ω_j4   n = 1 + A 1 + B λ2 ! wzór Cauchy’ego