• Nie Znaleziono Wyników

Wartości własne macierzy hermitowskich

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wartości własne macierzy hermitowskich"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Wartości własne macierzy

hermitowskich

Autorzy:

Michał Góra

(2)

Definicja 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy

Definicja 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy

Sprzężeniem hermitowskim

Sprzężeniem hermitowskim macierzy macierzy nazywamy macierz , której elementy spełniają warunek:

dla .

PRZYKŁAD

Przykład 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy

Przykład 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy

Poniżej przedstawiamy przykładowe macierze oraz ich sprzężenia hermitowskie: (a) dla macierzy :

(b) dla macierzy (c) dla macierzy :

A = [[ ] ∈

a

ij

C

m×n

A

= [[ ] ∈

a

ij

C

n×m

= ,

a

ij ¯ ¯

a

¯¯¯¯ji

i = 1, …, n; j = 1, …, m

3 × 3

=

;

1 − i

1

3

2

0

−i

2 + i

2

1

1

2

2 − i

1 + i

0

2

3

i

1

2 × 3 :

=

;

(

1

)

1 − i

1 + i

0

−3

i

1 − i

1

−i

1 + i

0

−3

1 × 3

=

.

(

1 + 2i 1 − i 2

)

1 − 2i

1 + i

2

(3)

(1) (2) (3) (4) (5)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Niech będzie wektorem postaci

w której , dla , oznacza -tą współrzędną wektora . Wówczas przyjmuje postać

Stąd

gdzie oznacza moduł liczby zespolonej. Liczba jest zatem sumą nieujemnych liczb . Wynika stąd zależność

w której oznacza wektor zerowy.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy

Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy

Sprzężenie hermitowskie macierzy posiada następujące własności: (a) dla macierzy :

(b) dla macierzy oraz dla liczby zespolonej :

(c) dla macierzy oraz :

v ∈ C

n×1

v =

,

v

1

v

n

∈ C

v

k

k = 1, …, n

k

v

v

C

1×n

= (

) .

v

v

1 ¯ ¯¯¯¯

… v

¯ ¯¯¯¯n

v = (

)

=

=

,

v

v

1 ¯ ¯¯¯¯

… v

¯ ¯¯¯¯n

v

1

v

n

⎟ ∑

k=1 n

v

k ¯ ¯¯¯¯

v

k

k=1 n

| |

v

k 2

|⋅|

v

v

| |

v

1 2

, …,

| |

v

n2

v = 0 ⇔ v = 0,

v

0

A, B ∈ C

n×m

(A + B =

)

A

+ ;

B

A ∈ C

n×m

α ∈ C

(α ⋅ A = ⋅ ;

)

∗ ¯¯

α

¯

A

A ∈ C

n×m

B ∈ C

m×n

(A ⋅ B =

)

B

⋅ .

A

(4)

Macierz nazywamy macierzą hermitowskąmacierzą hermitowską, jeżeli

Rzeczywistą macierz hermitowską, tj. macierz spełniającą warunek

nazywamy macierzą symetrycznąmacierzą symetryczną.

PRZYKŁAD

Przykład 3: Macierze hermitowskie

Przykład 3: Macierze hermitowskie

Łatwo sprawdzić, że podane macierze są hermitowskie; dodatkowo, macierz , jako macierz rzeczywista, jest macierzą symetryczną:

Niech będzie macierzą hermitowską. Przypuśćmy, że jest wartością własną macierzy zaś odpowiadającym tej wartości własnej wektorem własnym, tj. . Wówczas, na podstawie definicji macierzy hermitowskiej oraz twierdzenia

Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy, otrzymujemy kolejno

Na podstawie warunku ( 2 ) wnioskujemy, że (gdyż ). Stąd oraz z uzyskanej równości ( wynika, że . To oznacza, że wartość własna jest liczbą rzeczywistą.

WNIOSEK

Wniosek 1: Wartości własne macierzy hermitowskich

Wniosek 1: Wartości własne macierzy hermitowskich

Wartości własne macierzy hermitowskiej są rzeczywiste.

A ∈ C

n×n

= A.

A

= A,

A

T

B

a) A =

,

3 − i

2

5 − i

3 + i

0

2 − i

5 + i

2 + i

2

b) B =

.

1

3

4

3

2

−1

4

−1

1

A ∈ C

n×n

λ

A,

v ≠ 0

Av = λv

0 = (A − )v = Av −

v

A

v

v

A

v = (Av) −

v

(Av)

v =

= (λv) −

v

(λv)

v = λ v −

v

∗ ¯¯

λ

¯

v

v = (λ − ) v.

λ

¯¯¯

v

v ≠ 0

v

v ≠ 0

λ − ) v = 0

¯¯

λ

¯

v

λ = λ

¯¯¯

λ

(5)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Niech będzie macierzą postaci

Ponieważ , oraz , zatem macierz jest macierzą hermitowską. Jej wielomian charakterystyczny to

macierz ma więc dwie rzeczywiste wartości własne: .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 04:24:28

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=09ab75adb4054240e3f01d02df2bb5d8

Autor: Michał Góra

A ∈ C

2×2

A = (

1

) .

1 + i

1 − i

2

=

= 1

a

11 ¯ ¯

a

¯¯¯¯¯11

a

22

=

¯ ¯

a

¯¯¯¯¯22

= 2

a

21

= 1 + i =

1 − i

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

=

¯ ¯

a

¯¯¯¯¯12

A

(λ) =

=

− 3λ;

φ

A

∣1 − λ

1 + i

2 − λ

1 − i

∣ λ

2

A

λ

1

= 0,

λ

2

= 3

Cytaty

Powiązane dokumenty

Ponieważ wartości własne i sama macierz są rzeczywiste, więc wektory własne można wybrać jako rzeczywiste, a w konsekwencji macierz diagonalizująca jest rzeczywistą

Definicja: Niech macierz A m×n ma rozkład na wartości osobliwe gdzie oraz D jest macierzą diagonalną r×r zawierającą niezerowe wartości osobliwe

[r]

Tak więc, dla danej formy kwadratowej g jest tylko jedna symetryczna forma dwuliniowa f spełniająca wzór (19).. Macierzą formy kwadratowej g nazywamy macierz symetrycznej

Wyznaczanie macierzy odwrotnej.

Korzystając z twierdzenia Sylvestera wyprowadź algorytm Martina-Deana wyznaczania wartości własnej trójprzekątniowej macierzy symetrycznej.. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania

[r]

[r]