Wartości własne macierzy
hermitowskich
Autorzy:
Michał Góra
Definicja 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy
Definicja 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy
Sprzężeniem hermitowskim
Sprzężeniem hermitowskim macierzy macierzy nazywamy macierz , której elementy spełniają warunek:
dla .
PRZYKŁAD
Przykład 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy
Przykład 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy
Poniżej przedstawiamy przykładowe macierze oraz ich sprzężenia hermitowskie: (a) dla macierzy :
(b) dla macierzy (c) dla macierzy :
A = [[ ] ∈
a
ijC
m×nA
∗= [[ ] ∈
a
∗ijC
n×m= ,
a
∗ ij ¯ ¯a
¯¯¯¯jii = 1, …, n; j = 1, …, m
3 × 3
=
;
⎛
⎝
⎜
⎜
1 − i
1
3
2
0
−i
2 + i
2
1
⎞
⎠
⎟
⎟
∗⎛
⎝
⎜
⎜
1
2
2 − i
1 + i
0
2
3
i
1
⎞
⎠
⎟
⎟
2 × 3 :
=
;
(
1
)
1 − i
1 + i
0
−3
i
∗⎛
⎝
⎜
⎜
1 − i
1
−i
1 + i
0
−3
⎞
⎠
⎟
⎟
1 × 3
=
.
(
1 + 2i 1 − i 2
)
∗⎛
⎝
⎜
⎜
1 − 2i
1 + i
2
⎞
⎠
⎟
⎟
(1) (2) (3) (4) (5)
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Niech będzie wektorem postaci
w której , dla , oznacza -tą współrzędną wektora . Wówczas przyjmuje postać
Stąd
gdzie oznacza moduł liczby zespolonej. Liczba jest zatem sumą nieujemnych liczb . Wynika stąd zależność
w której oznacza wektor zerowy.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1: Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy
Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy
Sprzężenie hermitowskie macierzy posiada następujące własności: (a) dla macierzy :
(b) dla macierzy oraz dla liczby zespolonej :
(c) dla macierzy oraz :
v ∈ C
n×1v =
,
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
v
1⋮
v
n⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
∈ C
v
kk = 1, …, n
k
v
v
∗∈
C
1×n= (
) .
v
∗v
1 ¯ ¯¯¯¯… v
¯ ¯¯¯¯nv = (
)
=
=
,
v
∗v
1 ¯ ¯¯¯¯… v
¯ ¯¯¯¯n⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
v
1⋮
v
n⎞
⎠
⎟
⎟
⎟ ∑
k=1 nv
k ¯ ¯¯¯¯v
k∑
k=1 n| |
v
k 2|⋅|
v
∗v
| |
v
1 2, …,
| |
v
n2v = 0 ⇔ v = 0,
v
∗0
A, B ∈ C
n×m(A + B =
)
∗A
∗+ ;
B
∗A ∈ C
n×mα ∈ C
(α ⋅ A = ⋅ ;
)
∗ ¯¯α
¯A
∗A ∈ C
n×mB ∈ C
m×n(A ⋅ B =
)
∗B
∗⋅ .
A
∗Macierz nazywamy macierzą hermitowskąmacierzą hermitowską, jeżeli
Rzeczywistą macierz hermitowską, tj. macierz spełniającą warunek
nazywamy macierzą symetrycznąmacierzą symetryczną.
PRZYKŁAD
Przykład 3: Macierze hermitowskie
Przykład 3: Macierze hermitowskie
Łatwo sprawdzić, że podane macierze są hermitowskie; dodatkowo, macierz , jako macierz rzeczywista, jest macierzą symetryczną:
Niech będzie macierzą hermitowską. Przypuśćmy, że jest wartością własną macierzy zaś odpowiadającym tej wartości własnej wektorem własnym, tj. . Wówczas, na podstawie definicji macierzy hermitowskiej oraz twierdzenia
Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy, otrzymujemy kolejno
Na podstawie warunku ( 2 ) wnioskujemy, że (gdyż ). Stąd oraz z uzyskanej równości ( wynika, że . To oznacza, że wartość własna jest liczbą rzeczywistą.
WNIOSEK
Wniosek 1: Wartości własne macierzy hermitowskich
Wniosek 1: Wartości własne macierzy hermitowskich
Wartości własne macierzy hermitowskiej są rzeczywiste.
A ∈ C
n×n= A.
A
∗= A,
A
TB
a) A =
⎛
,
⎝
⎜
⎜
3 − i
2
5 − i
3 + i
0
2 − i
5 + i
2 + i
2
⎞
⎠
⎟
⎟
b) B =
.
⎛
⎝
⎜
⎜
1
3
4
3
2
−1
4
−1
1
⎞
⎠
⎟
⎟
A ∈ C
n×nλ
A,
v ≠ 0
Av = λv
0 = (A − )v = Av −
v
∗A
∗v
∗v
∗A
∗v = (Av) −
v
∗(Av)
∗v =
= (λv) −
v
∗(λv)
∗v = λ v −
v
∗ ¯¯λ
¯v
∗v = (λ − ) v.
λ
¯¯¯v
∗v ≠ 0
v
∗v ≠ 0
λ − ) v = 0
¯¯λ
¯v
∗λ = λ
¯¯¯λ
PRZYKŁAD
Przykład 4:
Przykład 4:
Niech będzie macierzą postaci
Ponieważ , oraz , zatem macierz jest macierzą hermitowską. Jej wielomian charakterystyczny to
macierz ma więc dwie rzeczywiste wartości własne: .
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 04:24:28
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=09ab75adb4054240e3f01d02df2bb5d8
Autor: Michał Góra