Własności całki Riemanna
Autorzy:
Witold Majdak
Własności całki Riemanna
Własności całki Riemanna
Autor: Witold MajdakPrzedstawimy teraz kilka podstawowych własności całki oznaczonej wynikających bezpośrednio z jej definicji.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1: o całkowalności funkcji ciągłej w podprzedziale jej przedziału
o całkowalności funkcji ciągłej w podprzedziale jej przedziału
określoności
określoności
Funkcja całkowalna jest całkowalna w każdym podprzedziale przedziału .
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2:
Twierdzenie 2: o całkowalności funkcji wartości bezwzględnej
o całkowalności funkcji wartości bezwzględnej
Jeżeli funkcja jest całkowalna, to całkowalna jest również funkcjaTWIERDZENIE
Twierdzenie 3:
Twierdzenie 3: o podstawowych działaniach na funkcjach całkowalnych
o podstawowych działaniach na funkcjach całkowalnych
Jeżeli funkcje oraz są całkowalne, natomiast jest liczbą rzeczywistą, to funkcje:są również całkowalne w przedziale .
TWIERDZENIE
Twierdzenie 4:
Twierdzenie 4: o wyrażeniu całki w postaci sumy całek
o wyrażeniu całki w postaci sumy całek
Jeżeli jest funkcją całkowalną oraz , to zachodzi równośćf : [a, b] → R
[α, β]
[a, b]
f : [a, b] → R
|f| : [a, b] ∋ x ↦ |f(x)| ∈ R.
f : [a, b] → R
g : [a, b] → R
c
f + g
f − g
f ⋅ g
f
g
cf
: [a, b] ∋ x ↦ f(x) + g(x) ∈ R,
: [a, b] ∋ x ↦ f(x) − g(x) ∈ R,
: [a, b] ∋ x ↦ f(x)g(x) ∈ R,
: [a, b] ∋ x ↦ ( ) (x) ∈ R (o ile g(x) ≠ 0 dla x ∈ [a, b]),
f
g
: [a, b] ∋ x ↦ cf(x) ∈ R
[a, b]
f : [a, b] → R
c ∈ (a, b)
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
∫
a b∫
a c∫
c bRysunek 1:
TWIERDZENIE
Twierdzenie 5:
Twierdzenie 5: o nierówności całek
o nierówności całek
Jeżeli funkcje oraz są całkowalne, a ponadto dla każdego , to
a
b
Rysunek 2:
Dzięki temu rezultatowi, w pewnych szczególnych sytuacjach jesteśmy w stanie porównać wartości rozpatrywanych całek, nawet jeżeli bezpośrednie wyliczenie całek jest trudne lub wręcz niemożliwe.
= f(x)dx, = f(x)dx I1 ∫ a c I2 ∫ c b
f : [a, b] → R
g : [a, b] → R
f(x) ≤ g(x)
x ∈ [a, b]
f(x)dx ≤ g(x)dx.
∫
a b∫
a b = f(x)dx, = g(x)dx I1 ∫ a b I2 ∫ a bPRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Zauważmy, że
Istotnie, skoro dla każdego zachodzi nierówność , a w konsekwencji , to porównanie wartości tych całek wynika bezpośrednio z powyższego twierdzenia.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 6:
Twierdzenie 6: o dolnym i górnym oszacowaniu całki
o dolnym i górnym oszacowaniu całki
Jeżeli jest funkcją całkowalną oraz istnieją takie liczby rzeczywiste i , że dla każdego , to zachodzą nierówności Rysunek 3:
dx ≤
dx.
∫
0 12
x3∫
0 12
x2x ∈ [0, 1]
x
3≤
x
22
x3≤
2
x2f : [a, b] → R
m M
m ≤ f(x) ≤ M
x ∈ [a, b]
m(b − a) ≤ f(x)dx ≤ M(b − a).
∫
a b I = f(x)dx∫ a bPRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Oszacujmy wartość całki . Obliczenie tej całki nie byłoby łatwym zadaniem. Zauważmy, że dla każdego zachodzą nierówności , a zatem . Ponieważ funkcja pierwiastkowa jest funkcją rosnącą, to
Skoro długość przedziału całkowania wynosi 2, to na mocy powyższego twierdzenia dostajemy nastepujące oszacowanie wartości całki:
TWIERDZENIE
Twierdzenie 7:
Twierdzenie 7: o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki
o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki
Jeżeli jest funkcją całkowalną, toDOWÓD DOWÓD
Zauważmy, że dla każdego . Całkując powyższe nierówności w granicach od do , otrzymujemy
co z własności modułu implikuje żądaną nierówność. CND.
CND.
Konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.
WNIOSEK
Wniosek 1: o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki
Wniosek 1: o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki
Jeżeli jest funkcją całkowalną oraz dla każdego , to zachodzi nierówność
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
dx
∫
02√
1 + x
− −
−−−
4x ∈ [0, 2]
0 ≤
x
4≤ 16
1 ≤
x
4+ 1 ≤ 17
1 ≤
√
− −
x
−−−
4+ 1
≤
√
17
−−
.
2 ≤
∫
dx ≤ 2
.
0 21 + x
4− −
−−−
√
√
−−
17
f : [a, b] → R
f(x)dx ≤ |f(x)|dx.
∣
∣
∣∫
a b∣
∣
∣ ∫
a b−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|
x ∈ [a, b]
a
b
− |f(x)|dx ≤ f(x)dx ≤ |f(x)|dx,
∫
a b∫
a b∫
a bf : [a, b] → R
|f(x)| ≤ M
x ∈ [a, b]
f(x)dx ≤ M(b − a).
∣
∣
∣∫
a b∣
∣
∣
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:39:26
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=0d837cd4f141fee1c9a98295640b685e