• Nie Znaleziono Wyników

Własności całki Riemanna

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Własności całki Riemanna"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Własności całki Riemanna

Autorzy:

Witold Majdak

(2)

Własności całki Riemanna

Własności całki Riemanna

Autor: Witold Majdak

Przedstawimy teraz kilka podstawowych własności całki oznaczonej wynikających bezpośrednio z jej definicji.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o całkowalności funkcji ciągłej w podprzedziale jej przedziału

o całkowalności funkcji ciągłej w podprzedziale jej przedziału

określoności

określoności

Funkcja całkowalna jest całkowalna w każdym podprzedziale przedziału .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o całkowalności funkcji wartości bezwzględnej

o całkowalności funkcji wartości bezwzględnej

Jeżeli funkcja jest całkowalna, to całkowalna jest również funkcja

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3:

Twierdzenie 3: o podstawowych działaniach na funkcjach całkowalnych

o podstawowych działaniach na funkcjach całkowalnych

Jeżeli funkcje oraz są całkowalne, natomiast jest liczbą rzeczywistą, to funkcje:

są również całkowalne w przedziale .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 4:

Twierdzenie 4: o wyrażeniu całki w postaci sumy całek

o wyrażeniu całki w postaci sumy całek

Jeżeli jest funkcją całkowalną oraz , to zachodzi równość

f : [a, b] → R

[α, β]

[a, b]

f : [a, b] → R

|f| : [a, b] ∋ x ↦ |f(x)| ∈ R.

f : [a, b] → R

g : [a, b] → R

c

f + g

f − g

f ⋅ g

f

g

cf

: [a, b] ∋ x ↦ f(x) + g(x) ∈ R,

: [a, b] ∋ x ↦ f(x) − g(x) ∈ R,

: [a, b] ∋ x ↦ f(x)g(x) ∈ R,

: [a, b] ∋ x ↦ ( ) (x) ∈ R (o ile g(x) ≠ 0 dla x ∈ [a, b]),

f

g

: [a, b] ∋ x ↦ cf(x) ∈ R

[a, b]

f : [a, b] → R

c ∈ (a, b)

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

a b

a c

c b

(3)

Rysunek 1:

TWIERDZENIE

Twierdzenie 5:

Twierdzenie 5: o nierówności całek

o nierówności całek

Jeżeli funkcje oraz są całkowalne, a ponadto dla każdego , to

a

b

Rysunek 2:

Dzięki temu rezultatowi, w pewnych szczególnych sytuacjach jesteśmy w stanie porównać wartości rozpatrywanych całek, nawet jeżeli bezpośrednie wyliczenie całek jest trudne lub wręcz niemożliwe.

= f(x)dx, = f(x)dx I1 ∫ a c I2 ∫ c b

f : [a, b] → R

g : [a, b] → R

f(x) ≤ g(x)

x ∈ [a, b]

f(x)dx ≤ g(x)dx.

a b

a b = f(x)dx, = g(x)dx I1 ∫ a b I2 ∫ a b

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Zauważmy, że

Istotnie, skoro dla każdego zachodzi nierówność , a w konsekwencji , to porównanie wartości tych całek wynika bezpośrednio z powyższego twierdzenia.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 6:

Twierdzenie 6: o dolnym i górnym oszacowaniu całki

o dolnym i górnym oszacowaniu całki

Jeżeli jest funkcją całkowalną oraz istnieją takie liczby rzeczywiste i , że dla każdego , to zachodzą nierówności Rysunek 3:

dx ≤

dx.

0 1

2

x3

0 1

2

x2

x ∈ [0, 1]

x

3

x

2

2

x3

2

x2

f : [a, b] → R

m M

m ≤ f(x) ≤ M

x ∈ [a, b]

m(b − a) ≤ f(x)dx ≤ M(b − a).

a b I = f(x)dxa b

(5)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Oszacujmy wartość całki . Obliczenie tej całki nie byłoby łatwym zadaniem. Zauważmy, że dla każdego zachodzą nierówności , a zatem . Ponieważ funkcja pierwiastkowa jest funkcją rosnącą, to

Skoro długość przedziału całkowania wynosi 2, to na mocy powyższego twierdzenia dostajemy nastepujące oszacowanie wartości całki:

TWIERDZENIE

Twierdzenie 7:

Twierdzenie 7: o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki

o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki

Jeżeli jest funkcją całkowalną, to

DOWÓD DOWÓD

Zauważmy, że dla każdego . Całkując powyższe nierówności w granicach od do , otrzymujemy

co z własności modułu implikuje żądaną nierówność. CND.

CND.

Konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.

WNIOSEK

Wniosek 1: o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki

Wniosek 1: o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki

Jeżeli jest funkcją całkowalną oraz dla każdego , to zachodzi nierówność

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne

dx

02

1 + x

− −

−−−

4

x ∈ [0, 2]

0 ≤

x

4

≤ 16

1 ≤

x

4

+ 1 ≤ 17

1 ≤

− −

x

−−−

4

+ 1

17

−−

.

2 ≤

dx ≤ 2

.

0 2

1 + x

4

− −

−−−

−−

17

f : [a, b] → R

f(x)dx ≤ |f(x)|dx.

∣∫

a b

∣ ∫

a b

−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|

x ∈ [a, b]

a

b

− |f(x)|dx ≤ f(x)dx ≤ |f(x)|dx,

a b

a b

a b

f : [a, b] → R

|f(x)| ≤ M

x ∈ [a, b]

f(x)dx ≤ M(b − a).

∣∫

a b

(6)

prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:39:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=0d837cd4f141fee1c9a98295640b685e

Cytaty

Powiązane dokumenty

Ponieważ prawa strona równości (5) byłaby podzielna przez p, także lewa strona byłaby podzielna przez p, skąd wynika, że liczba m byłaby podzielna

Część ćwiczeń może zostać poświęcona zadaniom z listy 6 wskazanym przez

Wskazać konkretny (być może niepo- trzebnie duży) przedział, w którym znajduje się

Zbiór A składa się z liczb przedziału [0, 1], których rozwinięcie dziesiętne nie zawiera cyfry 9.. Pokazać, że zbiór A ma miarę zero

Odpowiedź: Podana całka niewłaściwa jest zbieżna i ma wartość

W każdym z poniższych 21 zadań podaj w postaci uproszczonej wartość całki

Bez tego elementu, nawet przy poprawnym wyniku liczbowym, zadanie nie może zostać uznane za rozwiązane.. Lista 6R (rozwiązania zadań 242-246) - 10 -

[r]