EJ EJ EJ
4
6
A B C D4
4
EJ EJ EJ A B C DLwV
AV
A1
V
BV
CV
D+
-
+
1
LwV
B+
-1
LwV
C+
LwV
D-+
1
P=1
x-
-+
LwM
A+
-LwM
B-LwM
CLwM
D-+
Linie wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych
Zadanie 1.:
Dla poniższej belki naszkicuj linie wpływu wszystkich reakcji, momentów podporowych
oraz sił tnących i momentów zginających w przekroju α-α. Za pomocą metody przemieszczeń
wyznaczyć rzędne poszczególnych linii w połowie długości każdego przęsła.
EJ EJ EJ
4
8
6
EJ EJ EJ A x P=1 B C D -+ LwM -+ -LwT4
8
6
2EJ 4 = EJ 4EJ 4 = EJ 2 4EJ 8 = EJ 2 2EJ 8 = EJ 4 4EJ 6 = 2EJ 3 4EJ 8 = EJ 2 2EJ 8 = EJ 4 2EJ 6 = EJ 3 P=12
2
1 4 8 = 1 2 1 22. Szkice linii wpływowych sił tnących i momentów zginających w przekroju α-α.
3. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła AB - Schemat podstawowy geometrycznie wyznaczalny (wstawiamy blokady obrotu):
- stan f1=1:
- stan f2=1:
P=1 2 2 0,673 0,154 V = 0,63A 0,37 0,37 0,025 V = 0,395B 0,154 0,049 0,049 0,025 V = 0,012D V = -0,037C 0,025 0,025 0,025 0,012 0,012 8 6
Układ równań metody przemieszczeń:
0 0 20 2 22 1 21 10 2 12 1 11 k k k k k k
Wyznaczenie współczynników układu:
0 2 1 6 7 3 2 2 4 2 3 2 20 10 22 21 12 11 k k EJ EJ EJ k k EJ k EJ EJ EJ k
Podstawienie współczynników do układu:
0 0 6 7 4 0 2 1 4 2 3 2 1 2 1 EJ EJ EJ EJ
Rozwiązanie układu równań:
EJ EJ 27 2 81 28 2 1
Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego:
Wykres momentów w poszczególnych punktach wyznaczamy na podstawie wzoru:
Przy obliczaniu momentów przyjęto następujące znaki: moment rozciągający włókna dolne "+", moment rozciągający włókna górne "-":
673 , 0 2 1 27 2 0 81 28 2 EJ EJ EJ MA 0,154 2 1 27 2 0 81 28 EJ EJ EJ M L B 154 , 0 27 2 4 81 28 2 EJ EJ EJ EJ M P B 0,049 27 2 2 81 28 4 EJ EJ EJ EJ M L C 049 , 0 27 2 3 2 81 28 0 EJ EJ EJ M P C 0,025 27 2 3 81 28 0 EJ EJ EJ MD
Wyznaczenie wartości sił tnących - rozcinamy układ i zaczepiamy wyznaczone momenty w poszczególnych punktach. Z warunków równowagi dla wyciętych przęseł wyznaczamy wartości sił tnących i reakcji.
i i
i
i
M
M
M
0,673 0,587 0,154 0,049 0,025 EJ EJ EJ A B C D LwVA
V
A1
V
BV
CV
D + - +1
LwVB +-1
LwVC + LwVD -+1
P=1 x - -+ LwMA + -LwMB -LwMC LwMD -+ 0,63 0,395 0,037 0,012 0,673 0,154 0,049 0,025Wyznaczenie siły tnącej i momentu zginającego w przekroju α-α 025 , 0 T 054 , 0 4 025 , 0 154 , 0 M
Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła AB
Otrzymane wartości reakcji, momentów i siły tnącej są rzędnymi na odpowiednich liniach wpływu w połowie długości przęsła AB
EJ EJ EJ A x P=1 B C D -+ LwM -+ -LwT 0,054 0,025 1 8 8 = 1 P=1 1 4 4
4. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła BC
Wykresy jednostkowe od kątów obrotu są identyczne, więc dla uproszczenia prezentacji je pominięto. -Obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła BC
Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:
1 1 20 10 k k
Podstawienie współczynników do układu:
0 1 6 7 4 0 1 4 2 3 2 1 2 1 EJ EJ EJ EJ
Rozwiązanie układu równań:
EJ EJ 27 28 840 , 0 2 1
Wyznaczenie wartości momentów w poszczególnych punktach: 420 , 0 0 27 28 0 840 , 0 2 EJ EJ EJ MA 0 0,840 27 28 0 840 , 0 EJ EJ EJ M L B
P=1 2 2 0,420 0,840 V = -0,315A 0,315 0,315 0,519 V = 0,834B 0,840 0,691 0,691 0,346 V = -0,173D V = 0,654C 0,519 0,481 0,481 0,173 0,173 8 6 0,42 0,84 0,691 0,346 1,236 P=1 0,691 0,481 P=1 0,840 0,519 840 , 0 1 27 28 4 840 , 0 2 EJ EJ EJ EJ M P B 1 0,691 27 28 2 840 , 0 4 EJ EJ EJ EJ M L C 691 , 0 27 28 3 2 840 , 0 0 EJ EJ EJ M P C 0,346 27 28 3 840 , 0 0 EJ EJ EJ MD
Wyznaczenie wartości sił tnących
Wyznaczenie siły tnącej i momentu zginającego w przekroju α-α
0,519 1 0,481 L
T wartość siły tnącej nieskończenie blisko przekroju α-α, dla siły P znajdującej się
po lewej stronie przekroju
1 0,481 0,519 P
T wartość siły tnącej nieskończenie blisko przekroju α-α, dla siły P znajdującej się
po prawej stronie przekroju
236 , 1 4 519 , 0 84 , 0 M
Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC
Otrzymane wartości reakcji, momentów i sił tnących są rzędnymi na odpowiednich liniach wpływu w połowie długości przęsła BC.
P=1 4 0,056 0,111 V = 0,042A 0,042 0,042 0,052 V = -0,094B 0,111 0,306 0,306 0,972 V = 0,611D V = 0,441C 0,052 0,052 0,052 0,389 0,389 8 3 3 P=1 1 6 8 = 3 3 3 4 3 4 5. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła CD
Wykresy jednostkowe od kątów obrotu są identyczne, więc dla uproszczenia prezentacji je pominięto. -Obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła CD
Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:
4 3 0 20 10 k k
Podstawienie współczynników do układu:
0 4 3 6 7 4 0 0 4 2 3 2 1 2 1 EJ EJ EJ EJ
Rozwiązanie układu równań:
EJ EJ 3 2 9 1 2 1
Wyznaczenie wartości momentów w poszczególnych punktach: 056 , 0 0 3 2 0 9 1 2 EJ EJ EJ MA 0 0,111 3 2 0 9 1 EJ EJ EJ M L B 111 , 0 0 3 2 4 9 1 2 EJ EJ EJ EJ M P B 0 0,306 3 2 2 9 1 4 EJ EJ EJ EJ M L C 306 , 0 4 3 3 2 3 2 9 1 0 EJ EJ EJ M P C 0,972 4 3 3 2 3 9 1 0 EJ EJ EJ MD
0,056 0,111 0,306 0,972 0,097 0,861 EJ EJ EJ A B C D LwVA
V
A1
V
BV
CV
D + - +1
LwVB +-1
LwVC + LwVD -+1
P=1 x - -+ LwMA + -LwMB -LwMC LwMD -+ 0,63 0,395 0,037 0,012 0,673 0,154 0,049 0,025 0,315 0,042 0,834 0,094 0,654 0,441 0,173 0,611 0,42 0,056 0,84 0,111 0,691 0,306 0,346 0,972 Wyznaczenie siły tnącej i momentu zginającego w przekroju α-α052 , 0 P T 097 , 0 4 052 , 0 111 , 0 M
Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC
Otrzymane wartości reakcji, momentów i sił tnących są rzędnymi na odpowiednich liniach wpływu w połowie długości przęsła CD.
EJ EJ EJ A x P=1 B C D -+ LwM -+ -LwT 0,054 0,025 1,236 0,097 0,481 0,519 0,052 EJ EJ EJ A B C D
-+
LwM
0,054 1,236 0,097 q=6kN/m 4 8 6 EJ EJ EJ-+
LwM
0,054 1,236 0,097 q=6kN/m 4 2 2 2 2 6 P =6 2=121 P =6 4=242 P =6 2=123Zadanie 2:
Na podstawie linii wpływu Mα z zadania 1-go, oszacować wartość ekstremalnego
momentu
w zadanym przekroju od obciążenia użytkowego p=6kN/m i porównać z rzeczywistą
wartością momentu od tego obciążenia.
1) Wyznaczenie maksymalnego momentu w przekroju α-α rozciągającego włókna dolne. Obciążamy dodatnie pole linii wpływu obciążeniem użytkowym:
- oszacowanie wartości momentu - sprowadzamy obciążenie do sił skupionych nad wyznaczonymi rzędnymi linii wpływu i nad podporami:
kNm P
P P
EJ EJ EJ A B q=6kN/m C D 4 8 6 6 8 12 2 =32 6 812 2 =32 22,12 T =24,59 T =23,41 4 26,86 4 B C B C q=6kN/m
- wyznaczenie dokładnej wartości momentu - wykorzystanie metody przemieszczeń.
Wykresy od jednostkowych kątów obrotu są takie same jak w zadaniu 1. Obciążenie zewnętrzne - obciążenie użytkowe na środkowym przęśle:
Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:
32 32 20 10 k k
Podstawienie współczynników do układu:
0 32 6 7 4 0 32 4 2 3 2 1 2 1 EJ EJ EJ EJ
Rozwiązanie układu równań:
EJ EJ 19 , 33 86 , 26 2 1
Wyznaczenie wartości momentów na końcach przęsła BC w poszczególnych punktach:
kNm EJ EJ EJ EJ M P B 32 26,87 19 , 33 4 86 , 26 2 kNm EJ EJ EJ EJ M L C 32 22,12 19 , 33 2 86 , 26 4
Wyznaczenie sił tnących na podstawie obliczonych momentów:
MC 26,8622,12684TB80kN TB 24,59
RY 24,5968TC 0TC 23,41kN kNmMmax() 26,8664224,59423,5 - wartość dokładna max. momentu rozciągającego włókna dolne w przekroju α-α.
EJ EJ EJ -+ LwM 0,054 1,236 0,097 1 8 P =6 1=61 P =6 1,5=94 q=6kN/m q=6kN/m 2 1 1,5 3 1,5 P =6 2=122 P =6 1=63 P =6 1,5=9 6 5 P =6 3=18 EJ EJ EJ A B C D 4 8 6 12 2 =18 q=6kN/m q=6kN/m 6 6 6 4 12 2 =8 6 4 12 2 =8 6 612 2 =18 EJ EJ EJ A B C D
-+
LwM
0,054 1,236 0,097 q=6kN/m 6 q=6kN/m 8 42) Wyznaczenie maksymalnego momentu w przekroju α-α rozciągającego włókna górne. Obciążamy ujemne pole linii wpływu obciążeniem użytkowym:
- oszacowanie wartości momentu - sprowadzamy obciążenie do sił skupionych nad wyznaczonymi rzędnymi linii wpływu i nad podporami:
kNm P P P P P P Mmin() 10 2(0,054) 30 4 0 5(0,097) 6012(0,054)18(0,097)2,39 - wyznaczenie dokładnej wartości momentu - wykorzystanie metody przemieszczeń.
Wykresy od jednostkowych kątów obrotu są takie same jak w zadaniu 1. Obciążenie zewnętrzne - obciążenie użytkowe na skrajnych przęsłach:
Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:
18 8 20 10 k k
6,54 T =0,84 T =0,84 4 0,197 4 B C B C EJ EJ EJ A x P=1B C D -+ LwMBC + -LwMAB -+ LwMCD
Podstawienie współczynników do układu:
0 18 6 7 4 0 8 4 2 3 2 1 2 1 EJ EJ EJ EJ
Rozwiązanie układu równań:
EJ EJ 185 , 17 198 , 8 2 1
Wyznaczenie wartości momentów na końcach przęsła BC w poszczególnych punktach:
kNm EJ EJ EJ EJ M P B 0 0,197 185 , 17 4 198 , 8 2 kNm EJ EJ EJ EJ M L C 0 6,54 185 , 17 2 198 , 8 4
Wyznaczenie sił tnących na podstawie obliczonych momentów:
MC 0,1976,54TB80kN TB 0,84
kNm
Mmin() 0,1970,8443,16 - wartość dokładna max. momentu rozciągającego włókna górne w przekroju α-α.
Zadanie 3. Wyznaczyć maksymalny moment przęsłowy od obciążenia użytkowego 6kN/m.
22,12 T =24,59 T =23,41 x 26,86 B C B C q=6kN/m 4 12,099 0,197 A B 0,197 6,54 6,54 23,728 D C 8 V = 15,074 8,926 8,926 0,84 0,84 0,84 V = 8,086 0,84 V = 20,86 15,14 15,14 V = 15,98 q=6kN/m q=6kN/m 6 x1 x
Analizując powyższe linie widać, że obciążenie środkowego przęsła powinno dać maksymalny moment na przęśle BC. Ponieważ jest to ta sama belka, wystarczy wykorzystać dane z zadania 2-go pkt.1). Celem zadania jest wyznaczenie maksymalnego momentu na przęśle, więc wyznaczenie ekstremum:
m x x x T( )24,596 0 4,1
kNm
m
x
M
24
,
59
4
,
1
23
,
53
2
1
,
4
6
86
,
26
)
1
,
4
(
2
Aby uzyskać maksymalny moment na dwóch pozostałych przęsłach, obciążamy dodatnie pola linii wpływu, czyli przęsła skrajne. Wykorzystując dane z z zadania 2-go pkt.2):
EJ EJ 185 , 17 198 , 8 2 1 kNm M P B 0,197 kNm M L C 6,54
Wyznaczenie brakujących momentów na podporach A i D:
kNm EJ EJ EJ MA 8,198 0 17,185 8 12,099 2 kNm EJ EJ EJ MD 17,185 18 23,728 3 198 , 8 0
Wyznaczenie wartości sił tnących
Wyznaczenie ekstremum na przęśle AB:
m x x x T( )15,0746 0 2,51
kNm
m
x
M
15
,
074
2
,
51
6
,
84
2
51
,
2
6
099
,
12
)
51
,
2
(
2
Wyznaczenie ekstremum na przęśle CD:
m x x x T( 1)15,146 10 12,52