• Nie Znaleziono Wyników

Linie wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Linie wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych"

Copied!
13
0
0

Pełen tekst

(1)

EJ EJ EJ

4

6

A B C D

4

4

EJ EJ EJ A B C D

LwV

A

V

A

1

V

B

V

C

V

D

+

-

+

1

LwV

B

+

-1

LwV

C

+

LwV

D

-+

1

P=1

x

-

-+

LwM

A

+

-LwM

B

-LwM

C

LwM

D

-+

Linie wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych

Zadanie 1.:

Dla poniższej belki naszkicuj linie wpływu wszystkich reakcji, momentów podporowych

oraz sił tnących i momentów zginających w przekroju α-α. Za pomocą metody przemieszczeń

wyznaczyć rzędne poszczególnych linii w połowie długości każdego przęsła.

(2)

EJ EJ EJ

4

8

6

EJ EJ EJ A x P=1 B C D -+ LwM -+ -LwT

4

8

6

2EJ 4 = EJ 4EJ 4 = EJ 2 4EJ 8 = EJ 2 2EJ 8 = EJ 4 4EJ 6 = 2EJ 3 4EJ 8 = EJ 2 2EJ 8 = EJ 4 2EJ 6 = EJ 3 P=1

2

2

1 4 8 = 1 2 1 2

2. Szkice linii wpływowych sił tnących i momentów zginających w przekroju α-α.

3. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła AB - Schemat podstawowy geometrycznie wyznaczalny (wstawiamy blokady obrotu):

- stan f1=1:

- stan f2=1:

(3)

P=1 2 2 0,673 0,154 V = 0,63A 0,37 0,37 0,025 V = 0,395B 0,154 0,049 0,049 0,025 V = 0,012D V = -0,037C 0,025 0,025 0,025 0,012 0,012 8 6

Układ równań metody przemieszczeń:

             0 0 20 2 22 1 21 10 2 12 1 11 k k k k k k    

Wyznaczenie współczynników układu:

0 2 1 6 7 3 2 2 4 2 3 2 20 10 22 21 12 11           k k EJ EJ EJ k k EJ k EJ EJ EJ k

Podstawienie współczynników do układu:

                0 0 6 7 4 0 2 1 4 2 3 2 1 2 1     EJ EJ EJ EJ

Rozwiązanie układu równań:

         EJ EJ 27 2 81 28 2 1  

Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego:

Wykres momentów w poszczególnych punktach wyznaczamy na podstawie wzoru:

Przy obliczaniu momentów przyjęto następujące znaki: moment rozciągający włókna dolne "+", moment rozciągający włókna górne "-":

673 , 0 2 1 27 2 0 81 28 2           EJ EJ EJ MA 0,154 2 1 27 2 0 81 28          EJ EJ EJ M L B 154 , 0 27 2 4 81 28 2          EJ EJ EJ EJ M P B 0,049 27 2 2 81 28 4           EJ EJ EJ EJ M L C 049 , 0 27 2 3 2 81 28 0           EJ EJ EJ M P C 0,025 27 2 3 81 28 0           EJ EJ EJ MD

Wyznaczenie wartości sił tnących - rozcinamy układ i zaczepiamy wyznaczone momenty w poszczególnych punktach. Z warunków równowagi dla wyciętych przęseł wyznaczamy wartości sił tnących i reakcji.

i i

i

i

M

M

M

(4)

0,673 0,587 0,154 0,049 0,025 EJ EJ EJ A B C D LwVA

V

A

1

V

B

V

C

V

D + - +

1

LwVB +

-1

LwVC + LwVD -+

1

P=1 x - -+ LwMA + -LwMB -LwMC LwMD -+ 0,63 0,395 0,037 0,012 0,673 0,154 0,049 0,025

Wyznaczenie siły tnącej i momentu zginającego w przekroju α-α 025 , 0   T 054 , 0 4 025 , 0 154 , 0       M

Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła AB

Otrzymane wartości reakcji, momentów i siły tnącej są rzędnymi na odpowiednich liniach wpływu w połowie długości przęsła AB

(5)

EJ EJ EJ A x P=1 B C D -+ LwM -+ -LwT 0,054 0,025 1 8 8 = 1 P=1 1 4 4

4. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła BC

Wykresy jednostkowe od kątów obrotu są identyczne, więc dla uproszczenia prezentacji je pominięto. -Obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła BC

Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

1 1 20 10    k k

Podstawienie współczynników do układu:

                0 1 6 7 4 0 1 4 2 3 2 1 2 1     EJ EJ EJ EJ

Rozwiązanie układu równań:

         EJ EJ 27 28 840 , 0 2 1  

Wyznaczenie wartości momentów w poszczególnych punktach: 420 , 0 0 27 28 0 840 , 0 2                 EJ EJ EJ MA 0 0,840 27 28 0 840 , 0                     EJ EJ EJ M L B

(6)

P=1 2 2 0,420 0,840 V = -0,315A 0,315 0,315 0,519 V = 0,834B 0,840 0,691 0,691 0,346 V = -0,173D V = 0,654C 0,519 0,481 0,481 0,173 0,173 8 6 0,42 0,84 0,691 0,346 1,236 P=1 0,691 0,481 P=1 0,840 0,519 840 , 0 1 27 28 4 840 , 0 2                 EJ EJ EJ EJ M P B 1 0,691 27 28 2 840 , 0 4                  EJ EJ EJ EJ M L C 691 , 0 27 28 3 2 840 , 0 0                 EJ EJ EJ M P C 0,346 27 28 3 840 , 0 0                 EJ EJ EJ MD

Wyznaczenie wartości sił tnących

Wyznaczenie siły tnącej i momentu zginającego w przekroju α-α

    0,519 1 0,481 L

T wartość siły tnącej nieskończenie blisko przekroju α-α, dla siły P znajdującej się

po lewej stronie przekroju

 

1 0,481 0,519 P

T wartość siły tnącej nieskończenie blisko przekroju α-α, dla siły P znajdującej się

po prawej stronie przekroju

236 , 1 4 519 , 0 84 , 0       M

Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC

Otrzymane wartości reakcji, momentów i sił tnących są rzędnymi na odpowiednich liniach wpływu w połowie długości przęsła BC.

(7)

P=1 4 0,056 0,111 V = 0,042A 0,042 0,042 0,052 V = -0,094B 0,111 0,306 0,306 0,972 V = 0,611D V = 0,441C 0,052 0,052 0,052 0,389 0,389 8 3 3 P=1 1 6 8 = 3 3 3 4 3 4 5. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła CD

Wykresy jednostkowe od kątów obrotu są identyczne, więc dla uproszczenia prezentacji je pominięto. -Obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła CD

Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

4 3 0 20 10    k k

Podstawienie współczynników do układu:

                0 4 3 6 7 4 0 0 4 2 3 2 1 2 1     EJ EJ EJ EJ

Rozwiązanie układu równań:

         EJ EJ 3 2 9 1 2 1  

Wyznaczenie wartości momentów w poszczególnych punktach: 056 , 0 0 3 2 0 9 1 2                 EJ EJ EJ MA 0 0,111 3 2 0 9 1                  EJ EJ EJ M L B 111 , 0 0 3 2 4 9 1 2                 EJ EJ EJ EJ M P B 0 0,306 3 2 2 9 1 4                  EJ EJ EJ EJ M L C 306 , 0 4 3 3 2 3 2 9 1 0                  EJ EJ EJ M P C 0,972 4 3 3 2 3 9 1 0                  EJ EJ EJ MD

(8)

0,056 0,111 0,306 0,972 0,097 0,861 EJ EJ EJ A B C D LwVA

V

A

1

V

B

V

C

V

D + - +

1

LwVB +

-1

LwVC + LwVD -+

1

P=1 x - -+ LwMA + -LwMB -LwMC LwMD -+ 0,63 0,395 0,037 0,012 0,673 0,154 0,049 0,025 0,315 0,042 0,834 0,094 0,654 0,441 0,173 0,611 0,42 0,056 0,84 0,111 0,691 0,306 0,346 0,972 Wyznaczenie siły tnącej i momentu zginającego w przekroju α-α

052 , 0   P T 097 , 0 4 052 , 0 111 , 0      M

Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC

Otrzymane wartości reakcji, momentów i sił tnących są rzędnymi na odpowiednich liniach wpływu w połowie długości przęsła CD.

(9)

EJ EJ EJ A x P=1 B C D -+ LwM -+ -LwT 0,054 0,025 1,236 0,097 0,481 0,519 0,052 EJ EJ EJ A B C D

-+

LwM

0,054 1,236 0,097 q=6kN/m 4 8 6 EJ EJ EJ

-+

LwM

0,054 1,236 0,097 q=6kN/m 4 2 2 2 2 6 P =6 2=121 P =6 4=242 P =6 2=123

Zadanie 2:

Na podstawie linii wpływu Mα z zadania 1-go, oszacować wartość ekstremalnego

momentu

w zadanym przekroju od obciążenia użytkowego p=6kN/m i porównać z rzeczywistą

wartością momentu od tego obciążenia.

1) Wyznaczenie maksymalnego momentu w przekroju α-α rozciągającego włókna dolne. Obciążamy dodatnie pole linii wpływu obciążeniem użytkowym:

- oszacowanie wartości momentu - sprowadzamy obciążenie do sił skupionych nad wyznaczonymi rzędnymi linii wpływu i nad podporami:

kNm P

P P

(10)

EJ EJ EJ A B q=6kN/m C D 4 8 6 6 8 12 2 =32 6 812 2 =32 22,12 T =24,59 T =23,41 4 26,86 4 B C B C q=6kN/m

- wyznaczenie dokładnej wartości momentu - wykorzystanie metody przemieszczeń.

Wykresy od jednostkowych kątów obrotu są takie same jak w zadaniu 1. Obciążenie zewnętrzne - obciążenie użytkowe na środkowym przęśle:

Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

32 32 20 10    k k

Podstawienie współczynników do układu:

                0 32 6 7 4 0 32 4 2 3 2 1 2 1     EJ EJ EJ EJ

Rozwiązanie układu równań:

         EJ EJ 19 , 33 86 , 26 2 1  

Wyznaczenie wartości momentów na końcach przęsła BC w poszczególnych punktach:

kNm EJ EJ EJ EJ M P B 32 26,87 19 , 33 4 86 , 26 2                 kNm EJ EJ EJ EJ M L C 32 22,12 19 , 33 2 86 , 26 4                 

Wyznaczenie sił tnących na podstawie obliczonych momentów:

MC 26,8622,12684TB80

kN TB 24,59

RY 24,5968TC 0TC 23,41kN kNm

Mmax() 26,8664224,59423,5 - wartość dokładna max. momentu rozciągającego włókna dolne w przekroju α-α.

(11)

EJ EJ EJ -+ LwM 0,054 1,236 0,097 1 8 P =6 1=61 P =6 1,5=94 q=6kN/m q=6kN/m 2 1 1,5 3 1,5 P =6 2=122 P =6 1=63 P =6 1,5=9 6 5 P =6 3=18 EJ EJ EJ A B C D 4 8 6 12 2 =18 q=6kN/m q=6kN/m 6 6 6 4 12 2 =8 6 4 12 2 =8 6 612 2 =18 EJ EJ EJ A B C D

-+

LwM

0,054 1,236 0,097 q=6kN/m 6 q=6kN/m 8 4

2) Wyznaczenie maksymalnego momentu w przekroju α-α rozciągającego włókna górne. Obciążamy ujemne pole linii wpływu obciążeniem użytkowym:

- oszacowanie wartości momentu - sprowadzamy obciążenie do sił skupionych nad wyznaczonymi rzędnymi linii wpływu i nad podporami:

kNm P P P P P P Mmin()  10 2(0,054) 30 4 0 5(0,097) 6012(0,054)18(0,097)2,39 - wyznaczenie dokładnej wartości momentu - wykorzystanie metody przemieszczeń.

Wykresy od jednostkowych kątów obrotu są takie same jak w zadaniu 1. Obciążenie zewnętrzne - obciążenie użytkowe na skrajnych przęsłach:

Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

18 8 20 10    k k

(12)

6,54 T =0,84 T =0,84 4 0,197 4 B C B C EJ EJ EJ A x P=1B C D -+ LwMBC + -LwMAB -+ LwMCD

Podstawienie współczynników do układu:

                0 18 6 7 4 0 8 4 2 3 2 1 2 1     EJ EJ EJ EJ

Rozwiązanie układu równań:

         EJ EJ 185 , 17 198 , 8 2 1  

Wyznaczenie wartości momentów na końcach przęsła BC w poszczególnych punktach:

kNm EJ EJ EJ EJ M P B 0 0,197 185 , 17 4 198 , 8 2                  kNm EJ EJ EJ EJ M L C 0 6,54 185 , 17 2 198 , 8 4                  

Wyznaczenie sił tnących na podstawie obliczonych momentów:

MC 0,1976,54TB80

kN TB 0,84

kNm

Mmin() 0,1970,8443,16 - wartość dokładna max. momentu rozciągającego włókna górne w przekroju α-α.

Zadanie 3. Wyznaczyć maksymalny moment przęsłowy od obciążenia użytkowego 6kN/m.

(13)

22,12 T =24,59 T =23,41 x 26,86 B C B C q=6kN/m 4 12,099 0,197 A B 0,197 6,54 6,54 23,728 D C 8 V = 15,074 8,926 8,926 0,84 0,84 0,84 V = 8,086 0,84 V = 20,86 15,14 15,14 V = 15,98 q=6kN/m q=6kN/m 6 x1 x

Analizując powyższe linie widać, że obciążenie środkowego przęsła powinno dać maksymalny moment na przęśle BC. Ponieważ jest to ta sama belka, wystarczy wykorzystać dane z zadania 2-go pkt.1). Celem zadania jest wyznaczenie maksymalnego momentu na przęśle, więc wyznaczenie ekstremum:

m x x x T( )24,596 0 4,1

kNm

m

x

M

24

,

59

4

,

1

23

,

53

2

1

,

4

6

86

,

26

)

1

,

4

(

2

Aby uzyskać maksymalny moment na dwóch pozostałych przęsłach, obciążamy dodatnie pola linii wpływu, czyli przęsła skrajne. Wykorzystując dane z z zadania 2-go pkt.2):

         EJ EJ 185 , 17 198 , 8 2 1   kNm M P B 0,197 kNm M L C 6,54

Wyznaczenie brakujących momentów na podporach A i D:

kNm EJ EJ EJ MA 8,198 0 17,185 8 12,099 2                  kNm EJ EJ EJ MD 17,185 18 23,728 3 198 , 8 0                 

Wyznaczenie wartości sił tnących

Wyznaczenie ekstremum na przęśle AB:

m x x x T( )15,0746 0 2,51

kNm

m

x

M

15

,

074

2

,

51

6

,

84

2

51

,

2

6

099

,

12

)

51

,

2

(

2

Wyznaczenie ekstremum na przęśle CD:

m x x x T( 1)15,146 10 12,52

kNm

m

x

M

15

,

14

2

,

52

12

,

56

2

52

,

2

6

54

,

6

)

52

,

2

1

(

2

Obraz

Wykres momentów w poszczególnych punktach wyznaczamy na podstawie wzoru:
Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła AB
Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC
Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC

Cytaty

Powiązane dokumenty

W związku ze stale rosnącym zapotrzebowaniem przemysłu na tego typu konstrukcje, a zatem i potrzebą ich obliczeń wytrzymałościowych, pojaw iają się coraz to nowe

Nauczyciel informuje uczniów o znaczącej roli linii w rysunku i prezentuje film pokazujący tworzenie prostych rysunków z wykorzystaniem linii. Materiał edukacyjny wytworzony w

Linie wpływu reakcji podporowych i sił przekrojowych w płaskich układach prętowych statycznie wyznaczalnych .... Linie wpływu dla belek

1, wzmocniona czterema stalowymi kątownikami 40x40x4 została obciążona za pośrednictwem doskonale sztywnej płyty osiową siłą ściskającą P.. Pręt jak

1, wzmocniona czterema stalowymi kątownikami 40x40x4 została obciążona za pośrednictwem doskonale sztywnej płyty osiową siłą ściskającą P.. Pręt jak

Zarówno widmo emisyjne jak i absorpcyjne, oprócz for- my obrazu uzyskiwanego w układzie optycznym, może być przedstawione także jako wykres zależności natężenia światła

Cervinara 12,13. The hydrological modeling contest was dedicated to the pyroclastic soil cover of the northeast slope of Mount Cornito, near the town of Cervinara, about 50km

wiono przykład pliku umożliwiającego uzyskanie rozwiązania (prąd na początku oraz napięcie i prąd na końcu linii długiej) w zależności od zmiany wartości