Wykad 3

MECHANIKA 2

Wykład Nr 3

KINEMATYKA

Temat

RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ

Pojęcie Ruchu Płaskiego

Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny

Π

Rys.1

Przez ciało sztywne prowadzimy prostą l prostopadłą do płaszczyzny

Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej

Podczas dowolnego ruchu ciała prosta l porusza się ruchem postępowym i jest stale prostopadła do Π.

Podczas ruchu obrotowego ciała wokół prostej l punkty leżące na prostej równoległej do l mają te same prędkości i przyspieszenia.

Rys.1

Własności:

Wniosek!

Ruch płaski jest określony, jeżeli znamy ruch

przekroju bryły po płaszczyźnie kierującej.

Rys. 2

Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej

Bryła wykonuje ruch płaski. Przekrój bryły S porusza się po płaszczyźnie rysunku z położenia I do II.

I sposób (linia czerwona):

Ruch postępowy przekroju z położenia I do I_A; Obrót przekroju dookoła A₁ o kąt φ.

II sposób (linia

niebieska):

W ruchu płaskim możemy przeprowadzić bryłę z

położenia początkowego do położenia końcowego za

pomocą ruchu postępowego oraz obrotowego dookoła

osi

prostopadłej

do

płaszczyzny

kierującej

i

przechodzącej przez obrany biegun.

Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej

Obieramy punkty A i B danego przekroju (w położeniu I).

Punkty te po wykonaniu ruchu zajmą położenie A

i B

.

Znajdujemy punkt C przecięcia się symetralnych odcinków

AA

i BB

.

Rys. 3

Środek Obrotu Zastępczego

Widzimy, że ruch

przekroju dokonał się

za pomocą obrotu

dookoła punktu C.

Taki punkt nazywamy

środkiem obrotu

Ruch chwilowy przekroju

po płaszczyźnie kierującej

jest

obrotem

chwilowym

dookoła punktu S zwanego

środkiem obrotu

chwilowe-go.

Środek Obrotu Chwilowego

Rys. 4

Punkty AB i A

B

obieramy nieskończenie blisko siebie.

Ruch w nieskończenie krótkim czasie nazywamy

Środek S obrotu chwilowego

leży w punkcie przecięcia się

normalnych do torów

punk-tów A i B (rys. 4).

Środek Obrotu Chwilowego

Rys. 4

Osią obrotu chwilowego nazywamy prostą przechodzącą

przez środek obrotu chwilowego S i prostopadłą do

płaszczyzny kierującej. Wokół tej osi dokonuje się również

ruch chwilowy.

Oś Obrotu Chwilowego

Punkty A

i B

poruszają się w płaszczyźnie po torach

odpowiednio 1 i 2 (Rys. 5).

S

, S

, S

,… – środki obrotów chwilowych odpowiednio w

położeniach I, II, III,…

Centroidą stałą C

nazywamy miejsce

geometryczne

środków

chwilowych S

na

płaszczyźnie stałej.

Centroidy i Aksoidy

Centroidy i Aksoidy

Rys. 5

Przenieśmy teraz odcinki A

B

, A

B

, A

B

,… do odcinka

A

B

(Rys. 5).

Wierzchołki S

, S

, S

,… trójkątów

A

B

S

, A

B

S

,

A

B

S

– znajdą się w położeniach

S’

, S’

, S’

,…

Centroidą ruchomą C

nazywamy miejsce

geometryczne środków

chwilowych S’

na

płaszczyźnie ruchomej,

związanej z

poruszającym się

układem.

Centroidy i Aksoidy

Aksoidą stałą nazywamy miejsce geometryczne osi

obrotów chwilowych w układzie stałym (związanym z

płaszczyzną kierującą). Jest to powierzchnia walcowa.

Aksoidą ruchomą nazywamy miejsce geometryczne

osi obrotów chwilowych w układzie ruchomym

(związanym z poruszającą się bryłą). Jest to również

powierzchnia walcowa.

Przewodnie prędkości i przyspieszeń

Przewodnią

prędkości

(przyspieszeń)

punktów

poruszającego

się ciała nazywamy linię , na której

leżą końce wektorów ich prędkości (przyspieszeń).

Przewodnią jest prosta.

Przewodnie prędkości i przyspieszeń

Jak znaleźć mając dane i ?

D

vρ D

v

ρ

v

ρ

v

ρ

_B

Końce wektorów prędkości punktów A i

B dzielą przewodnią na odcinki

proporcjonalne do odległości między

nimi.

Rys. 3

Równania Ruchu Płaskiego

Przyjmijmy układ współrzędnych x, y, związany z płaszczyzną kierującą.

Na ruchomym przekroju S obierzmy dowolny biegun A jako początek ruchomego układu współrzędnych ξ, χ, związanego z poruszającym się przekrojem. i

r

ρ

ρ

ρ

r

ρ

– wektor położenia dowolnego punktu P w układzie stałym x, y.

– wektor położenia punktu P w układzie ruchomym ξ, χ. – wektor położenia bieguna A w układzie stałym.

Uwaga!

)

(t

r

r

ρ =

ρ

const.

ρ

=

)

(t

r

r

ρ =

ρ

)

(

ρ

ρ

ρ

=

ρ

t

– kąt zawarty

między osią x

a osią

ξ

.

)

(t

x

x

=

_(t

₎

y

y

=

)

(t

ϕ

ϕ

=

Położenie układu ruchomego względem układu stałego:

)

(t

ϕ

ϕ

=

Kinematyczne RÓWNANIA RUCHU PŁASKIEGO w

postaci wektorowej

Równania Ruchu Płaskiego

Uwzględniając rzuty tych wektorów otrzymamy

RÓWNANIA RUCHU PUNKTU P.

Prędkość punktu P przekroju poruszającego się po płaszczyźnie kierującej:

– prędkość punktu P przekroju

– prędkość obranego bieguna A, jednakowa w danej chwili dla wszystkich punktów przekroju. Jest to prędkość ruchu postępowego.

Prędkość w ruchu Płaskim

Prędkość końca wektora wskutek obrotu przekroju wokół bieguna A:

i

ρ

Wektor prędkości dowolnego punktu przekroju:

Prędkość dowolnego punktu w ruchu płaskim jest więc

sumą

geometryczną

prędkości

ruchu

postępowego

i

prędkości ruchu obrotowego dookoła obranego bieguna.

Przyspieszenie w Ruchu Płaskim

Przyspieszenie jest równe pochodnej wektora prędkości

względem czasu:

czyli

Iloczyn wektorowy

, lecz w

przypadku ruchu płaskiego wektory

i

są stale do siebie

prostopadłe, a więc

co upraszcza równanie do

postaci

ω

ω

ω

ω

ω

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

_×

_×

₌

_⋅

₋

)

(

)

(

ω

ρ

ω

)

0

(

ρ

⋅

ρ

ρ

=

gdzie

–

p

rzyspieszenie

normalne

punktu

P

pochodzące od obrotu ciała wokół punktu

A.

– przyspieszenie punktu A w ruchu postępowym

–

p

rzyspieszenie

styczne

punktu

P

pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A.

Przykład 1

Pręt AB o długości l umocowany jest poziomo na kołach

o promieniach r tak, jak na Rys. 7. Koło o środku O

obraca się ze stałą prędkością kątową ω.

Obieramy układ współrzędnych x i y oraz

ξ

i

χ

tak, jak na

rysunku.

Oxy – układ nieruchomy;

A

ξχ

– układ ruchomy.

ROZWIĄZANIE

=

B

r

ρ

=

B

V

ρ

ROZWIĄZANIE

=

V

=

B

a

ρ

=

B

a

Przykład 2

Obliczyć prędkość kątową pręta AB oraz prędkość

liniową punktu B mechanizmu korbowo-wodzikowego w

chwili gdy φ

= 60°. Walec toczy się bez poślizgu po

poziomej płaszczyźnie odległej od osi OB o promień

walca 0,5 d. Dane: OA = d, AB = d√3, ω

= const.

d√3 d

ROZWIĄZANIE

Ponieważ ω

= const, więc

d√3 d

½d

Równania ruchu punktu B:

Należy znaleźć zależność

pomiędzy kątami φ

i φ

!

ROZWIĄZANIE

Skorzystamy z twierdzenia sinusów:

ROZWIĄZANIE

Prędkość kątowa pręta AB jest równa:

Prędkość liniowa punktu B:

Przykład 3

Toczenie się walca po powierzchni

+

=

r. post

ę

powy

+

r. obrotowy

=

r. płaski

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

2v

v√2

v√2

ω

_ω

ω = v/r

Toczenie się walca po powierzchni

v

O

P

α

v

=

obr

v

Przykład 3

v

– prędkość

punktu P w ruchu

obrotowym

Toczenie się walca po powierzchni

Przykład 3

Walec o promieniu r toczy się

bez poślizgu po wewnętrznej

stronie nieruchomej

powierz-chni walcowej o promieniu R,

wprowadzony

w

ruch

za

pomocą korby OA. Prędkość

kątowa

korby

wynosi

ω

.

Znaleźć:

prędkości

liniowe

punktów A, B i D;

prędkość i przyspieszenie

liniowe walca.

Przykład 4

Dane: r, R, ω

.

Korzystając z poprzedniego zadania:

ROZWIĄZANIE

v

v

Dla układu przedstawionego na rysunku obliczyć

prędkości i przyspieszenia punktów A i B.

Dane: |OA| = R, |AB| = L, H, ω

, ε

.

Ponieważ rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe, zatem:

Przyjmujemy, że pręt AB porusza się ruchem postępowym oraz obrotowym wokół punktu A.

Niech – przyspieszenie pręta AB w ruchu obrotowym wokół punktu A. BA

a

ρ

– przyspieszenie pręta AB w ruchu postępowym.

A

a

ρ

Prędkość kątowa pręta AB (w ruchu obrotowym względem punktu A):

Ponieważ nie znamy przyspie-szenia ε₁, nie obliczymy a_tBA. Zatem wykorzystamy fakt, iż punkt B porusza się po linii poziomej. Zatem a_B ma również kierunek poziomy.

Suma rzutów na oś x:

Oblicz prędkość punktów B i D płyty o kształcie

trójkąta

prostokątnego

równoramiennego

ABD

mechanizmu pokazanego na rysunku.

Dane: |OA| = |AB| = r, ω = const.

ROZWIĄZANIE

Współrzędne punktu B:

Prędkości punktów B i D obliczamy różniczkując odpowiednie współrzędne:

Krążek o promieniu R toczy się bez poślizgu po płaszczyźnie poziomej z prędkością kątową ω(t). W punkcie A znajdującym się w odległości r od środka tarczy 0 zamocowano przegubowo sztywny pręt o długości 2R, którego drugi koniec B porusza się po płaszczyźnie poziomej. Znaleźć prędkość chwilową punktu B dla położenia pokazanego na rysunku.

Dane: |OA| = r, R, ω(t)

ROZWIĄZANIE

Obieramy kąt pomocniczy α. Wtedy:

Prędkość punktu 0:

Obieramy pomocniczy kąt β.

Dodatkowo:

Zatem:

Skorzystamy ze wzoru trygonometrycznego:

Pręt AB o długości l, przymocowany przegubowo w punkcie A na obwodzie tarczy kołowej o promieniu R, zakończony wodzikiem B, który przesuwa się po torze pionowym. Tarcza toczy się bez poślizgu, a prędkość jej środka wynosi v₀ = const. Oblicz prędkość chwilową punktu B.

Dane: |OA| = R, l, v₀.

Wykorzystamy regułę rzutów:

Wzór trygonometryczny:

Wtedy:

W mechanizmie epicykloidalnym korba OA obraca się z prędkością kątową ω₀ i wprawia w ruch koło I o promieniu r, które jest zazębione z kołem II o promieniu 2r. Z kołem I jest na sztywno połączone koło III o promieniu 2r. Jaka powinna być prędkość kątowa ω_II koła II, aby punkt C koła III był nieruchomy?

Dane: r, ω₀.

Przykład 9

1. Ruch układu wyłącznie pod wpływem korby OA (dla ω_II = 0):

Aby punkt C był nieruchomy, jego prędkość liniowa musi być równa zeru:

2. Ruch układu wyłącznie pod wpływem ruchu obrotowego koła II (dla ω₀ = 0):