Aleksander Król
Politechnika lskaALGORYTM GRUPOWANIA WZÓW SIECI
TRANSPORTOWEJ Z WYKORZYSTANIEM
LOGIKI ROZMYTEJ
Rkopis dostarczono, kwiecie 2013
Streszczenie: W wielu sytuacjach model sieci transportowej zawiera bardzo du liczb wzów i
algorytmy operujce na takim modelu mog by zbyt czasochonne. Istnieje wic potrzeba uproszczenia modelu polegajca na redukcji liczby wzów. Najprostsze podejcie polegajce na wykorzystaniu geograficznego ssiedztwa wzów i prostym zgrupowaniu pobliskich wzów moe by niewystarczajce, gdy nie uwzgldnia rónych ról spenianych przez wzy podlegajce czeniu. Niektóre z nich maj znaczenie lokalne i mog by zgrupowane z ssiadami bez zaburzania obrazu potoków ruchu w caej sieci. W przypadku innych wzów potoki ruchu zwizane z odlegymi geograficznie wzami mog by znacznie wiksze od potoków lokalnych. Wzy nalece do tej grupy nie powinny by raczej grupowane z ssiadami. W pracy przedstawiono algorytm grupujcy wzy sieci transportowej wykorzystujcy aparat logiki rozmytej, przetwarzajcy jakociowe charakterystyki wzów.
Sowa kluczowe: sie transportowa, grupowanie wzów, logika rozmyta
1. WSTP
Szczegóowy model rzeczywistej sieci transportowej jest grafem o ogromnej liczbie wierzchoków i krawdzi. Z praktycznego punktu widzenia modele sieci mona podzieli pod wzgldem rozmiaru na mae (do 100 wierzchoków), rednie (od 100 do 1000 wierzchoków) oraz due (powyej 1000 wierzchoków) [3]. W przypadku modeli rednich i duych problematyczna jest nawet jednoczesna wizualizacja wszystkich wierzchoków i uków. A nawet dla modeli maych mog wystpi problemy z analiz i szybkoci dziaania niektórych algorytmów [2]. W chwili obecnej zagadnieniem o wielkim praktycznym znaczeniu jest problem lokalizacji centrów logistycznych. Wikszo odmian tego problemu to zadania NP – trudne, które dla sieci transportowych zawierajcych wicej ni 100 wierzchoków pozostaj bez rozwizania [5].
W wielu sytuacjach istnieje zatem potrzeba uproszczenia modelu w celu atwiejszej analizy zachodzcych w sieci transportowej zjawisk [4] lub zmniejszenia czasu przetwarzania przez operujce na modelu algorytmy.
2. WYBÓR METODY
Najprostsze podejcie, w którym wykorzystywane jest tylko informacja o pooeniu wzów sieci transportowej moe wykorzystywa klasyczne algorytmy analizy skupie [6] i zastpi grup wzów centroidem grupy. Oczywist wad takiej metody niewykorzystanie informacji o strukturze grafu modelu oraz potrzebach transportowych opisanych przez potoki ruchu pomidzy parami wzów. Wiele metod opiera si na znajomoci kompletnej struktury grafu i poszukiwaniu klasterów wierzchoków, które mog by poczone [1, 11]. Stosowane techniki mog znale ogólne zastosowanie równie w innych dziedzinach, tam gdzie naturaln reprezentacj danych s grafy [8]. W prezentowanej pracy skoncentrowano si na wykorzystaniu informacji zawartej w macierzy ródo – cel, zawierajcej potoki ruchu pomidzy parami wzów. Takie podejcie jest umotywowane pierwotnym przeznaczeniem opisywanego algorytmu – bdzie on stanowi wstpn cz procedury stosujcej metody sztucznej inteligencji do projektowania sieci transportowej [9]. Zatem naley przyj , e w chwili uruchomienia algorytmu topologia sieci transportowej nie jest jeszcze znana.
3. OPIS ALGORYTMU
Algorytm grupowania wzów sieci transportowej z uwzgldnieniem potoków ruchu pomidzy parami wzów realizowany jest w dwóch etapach:
x tworzenie macierzy powinowactwa wzów,
x grupowanie wzów na podstawie wartoci powinowactwa.
3.1. TWORZENIE MACIERZY POWINOWACTWA
W pierwszym etapie tworzona jest symetryczna macierz powinowactwa wzów |P|. Elementy tej macierzy Pij przyjmuj wartoci z przedziau [0, 1]. Warto powinowactwa
bliska jednoci sugeruje poczenie i – tego i j – tego wza w jedn grup, warto bliska zeru sugeruje, e wzy te nie powinny by w tej samej grupie.
Wyznaczenie powinowactwa pomidzy par wzów wymaga obliczenia wartoci czterech wielkoci charakteryzujcych t par:
1. odlegoci geograficznej, wyraonej jako uamek maksymalnej rozcigoci analizowanego obszaru (d),
2. sumarycznego wzajemnego potoku ruchu pomidzy t par wzów (pw),
3. sumarycznych indywidualnych potoków ruchu obliczonych niezalenie dla obu wzów (pi oraz pj),
4. sumarycznego zewntrznego potoku ruchu tej pary z wszystkimi pozostaymi wzami sieci w przeliczeniu na jeden wze (pz).
Zaoono, e warto powinowactwa pary wzów jest okrelona przez ponisze, opisowe warunki:
1. wzy aspirujce do uczestnictwa w tej samej grupie powinny raczej lee w miar blisko siebie i wzajemny potok ruchu powinien by istotniejszy od zewntrznego (chyba, e indywidualne potoki ruchu znaczco si róni, wtedy mona pomin role jednego z nich),
2. jeli wzy le do daleko od siebie, to raczej nie powinny aspirowa do uczestnictwa w tej samej grupie (niezalenie od innych czynników),
3. jeli potok zewntrzny dla pary wzów jest znaczco istotniejszy od wewntrznego i ich potoki indywidualne s zblione to wzy raczej nie powinny by czone w jedn grup (ich indywidualne role z punktu widzenia pozostaych wzów sieci s istotne i nie powinny zosta pominite).
Powysze potoczne stwierdzenia zawieraj kilka nieprecyzyjnych okrele relacji: w miar, istotniejszy, do , znaczco istotniejszy, zblione oraz raczej. Formalizmu matematycznego pozwalajcego na operowanie takimi stwierdzeniami dostarcza logika rozmyta. W takim podejciu zdanie logiczne o wartociach binarnych, okrelajce, czy dany element naley lub nie naley do zbioru jest zastpione cig funkcj okrelajc stopie przynalenoci elementu do zbioru. Funkcja przynalenoci przyjmuje wartoci z przedziau [0, 1], przy czym 0 oznacza, e element do zbioru z pewnoci nie naley, a 1 oznacza cakowit przynaleno [10].
Opierajc si na tych pojciach mona zbudowa system decyzyjny, wykorzystujcy warunki opisowe, podobne do wymienionych powyej. Wiedza takiego systemu jest zawarta w reguach (implikacjach) rozmytych operujcych wielkociami rozmytymi (nieprecyzyjnymi). Typowy proces wnioskowania rozmytego skada si z piciu etapów: 1. rozmywanie – dla wszystkich parametrów wejciowych obliczane s stopnie
przynalenoci z wykorzystaniem danych funkcji przynalenoci,
2. obliczanie wartoci rozmytych wyrae logicznych, bdcych poprzednikami regu rozmytych,
3. wykonanie implikacji rozmytych – nastpnik implikacji jest zawsze pewnym zbiorem rozmytym, a w rezultacie jego funkcja przynalenoci zostaje „obcita” do wartoci obliczonej dla poprzednika,
4. agregacja nastpników wszystkich implikacji (za pomoc funkcji maksimum lub sumowania)
5. wyostrzenie – obliczenie jednej wartoci, bdcej wynikiem procesu.
Zaoonym wyej okreleniom relacji przyporzdkowano odpowiednie funkcje przynalenoci, których przebiegi zoono z odcinków linii prostych. Przebieg kadej z tych funkcji zosta dobrany empirycznie. Zebrano je w tablicy 1.
Tablica 1 Funkcje przynale noci przyjte dla u ywanych relacji
Relacja Skrót Relacja Skrót
w miar blisko WMB istotniejszy IST
na osi odcitych odlego dwóch wzów jako uamek rozcigoci obszaru
na osi odcitych stosunek obu argumentów
zbliony ZBL do daleko DDL
na osi odcitych stosunek obu argumentów na osi odcitych odlego dwóch wzów jako uamek rozcigoci obszaru
znacznie istotniejszy IST2
dwuargumentowa, na osi odcitych stosunek obu argumentów
Uywajc opisanych relacji mona wprowadzone wyej warunki potoczne wyrazi w postaci regu rozmytych:
1. je eli WMB(d) AND (IST(pw / pz) OR NOT ZBL(pi / pj)) to raczej grupuj,
2. je eli DDL(d) to raczej nie grupuj,
3. je eli IST2(pz / pw) AND ZBL(pi / pj) to raczej nie grupuj.
W roli rozmytych operatorów koniunkcji, alternatywy oraz negacji typowo zastosowano funkcje minimum, maksimum i dopenienie do jednoci. W rezultacie dziaania tych operatorów obliczono warto poprzedników dla kadej implikacji.
W nastpnikach implikacji uyto okrele „raczej” i „raczej nie”, które odpowiadaj zbiorom rozmytym z funkcjami przynalenoci, pokazanymi w tablicy 2.
Tablica 2 Funkcje przynale noci nastpników implikacji
Nastpnik
raczej raczej nie
Okrela stopie, w którym argument moe by traktowany jako „1”; na osi odcitych warto poprzednika implikacji
Okrela stopie, w którym argument moe by traktowany jako „0”; na osi odcitych warto poprzednika implikacji
Do agregacji wyników wszystkich trzech implikacji rozmytych uyto funkcji maksimum. Nastpnie dokonano wyostrzenia przy uyciu metody rodka cikoci – odcita rodka cikoci uzyskanej w wyniku agregacji figury jest poszukiwan wartoci powinowactwa pomidzy dwoma wzami.
Opisany wyej proces obliczania wartoci powinowactwa zosta zilustrowany na przykadzie (rys. 1). Badana jest relacja pary wzów, których charakterystyk zebrano w tablicy 3.
Tablica 3 Charakterystyka przykadowej pary wzów
Parametr Symbol Warto
odlego d 0.13
indywidualny potok i – tego wza pi 302000
indywidualny potok j – tego wza pj 400000
potok wzajemny i – j pw 100000
potok zewntrzny pz 77100
Rys. 1. Proces obliczania powinowactwa dla pary przykadowej wzów
3.2. GRUPOWANIE WZÓW
Majc do dyspozycji macierz powinowactwa mona przystpi do czenia wzów w grupy. Niestety powinowactwo zdefiniowane w opisany wyej sposób nie ma charakteru odlegoci, zatem zbiór wzów z funkcj powinowactwa nie jest przestrzeni metryczn. W takiej sytuacji nie mona uy typowych algorytmów grupowania obiektów [7]. Zaproponowano zatem oryginaln metod pozwalajc poczy niektóre z wzów w grupy biorc pod uwag warto powinowactwa par wzów. Liczba grup nie jest z góry zaoona, co daje opisywanej metodzie przewag nad wikszoci metod klasycznych.
Kluczowym struktur jest tablica przypisujca kademu wzowi numer grupy, do której wze naley. Na pocztku dziaania algorytmu grupujcego liczba grup wynosi zero, a tablica jest nie wypeniona.
W kadym kroku algorytmu dla pierwszego wza, nieprzypisanego jeszcze do adnej z dotychczasowych grup tworzona jest nowa grupa. Nastpnie poszukiwany jest kolejny wolny jeszcze wze o najwikszym powinowactwie, wikszym od pewnego ustalonego progu. W przypadku nie znalezienia takiego wza powstaje grupa jednoelementowa, co oznacza, e taki wze nie spenia kryteriów pozwalajcych na doczenie go do
jakiejkolwiek grupy. W przeciwnym wypadku, gdy kandydat do przyczenia do nowej grupy zostaje znaleziony, badana jest relacja pomidzy kandydatem a grup:
x wedug opisanych regu poszukiwany jest kolejny potencjalny ssiad kandydata, x jeli nie uda si go znale proces rozszerzania grupy jest koczony,
x jeli zostaje znaleziony badane jest jego powinowactwo ze wszystkimi dotychczasowymi czonkami grupy,
x jeli to powinowactwo jest dostateczne, kandydat zostaje do grupy doczany i procedura badania relacji zostaje rekurencyjnie wywoana dla znalezionego ssiada kandydata,
x jeli jego powinowactwo z jakimkolwiek czonkiem grupy jest mniejsze od zaoonego progu, proces rozszerzania grupy jest wstrzymywany, a w zalenoci od wyniku porównania powinowactw kandydata z grup oraz kandydata z potencjalnym ssiadem kandydat do grupy wchodzi albo nie.
Algorytm koczy dziaanie w chwili, gdy kademu wzowi zostanie przypisany numer grupy, do której naley. Wzy nalece do kadej grupy s zastpowane jej punktem centralnym, którego wspórzdne s rednimi waonymi wspórzdnych wzów grupy. Wagami s cakowite potoki ruchu kadego wza.
Wspomniany wyej próg wartoci powinowactwa, powyej którego nastpuje kwalifikacja jako wza jako potencjalnego ssiada jest jedynym parametrem sterujcym tej fazy algorytmu. Przeprowadzono testy dla kilku wybranych wartoci tego parametru i stwierdzono du odporno algorytmu na jego zmiany. Ostatecznie warto progow ustalono na 0.5. Schemat blokowy algorytmu pokazano na rys. 2.
4. WYNIKI
Dane wejciowe wprowadzane s w plikach tekstowych zawierajcych macierz ródo – cel opisujc potoki ruchu oraz wspórzdne wzów sieci transportowej. Opisan procedur zastosowano do kilku testowych zestawów danych. Uzyskane rezultaty przedstawiono w formie graficznej, która obrazuje dodatkowo potoki ruchu pomidzy parami wzów. Kady taki potok jest przedstawiony w formie szarego pasma, którego szeroko jest proporcjonalna do sumarycznego potoku ruchu pary wzów. Punkt centralny kadej grupy zosta przedstawiony w postaci okrgu poczonego z wzami grupy. Wzy, które nie zostay zgrupowane z adnym z ssiadów tworz grupy jednoelementowe i w takim przypadku punkt centralny pokrywa si z wzem.
W pierwszej kolejnoci zbadano dziaanie algorytmu dla dwóch zestawów danych o niewielkim rozmiarze (sie o 12 wzach). Dane celowo skonstruowano tak, e moliwe jest intuicyjne grupowanie wzów sieci i nastpnie porównanie z wynikiem uzyskanym przez algorytm (rys. 3).
Rys. 3. Wyniki dla dwóch zestawów danych o niewielkim rozmiarze
W nastpnej fazie testów sprawdzono zachowanie si algorytmu dla wzów posiadajcych co prawda bliskie ssiedztwo, ale o globalnym znaczeniu w sieci transportowej. Rys. 4 przedstawia tak sytuacj – wze 9 nie zosta zgrupowany z wzami 7 i 11, gdy pomimo geograficznej bliskoci potoki ruchu z pozostaymi wzami sieci s znacznie wiksze ni potoki lokalne.
Rys. 4. Dane zawieraj wze o globalnym znaczeniu
W kolejnych fazach testów zwikszano rozmiar danych – jako dane wejciowe posuyy sieci o 24 i 100 wzach. Macierze ródo – cel zostay wygenerowany dla tych przypadków losowo, z zaoeniem, e dla potoki ruchu dla par bliskich wzów powinny by z reguy wiksze ni dla par wzów odlegych. Rezultaty przedstawiono na rys. 4 i 5. W drugim przypadku ze wzgldu na czytelno zrezygnowano z wizualizacji potoków ruchu.
Rys. 6. Wyniki dla sieci o 100 wzach
W jednym z kolejnych testów zbadano zachowanie si algorytmu dla nietypowych danych – na wejciu zadano abstrakcyjn sie o regularnym ksztacie (rys. 7). Zgodnie z oczekiwaniami nie uzyskano adnej wieloelementowej grupy.
Rys. 7. Wyniki dla sieci o równomiernie rozmieszczonych wzach
Czas dziaania algorytmu dla wszystkich zbadanych przypadków by rzdu uamków sekund, przy czym najbardziej czasochonna bya procedura wizualizacji wyników.
5. PODSUMOWANIE
Zaprezentowany w pracy algorytm moe znale zastosowanie w wielu badaniach, których przedmiotem s zoone sieci transportowe. Poprzez zmniejszenie liczby wzów moliwe jest znaczne przyspieszenie przetwarzania. Jednoczenie uproszczenie topologii sieci pozwala na atwiejsz analiz zachodzcych w niej zjawisk.
Opisane idee mog posuy równie jako baza do budowy algorytmu determinujcego lokalizacj centrów tranzytowych sieci transportowej.
Bibliografia
1. Bauer D., Daigle J. N., Iliadis I., Scotton P.: Topology aggregation for combined additive and restrictive metrics, Computer Networks 50 2006, s. 3284–3299.
2. Bjorke J. T., Nilsen S., Varga M.: Visualization of network structure by the application of hypernodes, International Journal of Approximate Reasoning 51 2010, s. 275–293.
3. Börner K., Sanyal S., Vespignani A.: Network science, in: B. Cronin (Ed.), Annual Review of Information Science and Technology, vol. 41, Information Today, Inc./American Society for Information Science and Technology, Medford, NJ 2007, s. 537–607.
4. Dupuy G., Stransky V., Cities and highway networks in Europe, Journal of Transport Geography Vol. 4, No. 2 1996, s. 107-121.
5. Gavriliouk E. O.: Aggregation in hub location problems, Computers & Operations Research 36 2009, s. 3136 – 3142.
6. Hartigan J. A., Wong M. A.: A K-Means Clustering Algorithm, Applied Statistics, Vol. 28, No. 1 1979, s. 100-108.
7. Hoeppner F., Klawonn F., Kruse R., Runkler T.: Fuzzy cluster analysis. Methods for Classification, Data Analysis and Image Recognition, John Wiley & Sons, Chichester 1999.
8. Kashan A. H. et al. : A particle swarm optimizer for grouping problems, Inform. Sci. 2013, w druku http://dx.doi.org/10.1016/j.ins.2012.10.036.
9. Król A., Pamua T.: Using a genetic algorithm for the design of an optimal transport network, Probl. Transp. 2009 t. 4 z. 4, s. 107-113.
10. Piegat A.: Modelowanie i sterowanie rozmyte, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 1999.
11. Schaeffer S. E.: Graph clustering, Computer Science Review 1 2007, s. 27 – 64.
THE ALGORITHM FOR THE TRANSPORTATION NETWORK NODES AGGREGATION USING FUZZY LOGIC
Summary: In many situations, the model of the transportation network contains a very large number of
nodes so the algorithms operating on such a model may be too time-consuming. Therefore there is a need to simplify the model by reducing the number of nodes. The simplest approach using the physical neighborhood of the nodes and then aggregation nearby nodes may be insufficient, because it does not take into account the different roles played by the nodes subject to the merger. Some of them have local significance and can be aggregated without disturbing the traffic flows across the whole network. For other nodes the traffic flows associated with geographically distant nodes can be much larger than the local flows. The nodes of this kind should not be aggregated with their neighbors. This paper presents an algorithm for grouping the transportation network nodes using fuzzy logic, which processes the qualitative characteristics of nodes.
