Streszczenie
W pracy omawiane jest zagadnienie wierzchoªkowej stabilno±ci grafów. Je±li H jest dowolnie ustalonym grafem, to graf G nazywamy (H; k)-stabilnym gdy w gra e otrzymanym przez usuni¦cie dowolnych k wierzchoªków z G znajdziemy podgraf izomor czny z H. Dla danego grafu H i danego natural-nego k koncentrujemy si¦ na znajdowaniu lub szacowaniu warto±ci parametru stab(H; k) = {kGk : Gjest (H; k)-stabilny}.
Na pocz¡tek przedstawiamy ostre ograniczenia od doªu na rozmiar grafu (H; k)-stabilnego grafu G w zale»no±ci od |G| − |H|. Wyniki te wykorzy-stywane s¡ do wyznaczania dokªadnej warto±ci parametru stab(H; 1) dla H b¦d¡cego dowolnym grafem t-dzielnym peªnym.
W dalszej cz¦±ci pracy przedstawiamy tak»e asymptotycznie dokªadne oszacowania na stab(H; 1) dla H b¦d¡cego uni¡ cykli lub uni¡ ±cie»ek. Przed-stawiamy tak»e oszacowanie od doªu na rozmiar minimalnego (H; 1)-stabilnego grafu, gdzie H jest dowolnym grafem κ-spójnym ustalonego rz¦du, wraz z wykazaniem jego ostro±ci. Wyniki te s¡ uogólnieniami znanego wcze±niej niemal dokªadnego oszacowania parametru stab(Cn; 1) uzyskanego przez S.
Cichacz, A. Görlich, M. Zwonek i A. aka w 2011r.
Dla k > 1 przedstawiamy pewne ogólne wªasno±ci parametru stab(H; k), a nast¦pnie pokazujemy jego oszacowanie dla H b¦d¡cego uni¡ cykli.
Nast¦pnie wprowadzamy now¡, szersz¡ de nicj¦ stabilno±ci - ze wzgl¦du na klas¦ grafów H zamiast na jeden ustalony graf H. Mówimy, »e graf G jest (H; k)-stabilny, je±li w gra e otrzymanym przez usuni¦cie dowolnych k wierz-choªków z grafu G znajdziemy podgraf izomor czny z pewnym reprezentan-tem klasy H, a nast¦pnie przez analogi¦ de niujemy stab(H; k) := {kGk : G jest (H; k)-stabilny}.
W sposób szczególny rozwa»amy klas¦ Conn b¦d¡c¡ zbiorem wszystkich
spójnych grafów rz¦du n. Znalezienie minimalnego rozmiaru grafu (Conn; k)
-stabilnego jest równowa»ne odpowiedzi na pytanie "Ile kraw¦dzi musi mie¢ graf, aby po usuni¦ciu dowolnych k wierzchoªków pozostaªa cz¦±¢ zawieraªa skªadow¡ spójno±ci rz¦du co najmniej n?".
Przedstawiamy oszacowania stab(Con; k), przy czym dla k = 1, 2 osza-cowania te s¡ dokªadne (ewentualnie z dokªadno±ci¡ do jednej kraw¦dzi), za± dla wi¦kszych k podajemy oszacowanie od doªu i uzyskane konstrukcyjnie ró»ne oszacowania górne.
Abstract
In the thesis we discuss vertex stability of graphs. If H is an arbirary graph then graph G is said to be (H; k)-stable if in a graph obtained from G by removing any k vertices there is a subgraph isomorphic to H. Given graph Hand positive integer k we focus on estimating the parameter stab(H; k) = {kGk : Gis (H; k)-stable}.
First, we present tight lower bounds of a size of (H; 1)-stable graphs G depending on |G|−|H|. Those results are of basic importance for calculating the value of stab(H; 1) for H being any t-partite complete graph.
In next parts we show asymptotically exact bounds of stab(H; 1) for H being a union of cycles or union of paths. Moreover, we calculate a lower bound for minimal size of (H; 1)-stable graph, where H is κ-connected graph given order and show its tightness. Those results are generalizations of the one obtained by S. Cichacz, A. Görlich, M. Zwonek and A. ak in 2011 on almost exact bounds of stab(Cn; 1).
For k > 1 we show some general properties of parameter stab(H; k) and show its bounds for H being an union of cycles.
Finally, we introduce new, more general de nition of vertex stability -with regards to class of graphs, say H, instead of one particular graph H. Namely, we say that graph G is (H; k)-stable if in a graph obtained by removing any k vertices from G there is a subgraph isomorphic to some representative of class H. Analogously, we de ne stab(H; k) := {kGk : G is (H; k)-stable}.
We put special attention on a class Conn being a class of all connected
graphs of order n. Finding a minimal order of (Conn; k)-stable graph is
equivalent to answering the question "How many edges needs to be in a graph, that after removing any k vertices the remaining part still has a connected component of order at least n?".
We construct the lower and upper bounds of stab(Con; k), where for k = 1, 2 the lower bound is equal to the upper one (or there is a dierence just of one edge) and for larger k we give the lower bound and dierent approaches for constructions of the upper one.
