De hydrodynamische druk

DE HYDRODYNAMISCHE DRUK

R E D E

UITGESPROKEN BIJ D E A A N V A A R D I N G V A N H E T H O O G L E E R A A R S A M B T A A N D E T E C H N I S C H E H O O G E S C H O O L T E D E L F T . OP 12 DECEMBER 1918, D O O R

DR. J. M . BURGERS

D E L F T - J. W A L T M A N JR - 1918

privaat-'doccnfen, assistenten, studenten, en alle anderen die hier tegenwoordig zijt,

Zooals U bekend is zal ik hier aan de Technische Hoogeschool les moeten geven in de hydrodynamika en de aerodynamika, in de leer van de beweging van vloeistoffen en gassen, en van de krachten die daarbij optreden. Dit gebied is buitengewoon uitgebreid, en komt op zeer veel verschillende punten met de praktijk in aanraking, zoodat het niet gemakkelijk is om een goed overzicht van het geheel te ver-krijgen. Om U slechts enkele dingen te noemen uit het gebied van de vloeistoffen moet ik U wijzen op de vele problemen die zich voordoen bij de beweging van schepen, de theorie van de golfbeweging aan het oppervlak van het water, eb en vloed; aan de andere kant de stroo-ming van water door buizen, door rivieren en kanalen, de uitstroo-ming uit verschillend gevormde openingen (het gebied der z.g. hydrau-lika); dan de theorie der centrifugaalpompen, der waterturbines, der voortstuwingsschroeven van schepen, enz. Een vraagstuk dat op het eerste gezicht van weinig beteekenis lijkt, maar waarover in de laatste tijd nog al vrij veel onderzoekingen gedaan zijn, is de theorie van de smering, welke voor het geheele machinewezen van het grootste belang is. Tot het gebied van de gassen behooren o.a.: de winddruk tegen gebouwen, fabrieksschoorsteenen, gasketels, enz.; motoren die door de wind bewogen worden, stoomturbines; en dan wat op het oogenblik ten zeerste de aandacht trekt: de vliegtechniek. Dit zal natuurlijk wel de meeste indruk maken, omdat men algemeen vermoedt dat de vliegmachines voor een groote toekomst staan, en op den duur aan het verkeer belangrijke diensten zullen bewijzen. Voorbeelden daarvan zal ik U niet noemen, die komen bijna dagelijks in de kranten. Maar de andere kwesties die ik vermeld heb, en er is nog veel dat ik heb overgeslagen, zijn zeker van niet minder gewicht en verdienen evenzeer de aandacht. Een van de moeilijkheden van mijn werk hier in Delft lijkt me de vraag hoe ik, nu alles ook voor mij nog zoo nieuw is, mijn aandacht tusschen al deze dingen rechtvaardig zal verdeelen,

N u heb ik U alleen nog maar eenige technische kanten van het onderwerp genoemd; daarnaast staat een uitgebreide theoretische wetenschap over hydrodynamika en aerodynamika, welke bizonder mooi en belangwekkend is en vele merkwaardige resultaten heeft ver-kregen. De theorie loopt hier echter niet parallel met de praktijk: in vele opzichten zijn ze uiteengegaan. De theorie was en is nog in de meeste punten niet bij machte om te antwoorden op de vragen die de praktijk stelde; anderzijds had zij zelf vele problemen van meer mathe-matische aard, waar diepgaande studies over verricht zijn, doch die voor de praktijk op het oogenblik minder gewicht hebben. Het onder-zoek van deze theoretische problemen is evenwel ook van belang: juist omdat de vraagstukken die de techniek opwerpt zoo moeilijk zijn, zoodat men ze niet direkt kan aanpakken, is het noodig ze meer indirekt aan te vallen; en uitgaande van speciaal gekozen theoretische voorbeelden komt men op allerlei resultaten die op den duur mee-helpen om ons inzicht in vele kwesties te verhelderen.

Het is me nu niet mogelijk in te gaan op bizondere nieuwe tech-nische kwesties, hoe interessant deze ook mogen zijn, zooals b.v. de nieuwere konstrukties van vliegmachines, of van luchtschroeven en dergelijke. Om daarover te kunnen spreken zou men reeds langen tijd in deze dingen gewerkt moeten hebben, en er zich voortdurend mee hebben beziggehouden, om te kunnen beoordeelen wat het belang en de juiste waarde is van allerlei konstrukties of verbeteringen van kon-strukties. En zoover ben ik nog lang niet. Ook voor mij is het geheele onderwerp nieuw, zoowel de theoretische als de technische zijde ervan. En ik voor mij gevoel in dit geval de behoefte om me eerst eeniger-mate in te werken in de theoretische kant, d.w.z. niet in de abstrakt mathematische richting, waarin de problemen alleen beschouwd wor-den met het oog op de mogelijkheid en de methode van oplosbaarheid, en waarbij dientengevolge de keuze der problemen bepaald wordt door zuiver wiskundige overwegingen, maar in de meer fysische kant; studie van de verschijnselen die zich voordoen bij de beweging van vloeistoffen en van gassen, om dan met behulp van het daardoor ver-kregen inzicht de vraagstukken welke de praktijk opwerpt te trachten aan te pakken. Hierbij kan het nemen van allerlei proeven groote diensten bewijzen; ik zal daar zoo dadelijk nog een voorbeeld van noemen.

voor zoover mij dat mogelijk is, willen vertellen, nl. over de kwestie van de hydrodynamische druJc: de druk die een lichaam ondervindt dat geplaatst is in een vloeistof- of een luchtstroom, of, wat op het-zelfde neerkomt, de weerstand die een lichaam ondervindt dat zich met konstante snelheid door een vloeistof of door de lucht beweegt. Het feit dat deze werking bestaat is U allen natuurlijk bekend, en U voelt onmiddellijk dat dit een van de voornaamste problemen van het ge-heele vak is. Naar een volledige behandeling kan ik niet streven; ik zal vele, zelfs belangrijke dingen moeten overslaan, doch bij een voor-dracht als deze is dat ook niet anders te verwachten.

Vrijwel de oudste, en langen tijd de eenige theorie — die zelfs (hoewel ze gebleken is onjuist te zijn) soms nu nog hier en daar gebruikt wordt — is die van Newton, de beroemde Engelsche wis-en natuurkundige uit de 17e eeuw (1643 — 1727). In het tweede boek van zijn werk over de mechanika, de Philosophiae Naturalis

Princi-pia Mathematica, zijn eenige problemen behandeld over de weerstand

die projektielen bij hun beweging ondervinden. Om deze te kunnen berekenen vormde Newton zich een bepaalde voorstelling van de inwendige aard der vloeistoffen; of misschien is het beter te zeggen: hij dacht zich een vloeistof van bepaalde eigenschappen, en berekende de weerstand die de beweging van een lichaam hierin zou ondervinden. Deze hypothetische vloeistof bestond uit deeltjes die zich zonder met elkaar in aanraking te komen, en zonder krachten op elkaar uit te oefenen, in dezelfde richting en met dezelfde snelheid voortbewegen, Treft een dergelijke evenwijdige stroom van deeltjes een voorwerp van gegeven vorm, dan botsen ze tegen het oppervlak hiervan, en worden meer of minder elastisch, al naar men w i l aannemen, terug-gekaatst. Het lichaam ondervindt dus voortdurend stooten van de deeltjes, welke men volgens de gewone botsingsformules kan bere-kenen; de som dezer stooten per sekonde bepaalt de totale druk. De hierbij optredende bewegingen zijn zeer eenvoudig, en het is niet moeilijk de druk tegen lichamen van allerlei vorm uit te rekenen. Men vindt dat de totale druk evenredig is met het kwadraat van de snelheid van de deeltjes, en dat ze bij gelijkvormige lichamen evenredig is met het oppervlak, welke beide uitkomsten door de proeven vrijwel be-vestigd worden. Dit en evenzoo de eenvoudige vorm van de bereke-ningen zijn zeker wel de voornaamste redenen geweest dat deze theorie

zich zoolang heeft staande gehouden. Men diene echter niet te ver-geten dat hoewel reeds lang opgemerkt was dat de met behulp van deze theorie afgeleide formules in tal van opzichten niet in overeen-stemming waren met de resultaten van proeven, er toch steeds geen nieuwe theorie tegenover gesteld werd. Eerst in deze eeuw heeft men een weg gevonden welke in de goede richting schijnt te gaan. Ze is echter veel minder eenvoudig dan de vroegere, en men heeft nog pas de eerste stappen verricht.

Op het eerste gezicht lijkt de onderstelling van Newton omtrent de aard van de vloeistof, wanneer men eens alleen let op die soort vloei-stoffen die men met de naam gassen aanduidt, zeer plausibel. De deeltjes van Newton zijn natuurlijk de molekulen. Newton onderstelt echter dat deze geen invloed op eikaars beweging uitoefenen, en dat ze alle met dezelfde snelheid in evenwijdige rechte banen op het lichaam afkomen. Dit is onjuist; de molekulen botsen voortdurend tegen elkaar, beïnvloeden daardoor in hooge mate eikaars bewegingen, en hebben allerlei verschillende snelheden en richtingen. De werkelijke snelheden zijn zeer vele malen grooter dan hetgeen men waarneemt als de gemiddelde stroomingssnelheid, welke bovendien door de botsingen in de onmiddellijke nabijheid van het lichaam geheel anders is ge-worden dan ze was op grooten afstand ervan, zoodat de bewegingen der molekulen in de naaste omgeving van het voorwerp veel inge-wikkelder zijn dan op het eerste gezicht zou lijken. Dit brengt een volkomen wijziging teweeg in de grootte van de uitgeoefende druk-kingen, welke op een geheel andere manier met de gemiddelde stroo-mingssnelheid samenhangen dan volgens de formule van Newton het geval zou zijn. Het blijkt tenslotte dat men in alle gevallen die zich in de praktijk voordoen, beter met de gemiddelde strooming van de lucht kan werken, op dezelfde wijze als bij een kontinue vloeistof, dan te letten op de individueele bewegingen en de botsingen der molekulen'). De beweging van de lucht komt daardoor in nauwe analogie met die

') Het moet natuurlijk mogelijk zijn, uitgaande van de beschouwing der molekulaire bewegingen, te komen tot de vergelijkingen van de algemeene of gemiddelde stroomings-beweging i voor het hier besproken probleem is het echter niet noodig daarop nader in te gaan, daar men deze vergelijkingen volkomen kent. Misschien zouden onder-zoekingen hierover nog van eenig nut kunnen zijn zoo men de druk moest kennen, uitgeoefend door een uiterst verdunde gasstroom, waarin praktisch geen onderlinge botsingen der molekulen meer voorkomen (men denke hierbij aan de experimenten van Knudsen).

van de gewone vloeistoffen; er bestaan slechts de quantitatieve ver-schillen van geringere dichtheid, grootere kompressabiliteit, andere inwendige wrijving, enz.

Pas geruimen tijd na Newton is de eerste mathematische theorie opgesteld voor de beweging van een ideale vloeistof, zonder inwen-dige wrijving, door Euler (1755). Deze heeft de vergelijkingen afge-leid waaraan de beweging moet voldoen; met behulp van deze ver-gelijkingen beheerscht men het geheele probleem, Hierbij doet zich evenwel een eigenaardige moeilijkheid voor; de vergelijkingen zijn zeer algemeen, ze geven aan hoe een bepaalde bewegingstoestand na verloop van tijd zal veranderen, maar juist door hun groote algemeen-heid leveren ze ook een groote onbepaaldalgemeen-heid in de mogelijke oplos-singen ; een oneindige verscheidenheid van bewegingstoestanden kan er aan voldoen. Ze zijn daardoor niet voldoende om de beweging te bepalen wanneer men b.v. voor de volgende vraag staat: gegeven een oorspronkelijk evenwijdige stroom, waarin een of ander lichaam van bekende vorm geplaatst wordt; gevraagd hoe hierdoor destroo-mingstoestand gewijzigd zal worden. In een dergelijk geval zijn er nog oneindig veel verschillende oplossingen mogelijk; om te vinden welke beweging werkelijk zal optreden zou men nog allerlei bijkomstige omstandigheden moeten kennen, waarover deze vergelijkingen geen inlichtingen geven.

Daarbij komt nog dat de vergelijkingen in mathematisch opzicht niet eenvoudig zijn.

Om deze moeilijkheden te overwinnen kan men probeeren een bepaalde keuze te doen onder de mogelijke oplossingen, en dan nagaan tot wat voor uitkomsten deze speciale oplossing voert. Een zoodanige keuze heeft men reeds vroeg gedaan. Daarbij heeft men zich vooral laten leiden door mathematische overwegingen; d.w.z. men heeft die oplossing gekozen welke in wiskundig opzicht het eenvoudigste is, en welke dus het beste voor berekeningen toegankelijk was. Het is niet mogelijk om deze oplossing — die bekend is als de z.g. „potentiaal'

strooming" — precies te karakteriseeren zonder formules te gebruiken;

laat ik dus slechts dit zeggen dat ze zich onderscheidt door de grootst mogelijke regelmatigheid en gelijkmatigheid, zonder dat wervelbewe-gingen of andere onregelmatige bewewervelbewe-gingen optreden.

Berekent men nu wat de totale druk is die een lichaam ondervindt dat gedompeld is in een dergelijke potentiaalstroom, dan komt men

tot het resultaat dat de totale druk op het lichaam nul is. Er kan alleen een koppel van krachten optreden dat het lichaam in een bepaalde stand wil draaien, n,l. met de grootste lengterichting dwars op de stroom; overigens oefent dit koppel geen werking uit. Een hydro-dynamische druk of een weerstand zou er dus niet bestaan.

Dit wordt door het volgende veroorzaakt: voor de potentiaalstroo» ming geldt overal in de vloeistof de z.g. wet van Bernouilli, welke het verband geeft tusschen de grootte van de druk in een bepaald punt en de snelheid van de vloeistof in dat punt. In de punten waar de snelheid van de vloeistof groot is, is de druk klein, en omgekeerd. Op het eerste gezicht lijkt dit misschien paradox, maar men diene te be-denken dat de vloeistof steeds zal trachten te stroomen van punten van hoogere druk naar die van lagere: de kracht die ze hierbij onder-vindt tengevolge van het drukverval maakt dat ze met grootere snel-heid aankomt in de punten van lage druk dan ze eerst had. Beschouwt men nu de strooming om een lichaam, dan wordt aan de voorzijde de vloeistof tegengehouden, de snelheid is in één punt nul, en de druk is daar groot. Er is evenwel ook aan de achterzijde een punt waar de vloeistof in rust is: n.1. daar waar de stroomlijnen weer samenkomen, waar de strooming zich dus weer sluit. In dit punt is de druk evenzoo groot als aan de voorzijde, en bij uitwerking der berekening vindt men dat de totale resultante nul is, dat er dus geen druk overblijft.

Daar dit resultaat geheel en al onjuist is, moet men dus de gevolg-trekking maken dat de stroomingstoestand die in werkelijkheid optreedt geen potentiaalstroom is. Dit is ook inderdaad niet zoo. Vooreerst is de strooming nooit geheel regelmatig; ze wordt steeds meer of minder gestoord door een onregelmatige wervelende beweging, de z,g,

tur-bulentie. Maar bovendien is ook de algemeene strooming van de

vloeistof om een lichaam, wanneer men van deze kleinere onregelma-tigheden afziet, niet zooals men in de theorie van de potentiaalstroom onderstelt. De stroomlijnen sluiten zich niet aan de achterzijde van het lichaam; ze laten op bepaalde plaatsen van het oppervlak van het lichaam los, en tusschen het lichaam en de hoofdstroom in krijgt men het z.g. kielzog, dat niet aan de algemeene strooming deelneemt, en vaak groote wervelbewegingen vertoont.

De theorie van de potentiaalstroom moet men dus laten varen, of tenminste moet men haar in belangrijke mate wijzigen. Daar het onmogelijk is precies rekening te houden met de ingewikkelde

be-wegingen die in werkelijkheid optreden, zal men ook nu weer moeten trachten door middel van een hypothese over de optredende be-wegingen de toestand zoo goed mogelijk te benaderen.

Een eerste onderzoek in deze richting is dat van Stokes (1851) die de inwendige wrijving van de vloeistof in rekening bracht. Hier w i l ik evenwel niet op ingaan. Stokes heeft zich beperkt tot de invloed der wrijving bij geringe snelheden; zijn theorie geeft goede resultaten bij zeer kleine snelheden en kleine afmetingen en is daardoor van groot belang voor vele fysische onderzoekingen, doch bij de in de techniek gewoonlijk voorkomende gevallen gaat ze geheel niet op,

Helmholtz heeft (1868) een methode ontwikkeld om stroomingen te behandelen waarbij de stroomlijnen zich niet aaneensluiten aan de achterzijde van het lichaam; later is dit door Kirchhoff en Rayleigh verder uitgewerkt. Z i j hebben een type van strooming beschouwd waarbij de stroomlijnen aan de rand van het lichaam (b.v, een plaat die dwars op de vloeistofstroom staat) uiteengaan, en tusschen zich in aan de achterzijde (om zoo te zeggen ln de schaduw van de plaat) een stilstaande vloeistofmassa laten. De stroomingstoestand aan de achterzijde van het lichaam is dus geheel anders dan die aan de voorzijde; nu geldt ook de bovenvermelde wet voor de druk niet overal meer: ofschoon de vloeistof aan de achterzijde in rust is, is daar de druk toch kleiner dan aan de voorzijde. *

De formules met behulp van deze theorie voor de resulteerende druk afgeleid geven resultaten welke wel eenigermate met de experimenteele uitkomsten in overeenstemming zijn. Het heeft dan ook geschenen alsof deze theorie de oplossing van het probleem zou brengen; ze is echter ook zeer bestreden (door William Thomson). Bovendien was het ook slechts gelukt enkele eenvoudige gevallen te behandelen; een algemeene berekeningsmethode is er niet uit ontstaan. In enkele op-zichten toont deze theorie nog eenige verwantschap met de tegen-woordige opvattingen. Ik zal er daarom zoo dadelijk nog even op terugkomen.

De modeme opvatting,

Van een eigenlijke moderne theorie kan men nog niet spreken; het is er nog ver vandaan dat men een bepaalde vaste methode heeft volgens welke alle voorkomende problemen behandeld kunnen worden. Maar de onderzoekingen van verschillende geleerden, zooals Prandd,

Kutta, Joukowsky, Lanchester en vele anderen, hebben een weg ge-opend welke zeer veel belooft. Men is bij deze nieuwere onderzoe-kingen vooral gaan letten op de cirkulatie-stroomingen en op de

wervelbewegingen die in de vloeistof optreden, wanneer ze een lichaam

op haar weg ontaioet. Deze bewegingen ontstaan door de sterke invloed van de inwendige wrijving van de vloeistof in de grenslagen aan het oppervlak van het lichaam (in de rest van de vloeistof doet de wrijving zich in de meeste gevallen slechts zeer weinig gevoelen); en het is de verdienste van Prandtl in Gottingen geweest, die in 1904 het eerst heeft aangetoond hoe dergelijke wervelbewegingen aan het oppervlak van een lichaam gevormd worden.

De beschouwing van de cirkulatie-bewegingen was reeds eerder in de theorie ingevoerd door Kutta (in 1902). Heeft men b.v. een lang cilindrisch lichaam in een vloeistofstroom, welke loodrecht op de as van de cilinder gericht is '), dan zal volgens de oude hydrodynamische theorie van Euler hieromheen een potentiaalstroom ontstaan; aan de voorzijde van het lichaam gaan de stroomlijnen uiteen, aan de achter-zijde sluiten ze zich weer. De totale druk op het lichaam is dan nul, zooals reeds is opgemerkt.

Kutta heeft er nu op gewezen dat men nog steeds aan alle ver-gelijkingen van de vloeistofbeweging kan voldoen, wanneer men bij deze stroom nog een extra cirkulatiestrooming van de vloeistof om de cilinder heen aanneemt. In dit geval blijkt de resulteerende werking van de drukkingen niet meer nul te zijn: de cilinder ondervindt een kracht loodrecht op de algemeene stroomrichting ^). Men ziet inder-daad gemakkelijk in dat tengevolge van de gekombineerde werking van de algemeene translatiestroom en van de cirkulatiestrooming aan de eene zijde van de cilinder (b.v. aan de rechterkant, wanneer men

') Een lang cilindrisch lichaam is hier genomen om alleen te doen te hebben met de stroomingstoestand in een loodrechte doorsnede van het lichaam j het probleem is dan tot twee dimensies teruggebracht. Aan de einden van de cilinder krijgt men zeer gekompliceerde stroomingen.

2) W . M. Kutta, Auftriebskrafte in strömenden Flüssigkeiten, lUustr, Aeronautische Mitteiiungen, p. 133, 1902.

N. Joukowsky, Over de begeleidende wervels (Russisch), Werken v/d Nat. afdeeling der keizerl, vereeniging van vrienden der natuurwetenschappen, enz., deel XIII, afl. 2, 1905.

S. A.Tschaplygin,Over de druk van een planparallele stroom opeen ondergedompeld voorwerp (Russisch), uitg. Mathem. Verzamel. Moskou, deel 28, 1910.

met de translatiestroom meegaat) translatie en cirkulatie zullen samen-werken, en dus een groote snelheid zullen geven; aan de linkerzijde daarentegen gaan beide tegen elkaar in en zal de snelheid geringer zijn. Daar nu volgens de wet van Bernouilli (die bij deze stroomingen wel geldig is) steeds de druk daar het grootste is waar de snelheid het kleinste is, zal de cilinder aan de linkerzijde een overdruk onder-vinden, en aan de rechterzijde een onderdruk (een zuigende werking), zoodat hij naar rechts gedreven zal worden. De grootte van deze kracht is evenredig met het produkt van de algemeene translatie-snelheid en van de cirkulatie. ~ Het doet er hierbij niet toe of het lichaam stilstaat en de vloeistof zich beweegt, of dat het lichaam zich beweegt door een stilstaande vloeistof. De krachten zijn in beide gevallen gelijk, zoo slechts de relatieve beweging dezelfde is.

De vraag doet zich nu echter voor: bestaat er in werkelijkheid zulk een cirkulatiestroom, of, wat is de voorwaarde voor haar ontstaan? En hoe sterk is ze?

Een géval waarin de cirkulatiestroom steeds optreedt doet zich, zooals gemakkelijk is in te zien, voor wanneer het lichaam (de cilinder) roteert om de lengte-as (die loodrecht staat op de algemeene bewe-ging). In dit geval sleept het oppervlak van het lichaam de aangren-zende vloeistoflaag mee, waardoor de cirkulatiestroom ontstaat. Dit is reeds lang bekend. Het eerst is er op gewezen door Magnus in een artikel over de afwijking van roteerende kogels uit hun baan '). Magnus schrijft dit toe aan het meesleepen van de lucht door de rotatie van de kogels (welke laatste een gevolg is van een onregel-matige verdeeling der massa, zoodat het zwaartepunt niet in het midden ligt); hij heeft ook eenige proeven genomen om dit vermoeden te bevestigen, O. a. richtte hij een evenwijdige luchtstroom op een draaiende cilinder, en vond met behulp van windvaantjes dat de druk aan die zijde het grootste was, waar de luchtstroom tegen de rotatie van de cilinder in ging.

Later is er door Rayleigh nog eens op gewezen in een stukje over de onregelmatige beweging van een tennisbal Een bal die aan het draaien is geraakt door een scheeve slag of iets dergelijks, kan soms

r J '

^i^^^^Ti}^^"

A^'weichung der Geschosse, u.s.w., Pogg, Ann. d. Phys. u.

1 Rayleigh, On the irregular flight of a tennis-ball, Mess, of Mathem. VII,

vreemde bewegingen uitvoeren door deze druk loodrecht op de be-wegingsrichting, welke vrij sterk kan worden.

Een ander eenvoudig verschijnsel is de zijdelingsche afwijking van een vallend strookje papier, dat bij (en door) het vallen aan het draaien geraakt is (Maxwell) ').

Een cirkulatiestroom kan evenwel ook ontstaan wanneer het be-schouwde lichaam niet roteert. Zoo ontstaat ze steeds wanneer een vloeistof- of een luchtstroom een scheef staande plaat treft, welke een niet te groote hoek maakt met de stroomingsrichting. De oorzaak hiervan ligt in de wrijvingsverschijnselen, welke optreden in de vloei-stoflaag die onmiddellijk aan de plaat grenst, in het bizonder aan de achterzijde, fiierdoor worden aan de achterste rand van de plaat voortdurend werveltjes losgelaten. In de strooming om de plaat ont-staat dan een cirkulatie, welke tegengesteld gericht is aan die van de werveltjes. Hierop is het eerst door Prandtl gewezen, in wiens labo-ratorium ook vele proeven er over gedaan zijn ^),

In het bizonder treedt een sterke cirkulatie op wanneer het lichaam

een Meugelpropel heek: een eenigermate gewelfde doorsnede, met een

breedere, afgeronde kant vooraan, en scherp aan de achterrand, De cirkulatie is dan in 't algemeen zoo gericht dat ze aan die zijde waar de lucht tegenaan blaast ^ zij dit b.v. de gewelfde onderzijde, bij ongeveer horizontale ligging van de vleugel en horizontale richting van de luchtstroom — tegen de richting van de lucht in gaat, zoodat hier kleinere snelheden, en dus grootere drukkingen optreden. Het resultaat is dat het lichaam, de plaat of de vleugel, een kracht onder-vindt dwars op de windrichting, naar boven. Deze opwaartsche dmlc is de eigenlijke draagkracht voor de vliegmachines. De grootte ervan hangt af van de sterkte der cirkulatiestrooming, en deze wordt behalve

') Zie; J. C. Maxwell, On a particular case of the descent of a heavy body in a resisting medium, Cambr. and Dublin Math. Journ. IX, 1853 (= Scient. Papers I, p. 115). Maxwell geeft een andere verklaring dan de boven besprokene. In verband hiermee zie men: N . Joukowsky, De la chute dans l'air de corps legers de forme allongée, animés d'un mouvement rotatoire. Buil. de l'instit. Aérodyn. de Koutchino, fase. I, 2ième éd., p. 51, 1912; en D. Riabouchinsky, Recherches sur la pression que supportent des plaques rectangulaires en rotation dans un courant aérien, ibidem, III, p. 30, 1909. Een strookje papier dat aan het eene einde breeder is dan aan het andere onder-vindt de grootste zijdelingsche druk aan het breede einde, en gaat daardoor in een spiraal bewegen.

door de translatie-snelheid bepaald door de vorm van de plaat of van de vleugel, of deze vlak of gewelfd is, waar verdikkingen liggen, enz.

Deze theorie heeft dus de mogelijkheid geopend van een verklaring van het draagvermogen van vliegmachines.

Hiermee is echter nog slechts een eerste schrede gedaan. Zooeven heb ik reeds gezegd dat Prandd het ontstaan van de cirkulatiestrooming verklaard heeft. De grondgedachte van Prandtl's theorie — die van het grootste belang is voor het probleem van de beweging eener vloeistof langs een lichaam ~ komt ongeveer hierop neer: De in-wendige wrijving van de vloeistof kan overal verwaarloosd worden, behalve daar waar de vloeistof vlak langs de wand van een lichaam stroomt. Hier wordt de laag welke aan het lichaam grenst door dit laatste vastgehouden; daardoor ontstaan in de vloeistof vlak erbij betrekkelijk groote snelheidsverschillen, welke wrijvingskrachten in de vloeistof opwekken, en daardoor een wijziging in de stroomings-toestand teweegbrengen. Deze werking is tot op zekere hoogte onafhankelijk van de grootte van de wrijvingskoefflcient van de vloeistof; is deze klein, dan treden de snelheidsverschillen in een zooveel te dunnere grenslaag op, het snelheidsverval is dus grooter, zoodat de wrijvingskrachten niet of slechts weinig veranderen.

Heeft men oorspronkelijk te doen met de zuivere potentiaalstroom volgens de theorie van Euler, dan zal dus de grenslaag van de vloei-stof door het lichaam worden vastgehouden. Op deze grenslaag werkt echter ook de druk die in de vloeistof heerscht, en deze druk zal trachten de grenslaag in beweging te brengen. Heeft men nu ergens een vertraagde strooming, dan is het drukverval tegen de hoofdstroom in gericht; dit doet dan in de grenslaag een strooming ontstaan die evenzoo tegen de hoofdstroom in is gericht, en zich indringt in een laagje tusschen deze en het lichaam. Deze tegenstroom neemt toe in sterkte, en geeft aanleiding tot het ontstaan van wervelbewegingen in de vloeistof. Tusschen het lichaam en de hoofdstroom komen dus wervels („draaikolken", wanneer ze tot het oppervlak van het water rijken), die de hoofdstroom op zij drijven. Dit effekt treedt uitsluitend daar op waar de oorspronkelijke stroom vertraagd zou zijn, en niet wanneer de stroom versneld is. In het algemeen ontstaan deze wer-vels dus aan de achterzijde van het lichaam (zooals reeds gezegd is zou volgens de theorie van de potentiaalstroom aan de achterzijde van het lichaam een punt moeten zijn waar de stroomlijnen zouden

samen-komen, en waar de snelheid nul zou wezen). Aan de voorzijde daaren-tegen, waar de beweging in het algemeen versneld is, behoudt men de normale strooming (in zooverre deze niet in geringe mate door de wervels aan de achterzijde wordt beïnvloed). Een soort van stuwkegel van stilstaande vloeistof, gelijk men vroeger wel meende, is aan de voorzijde nooit aanwezig.

In sommige gevallen blijven de wervels, als ze eenmaal een bepaalde gedaante en grootte bereikt hebben, op hun plaats, worden ze station-nair; in andere gevallen worden ze meegespoeld door de hoofdstroom, en ontstaan er voortdurend nieuwe wervels.

Om de zich ontwikkelende strooming en de door haar uitgeoefende krachten te leeren kennen, moet men dus het ontstaan en de beweging van deze wervels nagaan. Dit is een zeer lastig probleem; men heeft het nog slechts in enkele gevallen uitgewerkt. Voor vliegmachines is het natuurlijk van het grootste belang die vleugelprofielen te leeren kennen welke de grootste cirkulatie geven; ook dit probleem zal met behulp van de boven besproken opvattingen moeten worden aange-pakt. Hier is nog veel te doen.

Tot nu toe is slechts gesproken over de circulatiestrooming, welke de kracht loodrecht op de bewegingsrichting veroorzaakt, en de op-waartsche druk bij vliegmachines. Alle lichamen ondervinden echter ook een kracht in de richting van de stroom, de z.g, hydrodynamische weerstand. Dit was eigenlijk de kracht waarmee we begonnen waren; bij het bovenstaande was ze even uit het oog verloren; ik wil dus nu weer daartoe terugkeeren.

Er is reeds vermeld dat Helmholtz en anderen een berekening van de hydrodynamische druk hadden opgesteld voor sommige eenvoudige gevallen, in de onderstelling dat de stroom zich aan de achterzijde van het lichaam niet zou sluiten, maar daar een t.o.v. het lichaam in rust zijnde vloeistofmassa zou achterlaten, het z.g. kielwater of „doode water". Aan de achterzijde van het lichaam zouden dus scheidings-vlakken moeten zijn, die de grenzen vormen tusschen het zog en de strooming aan weerskanten, Helmholtz had er op gewezen dat derge-lijke grensvlakken te beschouwen zijn als wervellagen, d.w.z. lagen van uiterst dunne wervels of werveldraden, welke naast elkaar liggen. De opvatting waartoe men komt volgens de theorie van Prandtl

wijzigt dit beeld; door het boven geschetste proces ontstaan aan de achterzijde van het lichaam wervels.welke zich tusschen de hoofdstroom en het lichaam in dringen, en veroorzaken dat de hoofdstroom zich inderdaad niet onmiddellijk achter het lichaam sluit, maar eerst op grootere afstand. Hiet kielwater is evenwel niet in rust; het is de zetel van meer of minder sterke wervelbewegingen. In vele gevallen worden aan de achterzijde van het lichaam voortdurend nieuwe wer-vels gevormd, zoodat daar een heele sleep van werwer-vels ontstaat. De verdeeling van de drukkingen wordt nu in sterke mate gewijzigd, zoodat aan de achterzijde een kleinere druk heerscht dan aan de voor-zijde, waardoor het lichaam een kracht naar achteren ondervindt. Bovendien doen zich nu aan de zijkanten van het lichaam ook de wrijvingskrachten (waaraan het ontstaan der wervels te danken was) gevoelen. Drukverschil en wrijvingskrachten te samen vormen de hydrodynamische weerstand.

Ook over dit probleem is nog weinig uitgewerkt ')• De moeilijkheid vormt natuurlijk de kwestie van de sterkte, de plaats en de beweging van de wervels, en juist daarvan hangt de grootte van de weerstand af. Een probleem dat zich hier onmiddellijk opdringt is de vorm te vinden voor een lichaam dat een zoo klein mogelijke weerstand onder-vindt (zooals vischvormige lichamen). Van theoretische zijde is dit nog niet of bijna niet aangepakt. Ook de vraag; de weerstand te bereke-nen die een lichaam van gegeven vorm ondervindt, is van groot ge-wicht voor allerlei technische problemen.

In verband hiermee is het noodig te wijzen op het groote nut van experimenteele onderzoekingen. Men kan deze in twee groepen onder-scheiden ;

A . Direkte metingen over de grootte van de hydrodynamische druk (weerstand in de bewegingsrichting en opwaartsche druk), van de ver-deeling der drukkingen en van de ligging van het drukcentrum, voor lichamen en draagvlakken van allerlei vorm. Deze proeven verschaffen

') Men zie b.v. het boven (bl. 8) geciteerde artikel van N. Joukowsky, waarin de strooming behandeld wordt om een plaat, aan welks achterzijde zich twee stationnaire wervelcilinders bevinden.

Een geval waarin voortdurend wervels losgelaten worden is experimenteel en theoretisch onderzocht door Th. v. Karman en H. Rubach, Ueber den Mechanismus des Flüssigkeitswiderstandes, Phys, Zeitschr. 13, p. 49, 1912. Vergelijk ook de bespreking hiervan in: N. Joukowsky, Aérodynamique (Fransche vert, door S. Drzewiecki), Paris 1916, p. 198, vgl.

grootste gewicht. Er zijn reeds verscheidene laboratoria voor inge-richt, zooals dat van Eiffel te Parijs, van Prandtl in Gottingen, van Joukowsky in Moskou, van Riabouchinsky in Koutchino, verder in München, enz. Ook in Amsterdam wordt een laboratorium daarvoor ingericht in de Rijksstudiedienst voor de luchtvaart, onder leiding van Dr. Wolff. De voornaamste inrichting van een dergelijk laboratorium bestaat uit een groote koker, van b.v. 2 M . middellijn, waarin door middel van een ventilator een gelijkmatige luchtstroom wordt opge-wekt. In deze koker worden de modellen van de te onderzoeken voor-werpen aan fijne balansen opgehangen, zoodat het mogelijk is de krachten die de modellen ondervinden te meten. Een der problemen waarmee men zich zeer veel heeft beziggehouden, is de bepahng van de druk op modellen van draagvlakken voor vhegmachines. Tal van profielen zijn reeds onderzocht, ook stelsels van meerdere gekombi-neerde draagvlakken, zooals b.v, bij tweedekkers te pas komen. U i t de verkregen resultaten kan men uitkiezen welke profielen de gunstig-ste vorm hebben (zoo groot mogelijke opwaartsche druk bij een mini-male weerstand ih de bewegingsrichting) ').

B . Op den duur zal men echter naar me dunkt ook hoe langer hoe meer behoefte gaan gevoelen naar het beheerschen van het probleem door middel van de mathematische theorie. En voor het uitwerken van de theorie, en de toepassing van de door Prandtl ontwikkelde ideeën, lijkt me juist groote steun te verwachten van een andere soort van experimenteele onderzoekingen: nl. proeven over het verloop van de stroom om een hchaam, over de gedaante der stroomlijnen. Door verschillende onderzoekers zijn hierover reeds veel proeven gedaan, o.a.door Ahlbornin Hamburg^), en verder in de genoemde laboratoria. Deze proeven geven natuurlijk niet de grootte van het draagvermogen of de weerstand, en hebben dus voor de techniek minder direkt belang. Hun groote gewicht ligt echter daarin dat ze aan de theorie een weg wijzen om de problemen aan te pakken. Vooreerst hebben ze de

juist-') Naast metingen over de ligging van het drukcentrum bij draagvlakken (het aan-grijpingspunt van de totale kracht) zijn ook van belang onderzoekingen over de stabi-liteit van modellen van vliegmachines (zie b.v. C. Wleselsberger, Ueber die statische Langsstabilitat der Drachenflugzeuge, Diss. München, 1912).

2) F . Ahlborn, Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft, V , p. 417, 1904; V I , p. 67, 82, 1905; X , p. 370, 1909.

held van Prandtl's opvattingen bewezen ')• En verder geven ze een qualitatief beeld van de strooming, met de ligging en de beweging der wervels. Bij het theoretisch onderzoek kan men zich hiernaar richten; uit de vele mogelijkheden die zich op het eerste gezicht voordoen kan , men aan de hand van de door de proeven geleverde stroomingsbeelden

een keuze doen, om het probleem aldus meer bepaald te maken en beter voor oplossing toegankelijk.

De inrichting der proeven van Ahlhorn was ongeveer aldus: een vertikaal staand cilindrisch of prismatisch lichaam, een vertikale plaat, of een model van een schip, e. d., wordt met konstante snelheid door een lange bak met water gesleept. Om de strooming aan het oppervlak zichtbaar te maken is het water met een licht poeder (b.v. lykopodium-poeder) bestrooid. De strooming wordt fotografisch opgenomen, met magnesiumlicht, expositie-tijd ongeveer 1/25 sekonde. De lykopodium-korreltjes geven dan korte lijntjes in het beeld, die door hun geheel de loop der stroomlijnen aangeven. Men kan de kamera hetzij met het lichaam mee laten gaan, hetzij laten stilstaan. In het eerste geval krijgt men de strooming van de vloeistof t, o. v. het lichaam, in het tweede de stroomingstoestand welke een bewegend lichaam veroorzaakt in een oorspronkelijk rustende vloeistof. Met behulp van zwaar eiken-houtzaagsel zijn ook de stroomingen binnen in de vloeistof, veroorzaakt door geheel ondergedompelde voorwerpen, zichtbaar gemaakt.

Een paar kwesties waarop door dergelijke onderzoekingen licht is geworpen zijn b,v,:

a) Onderzoek naar de vorm die de minste weerstand biedt aan de strooming. Men weet dat de gunstigste vorm de vischvorm is: eeniger-mate stomp afgerond van voren, en meer spits uitloopend van achteren. Uit de stroomingsproeven is te zien op welke gedeelten van het lichaam de wervels ontstaan (men heeft hier ringvormige wervels om het lichaam heen, te vergelijken met rookringen); dit kan een aan-wijzing geven omtrent de verbeteringen die men aan een bepaalde gedaante nog zal moeten aanbrengen.

b) Het ontstaan van de cirkulatiestrooming om vleugelprofielen,

tengevolge van het loslaten van werveltjes aan de scherpe achterrand (zie boven bl. 10).

') Zie b.v. eenige foto's welke het ontstaan van de wervelbewegingen achter een cilinder toonen: Handwörterbuch der Naturwissenschaften, Jena 1913 Bd I V artikel: Flüssigkeitsbewegung (L. Prandtl). ' '

c) Bij metingen over de druk welke een vierkante plaat ondervindt in een luchtstroom van bepaalde snelheid, had men gevonden dat het verloop van deze druk voor verschillende hoeken tusschen plaat en stroomingsrichting een eigenaardige sprong vertoont bij een hoek van ca, 30—40°. Begint men met de stand loodrecht op de luchtstroom, dan heeft de druk een zekere waarde, welke een weinig (niet veel) af-neemt zoo men de plaat meer en meer schuin gaat zetten, Is de hoek evenwel 30—40° geworden, dan stijgt de weerstand plotseling sterk; ze is dan zelfs grooter dan bij de loodrechte stand. W o r d t de hoek nog kleiner, dan neemt de druk verder regelmatig tot nul af.

Uit de proeven van Ahlborn is gebleken dat dit eigenaardig ver-loop te wijten is aan een geheel andere vorm van de strooming bij groote en bij kleine hoeken. Staat de plaat dwars op de stroom, dan vormt zich achter de plaat een wervelring, te vergelijken met een rookring, waarvan de as loodrecht op de plaat staat. Naarmate de plaat scheever komt wordt deze ring gedeformeerd, totdat ze bij al te kleine hoeken niet meer kan blijven bestaan en doorbreekt. Er ontstaat dan een geheel andere strooming: om de plaat vormt zich een cirkulatiestrooming (of er ligt een werveldraad achter de plaat), welke op zij in twee lange, naar achteren gerichte wervel-staarten uitloopt. —

In verband met dergelijke wervelstaarten w i l ik nog even het volgende vermelden; steeds gaan van uit de einden der draagvlakken van vliegmachines, of van de toppen van de vleugels van vogels, werveldraden uit, welke de voortzetting vormen van de cirkulatie-strooming om de vleugels zelf. Hierdoor wordt in de omringende lucht een strooming veroorzaakt, welke tusschen de werveldraden in, dus in een lange smalle strook achter de vogels aan, naar beneden gericht is, daarbuiten, dus vóór de vogel en aan weerskanten van deze strook, daarentegen naar boven. Vliegt dus een tweede vogel onmiddellijk achter de eerste aan, dan zal deze zich in een dalende luchtstroom bevinden, wat onvoordeelig is. Vandaar dat vele vogels bij het trekken schuin achter elkaar vliegen, of in V-vorm; dan profi-teert elk van de opgaande strooming door de anderen veroorzaakt. Bij goede vliegers, welke gunstig gevormde vleugels hebben, zijn deze stroomingen (die voor de enkele vogel een verlies beteekenen) zwak; deze vliegen dan ook willekeurig achter of bij elkaar. Maar minder goede vliegers, zwaarder van lichaam, en langzamer van slag, kunnen

wel degelijk eenig nut hebben van een dergelijke rangschikking (b.v. eenden, ganzen, e.a.) '),

Hiermee w i l ik deze voordracht eindigen. Ik heb getracht U eenigermate een beeld te geven van enkele der tegenwoordige onder-zoekingen in het gebied der hydrodynamika en aerodynamika. Ik hoop dat ik U , al is het dan erg onvolledig, een idee ervan gegeven heb hoe-veel moois en belangwekkends er op dit gebied te doen is, niet alleen in technisch, maar ook in meer theoretisch opzicht. En ook tal van Interessante biologische problemen, zooals die over het vliegen en zweven of zeilen van vogels, staan hier onmiddellijk mee in verband. N u wil ik nog eenige meer persoonlijke woorden tot U richten. In de eerste plaats wil ik mijn dank betuigen voor het vertrouwen dat door de leden der kommissie voor dit vak en door kuratoren dezer Hoogeschool in mij gesteld is, om deze taak aan mij op te dragen. Ik kan U niet anders zeggen dan dat ik mij met groote toewijding aan mijn werk hier zal geven, en dat ik er naar zal streven om mij U w ver-trouwen waardig te maken.

W a t U , heeren professoren, lektoren en privaat-docenten, en assistenten, aangaat, ik hoop dat ik steeds met U zal mogen samen-werken, en dat we te samen zullen streven naar ons gemeenschappelijk doel: de ontwikkeling van de menschheid.

Ik wil dan ook nog eenmaal mijn dank uitspreken jegens allen bij wie ik in Leiden heb mogen leeren, en met wie ik heb mogen omgaan. In bizonderheid betreft dit U , Ehrenfest, Kamerlingh Onnes en Lorentz; gij hebt een zeer groote invloed gehad op de loop van mijn studie, en op mijn ontwikkeling; en ik heb zeer veel aan U te danken. Ik zou het vreemd vinden om hier persoonlijke herinneringen naar voren te halen, en ik hoop dat ge dit niet van me zult verwachten. Dat ik met U heb mogen samenwerken zal ik nooit vergeten, en ik hoop dat onze omgang steeds prettig en hartelijk moge blijven. En ook de andere professoren in Leiden bij wie ik gestudeerd heb, of die ik daar heb leeren kennen, en al mijn vrienden daar, zal ik steeds blijven gedenken.

Tenslotte moet ik mij nog richten tot de studenten van de Tech-nische Hoogeschool, Ik ken U nog slechts zeer weinig, maar ik hoop

') C, Wleselsberger, Beitrag zur ErklSrung des Winkelfluges einiger Zugvögel, Zeitschr. f. Flugtechnik u. Motorluftschiff. 5, p, 225, 1914,

dat we op den duur prettig met elkaar zullen kunnen omgaan. Zoo er onder U zijn die zich aangetrokken voelen tot de studie van de hydro-dynamika en aerohydro-dynamika, dan hoop ik dat we kunnen samenwerken, en dat het ons moge gelukken iets moois te bereiken. En afgezien daarvan w i l ik ook steeds graag U in alles bij U w studie behulp-zaam zijn,