Ciągi liczbowe

‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA CIGI LICZBOWE

1. Obliczy¢ granice ci¡gów: a) an= 3+ √ n 1−3n, b) bn= √ n + 2 −√n, c) cn = √_4n2_+3n−2n1 , d) dn= √ n2₊₄ 3n−2 , e) en= q 3n−2 n+10, f ) fn= √ 1+2n2₋√_1+4n2 n , g) gn= √ n2_{− 1 − n, h) h} n= √ n2_+5−n √ n2_+5+n, i) in = √ n2_{+ n − n, j) j} n = (3− √ n)2 5+4n , k) kn = √ 2n − 1 −√n + 7, l) ln = √_n2_+6−n1 , m) mn = √ 9n2_{+ 1 − 3n, n) n} n= √ 3n2_+5−n 3n+1 , o) on = √ 4n2₊₉ 2n+1 , p) pn = 2+√n 1−2n.

2. Obliczy¢ granice ci¡gów: a) an= 4 n−1₊₅ 22n₋₇ , b) bn=  3 2 n · 2n+1₋₁ 3n+1₋₁, c) cn= 5·3 2n₋₁ 4·9n₊₇, d) dn = 4·3 n+2_+2·4n 5·2n₊₄n+2 , e) en= 4−6 n 8n₋₁₆n, f ) fn= 2 n₊₍₋₂₎n 22n , g) gn = 1−7·3 2n 4·9n₊₇, h) hn = 3 n₊₅n 6n₋₂n.

3. Obliczy¢ granice ci¡gów: a) an=  1 + 1_n −2n , b) bn=  n2₊₆ n2 n2 , c) cn=  n+5 2n+1 3n+2 , d) dn =  1 + _n2 n , e) en=  1 − _n1n, f ) fn =  1 + _n12 n , g) gn =  n+2 n n , h) hn =  1 − _n12 n , i) in =  1 − 4_n −n+4 , j) jn=  n2₊₂ 2n2₊₁ n2 , k) kn=  2n+5 3n+7 3n−4 , l) ln=  n2₊₃ n2₊₁ 2n2+5 , m) mn =  n n−6 2n , n) nn=  n−1 n+2 n , o) on=  1 + 4 n2₊₃ 2n2−4 , p) pn=  3n+2 3n+1 n . 4. Obliczy¢ granice ci¡gów:

a) an= pπn n+ 3n+ (3, 14)n, b) bn = n √ 5 · 77_{+ 7 · 5}n_{, c) c} n = n q 1 3
n + n, d) dn= n √ 2 · 3n_{+ 4 · 7}n_{, e) e} n = n √ 3n + sin n, f ) fn= n q 1 2
n + 2n, g) gn= n √ en_{+ 3}n_{, h) h} n = n √ 2n + n2_{, i) i} n = n √ n2_{+ 5n − 10,} j) jn= n √ 10n_{+ 9}n_{+ 8}n_{, k) k} n = n q 1 2
n + 2 3
n + 3 5
n , l) ln = p2n n+ (−1)n.

5. Obliczy¢ granice ci¡gów:

1) 10000n_n2₊₁ ; 2) 5n2_+n−3 15n2₋₇ ; 3) √ n + 2 −√n; 4) √3n2_{+ 2n − 5 − n}√_{3; 5)} √ n2₊₁₊√_n n−√3n2₊₈ ; 6) 3 q n+1 3n+2; 7) √3 n3_{+ 5n − n; 8)} √_n(√_{n + 2 −}√_{n); 9) (}3n+2 10+n) 4_; 10) (−1)_2n−1n; 11) sin n_n ; 12) 3 √ n sin(n!) n ; 13) (−1)n+1₍2 3) n_{; 14) (−}3 5) n_{; 15) (−}5 3) n_; 16) 3n+1₃n+2₊₂n+1n ; 17) 2n₊₍₋₁₎n 2n₊₁ ; 18) 3·22n+2₋₁₀ 5·4n+4₊₃ ; 19) (3₂)n_· 2n+1₋₁ 3n+1₋₁; 20) (−2)n₊₃n (−2)n+1₊₃n+1; 21) 2n_+2n! 3n₊₅ ; 22)(n+1)!+(n+2)!_n!+(n+3)! . 1

6. Obliczy¢ granice ci¡gów: 1) √n 2n_{+ 3}n_{; 2)} √n 4n_{+ 6}n_{; 3)} n q 3n_{+ (}1 2) n_{+ 9}n_{; 4)} n sin 2n n2₊₁ ; 5) √ 2n n2_{+sin n+n}; 6) n+sin n n ; 7) 1 √ n2₊₁ + 1 √ n2₊₂ + 1 √ n2₊₃ + . . . + 1 √ n2_+n; 8) 1 + 5 n
n ; 9) n+9_n
n; 10) 1 − 1_n
n; 11) 1 −_n32
n ; 12) _n+1n
n; 13) _2nn22+2₊₁ n ; 14) ln(1+ 6 n) 1 n ; 15) n(ln(n + 1) − ln n).

7. Znale¹¢ punkty skupienia ci¡gu, wskaza¢ granic¦ górn¡ i doln¡:

1) 1 − 1_n; 2) (−1)n−1_{(2 +} 3 n); 3) 1 + n n+1cos nπ 2 ; 4) 1 + 2(−1)n+1_{+ 3(−1)}n(n−1)_{2 ; 5) {}1 2, 1 2, 1 4, 3 4, 1 8, 7 8, . . . , 1 2n, 2n₋₁ 2n , . . .}.

8. Korzystaj¡c z denicji granicy ci¡gu wykaza¢, »e: a. limn→∞ _n+1n = 1

b. ci¡g an= {0, 1, 0, 1, . . .} nie ma granicy

c. ci¡g an= {(−2)n} nie ma granicy

d. limn→∞( √ n2_{+ 1 − n) = 0} e. ci¡g an= {(−1)n+ (−1)n+1 n } nie ma granicy f. limn→∞(_n32n₊₁) = 0 g. limn→∞ (−1)n n = 0

h. limn→∞xn= a to limn→∞|xn| = |a|. Czy implikacja przeciwna jest prawdziwa?

9. Ci¡gi {an}, {bn} okre±lamy nast¦puj¡co: a1 = a, b1 = b, an+1 = an+b₂ n, bn+1 = an+1₂+bn.

Pokaza¢, »e je±li oba ci¡gi s¡ zbie»ne, to limn→∞an = limn→∞bn.

10. Wykaza¢, »e je±li {an}jest ci¡giem zbie»nym, to limn→∞(an+1− an) = 0. Czy twierdzenie

odwrotne jest prawdziwe? 11. Czy mozliwe jest, »e:

• prawie wszystkie wyrazy ci¡gu s¡ mniejsze od 3 i jest niesko«czenie wiele wyrazów ciagu wi¦kszych od 4

• prawie wszystkie wyrazy ci¡gu s¡ ujemne i jest 1000 wyrazów ci¡gu dodatnich • jest niesko«czenie wiele wyrazów ci¡gu nieparzystych i niesko«czenie wiele wyrazów

ciagu podzielnych przez 4

• jest niesko«czenie wiele wyrazów ci¡gu, które s¡ liczbami wymiernymi i prawie wszystkie wyrazy ci¡gu s¡ postaci n√2, gdzie n jest liczb¡ naturaln¡?

12. Pokaza¢, »e: 1) limn→∞ n √ n = 1; 2) limn→∞ n√1 n! = 0; 3) limn→∞ a n n! = 0.

13. Pokaza¢, »e podane ci¡gi s¡ zbie»ne:

1) an= (1 + _n1); 2) (1 + ₂1)(1 + 1₄) . . . (1 +₂1n); 3) q 2 +p2 + . . . +√2; 4) sin 1₂ + sin 2₂2 + . . . + sin n 2n ; 5) cos 1! 1·2 + cos 2! 2·3 + . . . + cos n! n(n+1); 6) 1 + 1 22 + 1 32 + . . . + 1 n2.

14. Korzystaj¡c z warunku Cauchy'ego pokaza¢, »e nast¦puj¡ce ci¡gi nie s¡ zbie»ne: 1) xk= 1 + 1₂ + . . . + 1_k;

2) xn= 1 + _{ln 2}1 +_{ln 3}1 + . . . + _{ln n}1 .

15. Pokaza¢, »e je±li an→ 0 oraz ci¡g {bn} jest ograniczony, to anbn→ 0.

16. Skonstruowa¢ przykªad ci¡gu, który: a) nie ma punktów skupienia;

b) ma dokªadnie jeden punkt skupienia, ale nie jest zbie»ny; c) ma niesko«czenie wiele punktów skupienia;

d) ma jako punkty skupienia wszystkie liczby wymierne (rzeczywiste).

17. Wykaza¢ zbie»no±¢ i obliczy¢ granic¦ nast¦puj¡cych ci¡gów okre±lonych rekurencyjnie: a) a1 = √ c, an+1 = √ c + an; b) b1 = 0, b2 = 1, bn = 1₂(bn−1+ bn−2). 3