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Sonderdruck aus
ICC
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Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechf
Akademie-Verlag
Band 39 Heft 9/11 September/November 1959
Der Zusammenhang zwischen den linearen und nicht-linearen
Theorien der Strömungen mit Kavitation
Von J. A. Geurst
Für Umstromungen von Korpern mit eridlichen Kavitationsgebieten stehen zwei nicht-lineare Theorien im Vordergrund (siehe [1]):
das Modell mit rUckkehrendem Strahi oder das Prandtl-Wagnersche Model!;
das Riabouchinskysche Model!.
Eine linearisierte Theorie für Stromungen urn schianke Profile wurde 1953 von M. P. Tulin eingefuhrt [2].
Wir zeigen nun (am Beispie! einer ebenen Platte senkrecht zur Hauptstromung), dalI die !inearisierte Theorie eine erste Approximation der beiden Modelle a) und b) ist. Der Verfasser hat denselben Zusammenhang auch für verschiedene andere Konfigurationen bewiesen. Das Riabouchinskysche Modell muD dann aber in geeigneter Weise interpretiert werden. Tm Falle eines symmetrisch angestromten Keiles z. B. ist diese Interpretation verschieden von dem An-satz, den Plesset und Shaffer in [3] gemacht haben.
a)
b))°-Bud I
a) Das Prandt/-Wagnersche Modell ist wiedergegeben in Bud 1 a). Der rückkehrende Flussigkeitsstrahl verschwindet auf einem zweiten Blatt der physischen Ebene. Der Punkt im Unendlichen auf diesem Blatt ist mit C angedeutet. D ist der Staupunkt hinter dem Kavitations-gebiet. Die Einheiten sind so gewahlt, dalI die kónstante Geschwindigkeit am Rande des Kavi-tationsgebiets gleich 1 ist. Die obere Hãlfte der physischen Ebene wird konform abgebildet auf die obere Hãlfte einer 1-Ebene. Die Bilder von A, B, C und D sind beziehungsweise a, 0, c
and d; a, C und d sind reell und positiv; a kann willkürlich gewahlt werden. Die Punkte im Un-endlichen werden aufeinander bezogen.
Bestimmung des komplexen Geschwindigkeitspotential s
dK td
dt
Lc
K ist eine reelle Konstante, die spater bestimmt wird.
Für £2 = log w (w ist die komplexe Geschwindigkeit) haben wir em gemischtes Rand-wertproblem. Die Losung ist (siehe [4])
[Vt (c + a) - j/a (t 5]1 j2 [Vd (1 c) Vt (d c)]
W
[V + a) + Va (1_c)]112
[Vd(1) + Vtd)1
Die oben eingefuhrte konforme Abbildung wird gefunden aus
z
=
f
w dl
a
Die Konstanten K, c und d werden bestimmt durch die Bedingungen: a) w = U = (1 + cr)112 im Unendlichen.
a ist die Kavitationszah!.
z muD eine eindeutige Funktion von I sein.
I') der Abstand zwischen A und B = b, die halbe Breite der Platte.
(1)
-Wr setzen nun K = 1 und betrachten a als Unbekanilte. a) ünd
) gben
(4), (5).
y) liefert die zweite Relation zwischen a und c.
Das Riaboucliinskgsche Model 1 ist wiedergegeben in Bud 1 b). Die Losungsmethode ist der Methode unter a) ana1og. Die entsprechenden Formein sind
(6),
[/T+ a) Va (t c)]'!2 [Vd (t c) Vt (dc)]'12
[Vt (c + a) + Va (t -- cj'12 [Vd(t - c) + /t (d - c)]2
(7),1/4c 1/a
V= V
(8),. 1+Vi
(9).Wir entwickeln die Losungen (2) und (7) nach Potenzen von
J/-.
Vorausgesetzt wird,, daB c endlich bleibt und a klein 1st. Formel (2) gibt V CdK
dt
-± Glieder höherer Ordnung (G. h. O) . . . (10).
Formel (7) liefert dasselbe Resultat. Die Entwicklung ist gleichmal3ig konvergent, falls kleine Umgebungen der Punkte 0 und c vom Gebiete ausgeschlossen werden (5) und (9) haben die folgende Entwicklung
Wir haben also denselben Austhiick gefunden für die Storiingsgeschwindigkeit.wie in der lineari-sierten Theorieeines zwischen den Punkten 0 und c liegenden Kavitationsgebiets. Die Platte ist in der linearisierten Theorie durch éine Singularitat. dargestelit.
Die Darstellung, der ebenen Platte durch èine Singularitat in der linearisierten Theorie gibt die Moglichkeit, kompliziertere Probleme zu lösen. Dies 1st z. B. gelungen im Falle der instationären Bewegung einer ebenen Platte mit Kavitation und für den Einflül3 derSchwer-kraft auf die Stromungen mit Kavitation.
Für den Widerstandsbeiwert gilt Im. Fálle a)
CD24(1+a){1+8('4)a2'+192()a3+...}
. (15)und im Fãlle b)
CD=4(1
+{i
+8(4)a_8(±4)
(16).1+1+4±G.hO .
. ..
Weiter gilt für beide Modélle
dz=dt±G.h.O
. . . (12) undb=-(n+4)+G.h.O.
. . (i3)'Setzenwir w = 1 + w + G. h. 0., dann folgt aus (10), (11)'und (12)
aii/zC
ii
4LV' z±11
jiZC
(14)' D Stramungslehre 431 C+
-C432 D. Stromungslehre
Die linearisierte Theorie liefert also 2 den Wert, der aus der Helm.holtz-Kirchho//-schen Theorie bekannt ist. Dieses Ergebnis hangt damit zusammen, dal3 die Entwicklung nach auch interpretiert werden kann als eine Approximation für grol3e c, d. h. für lange Kavi-tationsgebiete. Im Falle = 0, unendliches Kavitationsgebiet, gibt die linearisierte Theorie also
em èxaktes Resultat.
Literatur
G. Birkhoff, E. H Zarantonello, Jets, wakes and cavities, New York 1957.
M. P. Tulin, Steady two-dimensional cavity flows about slender bodies. David W Taylor Modes Basin
Report 834, Washington 1953.
M. S. Plesset, P. A. Shaffer, Cavity drag in two and three dimensions, NAVORD Report 1014, Inyokern
1949.
-N.J. Muskhelishv iii, Singular Integral equations, Groningen 1953.
An.schrift: J. A. Geurst, Deift, Van Foreest'cveg 181, Niederlande