Aspekty obliczeniowe i zastosowania
postaci Jordana macierzy
dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013
Projekt wspóª nansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Kierunki matematyczne mog¡ by¢ atrakcyjne zamawianie ksztaªcenia na Uniwersytecie Szczeci«skim Poddziaªanie 4.1.2. Zwi¦kszenie liczby absolwentów kierunków o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na
Spis tre±ci
1 Wst¦p 3
1.1 Oznaczenia . . . 3
1.2 Podobie«stwo macierzy kwadratowych . . . 3
2 Posta¢ Jordana 4 3 Spektrum 5 3.1 Warto±ci wªasne . . . 5
4 Obliczenia 7 4.1 Wektory wªasne . . . 7
4.2 Zwi¡zek z postaci¡ Jordana . . . 7
5 Zastosowania 8 5.1 Pot¦gowanie macierzy . . . 8
5.2 Ukªady dynamiczne . . . 8
5.3 Model ekonomiczny Leontiefa (otwarty) . . . 10
5.4 Równania ró»niczkowe . . . 10
1 Wst¦p
Uwaga. Niniejszy dokument jest wersj¡ zwart¡, przygotowan¡ do druku na podstawie slajdów do wykªadu o tym samym tytule. Zatem nale»y si¦ spodziewa¢, »e nie wszystkie detale s¡ zawarte w tym dokumencie (cz¦±¢ rachunków, dowodów b¦dzie prezentowana na tablicy b¡d¹ przy u»yciu systemu algebry komputerowej). Bez obecno±ci na wykªadzie fragmenty niniejszego dokumentu mog¡ by¢ niezrozumiaªe!
1.1 Oznaczenia
• N liczby naturalne (z zerem); • Z liczby caªkowite;
• Q liczby wymierne; • R liczby rzeczywiste; • C liczby zespolone.
Mn×m(k) zbiór macierzy o n wierszach i m kolumnach o wspóªczynnikach w zbiorze k.
Najcz¦±ciej k = R lub k = C.
Mn(k) := Mn×n(k) macierze kwadratowe.
Mn(k)∗ zbiór macierzy odwracalnych
(równowa»nie, macierzy o niezerowym wyznaczniku).
1.2 Podobie«stwo macierzy kwadratowych
De nicja Macierze A, B ∈ Mn(k)s¡ podobne, gdy istnieje macierz X ∈ Mn(k)∗ taka, »e A = X−1BX.
Oznaczenie: A ∼ B.
Inne nazewnictwo: A i B s¡ podobne w sensie Jordana lub s¡ sprz¦»one. Proste wªasno±ci:
• A ∼ A,
• A ∼ B ⇒ B ∼ A,
• A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C.
Relacja podobie«stwa jest wi¦c relacj¡ równowa»no±ci w Mn(k).
Przykªad. " 1 10 1 3 # ∼ " 13 −10 11 −9 # , gdy» " 1 10 1 3 # = X−1 " 13 −10 11 −9 # X, dla X = " 1 2 1 1 # . Rz¡d: rk " 1 10 1 3 # = 2, rk " 13 −10 11 −9 # = 2. lad: tr " 1 10 1 3 # = 4, tr " 13 −10 11 −9 # = 4.
Wyznacznik: det " 1 10 1 3 # = −7, det " 13 −10 11 −9 # = −7. Twierdzenie Relacja podobie«stwa macierzy zachowuje
• rz¡d, • ±lad, • wyznacznik, • warto±ci wªasne, • wielomian charakterystyczny, • wielomian minimalny,
• posta¢ Smitha macierzy charakterystycznej.
Problem. Jak stwierdza¢ podobie«stwo macierzy A i B? Rozwi¡zanie naiwne: znale¹¢ rozwi¡zania równania:
XA = BX,
dla macierzy niewiadomych X i sprawdzi¢, czy w±ród rozwi¡za« istnieje macierz odwracalna.
2 Posta¢ Jordana
Pomysª: znajdowanie prostej postaci normalnej J (A) macierzy A takiej, »e: • A ∼ J (A), • A ∼ B ⇔ J (A) = J (B). Dla λ ∈ k, n ∈ N, de niujemy: Jn(λ) = λ 1 λ 1 . .. . .. λ 1 λ ∈ Mn(k).
Macierz Jn(λ)nazywamy klatk¡ Jordana.
Twierdzenie (C. Jordan) Dowolna macierz A ∈ Mn(C) jest podobna do jednoznacznie
wyznaczonej∗ macierzy postaci:
J = Jn1(λ1) Jn2(λ2) Jn3(λ3) ... Jnr(λr) ,
dla pewnych n1, . . . , nr∈ N oraz λ1, . . . , λr∈ C.
∗ jednoznacznie z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci klatek Jordana.
Innymi sªowy: istnieje X ∈ Mn(C) taka, »e J = X−1AX.
Macierz J dla A oznaczamy J (A) i nazywamy postaci¡ normaln¡ Jordana macierzy A. Uwagi.
A ∼ J (A),
A ∼ B ⇔ J (A) = J (B) (z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci klatek).
• Dla k = R lub k = Q sytuacja jest bardziej skomplikowana. Rozwa»a si¦ ogólniejsze wersje postaci normalnej macierzy (por. rzeczywista posta¢ Jordana, posta¢ Frobeniusa, wymierna posta¢ normalna...).
• Aby stwierdza¢, »e A ∼ B, tak naprawd¦ nie potrzeba wyznacza¢ postaci J (A) i J (B), ale wystarczy bada¢ tzw. macierze charakterystyczne (pó¹niej).
Problemy.
• Jak szuka¢ postaci Jordana J (A) ?
• Jak szuka¢ macierzy X ∈ Mn(C) takiej, »e
J (A) = X−1AX ?
3 Spektrum
3.1 Warto±ci wªasne
Konwencja: Elementy przestrzeni kn traktujemy jako wektory kolumnowe.
Ustalmy macierz A ∈ Mn(k).
De nicja Skalar λ ∈ k nazywamy warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A, o ile istnieje 0 6= v ∈ kn
taki, »e:
(∗) Av = λv.
Natomiast ka»dy wektor v ∈ kn speªniaj¡cy (∗) nazywamy
wektorem wªasnym (o warto±ci wªasnej λ) macierzy A.
Zbiór wszystkich warto±ci wªasnych z k macierzy A ∈ Mn(k) oznaczamy σ(A) = σk(A) i
nazywamy spektrum (in. widmem) macierzy A. Ozn. Vλ := {v ∈ kn : Av = λv}
(gdy λ jest wart. wªasn¡, Vλ jest podprzestrzeni¡ liniow¡ w kn).
Przykªady. (k = R) • " 0 0 0 0 # " x y # = " 0 0 # = 0 " x y # ⇒ ka»dy v = " x y #
∈ R2 jest wektorem wªasnym (o warto±ci wªasnej 0) macierzy A =
" 0 0 0 0 # , tj. V0 = R2. • A " x y # = " 2x 3y # ,dla A = " 2 0 0 3 # ⇒ V2 = (" a 0 # : a ∈ R ) , V3 = (" 0 b # : b ∈ R ) .
Obserwacja: Je»eli v ∈ kn jest wektorem wªasnym macierzy A ∈ M n(k), to macierz A przeksztaªca prost¡ P = {tv : t ∈ k} w siebie. A = " cos α sin α − sin α cos α # , α ∈ R. A " x y # = " cos α · x + sin α · y − sin α · x + cos α · y # A " 1 0 # = " cos α − sin α # α = 0 : " 1 0 # . α = π 2 : " 0 −1 # , α = π : " −1 0 # , α = 3π 2 : " 0 1 # ,
• Gdy α 6= nπ, n ∈ Z, macierz A nie ma warto±ci wªasnych w R. • Gdy α = 2nπ, n ∈ Z, A = I2 ⇒ wart. wª. 1.
• Gdy α = (2n + 1)π, n ∈ Z, A = −I2 ⇒ wart. wª. −1. Problemy. A ∈ Mn(k):
1. Jak znale¹¢ wszystkie warto±ci wªasne A, tj. spektrum A?
2. Jak znale¹¢ wszystkie wektory wªasne o danej warto±ci wªasnej λ, tj. jak wyznaczy¢ przestrze« Vλ?
3. Jaki jest zwi¡zek tych poj¦¢ z postaci¡ Jordana macierzy?
De nicja Wielomian χA(x) := det(A−xIn) ∈ k[x]nazywamy wielomianem charakterystycznym
macierzy A.
Lemat Skalar λ ∈ k jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A ⇔
λjest pierwiastkiem wielomianu χA (tj. χA(λ) = 0).
Wniosek. σk(A) = Zk(χA), gdzie Zk(χA)oznacza zbiór wszystkich pierwiastków wielomianu χA nale»¡cych do k. Przykªady. • A = " 0 0 0 0 # , A − xI2 = " 0 0 0 0 # − x " 1 0 0 1 # = " −x 0 0 −x # , ⇒ χA(x) = det(A − xI2) = x2 ⇒ Z(χA) = {0}. • A = " 2 0 0 3 # , A − xI2 = " 2 0 0 3 # − x " 1 0 0 1 # = " 2 − x 0 0 3 − x # , ⇒ χA(x) = det(A − xI2) = (2 − x)(3 − x) ⇒ Z(χA) = {2, 3}. • A = " cos α sin α − sin α cos α # , χA(x) = x2− 2 cos α x + 1,
⇒ A ma rzeczywiste warto±ci wªasne, gdy cos2α = 1, czyli gdy
χA(x) = x2− 2x + 1 = (x − 1)2 ⇒ Z(χA) = {1}lub
4 Obliczenia
4.1 Wektory wªasne Przykªad. Niech A = " 0 −1 1 0 # . • χA(x) = x2+ 1 ⇒ σR(A) = ∅;• ale w C: χA(x) = x2+ 1 = (x − i)(x + i) ⇒ σC(A) = {i, −i}; • aby wyznaczy¢ Vi i V−i wystarczy rozwi¡za¢ ukªady równa«:
dla Vi: " 0 −1 1 0 # " x y # = i " x y # ⇔ ( −y = ix x = iy ⇒ Vi= (" s −is # : s ∈ C ) = h " 1 −i # i.
podobnie wyznaczamy V−i= h
"
1
i
#
i.
Uwaga. Przestrzenie wektorów wªasnych nie zawsze s¡ jednowymiarowe!
4.2 Zwi¡zek z postaci¡ Jordana
Przypomnienie (tw. J.): dla dowolnej macierzy A ∈ Mn(C) istnieje X ∈ Mn(C) taka, »e J (A) = X−1AX. J (A) = Jn1(λ1) Jn2(λ2) Jn3(λ3) ... Jnr(λr) . Lemat σC(A) = {λ1, . . . , λr}.
Kolumny macierzy X skªadaj¡ si¦ m.in. z wektorów wªasnych macierzy A.
Uwaga. Dokªadny przepis na wyznaczanie macierzy X oraz stopni n1, . . . , nr pomijamy.
Przykªad. A = " 0 −1 1 0 #
, σC(A) = {i, −i};
Vi = h " 1 −i # i, V−i = h " 1 i # i. J (A) = X−1AX, gdzie J (A) = " i 0 0 −i # oraz X = " 1 1 −i i # .
Uwaga. W przypadku ogólnym rozmiary klatek Jordana w J (A) zale»¡ od wymiarów przestrzeni Vλ i rz¦dów macierzy postaci (A − λIn)m, dla λ ∈ σ(A).
5 Zastosowania
5.1 Pot¦gowanie macierzy
Problem. Dla danej macierzy A ∈ Mn(k) chcemy wyznaczy¢ wzór na jej dowoln¡ pot¦g¦ As = A · A · . . . · A, dla s ∈ N. A = " 1 1 −2 3 # . A2= " −1 4 −8 7 # , A3 = " −9 11 −22 13 # , ...?
Zauwa»my, »e dla J = J (A):
J = X−1AX ⇒ A = XJ X−1.
Zatem As= XJ X−1XJ X−1XJ X−1. . . XJ X−1= XJsX−1. Js liczy si¦ ªatwo!
A = " 1 1 −2 3 # . χA(x) = x2− 4x + 5 ⇒ σR(A) = ∅. Ale σC(A) = {2 − i, 2 + i}.
J = J (A) = " 2 − i 0 0 2 + i # X = " 1 + i 1 − i 2 2 # . A = XJ X−1. As= XJsX−1 = " 1 + i 1 − i 2 2 # · " (2 − i)s 0 0 (2 + i)s # ·1 4 " −2i 1 + i 2i 1 − i # = 12 · (1 − i) (2 − i)s+ (1 + i) (2 + i)s i (2 − i)s− i (2 + i)s −2 i (2 − i)s+ 2 i (2 + i)s (1 + i) (2 − i)s+ (1 − i) (2 + i)s . 5.2 Ukªady dynamiczne
Problem. W danym pa«stwie (o zerowym przyro±cie naturalnym) co roku • 10% ludno±ci przenosi si¦ z miasta na wie±,
• 20% ludno±ci przenosi si¦ ze wsi do miasta.
Zbadaj zachowanie tego ukªadu w dªugim okresie czasu.
W jakim stopniu zachowanie ukªadu zale»y od pocz¡tkowego rozmieszczenia ludno±ci? • mn liczba ludno±ci w miastach w roku n 0;
• wn liczba ludno±ci na wsi w roku n 0.
mn+ wn= const, mn, wn 0, m0, w0 stan pocz¡tkowy.
( 0, 9 m0+ 0, 2 w0 = m1 0, 1 m0+ 0, 8 w0 = w1 ⇒ " 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8 # " m0 w0 # = " m1 w1 # . An " m0 w0 # = " mn wn # . Symulacja dla " m0 w0 # = " 100 200 # :
An " m0 w0 # = " mn wn # . Symulacja dla " m0 w0 # = " 1000 100 # : An " m0 w0 # = " mn wn # , dla A = " 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8 # . σ(A) = {1; 0, 7}, J = J (A) = " 1 0 0 0, 7 # , X = " 2 1 1 −1 # . An= XJnX−1= " 2 1 1 −1 # · " 1n 0 0 (0, 7)n # ·13 " 1 1 1 −2 # = = 13 " 2 + (0, 7)n 2 − 2(0, 7)n 1 − (0, 7)n 1 + 2(0, 7)n # →n→∞ 1 3 " 2 2 1 1 # . An " m0 w0 # → 13 " 2 2 1 1 # " m0 w0 # = "2 3(m0+ w0) 1 3(m0+ w0) # .
Wniosek. Po wielu latach w miastach b¦dzie »yªo 2
3 ludno±ci, na wsi 1
3 ludno±ci (niezale»nie od rozmieszczenia pocz¡tkowego!).
Interpretacja warto±ci wªasnej λ = 1 dla A =
" 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8 # : V1 = h " 2 1 # i. ⇒ " 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8 # " 2s s # = " 2s s # , dla dowolnego s ∈ R.
Zatem: po migracji opisanej za pomoc¡ macierzy A liczba ludno±ci w miastach i na wsi si¦ nie zmienia ⇔ w miastach mieszka dwukrotnie wi¦cej ludzi ni» na wsi.
5.3 Model ekonomiczny Leontiefa (otwarty)
Kontekst: n rm (sektorów gospodarki) w danym regionie; ka»da produkuje jeden rodzaj dóbr. W procesie produkcji rmy nawzajem wykorzystuj¡ swoje wyroby.
• xi warto±¢ (ilo±¢) produkcji rmy i;
• aijxj ilo±¢ produktu i potrzebna do wyprodukowania xj jednostek j (tj. zapotrzebowanie
rmy j na produkt i);
• ci zapotrzebowanie rynku na produkt i.
Problem: jaka powinna by¢ produkcja by zaspokoi¢ potrzeby rynku? Dla ka»dego i = 1, . . . , n: xi = ai1x1+ ai2x2+ . . . + ainxn+ ci.
Zatem problem jest opisany przez równanie macierzowe
x = Ax + c, dla x = x1 .. . xn , c = c1 .. . cn , A = a11 . . . a1n .. . . . . ... an1 . . . ann . (∗) x = Ax + c • x wektor produkcji, • c wektor potrzeb,
• A macierz konsumpcji (chªonno±ci, input-output).
De nicja Promieniem spektralnym macierzy A ∈ Mn(C) nazywamy liczb¦ ρ(A) = max{ |λ| : λ ∈ σ(A) } ∈ R.
Twierdzenie Gospodarka o macierzy konsumpcji A ∈ Mn(R) jest w stanie odpowiedzie¢ na
dowolne zapotrzebowanie rynku, gdy ρ(A) < 1.
Czyli dla dowolnego c 0 istnieje x 0 speªniaj¡cy (∗).
5.4 Równania ró»niczkowe
Rozwa»my przykªadowy ukªad liniowych równa« ró»niczkowych:
(
x01(t) = x1(t) + 2x2(t),
Z warunkiem pocz¡tkowym x1(0) = 0, x2(0) = 1.
Równania tego typu (te» z wi¦ksz¡ liczb¡ zmiennych) wyst¦puj¡ w modelach: • przepªywu roztworów cieczy,
• rozkªadu biomasy w ekosystemach, • zmian parametrów ekonomicznych, • zmian temperatur,
• ukªadów elektrycznych,...
Posta¢ macierzowa: x0 = Ax, dla x =hx
1 x2 i , A =h1 2 3 2 i .
Twierdzenie Dla ka»dej λ ∈ σ(A) oraz u ∈ Vλ, funkcja x(t) = eλtu jest rozwi¡zaniem
równania ró»niczkowego x0= Ax. x0 = Ax, dla x =hx1 x2 i , A =h1 2 3 2 i oraz x1(0) = 0, x2(0) = 1. σ(A) = {4, −1}, V4 = h h2 3 i i, V−1 = h h−1 1 i i, x(t) =hx1(t) x2(t) i = αe4th23i+ βe−th−11 i, czyli ( x1(t) = 2αe4t − βe−t, x2(t) = 3αe4t + βe−t. Aby wyznaczy¢ α i β wykorzystamy warunek pocz¡tkowy.
( x1(t) = 2αe4t − βe−t, x2(t) = 3αe4t + βe−t oraz x1(0) = 0, x2(0) = 1. Zatem ( 0 = 2α − β, 1 = 3α + β. St¡d α = 1 5, β = 2 5 oraz ( x1(t) = 25e4t − 25e−t, x2(t) = 35e4t + 25e−t.
Uwaga. Rozpatrywali±my sytuacj¦ szczególn¡, tj.tak¡, gdy warto±ci wªasne A s¡ rzeczywiste.
5.5 Inne zastosowania
Posta¢ Jordana, warto±ci i wektory wªasne wykorzystywane s¡ w wielu innych kontekstach, jak: • mechanika kwantowa,
• teoria grafów, • statystyka,
• algorytm PageRank (Google), • algorytmy kwantowe,
• sztuczna inteligencja,...
Wniosek. Algebra liniowa jest przydatna, wa»na i ciekawa :-)
Literatura podstawowa
1. W. Cheney, D. Kincaid, Linear algebra. Theory and applications, USA, 2009. 2. A.I. Kostrikin, Wst¦p do algebry. Algebra liniowa, PWN, Warszawa, 2007. 3. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa, 2008. Literatura dodatkowa
1. P. Dowbor, A. Mróz, On the normal forms of modules with respect to parametrizing bimodules, preprint (2013).
2. F. R. Gantmacher, Matrix Theory, Chelsea, New York, 1959.
3. H.J.S. Smith, On systems of linear indeterminate equations and congruences, Collected Math. Papers, 1 , Chelsea, (1979) pp. 367409.