Permutacje

Algebra

Permutacje

Aleksander Denisiuk [email protected]

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Permutacje

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Definicja

• Ωn = { 1, 2, . . . , n }

• Wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie π : Ωn → Ωn

nazywa si ˛e permutacj ˛a.

• Oznaczenie: 1 2 . . . n π(1) π(2) . . . π(n) ! • Mno˙zenie permutacji: _{τ σ = τ ◦ σ} ◦ przykład: τ = 1 2 3 4 2 3 4 1 ! , σ = 1 2 3 4 4 3 2 1 ! ◦ _{τ σ 6= στ}

Grupa permutacji

Cykle

• permutacja a_{1 7→ a2 7→ . . . 7→ a}k 7→ a1, pozostałe elementy

zostaj ˛a na miejscu (_{a 7→ a}) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k

• zapis: (a₁ a₂ . . . ak)

• cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a

• dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych elementów

• mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne

Twierdzenie 1. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

Cykle

• permutacja a_{1 7→ a2 7→ . . . 7→ a}k 7→ a1, pozostałe elementy

zostaj ˛a na miejscu (_{a 7→ a}) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k

• zapis: (a₁ a₂ . . . ak)

• cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a

• dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych elementów

• mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne

Twierdzenie 2. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

niezale˙znych cykli. Jednoznacznie z dokładno´sci ˛a do kolejno´sci czynników

Wniosek 3. Ka˙zda permutacja mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

Przykłady

Znak permutacji

Twierdzenie 4. Niech π ∈ S_n,

π = τ₁τ₂ . . . τk, (1)

gdzie τ_j s ˛a transpozycje (j = 1, . . . , k). Wtedy

ε(π) = (−1)k

nie zale˙zy od reprezentacji (1). Pozatym ∀α, β ∈ S_n

ε(αβ) = ε(α)ε(β).

Definicja 5. • permutacja σ ∈ S_n jest parzysta, je˙zeli ε(σ) = 1 • permutacja σ ∈ S_n jest nieparzysta, je˙zeli ε(σ) = −1

Obliczenie znaku permutacji

Definicja 6. Niech dana b ˛edzie permutacja

π = 1 2 . . . n

π(1) π(2) . . . π(n)

!

Para (π(i), π(j)) tworzy inwersj ˛e, je˙zeli i < j oraz π(i) > π(j).

Twierdzenie 7. Permutacjia π ∈ S_n jest parzyst ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona parzyst ˛a ilo´s´c inwersji.

Dowód. • transposycja (a_i a_i+1) zmienia parzysto´s´c permutacji • ogólna transpozycja zmienia parzysto´s´c permutacji

Przykład 8. π = 1 2 3 4 5 6

Działanie permutacji na funkcjach

Definicja 9. Niech dane b ˛ed ˛a n-argumentowa funkcja f (x₁, . . . , x_n) oraz permutacja σ ∈ S_n. Działanie σ na f jest funkcja

(σ ◦ f)(x1, . . . , xn) = f (xσ(1), . . . , xσ(n))

Lemat 10. ∀σ, π ∈ S_n

Funkcje antysymetryczne

Definicja 11. n-argumentowa funkcja f (x₁, . . . , x_n) nazywa si ˛e

antysymetryczn ˛a (sko´sno-symmetryczn ˛a, je˙zeli ∀1 6 k < n

f (x₁, . . . xk, xk+1, . . . , xn) = −f(x1, . . . , xk+1, xk, . . . , xn)

Lemat 12. Dla antysymetrycznej funkcji f, ∀i, j

f (x₁, . . . xi, . . . , xj, . . . , xn) = −f(x1, . . . xj, . . . , xi, . . . , xn) Przykład 13. ∆n = Y 16j<i6n (xi − xj)

Dowód twierdzenia

4

• Niech f (x₁, . . . , xn) b ˛edzie dowolna niezerowa

antysymetryczna funkcja.

• Niech σ = τ₁τ₂ . . . τk b ˛edzie permutacj ˛a, rozło˙zona w iloczyn

transpozycji.

• _{σ ◦ f = (−1)}k_{f = ε(σ)f — nie zale˙zy od rozło˙zenia.}

• _{ε(σπ)f = (σπ) ◦ f = (σ ◦ π) ◦ f = σ ◦ (π ◦ f) = σ ◦ (ε(π)f) =}

Funkcje symetryczne

Definicja 14. n-argumentowa funkcja f (x₁, . . . , x_n) nazywa si ˛e

symetryczn ˛a, je˙zeli ∀1 6 k < n

f (x₁, . . . xk, xk+1, . . . , xn) = f (x1, . . . xk+1, xk, . . . , xn)

Lemat 15. Dla symetrycznej funkcji f, ∀σ ∈ S_n

f (x₁, . . . , xn) = f (x_σ(1), . . . , x_σ(n))

Przykład 16. • x₁ + · · · + x_n

• x2₁ + x₁x_{2 + · · · + x1}xn + x2x1 + x2₂ + x2x3 + · · · + xnx_n−1 + x2_n

Wielomiany symetryczne

Definicja 17. Elementarne wielomiany symetryczne n zmiennych: • σ₁(x₁, . . . , xn) = P 16i6n xi • σ₂(x₁, . . . , xn) = P 16i1<i26n xi1xi2 • σ₃(x₁, . . . , xn) = P 16i1<i2<i36n xi1xi2xi3 • . . . . • σn(x1, . . . , xn) = x1x2 . . . xn

Twierdzenie 18. Ka˙zdy wielomian symetryczny P (x₁, . . . , x_n) mo˙ze zosta´c

jednoznacznie przedstawiony jako wielomian od elementarnych wielomianów

symetrycznych:

P (x₁, . . . , xn) = Q σ1(x1, . . . , xn), . . . , σn(x1, . . . , xn)

Twierdzenie Viète’a

Twierdzenie 20. Niech x₁, x₂, . . . , x_n b ˛ed ˛a pierwiastkami wielomianu

P (x) = a₀ + a₁x + a₂x2 _{+ · · · + an−1}xn−1 + anxn. Wtedy • σ₁(x₁, . . . , xn) = −a_an−1 n • σ₂(x₁, . . . , xn) = an−2_a n • . . . . • σn(x1, . . . , xn) = (−1)n a_a0 n Dowód. P (x) = a_n(x − x₁)(x − x₂) . . . (x − x_n)

Rozwi ˛

azywanie równa ´n