• Nie Znaleziono Wyników

Permutacje

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Permutacje"

Copied!
16
0
0

Pełen tekst

(1)

Algebra

Permutacje

Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Permutacje

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Definicja

• Ωn = { 1, 2, . . . , n }

• Wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie π : Ωn → Ωn

nazywa si ˛e permutacj ˛a.

• Oznaczenie: 1 2 . . . n π(1) π(2) . . . π(n) ! • Mno˙zenie permutacji: τ σ = τ ◦ σ ◦ przykład: τ = 1 2 3 4 2 3 4 1 ! , σ = 1 2 3 4 4 3 2 1 ! ◦ τ σ 6= στ

(4)

Grupa permutacji

• (τ σ)ω = τ (σω) • permutacja jednostkowa e = 1 . . . n 1 . . . n ! • permutacja odwrotna τ τ−1 = e • grupa permutacji: Sn

(5)

Cykle

• permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1, pozostałe elementy

zostaj ˛a na miejscu (a 7→ a) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k

• zapis: (a1 a2 . . . ak)

cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a

• dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych elementów

• mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne

Twierdzenie 1. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

(6)

Cykle

• permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1, pozostałe elementy

zostaj ˛a na miejscu (a 7→ a) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k

• zapis: (a1 a2 . . . ak)

cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a

• dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych elementów

• mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne

Twierdzenie 2. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

niezale˙znych cykli. Jednoznacznie z dokładno´sci ˛a do kolejno´sci czynników

Wniosek 3. Ka˙zda permutacja mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

(7)

Przykłady

• 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 1 7 6 8 ! = (12345)(67)(8) = (12345)(67) • w S4: (123) = (13)(12) = (23)(13) = (13)(24)(12)(14)

(8)

Znak permutacji

Twierdzenie 4. Niech π ∈ Sn,

π = τ1τ2 . . . τk, (1)

gdzie τj s ˛a transpozycje (j = 1, . . . , k). Wtedy

ε(π) = (−1)k

nie zale˙zy od reprezentacji (1). Pozatym ∀α, β ∈ Sn

ε(αβ) = ε(α)ε(β).

Definicja 5. • permutacja σ ∈ Sn jest parzysta, je˙zeli ε(σ) = 1 • permutacja σ ∈ Sn jest nieparzysta, je˙zeli ε(σ) = −1

(9)

Obliczenie znaku permutacji

Definicja 6. Niech dana b ˛edzie permutacja

π = 1 2 . . . n

π(1) π(2) . . . π(n)

!

Para (π(i), π(j)) tworzy inwersj ˛e, je˙zeli i < j oraz π(i) > π(j).

Twierdzenie 7. Permutacjia π ∈ Sn jest parzyst ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona parzyst ˛a ilo´s´c inwersji.

Dowód. • transposycja (ai ai+1) zmienia parzysto´s´c permutacji • ogólna transpozycja zmienia parzysto´s´c permutacji

Przykład 8. π = 1 2 3 4 5 6

(10)

Działanie permutacji na funkcjach

Definicja 9. Niech dane b ˛ed ˛a n-argumentowa funkcja f (x1, . . . , xn) oraz permutacja σ ∈ Sn. Działanie σ na f jest funkcja

(σ ◦ f)(x1, . . . , xn) = f (xσ(1), . . . , xσ(n))

Lemat 10. ∀σ, π ∈ Sn

(11)

Funkcje antysymetryczne

Definicja 11. n-argumentowa funkcja f (x1, . . . , xn) nazywa si ˛e

antysymetryczn ˛a (sko´sno-symmetryczn ˛a, je˙zeli ∀1 6 k < n

f (x1, . . . xk, xk+1, . . . , xn) = −f(x1, . . . , xk+1, xk, . . . , xn)

Lemat 12. Dla antysymetrycznej funkcji f, ∀i, j

f (x1, . . . xi, . . . , xj, . . . , xn) = −f(x1, . . . xj, . . . , xi, . . . , xn) Przykład 13. ∆n = Y 16j<i6n (xi − xj)

(12)

Dowód twierdzenia

4

• Niech f (x1, . . . , xn) b ˛edzie dowolna niezerowa

antysymetryczna funkcja.

• Niech σ = τ1τ2 . . . τk b ˛edzie permutacj ˛a, rozło˙zona w iloczyn

transpozycji.

σ ◦ f = (−1)kf = ε(σ)f — nie zale˙zy od rozło˙zenia.

ε(σπ)f = (σπ) ◦ f = (σ ◦ π) ◦ f = σ ◦ (π ◦ f) = σ ◦ (ε(π)f) =

(13)

Funkcje symetryczne

Definicja 14. n-argumentowa funkcja f (x1, . . . , xn) nazywa si ˛e

symetryczn ˛a, je˙zeli ∀1 6 k < n

f (x1, . . . xk, xk+1, . . . , xn) = f (x1, . . . xk+1, xk, . . . , xn)

Lemat 15. Dla symetrycznej funkcji f, ∀σ ∈ Sn

f (x1, . . . , xn) = f (xσ(1), . . . , xσ(n))

Przykład 16. • x1 + · · · + xn

• x21 + x1x2 + · · · + x1xn + x2x1 + x22 + x2x3 + · · · + xnxn−1 + x2n

(14)

Wielomiany symetryczne

Definicja 17. Elementarne wielomiany symetryczne n zmiennych: • σ1(x1, . . . , xn) = P 16i6n xi • σ2(x1, . . . , xn) = P 16i1<i26n xi1xi2 • σ3(x1, . . . , xn) = P 16i1<i2<i36n xi1xi2xi3 • . . . . • σn(x1, . . . , xn) = x1x2 . . . xn

Twierdzenie 18. Ka˙zdy wielomian symetryczny P (x1, . . . , xn) mo˙ze zosta´c

jednoznacznie przedstawiony jako wielomian od elementarnych wielomianów

symetrycznych:

P (x1, . . . , xn) = Q σ1(x1, . . . , xn), . . . , σn(x1, . . . , xn) 

(15)

Twierdzenie Viète’a

Twierdzenie 20. Niech x1, x2, . . . , xn b ˛ed ˛a pierwiastkami wielomianu

P (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + an−1xn−1 + anxn. Wtedy • σ1(x1, . . . , xn) = −aan−1 n • σ2(x1, . . . , xn) = an−2a n • . . . . • σn(x1, . . . , xn) = (−1)n aa0 n Dowód. P (x) = an(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn)

(16)

Rozwi ˛

azywanie równa ´n

Przykład 21. • x2 + bx + c = 0, • ∆ = (x1 − x2)2 = b2 − 4c, • ( x1 + x2 = −b x1 − x2 = √∆ (x1 > x2), • x1,2 = (−b ± √∆)/2.

Cytaty

Powiązane dokumenty

attribute – globalne zmienne które mogą się zmieniać per vertex (np. kolor czy texcoord), wysyłane z aplikacji do vertex shaderów. Dostępny tylko w VS, tylko

RDF Schema Wprowadzenie RDF Semantic Web Składnia Kontenery Kolekcje RDFS DCMI RDFa Microdata JSON-LD ✔ Rozszerzenie RDF. ✔ Zawiera język do opisania zestawów predykatów

JQuery Wprowadzenie Dostęp Modyfikacjia Łańcuch 2 / 23 Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod

je˙zeli serwer nie rozpoznał metody ˙z ˛ adania, on zwraca kod odpowiedzi 501 (Not implemented). je˙zeli serwer rozpoznał metod ˛e, ale one nie mo˙ze zosta´c zastosowana do

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda