ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ. ĆWICZENIA Układy równań liniowych
ALEKSANDER DENISIUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa i znajdź jedno rozwiązanie szczególne:
(1) 5x1+ 3x2+ 5x3+ 12x4= 10, 2x1+ 2x2+ 3x3+ 5x4= 4, x1+ 7x2+ 9x3+ 4x4= 2; (2) −9x1+ 10x2+ 3x3+ 7x4= 7, −4x1+ 7x2+ x3+ 3x4= 5, 7x1+ 5x2− 4x3− 6x4= 3; (3) 2x1+ 5x2− 8x3= 8, 4x1+ 3x2− 9x3= 9, 2x1+ 3x2− 5x3= 7, x1+ 8x2− 7x3= 12; (4) −9x1+ 6x2+ 7x3+ 10x4= 3, −6x1+ 4x2+ 2x3+ 3x4= 2, −3x1+ 2x2− 11x3− 15x4= 1; (5) 12x1+ 9x2+ 3x3+ 10x4= 13, 4x1+ 3x2+ x3+ 2x4= 3, 8x1+ 6x2+ 2x3+ 5x4= 7; (6) −6x1+ 9x2+ 3x3+ 2x4= 4, −2x1+ 3x2+ 5x3+ 4x4= 2, −4x1+ 6x2+ 4x3+ 3x4= 3; (7) 8x1+ 6x2+ 5x3+ 2x4= 21, 3x1+ 3x2+ 2x3+ x4= 10, 4x1+ 2x2+ 3x3+ x4= 8, 3x1+ 3x2+ x3+ x4= 15, 7x1+ 4x2+ 5x3+ 2x4= 18; (8) 6x1+ 4x2+ 5x3+ 2x4+ 3x5= 1, 3x1+ 2x2− 2x3+ x4= 1, 9x1+ 6x2+ x3+ 3x4+ 2x5= 2, 3x1+ 2x2+ 4x3+ x4+ 2x5= 3.
Ćwiczenie 2. Zbadaj układ i znajdź rozwiązanie ogólne w zależności od parametru λ:
(1) −6x1+ 8x2− 5x3− x4= 9, −2x1+ 4x2+ 7x3+ 3x4= 1, −3x1+ 5x2+ 4x3+ 2x4= 3, −3x1+ 7x2+ 17x3+ 7x4= λ; (2) λx1+ x2+ x3= 1, x1+ λx2+ x3= 1, x1+ x2+ λx3= 1; (3) (1 + λ)x1+ x2+ x3= 1, x1+ (1 + λ)x2+ x3= λ, x1+ x2+ (1 + λ)x3 = λ2; (4) 8x1+ 6x2+ 3x3+ 2x4= 5, −12x1− 3x2− 3x3+ 3x4= −6, 4x1+ 5x2+ 2x3+ 3x4= 3, λx1+ 4x2+ x3+ 4x4= 2; (5) 2x1+ 5x2+ x3+ 3x4= 2, 4x1+ 6x2+ 3x3+ 5x4= 4, 4x1+ 14x2+ x3+ 7x4= 4, 2x1− 3x2+ 3x3+ λx4= 7; (6) 2x1− 1x2+ 3x3+ 4x4= 5, 4x1− 2x2+ 5x3+ 6x4= 7, 6x1− 3x2+ 7x3+ 8x4= 9, λx1− 4x2+ 9x3+ 10x4= 11; (7) 2x1+ 3x2+ x3+ 2x4= 3, 4x1+ 6x2+ 3x3+ 4x4= 5, 6x1+ 9x2+ 5x3+ 6x4= 7, 8x1+ 12x2+ 7x3+ λx4= 9; (8) λx1+ x2+ x3+ x4= 1, x1+ λx2+ x3+ x4= 1, x1+ x2+ λx3+ x4= 1, x1+ x2+ x3+ λx4= 1; (9) (1 + λ)x1+ x2+ x3= λ2+ 3λ, x1+ (1 + λ)x2+ x3= λ3+ 3λ2, x1+ x2+ (1 + λ)x3= λ4+ 3λ3; 1
2 ALEKSANDER DENISIUK
Ćwiczenie 3. Znajdź rozwiązanie ogólne i bazę rozwiązań układu: (1) x1+ x2− 2x3+ 2x4= 0, 2x1+ 5x2+ 6x3− 4x4= 0, 4x1+ 5x2− 2x3+ 3x4= 0, 8x1+ 8x2+ 24x3− 19x4= 9; (2) x1− x3= 0, x2− x4= 0, −x1+ x3− x5= 0, −x2+ x4− x6= 0, −x3+ x5= 0, −x4+ x6= 0; (3) x1− x3+ x5= 0, x2− x4+ x6= 0, x1− x2+ x5− x6= 0, x2− x3+ x6= 0, x1− x4+ x5= 0; (4) x1+ x2= 0, x1+ x2+ x3= 0, x2+ x3= 0; (5) x1+ x2= 0, x1+ x2+ x3= 0, x2+ x3+ x4= 0, x4+ x5= 0; (6) x1+ x2= 0, x1+ x2+ x3= 0, x2+ x3+ x4= 0, x4+ x5+ x6= 0, x5+ x6= 0;
Ćwiczenie 4. (1) Znajdź wielomian f (x) drugiego stopnia, taki że f (1) = 8, f (−1) = 2, f (2) = 14.
(2) Znajdź wielomian f (x) drugiego stopnia, taki że f (1) = −8, f (−1) = 2, f (2) = 14.
(3) Znajdź wielomian f (x) trzeciego stopnia, taki że f (−2) = 1, f (−1) = 3, f (1) = 13, f (2) = 33.
(4) Znajdź wielomian f (x) stopnia 5, taki że f (−3) = −77, f (−2) = −13, f (−1) = 1, f (1) = −1, f (2) = −17.
Ćwiczenie 5. Rozwiąż układ równań metodą Cramera (1) ( 2x1− x2= 1, x1+ 16x2= 17; (2) (
x1cos α + x2sin α = cos β, −x1sin α + x2cos α = sin β;
(3) x1+ x2+ x3= 6, −x1+ x2+ x3= 0, x1− x2+ x3= 2; (4) ( 2x1+ 5x2= 1, 3x1+ 7x2= 2; (5) 2x1+ x2+ x3= 3, x1+ 2x2+ x3= 0, x1+ x2+ 2x3= 0; (6) 2x1+ 3x2+ 5x3= 10, 3x1+ 7x2+ 4x3= 3, x1+ 2x2+ 2x3= 3;
E-mail address: [email protected]