Algebra
Permutacje
Aleksandr Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku
ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk
Permutacje
Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem
Definicja
• Ωn = { 1, 2, . . . , n }
• Wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie π : Ωn → Ωn
nazywa si ˛e permutacj ˛a.
• Oznaczenie: 1 2 . . . n π(1) π(2) . . . π(n) ! • Mno˙zenie permutacji: τ σ = τ ◦ σ ◦ przykład: τ = 1 2 3 4 2 3 4 1 ! , σ = 1 2 3 4 4 3 2 1 ! ◦ τ σ 6= στ Algebra – p. 3
Grupa permutacji
• (τ σ)ω = τ (σω) • permutacja jednostkowa e = 1 . . . n 1 . . . n ! • permutacja odwrotna τ τ−1 = e • grupa permutacji: SnCykle
• permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1, pozostałe elementy
zostaj ˛a na miejscu (a 7→ a) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k
• zapis: (a1 a2 . . . ak)
• cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a
• dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych
elementów
• mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne
Twierdzenie 1. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn
niezale˙znych cykli. Jednoznacznie z dokładno´sci ˛a do kolejno´sci czynników
Cykle
• permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1, pozostałe elementy
zostaj ˛a na miejscu (a 7→ a) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k
• zapis: (a1 a2 . . . ak)
• cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a
• dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych
elementów
• mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne
Twierdzenie 2. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn
niezale˙znych cykli. Jednoznacznie z dokładno´sci ˛a do kolejno´sci czynników
Wniosek 3. Ka˙zda permutacja mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn
Przykłady
• 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 1 7 6 8 ! = (12345)(67)(8) = (12345)(67) • w S4: (123) = (13)(12) = (23)(13) = (13)(24)(12)(14) Algebra – p. 7Znak permutacji
Twierdzenie 4. Niech π ∈ Sn,
π = τ1τ2 . . . τk, (1)
gdzie τj s ˛a transpozycje (j = 1, . . . , k). Wtedy
ε(π) = (−1)k
nie zale˙zy od reprezentacji (1). Pozatym ∀α, β ∈ Sn
ε(αβ) = ε(α)ε(β).
Definicja 5. • permutacja σ ∈ Sn jest parzysta, je˙zeli ε(σ) = 1
Obliczenie znaku permutacji
Definicja 6. Niech dana b ˛edzie permutacja
π = 1 2 . . . n π(1) π(2) . . . π(n)
!
Para (π(i), π(j)) tworzy inwersj ˛e, je˙zeli i < j oraz π(i) > π(j).
Twierdzenie 7. Permutacjia π ∈ Sn jest parzyst ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona parzyst ˛a ilo´s´c inwersji.
Dowód. • transposycja (ai ai+1) zmienia parzysto´s´c permutacji
• ogólna transpozycja zmienia parzysto´s´c permutacji
Przykład 8. π = 1 2 3 4 5 6
5 4 1 3 2 6 !
Działanie permutacji na funkcjach
Definicja 9. Niech dane b ˛ed ˛a n-argumentowa funkcja f(x1, . . . , xn) oraz permutacja σ ∈ Sn. Działanie σ na f jest funkcja
(σ ◦ f )(x1, . . . , xn) = f (xσ(1), . . . , xσ(n))
Lemat 10. ∀σ, π ∈ Sn
Funkcje antysymetryczne
Definicja 11. n-argumentowa funkcja f(x1, . . . , xn) nazywa si ˛e
antysymetryczn ˛a (sko´sno-symmetryczn ˛a, je˙zeli ∀1 6 k < n
f(x1, . . . xk, xk+1, . . . , xn) = −f (x1, . . . xk+1, xk, . . . , xn)
Lemat 12. Dla antysymetrycznej funkcji f, ∀i, j
f(x1, . . . xi, . . . , xj, . . . , xn) = −f (x1, . . . xj, . . . , xi, . . . , xn) Przykład 13. ∆n = Y 16j<i6n (xi − xj) Algebra – p. 11
Dowód twierdzenia
4
• Niech f(x1, . . . , xn) b ˛edzie dowolna niezerowa
antysymetryczna funkcja.
• Niech σ = τ1τ2 . . . τk b ˛edzie permutacj ˛a, rozło˙zona w iloczyn
transpozycji.
• σ ◦ f = (−1)kf = ε(σ)f — nie zale˙zy od rozło˙zenia.
• ε(σπ)f = (σπ) ◦ f = (σ ◦ π) ◦ f = σ ◦ (π ◦ f = σ ◦ (ε(π)f ) =
Funkcje symetryczne
Definicja 14. n-argumentowa funkcja f(x1, . . . , xn) nazywa si ˛e
symetryczn ˛a, je˙zeli ∀1 6 k < n
f(x1, . . . xk, xk+1, . . . , xn) = f (x1, . . . xk+1, xk, . . . , xn)
Lemat 15. Dla symetrycznej funkcji f, ∀σ ∈ Sn
f(x1, . . . , xn) = f (xσ(1), . . . , xσ(n)) Przykład 16. • x1 + · · · + xn • x2 1 + x1x2 + · · · + x1xn + x2x1 + x22 + x2x3 + · · · + xnxn−1 + x2n • x1x2 . . . xn Algebra – p. 13