Przykłady zastosowania układów równań różniczkowych

Przykłady zastosowania

układów równań

różniczkowych

Autorzy:

Julian Janus

2019

(1) (2)

Przykłady zastosowania układów równań różniczkowych

Przykłady zastosowania układów równań różniczkowych

Autor: Julian Janus

Układy równań różniczkowych mają zastosowanie przy opisie wielu zagadnień fizycznych, technicznych i ekonomicznych.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1: Przepływy i mieszanie cieczy

Przepływy i mieszanie cieczy

Rysunek 1:

Mamy trzy zbiorniki A, B i C połączone jak na Rys. 1. Zbiornik A zawiera 60 litrów roztworu, w którym rozpuszczono 30 kg soli, natomiast zbiorniki B i C zawierają czystą wodę. Zbiornik A zasilany jest czystą wodą wlewaną z prędkością v1=4 l/min. Ze zbiornika A do B następuje przepływ z prędkością v2=6 l/min, a ze zbiornika B do A z prędkością v3=2 l/min. Ze zbiornika B do C następuje przepływ z prędkością v4=6 l/min, a ze zbiornika C do B z prędkością v5=2 l/min. Ponadto ze zbiornika C wydalany jest roztwór z prędkością v6=4 l/min. Przyjmuje się, że ciecze mieszają się natychmiastowo, czyli stężenie soli w każdej części zbiornika jest takie samo. Określić ilość soli (w kilogramach) w zbiornikach A, B i C w zależności od czasu. Rozwiązanie

Rozwiązanie

Niech oznacza ilość solii odpowiednio w zbiornikach A, B i C w chwili t. Wtedy oznacza szybkość zmiany ilości soli odpowiednio w zbiornikach A, B i C.

W chwili t do zbiornika A wpływa i wypływa soli.

Zatem przebieg procesu w zbiorniku A można opisać równaniem

Analogicznie, w chwili t do zbiornika B wpływa soli i jednocześnie wypływa z niego soli.

W zbiorniku B przebieg procesu można zatem opisać równaniem

Podobnie jak wcześniej, do zbiornika C wpływa soli i wypływa soli.

W związku z powyższym przebieg procesu w zbiorniku C opisany jest równaniem

Ponadto, mamy następujący warunek początkowy

Zatem zawartość soli w poszczególnych zbiornikach opisana jest następującym układem równań:

z warunkiem początkowym ( 1 ). Wartościami własnymi macierzy układu

są liczby: a odpowiadające im wektory własne są następujące:

(t),

(t)

(t)

x

A

x

B

x

C

(t),

(t)

(t)

x

′ A

x

′B

x

′C

2

xB(t)

kg/min

60

6

xA60(t)

kg/min

(t) =

(t) −

(t).

x

′ A 301

x

B ₁₀1

x

A

6

xA(t)

+ 2

kg/min

60 xC60(t)

6

xB(t)

+ 2

kg/min

60 xB60(t)

(t) =

(t) +

(t) −

(t).

x

′ B 101

x

A ₃₀1

x

C ₁₅2

x

B

6

xB(t)

kg/min

60

6

xC60(t)

kg/min

(t) =

(t) −

(t).

x

′ C 101

x

B ₁₀1

x

C

(0) = 30,

(0) =

(0) = 0.

x

A

x

B

x

C

,

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

(t) =

(t) −

(t)

x

′ A 301

x

B 101

x

A

(t) =

(t) +

(t) −

(t)

x

′ B 101

x

A ₃₀1

x

C ₁₅2

x

B

(t) =

(t) −

(t)

x

′ C 101

x

B ₁₀1

x

C

A =

⎡

⎣

⎢⎢

−

1 10 1 10

0

1 30

−

2 15 1 10

0

1 30

−

1 10

⎤

⎦

⎥⎥

= − ,

= − ,

= −

λ

1 1₅

λ

2 ₁₀1

λ

3 _30,1

=

,

=

,

=

.

1

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

2

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

3

⎡

⎣

⎢⎢

1

_⎤

⎦

⎥⎥

(3)

(4)

(5)

(6)

(7) Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 2 ) ma postać:

gdzie są to dowolne stałe.

Uwzględniając warunek początkowy ( 1 ) otrzymujemy, że funkcje określone są wzorami:

PRZYKŁAD

Przykład 2: Obwód elektryczny

Przykład 2: Obwód elektryczny

Rysunek 2:

Rozważmy obwód elektryczny jak na Rys. 2 skłądający się z dwóch cewek o indukcyjności oraz dwóch oporników i prądu zmiennego którego siła elektromotoryczna zmiennia sie zgodnie z zależnością

Wyznaczyć natężenia prądów i po zamknięciu klucza K. Rozwiązanie

Rozwiązanie

Z pierwszego prawa Kirchhoffa wynika zależność

Z drugiego prawa Kirchhoffa dla oczka ABEFA otrzymujemy zależność

zaś dla oczka BCDEB

Z równości ( 3 ), ( 4 ) i ( 5 ) po podstawieniu za i podanych wartości, otrzymujemy następujący układ równań ze względu na zmienne i

z warunkiem początkowym Macierz układu ( 6 )

=

,

=

,

=

.

v

1

⎡

⎣

⎢

1 3

−1

1

⎤

⎦

⎥ v

2

⎡

⎣

⎢

−

1 3

0

1

⎤

⎦

⎥ v

3

⎡

⎣

⎢⎢

1 3 2 3

1

⎤

⎦

⎥⎥

=

+

+

,

⎡

⎣

⎢

(t)

x

A

(t)

x

B

(t)

x

C

⎤

⎦

⎥ c

1

e

− t15

⎡

⎣

⎢

1 3

−1

1

⎤

⎦

⎥ c

2

e

− t101

⎡

⎣

⎢

−

1 3

0

1

⎤

⎦

⎥ c

3

e

− t301

⎡

⎣

⎢⎢

1 3 2 3

1

⎤

⎦

⎥⎥

, ,

c

1

c

2

c

3

(t),

(t),

(t)

x

A

x

B

x

C

.

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

(t) = 3

(2 + 5

+ 3 )

x

A

e

−5t

e

10t

e

6t

(t) = 18

(−1 + )

x

B

e

−5t

e

t6

(t) = 9

(2 + 4

+ 6

+ 3 )

x

C

e

− t 5

(−1 +

e

30t

)

2

e

30t

e

15t

e

10t

=

= 1[H]

L

1

L

2

= 8[Ω],

= 3[Ω]

R

1

R

2

E(t) = 100 sin t[V ].

i

2

(t)

i

3

(t)

(t) = (t) + (t).

i

1

i

2

i

3

(t) +

(t) +

= E(t),

R

1

i

1

R

2

i

2

L

2

di

_dt

1

−

(t) = 0.

L

1

di

_dt

3

R

2

i

2

,

,

,

L

1

L

2

R

1

R

2

E(t)

(t)

i

2

i

3

(t)

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

= −14 (t) − 8 (t) + 100 sin t

di

2

dt

i

2

i

3

= 3 (t)

di

3

dt

i

2

(0) = (0) = 0.

i

2

i

3

A = [

]

(8)

(9) ma wartości własne i wówczas odpowiadające im wektory własne są następujące:

Zatem rozwiązanie ogólne układ jednorodnego

ma postać:

gdzie są to dowolne stałe.

Rozwiązania szczególnego równania ( 6 ) szukamy w następującej postaci

Po podstawieniu powyższej funkcji do równania ( 6 ) i wyliczeniu otrzymujemy

Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 6 ) jest następujące

Uwzględniając warunek początkowy ( 7 ) rozwiązaniem układu ( 6 ) są funkcje określone wzorami:

PRZYKŁAD

Przykład 3: Układ drgających mas

Przykład 3: Układ drgających mas

Rysunek 3:

Mamy dwie masy połączone trzema sprężynami o stałych sprężystościach

tak jak na Rys. 3. Niech i określają położenie poszczególnych mas w stosunku do położenia równowagi, mają wartość dodatnią, gdy wychylenie jest na prawo i ujemną, gdy wychylenie jest na lewo. Drgania powyższego układu opisane są następującym układem równań

W postaci macierzowej powyższy układ można zapisać następująco: gdzie

Jeżeli wprowadzimy nowe zmienne

A = [

−14

]

3

−8

0

= −12,

= −2

λ

1

λ

2

= [

] ,

= [

] .

v

1

−4

₁

v

2

−2

₃

[

i

′2

(t)

] = [

] ⋅ [

]

(t)

i

′ 3

−14

3

−8

0

(t)

i

2

(t)

i

3

[

i

c2

(t)

] =

[

] +

[

] ,

(t)

i

c3

c

1

e

−12t

−4

1

c

2

e

−2t

−2

3

, ,

c

1

c

2

[

i

p2

(t)

_(t)

] = [

] .

i

p3

cos t + sin t

a

1

a

2

cos t + sin t

b

1

b

2

,

, , ,

a

1

a

2

b

1

b

2

[

i

p2

(t)

] = [

] .

(t)

i

p3

cos t + sin t

92 29 5629

− cos t +

168

sin t

29 27629

[

i

c2

(t)

] =

[

] +

[

] + [

] .

(t)

i

c3

c

1

e

−12t

−4

1

c

2

e

−2t

−2

3

cos t + sin t

92 29 5629

− cos t +

168

sin t

29 27629

(t), (t),

i

2

i

3

{

i

2

(t) =

294

e

−12t

(6 − 29

e

10t

+ 23

e

12t

cos t + 14

e

12t

sin t)

(t) = −

(1 − 29

+ 28

cos t − 46

sin t. )

i

3 ₂₉6

e

−12t

e

10t

e

12t

e

12t

=

= 1kg

m

1

m

2

k

1

=

k

2

=

k

3

= 1N/m,

(t)

x

1

x

2

(t)

{

m

1

x

′′1

(t) = −

k

1

x

1

(t) + ( (t) − (t))

k

2

x

2

x

1

(t) = − ( (t) − (t)) −

(t).

m

2

x

′′2

k

2

x

2

x

1

k

3

x

2

M ⋅

X

′′

(t) = K ⋅ X(t),

M = [

m

1

] , K = [

] , X(t) = [

] .

0

m

0

2

− −

k

1

k

2

k

2

k

2

− −

k

2

k

3

(t)

x

1

(t)

x

2

Y (t) =

=

,

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

(t)

y

1

(t)

y

2

(t)

y

3

(t)

y

4

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

(t)

x

1

(t)

x

2

(t)

x

′ 1

(t)

x

′ 2

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

(10)

(11) to układ ( 9 ) można zapisać w postaci układu liniowego jednorodnego rzędu pierwszego:

Podstawiając za wartości liczbowe, otrzymujemy następujący układ równań:

Macierz powyższego układu

ma wartości własne

i odpowiadające im wektory własne są następujące:

Na pdstawie zależności (3) i (4)(3) i (4) z (Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są jednokrotne, ale nie wszystkie rzeczywiste) następujące funkcje

stanowią układ fundamentalny rozwiązań dla układu równań ( 11 ). Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 11 ) jest postaci:

gdzie są dowolnymi stałymi. Stąd wynika, że rozwiązanie układu ( 8 ) ma postać:

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod

⋅

=

⋅

.

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

m

1

0

0

0

0

m

2

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

(t)

y

′ 1

(t)

y

′ 2

(t)

y

′ 3

(t)

y

′ 4

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

0

0

− −

k

1

k

2

k

2

0

0

k

2

− −

k

2

k

3

1

0

0

0

0

1

0

0

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

(t)

y

1

(t)

y

2

(t)

y

3

(t)

y

4

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

,

,

,

,

m

1

m

2

k

1

k

2

k

3

=

⋅

.

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

(t)

y

′ 1

(t)

y

′ 2

(t)

y

′ 3

(t)

y

′ 4

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

0

0

−2

1

0

0

1

−2

1

0

0

0

0

1

0

0

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

(t)

y

1

(t)

y

2

(t)

y

3

(t)

y

4

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

A =

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

0

0

−2

1

0

0

1

−2

1

0

0

0

0

1

0

0

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

= i ,

= −i ,

= i,

= −i

λ

1

√ λ

3

2

√ λ

3

3

λ

4

=

,

=

,

=

,

=

.

v

1

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎢

i

1 3 √

− i

1 3 √

−1

1

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

v

2

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎢

− i

1 3 √

i

1 3 √

−1

1

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

v

3

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

−i

−i

1

1

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ v

4

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

i

i

1

1

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

=

cos( t) −

sin( t),

=

sin( t) +

cos( t),

Y

1

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

0

0

−1

1

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

√

3

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎢

1 3 √

−

1 3 √

0

0

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

√

3

Y

2

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

0

0

−1

1

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

√

3

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎢

1 3 √

−

1 3 √

0

0

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

√

3

=

cos t −

sin t,

=

sin t +

cos t,

Y

3

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

0

0

1

1

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

−1

−1

0

0

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

Y

4

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

0

0

1

1

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

−1

−1

0

0

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

Y (t) =

=

(t) +

(t) +

(t) +

(t) =

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

(t)

x

1

(t)

x

2

(t)

x

′ 1

(t)

x

′ 2

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥ c

1

Y

1

c

2

Y

2

c

3

Y

3

c

4

Y

4

+

+

+

,

c

1

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢⎢

⎢

− sin( t)

1 3 √

√

3

sin( t)

1 3 √

√

3

− cos( t)

√

3

cos( t)

√

3

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥

c

2

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢⎢

⎢

cos( t)

1 3 √

√

3

− cos( t)

1 3 √

√

3

− sin( t)

√

3

sin( t)

√

3

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥

c

3

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

sin t

sin t

cos t

cos t

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ c

4

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

− cos t

− cos t

sin t

sin t

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

, , ,

c

1

c

2

c

3

c

4

[

x

1

(t)

] =

+

+ [

] + [

] .

(t)

x

2

c

1

⎡

⎣

− sin( t)

1 3 √

√

3

sin( t)

1 3 √

√

3

⎤

⎦

c

2

⎡

⎣

cos( t)

1 3 √

√

3

− cos( t)

1 3 √

√

3

⎤

warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:25:29

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=706698e91404bea5c70a9e5dd8518b13