Mariusz Żal, Wojciech Kabaciński Ocena wydajności pól komutacyjnych log_2 N^(1/2)Politechnika Poznańska, Instytut Elektroniki i Telekomunikacji

2003

Poznañ 11-12 grudnia 2003

Wojciech Kabaci´nski, Mariusz ˙

Zal

Politechnika Pozna´nska

Instytut Elektroniki i Telekomunikacji ul. Piotrowo 3A, 60-965 Pozna´n, Polska e-mail:(kabacins,mzal)@et.put.poznan.pl

OCENA WYDAJNO ´SCI PÓL KOMUTACYJNYCH LOG

√

N

Streszczenie: W artykule przedstawiono ocen˛e wydajno´sci pól komutacyjnych typu log₂√N . Pola te były ju˙z przez nas wcze´sniej rozwa˙zana w pracach [1], [2], [3]. W tym artykule okre´slone zostan ˛a przepustowo´s´c i prawdopodo-bie ´nstwo blokady pola komutacyjnego log2√N . W artyku-le zostanie równie˙z przedstawione porównanie wydajno´sci pól log2√N z polami log2N o tej samej pojemno´sci oraz z polami multi–log2N o tym samym koszcie budowy co jedna płaszczyzna pola log₂√N .

1. WPROWADZENIE

Nowoczesne sieci wykorzystuj ˛ace transmisj˛e pa-kietów wymagaj ˛a, aby w˛ezły komutacyjne realizowały funkcje komutacyjne w bardzo krótkim czasie. W nie-których typach sieci, w nie-których przesyłane s ˛a pakiety o stałej długo´sci, zwane szczelinami czasowymi (lub w przypadku technologii ATM komórkami) podejmowanie decyzji o kierowaniu pakietu z danego wej´scia do po˙z ˛ a-danego wyj´scia mo˙ze odbywa´c si˛e niezale˙znie w w˛ezłach komutacyjnych. Pozwala to na sprz˛etow ˛a realizacj˛e funk-cji komutacyjnych zamiast rozwi ˛aza´n programowych, w których funkcje te były implementowane w centralnym CPU z współdzielon ˛a magistral ˛a centraln ˛a i pami˛eci ˛a.

Jedn ˛a z mo˙zliwych architektur, pozwalaj ˛acych na budow˛e pól komutacyjnych w przeł ˛acznikach ATM lub szybkich ruterach jest samosterowalne pole komutacyjne zbudowane z log_{2N sekcji komutatorów. W literaturze} zaproponowano wiele struktur samosterowalnych pól ko-mutacyjnych [4]. Przykładem takich pól s ˛a pola komuta-cyjne typu Banyan. Ogólnie, pola tego typu składaj ˛a si˛e z log_{dN sekcji komutatorów, ka˙zda z sekcji zbudowana} jest zN/d elementów komutacyjnych o wymiarach d×d

[5]. Najbardziej znan ˛a realizacj ˛a tych pól jest przypadek, gdy d = 2. Pola komutacyjne, w których wykorzystuje

si˛e elementy komutacyjne o wymiarach 2 × 2, mog ˛a by´c równie˙z wykorzystane do budowy optycznych pól komutacyjnych.

W tym artykule b˛edzie rozwa˙zana proponowana przez nas architektura samosterowalnych pól komuta-cyjnych zbudowanych tylko z s = log₂√N  sekcji

komutatorów [1]. W cytowanym artykule podano i udo-wodniono warunki nieblokowalno´sci w w ˛askim sensie tych pól. W tym artykule b˛edziemy rozwa˙za´c wydajno´s´c proponowanej architektury w przypadku wykorzystania ∗_{Praca wykonana w ramach Grantu KBN 4 T11D 020 22, umowa} nr 1551/T11/2002/22. P x₁ x2 y₁ y2 y₁ y2 P C C p p 0 1 x₁ x2 y₁ y2 C P a) b) _a 0 0 0 0 1 1 1 1 0 a1

Rys. 1. Komutator2 × 2 (a) oraz architektura 2 × 4 zbudowana z dwóch elementów2 × 2 (b).

tylko jednej płaszczyzny. Dokonamy równie˙z porówna-nia wydajno´sci pól log₂√_{N oraz log2N o tej samej} po-jemno´sci oraz pól multi-log₂√_{N o tym samym koszcie} budowy co pola log₂√_{N .}

Dalsza cz˛e´s´c artykułu została zorganizowana w nast˛epuj ˛acy sposób. W rozdziale drugim zostały przed-stawione elementy komutacyjne oraz architektura pól komutacyjnych log₂√N . W rozdziale trzecim

wyliczo-ne zostały przepustowo´s´c i prawdopodobie´nstwo bloka-dy rozwa˙zanych pól komutacyjnych. Porównanie wy-dajno´s´c proponowanej architektury z wydajno´sci ˛a pól log_{2N przedstawiono w rozdziale czwartym. Artykuł} ko´ncz ˛a wnioski.

2. BUDOWA POLA KOMUTACYJNEGO TYPU LOG₂√N

2.1 Opis podstawowego elementu komutacyjnego oraz zasada sterowania

W rozwa˙zanej architekturze podstawowym elemen-tem komutacyjnym wykorzystanym do budowy wi˛ek-szych pól komutacyjnych jest komutator o wymiarach 2 × 2 prezentowany w [1], [6]. W samosterowalnych polach komutacyjnych do sterowania prac ˛a komutatora wykorzystywane s ˛a bity adresowe. Zazwyczaj pierwsze bity transmitowanego pakietu okre´slaj ˛a do jakiego wyj-´scia komutatora ma by´c przesłany pakiet. W naszym projekcie do sterowania elementem komutacyjnym wy-korzystuje si˛e dwa bity adresowe. Do sterowania pra-c ˛a komutatora wykorzystywane s ˛a równie˙z jego dwa dodatkowe wej´scia _{C oraz P . Modyfikacja ta pozwala} na równoległe poł ˛aczenie dwóch komutatorów. Powstała w ten sposób architektura 2 × 4 zachowuje równie˙z zdolno´s´c samosterowania.

Na rysunku 1 zostały pokazane oba typy architektur. Wyj´scia s ˛a adresowane przez dwa bitya1a0, gdziea1jest najbardziej znacz ˛acym bitem. Kiedy pakiet z wyj´sciaxi, i = 1, 2 jest kierowany do wyj´scia yj,j = 1, 2, pierwszy

0 7 1 8 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 0 7

Rys. 2. Pole komutacyjne log2√8 (nieparzyste n).

bit adresu_a1jest porównywany z bitem_{C. Je´sli zachodzi} równo´s´c _a1 = C, wówczas pakiet jest kierowany na wyj´scie komutatora, którego numer okre´sla bit adresu_a0 (0 do górnego wyj´scia, 1 do dolnego). Je´sli a1 = C,

wówczas pakiet nie mo˙ze przej´s´c przez dany komutator. BitP jest wykorzystywany w sytuacjach, kiedy dwa

pa-kiety adresowane s ˛a do tego samego wyj´scia. Okre´sla on, który z pakietów ma zosta´c przesłany na dane wyj´scie.

2.2 Opis budowy pola komutacyjnego

Proponowane przez nas pole komutacyjne było ju˙z prezentowane w [1]. Pole to zbudowane jest z elementów komutacyjnych prezentowanych na rys. 1. Rozwa˙zmy po-le komutacyjne o pojemno´sciN ×N , gdzie N = 2n_{. Pole} to zbudowane jest zs = log₂√N  sekcji komutatorów,

gdzie x = min{y|y
x, całkowite y}. Podobnie jak w przypadku pól typu Banyan, prezentowane w artykule pole b˛edziemy nazywa´c polem typu log₂√N .

Wyj´scia i wej´scia pola numerowane s ˛a 0, 1, . . .N −1

od góry do dołu, natomiast sekcje komutatorów numero-wane s ˛a 1, 2 . . ._{s od lewej do prawej. Podczas opisu} budowy pól komutacyjnych log₂√_{N nale˙zy rozwa˙zy´c} dwa przypadki: _{n jest parzyste oraz n jest nieparzyste.} Przykłady budowy pól komutacyjnych typu log₂√_{N w} przypadku, gdy _{n jest liczb ˛}a nieparzyst ˛a lub parzyst ˛a zostały przedstawione na rys. 2 i 3.

W przypadku, gdyn jest liczb ˛a nieparzyst ˛a, pierw-sza sekcja pola zbudowana jest komutatorów o wymia-rach 2 × 2 prezentowanych na rys. 1a. Pozostałe sekcje zbudowane s ˛a z komutatorów2 × 4 prezentowanych na rys. 1b. Pierwsza sekcja zbudowana jest zN/2

komuta-torów 2 × 2 . Druga sekcja zawiera N/2 komutatorów 2 × 4 . Ka˙zda kolejna sekcja zawiera dwa razy wi˛ecej komutatorów ni˙z sekcja poprzednia. W przypadku, gdy

n jest liczb ˛a nieparzyst ˛a, sekcja _{i zbudowana jest z xi} elementów komutacyjnych 2 × 4 numerowanych od 0 do_xi− 1, gdzie x_i= 2n+i−3 _{oraz2  i  s.}

Gdy _{n jest liczb ˛}a parzyst ˛a wszystkie sekcje pola komutacyjnego zbudowane s ˛a z komutatorów 2 × 4 . W pierwszej sekcji znajduje si˛e_{N/2 takich elementów.} Nast˛epna sekcja zbudowana jest zN komutatorów itd. W

przypadku, gdyn jest liczb ˛a parzyst ˛a w sekcjii znajduje

si˛exi komutatorów2×4 numerowanych od 0 do xi−1, gdzie xi= 2n+i−3 oraz2  i  s.

1 ₀ 32 15 0 ₁ 15 16 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3

Rys. 3. Pole komutacyjne log2√16 (parzyste n).

W ostatniej sekcji mamy2n+s−(n mod 2)−2 komuta-torów2×4 . Wszystkie 2n+s−(n mod 2)wyj´scia z sekcjis

ł ˛aczymy przezN multiplekserów o wymiarach 2n−s_{×1 z} wyj´sciami pola log₂√N . Multipleksery s ˛a umieszczone za sekcj ˛a_{s komutatorów.}

W pracy [3] okre´slono sposób ł ˛aczenia komuta-torów s ˛asiednich sekcji oraz wyj´s´c komutatorów ostat-niej sekcji z wej´sciami multiplekserów. Architektura pól komutacyjnych jest architektur ˛a modułow ˛a. Pola komu-tacyjne o danej pojemno´sci mo˙ze zosta´c zbudowane w oparciu o elementy pola komutacyjnego o mniej-szej pojemno´sci. Zasady rozbudowy pól komutacyjnych log₂√_{N przedstawiono w [1].}

3. OCENA WYDAJNO ´SCI 3.1 Opis modelu

Prawdopodobie´nstwo blokady oraz przepustowo´s´c pól komutacyjnych typu log₂N dla poł ˛acze´n typu punkt-punkt okre´slone zostały w pracach [7], [8] i [4]. Przyj˛eta w tych pracach terminologia oraz symbolika zostanie wykorzystana równie˙z przez nas.

Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wej-´sciu pola komutacyjnego oznaczane jest przez p(1, 0),

natomiast prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wyj´sciu pola komutacyjnego oznaczane jest _{p(1, n).} Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wyj´sciu komutatora sekcji _{i, gdzie 1  i  s − 1, oznaczane} jest symbolem _{p(1, i). Symbol p(1, s) oznacza} prawdo-podobie´nstwo pojawienia si˛e pakietu na wyj´sciu komuta-tora ostatniej sekcji. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet nie pojawi si˛e na danym wyj´sciu oznaczane jest symbolem

p(0, a), gdzie a oznacza rozwa˙zane ł ˛acze.

B˛edziemy rozwa˙za´c dwa modele zgłosze´n: model jednorodny i permutacje zgłosze´n. W modelu jednorod-nym pakiet, który pojawia si˛e na wej´sciu pola komu-tacyjnego z takim samym prawdopodobie´nstwem mo˙ze by´c kierowany do dowolnego wyj´scia. Oznacza to, ˙ze jedno wyj´scie pola komutacyjnego mo˙ze by´c ˙z ˛adane przez wi˛ecej ni˙z jeden pakiet. W modelu jednorodnym prawdopodobie´nstwo blokady b˛edzie sum ˛a prawdopodo-bie´nstw wewn˛etrznego i zewn˛etrznego. Drugim modelem s ˛a permutacje zgłosze´n, gdzie dane wyj´scie mo˙ze by´c ˙z ˛adane przez co najwy˙zej jeden pakiet. W tym modelu prawdopodobie´nstwo blokady równe jest prawdopodo-bie´nstwu blokady wewn˛etrznej pola.

W pracy [4] zostały zdefiniowane prawdopodobie´n-stwo blokady _{π oraz przepustowo´s´c ρ pola} komutacyj-nego log_{2N .}

Przepustowo´s´c pola komutacyjnego jest to

prawdo-podobie´nstwo, ˙ze pakiet odebrany na wej´sciu pola komu-tacyjnego pojawił si˛e na ˙z ˛adanym przez niego wyj´sciu. Przepustowo´s´c oznaczana jest symbolem_{ρ i wynosi}

ρ = p(1, n). (1)

Przepustowo´s´c pola komutacyjnego zale˙zy od praw-dopodobie´nstwa pojawienia si˛e pakiety na wej´sciu pola. Wraz ze wzrostem prawdopodobie´nstwa pojawienia si˛e pakietów na wej´sciach komutatorów pierwszej sekcji wzrasta równie˙z przepustowo´s´c pola. Prawdopodobie´n-stwo przej´scia pakietu przez pole komutacyjne mo˙ze by´c wyra˙zona jako _p(1,0)ρ , natomiast prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet zostanie utracony równe jest1 − _p(1,0)ρ .

Prawdopodobie´nstwo blokady jest to

prawdopodo-bie´nstwo, ˙ze pakiet, który pojawił si˛e na wej´sciu komu-tatora pierwszej sekcji zostanie utracony i nie pojawi si˛e na wyj´sciu pola komutacyjnego. Prawdopodobie´nstwo blokady oznaczane jest jako _{π i wynosi:}

π = 1 − ρ

p(1, 0) . (2)

W pracach [7] i [8] został przyj˛ete nast˛epuj ˛ace zało˙zenia:

1) Prawdopodobie´nstwo pojawienia si˛e pakietu na wej´sciu pola równe jest _{p(1, 0).}

2) Pakiety pojawiaj ˛ace si˛e na wej´sciu pola genero-wane s ˛a przez niezale˙zne procesy losowe. 3) Komutatory, z których zbudowane jest pole s ˛a

niebuforowanymi elementami komutacyjnymi. 4) Pole komutacyjne jest polem synchronicznym,

na wej´sciu pola pakiety pojawiaj ˛a si˛e tylko w chwilach tc, 2tc, 3tc,. . . , gdzie tc jest cyklem zegara, a pakiet trwatc.

5) Pakiet, który nie pojawił si˛e na wyj´sciu jest odrzucany.

Podczas okre´slania prawdopodobie´nstwa blokady i przepustowo´sci pól komutacyjnych typu log₂√_{N równie˙z} zostan ˛a przyj˛ete wymienione zało˙zenia.

3.2 Ruch jednorodny - model 1

Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wyj-´sciu komutatora k × k w sekcji i + 1 podano w [7].

Poniewa˙z pola komutacyjne log₂√_{N zbudowane s ˛}a z elementów 2 × 2 i 2 × 4 , dlatego obecnie zostanie rozwa˙zony bardziej ogólny przypadek, w którym sekcje pola b˛ed ˛a zbudowane z komutatorów _{k × l.} Rozwa˙z-my pierwsz ˛a sekcj˛e komutatorów. Zgodnie z przyj˛etymi oznaczeniami, prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wej´sciu komutatora równe jest _{p(1, 0). W przyj˛etym} modelu ruchu, pakiet pojawiaj ˛acy si˛e na wej´sciu komu-tatora mo˙ze by´c kierowany do ka˙zdego z jego wyj´s´c z ta-kim samym prawdopodobie´nstwem, które wynosi p(1,0)_l . Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet nie b˛edzie kierowany do okre´slonego wyj´scia równe jest 1 − p(1,0)_l . Poniewa˙z prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet b˛edzie kierowany do dowolnego wyj´scia jest takie samo dla wszystkich wyj´s´c, prawdopodobie´nstwo, ˙ze na danym wyj´sciu nie pojawi si˛e ˙zaden pakiet równe jest

p(0, 1) =
1 − p(1, 0) l k . (3)

Ostatecznie mo˙zna okre´sli´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze co najmniej jeden pakiet b˛edzie kierowany do danego wyj´scia komutatora. Prawdopodobie´nstwo to równe jest

p(1, 1) = 1 −
1 − p(1, 0) l k . (4)

Poniewa˙z zdarzenia zachodz ˛ace w poszczególnych sekcjach s ˛a niezale˙zne, równanie (4) mo˙ze zosta´c uogól-nione dla dowolnej sekcji pola komutacyjnego.

p(1, i + 1) = 1 −
1 −p(1, i) l k . (5)

Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wyj-´sciu komutatora sekcji s oznaczane jest jako p(1, s).

Warto´s´c p(1, s) mo˙ze by´c rekurencyjnie wyliczona z

wzoru (5).Wyj´scia komutatorów sekcji s poł ˛aczone s ˛a z wyj´sciem pola komutacyjnego przez multipleksery 2n−s_{×1. Dlatego prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi} si˛e na wyj´sciu pola komutacyjnego log₂√_{N równe jest}

ρ = 1 − (1 − p(1, s))2n−s. (6)

3.3 Ruch jednorodny - model 2

Model prezentowany w poprzednim rozdziale jest prostym modelem analitycznym. Model ten mo˙ze by´c wykorzystany do ilo´sciowej oceny wydajno´sci pola ko-mutacyjnego. Jednak aby wyliczy´c funkcj˛e rozkładu prawdopodobie´nstwa blokady lub przepustowo´s´c, ko-nieczne jest u˙zycie innego modelu analitycznego. Roz-wa˙zne przez nas pole komutacyjne jest polem synchro-nicznym bez buforów, w którym komutacja jest procesem

bezpami˛eciowym (zdarzenia zachodz ˛ace w chwili _t(i) nie wpływaj ˛a na zdarzenia w chwili_{t(i + 1)) dlatego w} celu okre´slenia prawdopodobie´nstwa pojawienia si˛e pa-kietów na wej´sciach komutatora wykorzystany zostanie rozkład Bernoulli’ego.

Niechp(1, 0) b˛edzie prawdopodobie´nstwem, ˙ze

pa-kiet pojawi si˛e na wej´sciu komutatora k × l.

Prawdo-podobie´nstwo, ˙ze a pakietów pojawi si˛e na k wej´sciach

komutatora w jednej szczelinie czasowej jest rozkładem dwumianowym: P r[A = a] =
k a  p(1, 0)k(1 − p(1, 0))k−a. (7) Podobnie jak w poprzednim rozdziale, wzór okre-´slaj ˛acy prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wyj´sciu komutatora pierwszej sekcji zostanie uogólniony dla dowolnej sekcjii, gdzie 1  i  s.

W zakładanym modelu ruchu, pakiet, który poja-wia si˛e na wej´sciu komutatora jest kierowany do do-wolnego z wyj´s´c pola komutacyjnego z prawdopodo-bie´nstwem b˛ed ˛acym zmienn ˛a losow ˛a o rozkładzie jed-nostajnym. Poniewa˙z liczba wyj´s´c pola komutacyjnego log₂√_{N dost˛epnych z wyj´scia komutatora k ×l jest taka} sama dla ka˙zdego wyj´scia, dlatego prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet wybierze jedno z _{l wyj´s´c komutatora równe} jest 1_l. Załó˙zmy, ˙zea pakietów pojawia si˛e na wej´sciach

komutatora. Prawdopodobie´nstwo, ˙zeb z tych pakietów

b˛edzie kierowanych do jednego zl wyj´s´c równe jest (1_l)b_. Pozostałea − b pakiety wybior ˛a inne wyj´scia z prawdo-podobie´nstwem (1 − 1_l)a−b. Liczba sposobów wyboru

b spo´sród a pakietów równa jest kombinacji zbioru

b-elementowego ze zbiorua-elementowego. St ˛ad, prawdo-podobie´nstwo, ˙ze jeden lub wi˛ecej pakietów wybierze to samo wyj´scie, przy zało˙zeniu, ˙ze _{a pakietów pojawi si˛e} na wej´sciach komutatora w tej samej szczelinie czasowej równe jest: P r[B  b] = a  b=1
a b 
1 l b
1 − 1 l a−b . (8)

Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wyj-´sciu komutatora pierwszej sekcji równe jest:

p(1, 1) = k  a=1
k a  p(1, 0)a(1 − p(1, 0))k−a· · a  b=1
a b 
1 l b
1 − 1 l a−b . (9)

Poniewa˙z zdarzenia zachodz ˛ace w poszczególnych sekcjach s ˛a niezale˙zne, równanie (9) mo˙ze by´c uogólnio-ne dla dowoluogólnio-nej sekcji pola komutacyjuogólnio-nego. Prawdopo-dobie´nstwo p(1, i + 1), gdzie 0  i  s − 1 okre´slone

jest wzorem: p(1, i + 1) = k  a=1
k a  p(1, i)a(1 − p(1, i))k−a· · a  b=1
a b 
1 l b
1 − 1 l a−b . (10)

Prawdopodobie´nstwop(1, s) oznacza

prawdopodo-bie´nstwo pojawienia si˛e pakietu na wyj´sciu pola ko-mutacyjnego. Warto´s´c tego prawdopodobie´nstwa mo˙ze

by´c wyliczona rekurencyjnie ze wzoru (10). Wyj´scia komutatorów sekcji _{s s ˛}a poł ˛aczone z wyj´sciem pola komutacyjnego przez multiplekser2n−s_{× 1. Dlatego te˙z} prawdopodobie´nstwo pojawienia si˛e pakietu na wyj´sciu pola komutacyjnego okre´slone jest wzorem:

ρ = 1 − (1 − p(1, s))2n−s. (11)

3.4 Permutacje poł ˛acze´n

Rozwa˙zmy komutator k × l. Liczba wyj´s´c pola

ko-mutacyjnego log₂√N dost˛epnych z wyj´scia komutatora k × l w sekcji i równa jest ls−i_{. Z wej´scia komutatora} k × l seckcji i dost˛epnych jest ls−i+1 _{wyj´s´c pola} komu-tacyjnego log₂√_{N . Zdefiniujmy funkcj˛e p_w(i, d, e, l)} jako prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet, który pojawi si˛e na wej´sciu komutatora sekcji _{i zostanie kierowany do} okre´slonego wyj´scia komutatora, przy zało˙zeniu, ˙ze _d pakietów wła´snie wybrało to wyj´scie oraz _{e pakietów} było kierowanych do innych wyj´s´c. Prawdopodobie´nstwo to okre´slone jest wzorem:

p_w(i, d, e, l) = = ⎧ ⎨ ⎩ ks−i−d

ks−i+1_−d−e dlad  ks−i

i_{d + e < k}s−i+1 0 w pozostałych przypadkach . (12) W podobny sposób zdefiniujmy funkcj˛e

p_n(i, d, e, l) jako prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet,

który pojawi si˛e na wej´sciu komutatora sekcji _{i nie} b˛edzie kierowany do okre´slonego wyj´scia komutatora, przy zało˙zeniu, ˙ze _{d pakietów jest kierowanych do} okre´slonego wyj´scia oraz e pakietów jest kierowanych

do innych wyj´s´c. Prawdopodobie´nstwo to okre´slone jest wzorem: p_n(i, d, e, l) = = ⎧ ⎨ ⎩ (k−1)ks−i_−e

ks−i+1_−d−e dlae < (k − 1)ks−i

i d + e < ks−i+1 0 w pozostałych przypadkach .(13) Załó˙zmy, ˙ze _{a pakietów pojawi si˛e na wej´sciach} komutatora. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze_{a pakietów pojawi} si˛e na _{k wej´sciach komutatora w tej samej szczelinie} czasowej okre´slone jest przez wzór (7). Prawdopodobie´n-stwo, ˙ze_{b z tych pakietów wybierze okre´slone wyj´scie} komutatora równe jest iloczynowib−1_{d=0p_w(i, d, e, l).}

Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pozostałe a − b

pakie-ty nie wybior ˛a tego wyj´scia, przy zało˙zeniu, ˙ze b

pakietów wybrało to wyj´scie równe jest iloczynowi _a−b−1

e=0 p_n(i, d, e, l).

Liczba sposobów, w jakie mo˙zna wybra´c_{b pakietów} spo´sród_{a pakietów pojawiaj ˛}acych si˛e na wej´sciu komu-tatora równa jest kombinacji a_b . Ostatecznie, prawdo-podobie´nstwo, ˙ze co najmniej jeden pakiet b˛edzie ˙z ˛adał okre´slonego wyj´scia komutatora sekcjii równe jest:

P r[B  b] = a  b=1
a b b−1 d=0 p_w(i, d, 0, l) · · a−b−1 e=0 p_n(i, b, e, l). (14)

Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wyj-´sciu komutatora pierwszej sekcji okre´slone jest wzorem:

p(1, 1) = k  a=1
k a  p(1, 0)a(1 − p(1, 0))k−a· · a  b=1
a b b−1 d=0 p_w(1, d, 0, l) a−b−1 e=0 p_n(1, b, e, l). (15)

Poniewa˙z zdarzenia w poszczególnych sekcjach po-la s ˛a zdarzeniami niezale˙znymi, równanie (16) mo˙ze by´c uogólnione dla dowolnej sekcji pola komutacyjnego. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wyj´sciu komutatora sekcji_{i + 1, gdzie 0  i  s − 1 równe jest:}

p(1, i + 1) = k  a=1
k a  p(1, i)a(1 − p(1, i))k−a· · a  b=1
a b b−1 d=0 p_w(i + 1, d, 0, l) · · a−b−1 e=0 p_n(i + 1, b, e, l). (16)

Prawdopodobie´nstwo _{p(1, s) oznacza} prawdopodobie´n-stwo pojawienia si˛e pakietu na wyj´sciu pola komuta-cyjnego. Warto´s´c tego prawdopodobie´nstwa mo˙ze by´c wyliczona rekurencyjnie ze wzoru (10). Wyj´scia ko-mutatorów sekcji s s ˛a poł ˛aczone z wyj´sciem pola ko-mutacyjnego przez multiplekser 2n−s× 1. Dlatego te˙z prawdopodobie´nstwo pojawienia si˛e pakietu na wyj´sciu pola komutacyjnego okre´slone jest wzorem:

ρ = 1 − (1 − p(1, s))2n−s. (17)

3.5 Wyniki oblicze´n

Na rysunku 4 przedstawiono porównanie prze-pustowo´sci pól komutacyjnych Crossbar, log_{2N oraz} log₂√_{N . Jak mo˙zna zauwa˙zy´c, przepustowo´s´c pola} log₂√_{N zawsze jest wy˙zsza ni˙z przepustowo´s´c pola} log_{2N o tej samej pojemno´sci. Natomiast} porównu-j ˛ac przepustowo´s´c pola log₂√N z przepustowo´sci ˛a po-la Crossbar mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze przepustowo´s´c popo-la Crossbar zawsze jest wi˛eksza ni˙z pola log₂√N poza

przypadkiem N = 4. Gdy N = 4 pole komutacyjne

log₂√N zbudowane jest z dwóch komutatorów 2 × 4

umieszczonych w jednej sekcji. Taka struktura ma takie same wła´sciwo´sci jak pola komutacyjne Crossbar. Ró˙z-nice pomi˛edzy warto´sciami uzyskanymi z wzorów (5) i (10) s ˛a bardzo małe.

Na rysunku 5 przedstawiono porównanie przepu-stowo´sci obliczonej na podstawie modelu analityczne-go oraz wyników symulacji. Nasza symulacja ma 99.5 % przedział ufno´sci. Na rysunku 6 przedstawiono po-równanie przepustowo´sci pól komutacyjnych Crossbar, log_{2N oraz log2}√_{N przy zało˙zeniu permutacji} zgło-sze´n.

4. PORÓWNANIE KOSZTÓW BUDOWY PÓL

KOMUTACYJNYCH

W poprzednim rozdziale szacowane były wydajno-´sci pól komutacyjnych log2N oraz log2√N . W tym

0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 1 10 100 1000 10000 100000 Pojemno
pola P rzepus tow o  pola Crossbar Log2 Log2√N (parzyste n ) Log2√N (nieparzyste n )

Rys. 4. Porównanie przepustowo´sci pól komutacyjnych Crossbar, log2N oraz log2√N przy zało˙zeniu ruchu jednorodnego.

0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 1 10 100 1000 10000 100000 Pojemno
pola P rzepus tow o  pola

Model analityczny (parzyste n) Model analityczny (nieparzyste n) Symulacja (parzyste n)

Symulacja (nieparzyste n)

Rys. 5. Porównanie przepustowo´sci pola komutacyjnego log₂√N obliczonej na podstawie modelu analitycznego i symulacji.

rozdziale rozwa˙zane b˛ed ˛a pola komutacyjne zbudowa-ne z podobzbudowa-nej liczby komutatorów. Do porównania u˙zyta b˛edzie jedna płaszczyzna pola komutacyjnego log₂√N oraz pole komutacyjne zbudowane z p kopii

pól komutacyjnych log₂N zwanych płaszczyznami. Pole

komutacyjne zbudowane z _{p płaszczyzn poł ˛}aczonych równolegle zwane jest pole multi-log_{2N .}

NiechClog₂N oznacza liczb˛e elementów komutacyj-nych 2 × 2 w jednej płaszczy´znie pola komutacyjnego log₂N . Liczba ta równa jest:

Clog₂N = n ·N₂ . (18) Niech _Clog

2√N oznacza liczb˛e elementów

komuta-cyjnych2×2 w jednej płaszczy´znie pola komutacyjnego log₂√_{N . Funkcja kosztu budowy pola komutacyjnego,} gdzie koszt jest wyra˙zony liczb ˛a elementów komutacyj-nych2×2 została podana w [2], gdzie została okre´slona jako:

Clog₂√N =

N (2s− 1)

2(n mod 2) . (19)

Poniewa˙z liczba Clog₂N nie jest wielokrotno´sci ˛a liczbyClog₂√N, dlatego b˛edziemy rozwa˙za´c pola komu-tacyjne multi–log₂N , których całkowita liczba

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1 10 100 1000 10000 Pojemno
pola P rzepus tow  pola Crossba Log2N

Log2√N (n jest parzyste)

Log2√N (n jest nieparzyste)

Rys. 6. Porównanie przepustowo´sci pól komutacyjnych Crossbar, log2N oraz log2√N przy zało˙zeniu premutacji poł ˛acze´n.

płaszczy´znie pola log₂√_{N o tej samej pojemno´sci.} Licz-ba płaszczyzn równa jest:

p =  Clog₂√N Clog₂N  , (20)

gdzie x = min{y|y
x, całkowite y}.

Pola komutacyjne multi-log_{2N przy zało˙zeniu} ru-chu jednorodnego były analizowane w [7]. Niech symbol

p(1, 0) oznacza prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi

si˛e na wej´sciu pola komutacyjnego multi–log_{2N . Pakiet} jest losowo kierowany do jednej z płaszczyzn pola ko-mutacyjnego. Zdarzenia zachodz ˛ace na wej´sciach ka˙zdej płaszczyzny s ˛a statystycznie zale˙zne; je´sli pakiet jest wysłany do okre´slonej płaszczyzny, wówczas nie jest wysyłany do innych płaszczyzn. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wej´sciu okre´slonej płaszczyzny równe jest:

p(1, 0) = p(1, 0)/p .

Prawdopodobie´nstwo, ˙ze pakiet pojawi si˛e na wyj´sciu komutatora ostatniej płaszczyzny mo˙ze by´c rekurencyj-nie obliczone ze wzoru:

p(1, i + 1) = 1 −

1 − p(1, i)₂ 2

. (21) Prawdopodobie´nstwo, ˙ze wyj´scie komutatora ostat-niej sekcji pola log₂N nie jest ˙z ˛adane przez ˙zaden pakiet równe jest:

p(0, n) = 1 − p(1, n).

Ostatecznie, prawdopodobie´nstwo blokady w polu komu-tacyjnym multi–log₂N zbudowanym z p kopii log2N pól

komutacyjnych równe jest:

π = 1 − 1 − p(0, n) p

p(1, 0) . (22)

Na rysunku 7 porównano prawdopodobie´nstwo blo-kady pól komutacyjnych multi–log_{2N i log2}√_{N przy} zało˙zeniu ruchu jednorodnego. Całkowita liczba ko-mutatorów w polu multi–log_{2N jest nie mniejsza ni˙z} całkowita liczba komutatorów w polu komutacyjnym log₂√N . Jak mo˙zna zauwa˙zy´c, prawdopodobie´nstwo

blokady pola multi–log₂N w praktycznym zakresie

po-jemno´sci jest wi˛eksze ni˙z prawdopodobie´nstwo blokady pola log₂√N . 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 1 10 100 1000 10000 Pojemno
pola P raw dopod. blokady Log2√N multi-Log2N

Rys. 7. Prawdopodobie´nstwo blokady pól komutacyjnych log2√N i multi–log2N zbudowanych z podobnej liczby komutatorów.

5. WNIOSKI

W artykule przedstawiono now ˛a architektur˛e samo-sterowalnych pól komutacyjnych zbudowanych z elemen-tów komutacyjnych2 × 2 . Pola te zbudowane s ˛a tylko z log₂√_{N sekcji komutatorów. Przedstawili´smy modele} analityczne słu˙z ˛ace do okre´slenia prawdopodobie´nstwa blokady oraz przepustowo´sci pola komutacyjnego przy zało˙zeniu ruchu jednorodnego i permutacji zgłosze´n. Wy-kazali´smy, ˙ze pola komutacyjne log₂√N zawsze

charak-teryzuj ˛a si˛e mniejszym prawdopodobie´nstwem blokady ni˙z pola log₂N . Dokonali´smy równie˙z porównania

wy-dajno´sci pola komutacyjnego log₂√N oraz pola multi–

log_{2N zbudowanego z nie mniejszej liczby komutatorów} ni˙z pole log₂√_{N o tej samej pojemno´sci.} Prawdopodo-bie´nstwo blokady pola log₂√_{N dla pewnych warto´sci}

N jest mniejsze ni˙z prawdopodobie´nstwo blokady pola

multi–log_{2N .}

SPIS LITERATURY

[1] Wojciech Kabaci´nski, Mariusz ˙Zal, “Multi-log2√N switching ne-tworks for high-speed switching,” IEEE International Conference on Communiction ICC2002, Nowy Jork, vol. 4, str. 2174–2178, 2002.

[2] Wojciech Kabaci´nski, Mariusz ˙Zal, “Rearrangeable multi-log₂√N switching networks,” International Conference on Telecommuni-cations ICT 2002, Pekin, Chiny, str. 1002–1006, 2002.

[3] Wojciech Kabaci´nski, Mariusz ˙Zal, “Warunki nieblokowalno´sci rozgłoszeniowych pól komutacyjnych typu multi-log2√N,”

Kra-jowe Sympozjum Telekomunikacji, vol. B, str. 337–345, wrzesie´n 2003.

[4] A. Pattavina, Switching Theory - Architectures and Performance in Broadband ATM Networks, John Wiley & Sons, Anglia, 1998. [5] D.-J. Shyy, C.-T. Lea, “Nonblocking log_d(N, m, p) networks,” IEEE Transactions on Communications, vol. 52, nr 5, str. 1502– 1510, Maj 1994.

[6] Wojciech Kabaci´nski, Mariusz ˙Zal, “A new control algorithm for rearrangeable multi-log2N switching networks,” International

Conference on Telecommunications ICT 2001, Bukareszt, Rumunia, vol. 1, str. 501–506, 2001.

[7] Clyde P. Kruskal, Marc Snir, “The preformacne of multistage interconnection networks for multiprocessors,” IEEE Transactions on Computers, vol. C-32, nr 12, str. 1091–1098, grudzie´n 1983. [8] T.H. Szymanski, V.C. Hamacher, “On the permutation capability

of multistage interconnection networks,” IEEE Transaction on Computers, vol. C-36, nr 7, str. 810–822, lipiec 1987.