Wykad 2

MECHANIKA 2

Wykład Nr 2

RUCH POST

Ę

POWY I OBROTOWY

CIAŁA SZTYWNEGO

WST

Ę

P

Ciało

sztywne

-zbiór

punktów

których wzajemne

odległości są stałe.

Ruch ciała sztywnego w przestrzeni jest jednoznacznie określony przez równania ruchu trzech punktów, nie leżących na jednej prostej. Aby punkty A,B,C nie leżały na jednej prostej msi być spełniony warunek:

r_A C(x_C,y_C,z_C) B(x_B,y_B,z_B) A(x_A,y_A,z_A) z x y r_B r_C 0 r_C-r_B r_B-r_A r_C-r_A

Ruch

ciała

sztywnego

mo

ż

e

by

ć

okre

ś

lony

wektorowymi równaniami trzech punktów A, B, C.

WST

Ę

P

Równania ruchu trzech punktów nie mogą być dobrane dowolnie, gdyż zgodnie z definicją odległości punktów ciała są niezmienne, co można zapisać w postaci trzech równań

Wynika stąd, że aby określić położenie ciała w przestrzeni

wystarczy

określić

sześć

niezależnych

współrzędnych

-mówimy że ciało w przestrzeni ma sześć stopni swobody.

W postaci skalarnej otrzymujemy trzy równania

zwane równaniami więzów

Gdy na ciało sztywne nałożymy pewne ograniczenia w ruchu tego ciała zmniejszamy jego liczbę stopni swobody. Przykładowo ciało o

unieruchomionym 1 punkcie, ma 3 stopnie swobody.

Gdy unieruchomimy 2 punkty A i B, - ciało sztywne ma tylko jeden stopień swobody (obrót).

Najprostszym przypadkiem ruchu ciała sztywnego jest ruch, w którym wszystkie jego punkty doznają tych samych przesunięć.

Ruch taki nazywamy ruchem postępowym. Ciało w ruchu postępowym ma trzy stopnie swobody.

Ruch post

ę

powy ciała sztywnego

Położenie punktów A,B,C poruszającego się ruchem postępowym ciała możemy określić za pomocą promieni wektorów

w chwili początkowej t_o.

Następnie położenie ciała odpowiada chwili

t = t

+

∆

t czyli po upływie czasu

∆

t, a położenie

punktów oznaczamy przez A’,B’,C’.

Równania ruchu rozpatrywanych punktów mają postać:

jest przesunięciem jednakowym dla wszystkich punktów ciała.

(t)

u

ρ

Różniczkując powyższe równania ruchu względem

czasu otrzymamy wektory prędkości punktów A,B,C

Stąd wynika, że wektory prędkości wszystkich punktów ciała sztywnego, poruszającego się ruchem postępowym są w danej chwili jednakowe. a a a v v v

Bryła może obracać się jedynie dookoła osi (przechodzącej

przez dwa punkty), zwanej osią obrotu.

Ruch obrotowy bryły dookoła osi stałej

Chwilowe położenia punktu C a więc i obracającej się bryły określone jest kątem ϕ zawartym między kolejnymi położeniami punktu C. Kąt ten nazywamy kątem obrotu. Punkty leżące na osi obrotu są w spoczynku. Pozostałe punkty poruszają się po okręgach o promieniach r równych odległością tych punktów od osi obrotu.

Równanie ruchu ma postać

Pierwsza pochodna kąta obrotu ϕ względem czasu określa moduł

wektora prędkości kątowej

Kierunek tego wektora pokrywa się z osią obrotu a zwrot wynika z reguły śruby prawoskrętnej.

Drugą pochodną kąta obrotu, czyli pierwszą pochodna prędkości

kątowej, nazywamy

przyspieszeniem kątowym

.

Przyspieszenie kątowe jest wektorem związanym z osią obrotu o

module

Kierunek tego wektora pokrywa się z osią obrotu, a zwrot jest

zgodny ze zwrotem wektora prędkości kątowej gdy obrót jest

przyspieszony, przeciwny gdy obrót jest opóźniony.

Tor

każdego

punktu

ciała

sztywnego

poruszającego

się

ruchem

obrotowym

jest

okręgiem leżącym w płaszczyźnie prostopadłej

do osi obrotu, o środku leżącym na tej osi, i

promieniu o długości równej odległości punktu

od osi obrotu. Przebyta droga każdego punktu

bryły wynosi:

Prędkość liniowa jest wektorem stycznym do okręgu,

zwróconym w stronę obrotu, o module równym :

Pr

ę

dko

ść

liniowa w ruchu obrotowym bryły

Wektor prędkości liniowej dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym jest równy iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej przez promień wektor łączący dowolny punkt na osi z poruszającym się punktem bryły.

Przyspieszenie w ruchu obrotowym bryły

Przyspieszenie styczne i przyspieszenie normalne dowolnego

punktu ciała sztywnego leżącego w odległości r od osi obrotu

otrzymujemy różniczkując względem czasu wzór na prędkość

liniową otrzymując:

W zapisie wektorowym prędkość kątową określa wektor, którego moduł równa się prędkości kątowej, a kierunek jest określony wersorem leżącym na osi obrotu, o zwrocie zgodnym z regułą

śruby prawoskrętnej

eρ

Rys. 9

Wektor przyspieszenia kątowego zapiszemy jako

pochodną wektora prędkości kątowej względem czasu:

Wektor prędkości liniowej

jest prostopadły zarówno do

wektora

, jak i promienia wektora

vρ

(t) Rρ

ω

ρ

Wektor przyspieszenia liniowego otrzymujemy, różniczkując

wektor prędkości liniowej względem czasu

Pierwszy człon prawej strony równania przyspieszenia liniowego jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez wektory i , jest więc wektorem stycznym do toru.

R

ρ

ρ×

ε

ε

ρ

R

ρ

Moduł tego wektora wynosi

Drugi człon prawej strony równania przyspieszenia liniowego jest wektorem prostopadłym do osi obrotu oraz do kierunku stycznego do toru oznaczonego wersorem , jest więc wektorem działającym w kierunku promienia r opisanego wersorem .

( )

ρ_{× ω×}

ω

τ

ρ

Przekładnia

Przekładnią nazywamy urządzenie, w którym ruch

jednego elementu powoduje ruch drugiego.

Reguły przekładni

1. Przekładnia z

ę

bata

2

1

v

v

ρ =

ρ

Prędkości liniowe wszystkich punktów na brzegu

przekładni zębatej mają równe wartości.

2

v

ρ

v

ρ

r

r

v

ρ

v

ρ

v

ρ

v

ρ

ω

ρ

ω

ρ

Reguły przekładni

2. Ruch kołka wbitego w walec

2

v

ρ

Prędkości i przyspieszenia kątowe obu walców mają

równe wartości.

v

ρ

v

ρ

r

r

v

ρ

v

ρ

v

ρ

v

ρ

ω

ρ

ω

ρ

v

ρ

Reguły przekładni

3. Koła poł

ą

czone ci

ę

gnem

v

ρ

v

ρ

v

ρ

v

ρ

v

ρ

Cięgno traktujemy

jako ciało sztywne,

więc prędkości

liniowe wszystkich

punktów cięgna mają

równe wartości.

Przykład 1

Policzy

ć

przekładni

ę

.

Polecenie równowa

ż

ne:

Przy danym równaniu ruchu

postępowego bloczka 1

wyznaczyć:

ω

, ε

, v

, a

, a

, a

,

ω

, ε

, ω

, ε

, v

, a

, a

, a

.

Rozwi

ą

zanie

Prędkość i przyspieszenie bloczka:

Rozwi

ą

zanie

Walec 4

:

Przykład 2

Koło napędowe o promieniu r₁ =1m przekładni ciernej wprawia w ruch koło o promieniu r₂ =0,25m. Przy założeniu, że rozruch koła napędowego odbywa się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym ε₁=0,25πt rad/s2 obliczyć, po jakim czasie t prędkość obrotowa koła napędzanego będzie równa n₂=480 obr/min. (Rys. 10)

Rozwi

ą

zanie

Prędkości liniowe punktów leżących na obwodach obydwu kół

wynoszą:

Prędkości liniowe punktów styczności obu kół muszą być sobie

równe

Po podstawieniu

Prędkość kątowa koła napędowego wynosi

Ponieważ przyspieszenie kątowe ε₁ =0,2πt, możemy zapisać

stąd

Po scałkowaniu tego równania, przy założeniu, że dla t₀ = 0, czyli

Przykład 3

Jaką prędkość liniową v

należy nadać pedałowi roweru, aby

koło zębate 3 wykonywało n

obr/min?

1

v

ρ

ω

ρ

ω

ρ

3

2

1

r

r

Dane: n

, r

, r

, r

Szukane: v

= ?

r

Rozwi

ą

zanie

Przykład 4

Zegar wskazuje godzinę szóstą. Napisać równanie ruchu dla

wskazówki minutowej (1) i godzinowej (2) licząc, że

począ-tek układu jest na cyfrze 12 zegarka. Po jakim czasie

wska-zówka minutowa (1) dogoni wskazówkę godzinową (2)?

(1)

Rozwi

ą

zanie

Kluczem jest wyznaczenie prędkości kątowych obu

wskazówek:

(1)

(2)

ω

ω

φ

Obliczymy czas t

, po którym wskazówka (1) dogoni

wskazówkę (2).

(1)

ω

ω

φ

Równanie wyjściowe:

(2)

Rozwi

ą

zanie

Obliczymy czas t

, po którym wskazówka (1) dogoni

wskazówkę (2).

(1)

(2)

φ

Równanie wyjściowe:

Odp.:

Przykład 5

Dany jest układ czterech kół zębatych o promieniach: r

, r

,

r

, r

. Koło I wykonuje n

obr/min. Obliczyć prędkość

obrotową koła IV oraz stosunek prędkości kątowych koła IV

do koła I.

Wniosek!

Przykład 6

Pręt AB o długości l ślizga się końcem A po poziomej

płaszczyźnie z prędkością v

, koniec B zaś po płaszczyźnie

tworzącej z poziomem kąt β Wyznaczyć prędkość punktu

Rozwi

ą

zanie

Składowe

,

powodują ruch

postępo-wy pręta, a składowe

,

ruch

obrotowy. Ponieważ w ruchu postępowym prędkości

wszy-stkich punktów są równe, zatem musi być:

)

α

β

cos(

v

ρ

−

v

ρ

cos

α

)

α

β

sin(

v

ρ

−

v

ρ

sin

α

Aby znaleźć v_B(t), musimy znaleźć funkcję α(t). Ponieważ punkt A porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, to:

Z twierdzenia sinusów:

Zatem:

(*)

Z twierdzenia cosinusów:

Podstawiając (*) otrzymujemy:

Rozwiązanie:

Mamy:

Przykład 7

W jakiej odległości od środka karuzeli powinien siedzieć

człowiek, żeby przyspieszenie dośrodkowe jakiemu on

podlega było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Prędkość

kątowa karuzeli jest stała i równa ω. Jaka będzie prędkość

liniowa człowieka?

Przykład 8

W której sekundzie od chwili startu droga przebyta przez

ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest n-krotnie

większa od drogi przebytej w pierwszej sekundzie?

Dane: n

Szukane: t

Równanie ruchu:

W t_k-tej sekundzie:

Przykład 9

Dwie przekładnie odpowiednio o promieniach R

i R

obracają się w taki sposób, że punkty na ich styku nie

ślizgają się po sobie. Wiedząc, że prędkość kątowa mniejszej

przekładni wynosi ω

, wyznacz okres obrotu przekładni

większej.

Rozwi

ą

zanie

Przykład 10

Karuzela porusza się ruchem jednostajnym obrotowym. Okres ruchu wynosi T = 4 s. Jaką prędkość kątową, liniową i przyspieszenie dośrodkowe ma człowiek, który siedzi na karuzeli, jeżeli jej promień wynosi r = 4 m.

Dane: T, r Szukane: v, ω, a_n

Przykład 11

Karuzela porusza się ruchem przyspieszonym. W pewnej

chwili, gdy karuzela miała prędkość kątową ω,

przyspiesze-nie całkowite człowieka było skierowane pod kątem α do

promienia. Promień karuzeli wynosi r. Jaka była w tej chwili

wartość przyspieszenia stycznego?

Dane: ω, α, r

Szukane: a

Przykład 12

Wartość przyspieszenia stycznego w ruchu pewnego ciała po torze krzywoliniowym wynosi a_t. Wiemy, że przyspieszenie całkowite jest skierowane pod kątem α do przyspieszenia stycznego. Jaką ma prędkość liniową to ciało w tej chwili, jeśli promień krzywizny toru wynosi R?

Przykład 13

Jaką część przyspieszenia ziemskiego g stanowi przyspieszenie dośrodkowe na równiku, jeśli promień Ziemi wynosi R = 6380 km, a okres obrotu Ziemi wynosi T = 24 h? Ile musiałaby trwać doba na Ziemi, aby przyspieszenie dośrodkowe było równe g?

Rozwi

ą

zanie