Nawigacja - układy równań liniowych

Rok I Temat 4 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 1. Układ równań Cramera

2. Metoda macierzowa

3. Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Układ równań Cramera

Układ n równań liniowych o n niewiadomych x x₁, ₂, ...,x_n postaci

a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n n n nn n n 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 + + + = + + + = + + + =        ... , ... , ... ... , (1)

którego macierz główna A = a

[ ]

_ij (macierz utworzona ze współczynników przy niewiadomych) jest nieosobliwa

(

det A ≠ 0

)

nazywamy układem Cramera.

Wprowadzamy oznaczenia A =             a a a a a a a a a n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ...

– macierz główna układu (1)

X =                     x x xn 1 2 . . .

– macierz (kolumna) niewiadomych, B =                     b b bn 1 2 . . .

– macierz (kolumna) wyrazów wolnych

A_k k k n k k n n n nk n nk nn a a a b a a a a a b a a a a a b a a =             − + − + − + 11 12 1 1 1 1 1 1 21 22 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 ... ... ... ... ... ... ... k=1 2, , ...,n

Macierz A_k powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Rozwiązania układu równań Cramera otrzymujemy stosując wzory Cramera

xk k n k =det = det , , , ..., A A 1 2

2. Metoda macierzowa rozwiązywania układu równań Cramera

Układ równań Cramera możemy zapisać w postaci macierzowej (o niewiadomej macierzy X)

AX B= (2)

Rozwiązanie układu (2) otrzymujemy po pomnożeniu lewostronnie przez macierz odwrotną A−1

A AX A B− − =

1 1 _{, stąd X A B=} −1 _. 3. Układ m równań liniowych o n niewiadomych

a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 + + + = + + + = + + + =        ... , ... , ... ... , (3) Oznaczamy A =             a a a a a a a a a n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ...

– macierz główna układu (3), B =             a a a b a a a b a a a b n n m m mn m 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ... ... ... ... – macierz uzupełniona (rozszerzona). Twierdzenie (Kroneckera–Capelliego)

Układ równań (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A i B są równe

( )

( )

(

R A =R B

)

.

Do rozwiązania układu równań (3) możemy stosować wzory Cramera. Załóżmy, że

( )

( )

R A = R B =r, r≤min ,

(

n m

)

. Istnieje wówczas podwyznacznik (minor) macierzy A stopnia rróżny od zera (np. złożony z pierwszych r wierszy i pierwszych r kolumn macierzy A). Wówczas układ (3) jest równoważny (ma ten sam zbiór rozwiązań) układowi.

a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x r r r r n n r r rr r r r r r rn n 11 1 12 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 + + + = − − − + + + = − − −      + + + + ... ... ... ... ... , , (4)

Układ (4) jest układem równań Cramera, w którym za niewiadome x_r+1,x_r+2, ...,x_r podstawiamy dowolne liczby (stałe).

a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 + + + = + + + = + + + =        ... ... ... ... (5)

nazywamy układem równań liniowych jednorodnych. Układ równań (5) ma zawsze rozwiązanie.

Twierdzenie

Jeżeli układ równań liniowych jednorodnych (5) nie jest układem Cramera

(

detA=0

)

, to układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych.

Przykłady

1. Rozwiązać układ równań stosując wzory Cramera:

     = + + = − − = + + . 5 3 , 0 2 , 3 z y x z y x z y x Rozwiązanie

Obliczamy wyznacznik macierzy głównej A oraz wyznaczniki macierzy A_K

(

k=1,2,3

)

powstałych z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

6 1 3 1 1 1 2 1 1 1 detA= − − = , 6 1 3 5 1 1 0 1 1 3 detA₁= − − = , 6 1 5 1 1 0 2 1 3 1 detA₂ = − = , 6 5 3 1 0 1 2 3 1 1 detA₃= − = .

Następnie korzystamy ze wzorów Cramera:

1 det det ₁ = = A A x , 1 det det ₂ = = A A y , 1 det det ₃ = = A A z .

2. Rozwiązać układ równań z przykładu 1 metodą macierzową. Rozwiązanie

Zapis macierzowy układu równań: AX =B, stąd X =A−1⋅B,

gdzie           − − = 1 3 1 1 1 2 1 1 1 A ,           = z y x X ,           = 5 0 3 B , detA=6.

Następnie wyznaczamy macierz odwrotną A−1 do macierzy A .

( )

          − − − =           − − − = ⋅ = − 3 2 7 3 0 3 0 2 2 6 1 3 3 0 2 0 2 7 3 2 6 1 det 1 1 T T D A A A ,           =           =           ⋅           − − − =           = 1 1 1 6 6 6 6 1 5 0 3 3 2 7 3 0 3 0 2 2 6 1 z y x X , zatem x=y=z=1.

3. Rozwiązać układ równań:        = + + = + + = + + = + + . 21 5 5 8 11 3 2 5 2 3 1 3 2 z y x z y x z y x z y x Rozwiązanie

Ponieważ liczba niewiadomych nie równa się ilości równań, układ równań nie jest układem Cramera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capellego rozstrzygamy czy układ ma rozwiązanie.

Wyznaczamy rząd macierzy głównej na podstawie definicji rzędu macierzy:

            = 5 5 8 3 1 2 1 2 3 1 3 2

A . Obliczamy np. wyznacznik macierzy C utworzonej z trzech pierwszych

wierszy macierzy A . Ponieważ 12 0 3 1 2 1 2 3 1 3 2 detC= =− ≠ , więc R(A)=3.

Następnie wyznaczamy rząd macierzy uzupełnionej

            = 21 5 5 8 11 3 1 2 5 1 2 3 1 1 3 2 B .

Wykonujemy następujące operacje elementarne na wierszach macierzy B : mnożymy wiersz drugi przez 2 i dodajemy do wiersza trzeciego, a następnie otrzymany wiersz trzeci

odejmujemy od wiersza czwartego.

Otrzymujemy macierz             = 0 0 0 0 11 3 1 2 5 1 2 3 1 1 3 2

D o rzędzie równym rzędowi macierzy B .

3 ) ( )

(D =R B ≤

R . Ponieważ R(A)=3 oraz R(A)≤R(B), więc R(B)=3.

Stąd R(A)=R(B)=3, więc układ równań ma rozwiązanie (twierdzenie Kroneckera-Capellego).

Rozważany układ jest równoważny układowi równań Cramera o macierzy głównej C :

     = + + = + + = + + 11 3 2 5 2 3 1 3 2 z y x z y x z y x .

Następnie obliczamy wyznaczniki macierzy C_K( =k 1,2,3) utworzonych przez zastąpienie k-tej kolumny macierzy C kolumną wyrazów wolnych.

24 3 1 11 1 2 5 1 3 1 detC₁= =− , 24 3 11 2 1 5 3 1 1 2 detC₂= = , 36 11 1 2 5 2 3 1 3 2 detC₃= =− .

Stosując wzory Cramera otrzymujemy:

2 12 24 det det ₁ = − − = = C C x , 2 12 24 det det ₂ − = − = = C C y , 3 12 36 det det ₃ = − − = = C C z .

Łatwo sprawdzić, że liczby 2, -2, 3 są również rozwiązaniami czwartego równania rozwiązywanego układu równań.

4. Rozwiązać układ równań

     = − − − = + + − = + + − . 1 15 11 3 2 , 1 7 5 3 2 , 2 3 2 6 4 z w y x z w y x z w y x Rozwiązanie

Dany układ nie jest układem Cramera, należy sprawdzić czy ma on rozwiązanie (jest niesprzeczny).

Wyznaczamy rząd macierzy głównej układu:

          − − − − − = 15 11 3 2 7 5 3 2 3 2 6 4 A .

Można sprawdzić, że wszystkie cztery podwyznaczniki macierzy A stopnia trzeciego są równe zeru, więc rząd tej macierzy R(A)<3. Ponieważ np. podwyznacznik 1 0

7 5 3 2 detC= =− ≠ , więc R(A)=2.

Wyznaczamy rząd macierzy uzupełnionej

          − − − − − = 1 15 11 3 2 1 7 5 3 2 2 3 2 6 4 B .

Wykonujemy następujące operacje elementarne na wierszach macierzy B : odejmujemy wiersz drugi od trzeciego oraz wiersz drugi pomnożony przez 2 od pierwszego. Otrzymujemy

macierz:           − − − − − = 0 22 16 0 0 1 7 5 3 2 0 11 8 0 0 D .

Mnożąc wiersz pierwszy macierzy D przez 2 i odejmując od wiersza trzeciego mamy macierz: 2 ) ( , 0 0 0 0 0 1 7 5 3 2 0 11 8 0 0 =           − − − = R E E .

Ponieważ rzędy macierzy E,D,B są równe, więc R( A)= R(B)=2 (twierdzenie Kroneckera-Capellego).

Dany układ sprowadzamy do równoważnego układu Cramera. Ponieważ detC=−1≠0, więc odrzucamy trzecie równanie danego układu oraz podstawiamy dowolne stałe c,d(c,d∈R) za niewiadome x, . y

Otrzymujemy układ równań Cramera:

   + − = + + − = + . 3 2 1 7 5 , 6 4 2 3 2 d c z w d c z w

Obliczamy wyznaczniki macierzy C₁,C₂ utworzonych przez zastąpienie odpowiednio pierwszej i drugiej kolumny macierzy C kolumną wyrazów wolnych.

11 33 22 7 3 2 1 3 6 4 2 det ₁ =− + + + − + − = c d d c d c C , 16 24 8 3 2 1 5 6 4 2 2 det ₂ = − − + − + − = c d d c d c C .

Stosując wzory Cramera otrzymujemy:

11 33 22 1 11 33 22 det det ₁ − − = − + + − = = c d c d C C w , 16 24 8 1 8 24 16 det det ₂ + + − = − − − = = c d c d C C z , c x = , y =d .

Rozpatrywany układ (nieoznaczony) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od przyjętych wartości c,d. Np. dla c=0,d =1 otrzymujemy rozwiązanie

32 , 44 , 1 , 0 = =− = = y w z x . Zadania

1. Rozwiązać metodą Cramera układy równań:

a)      = + + = − + = + − 3 4 5 2 1 2 3 z y x z y x z y x ; b)        = + − + = + + − = + + + = + − + 12 2 3 5 3 27 3 5 2 4 41 3 5 4 6 40 5 8 7 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x .

2. Rozwiązać metodą macierzową układy równań; a)      = + + = + + = + + 1 3 2 5 2 3 11 3 2 z y x z y x z y x ; b)        = + + + − = − + + − = − − + − = − − − 1 3 2 4 3 2 6 3 2 4 2 3 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x .

3. Rozwiązać układy równań:

a)      = + − = + − = + − 9 3 2 2 5 3 5 7 4 z y x z y x z y x ; b)        = − − = + − = − − = + − 2 2 1 2 4 3 2 2 3 5 3 z y x z y x z y x z y x ; c)        = − + + − = + − − + = + − − + = − + − − 0 2 0 5 5 5 7 0 2 0 2 3 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . Odpowiedzi: 1. a) 1,2,0; b) 1,2,3,4; 2. a) 2 −, 2,3; b) −1 −, 1,0,1; 3. a) układ sprzeczny; b) 7 2 , 7 1 , 7 10 − − ; c) 2 1, , 0 , 0 , 0 C C . Lp. Literatura Rozdział

1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie

I § 4 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt

dla studentów AM w Szczecinie

I § 1.4. 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.

Supremum, 2006.