• Nie Znaleziono Wyników

Granica funkcji 1 - pojęcie granicy funkcji

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Granica funkcji 1 - pojęcie granicy funkcji"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Granica funkcji – pojęcie granicy

Granica właściwa funkcji

Definicja 1. Zbiór (x0 ,x0)(x x0, 0  nazywamy sąsiedztwem punktu )

0

x o promieniu   i oznaczamy symbolem 0 S x  . ( 0, )

Przedział (x0 ,x0) nazywamy lewostronnym, a przedział (x x   0, 0 )

prawostronnym sąsiedztwem punktu x o promieniu 0   i oznaczamy 0 odpowiednio: S(x0, ) oraz S(x0, ) .

Niech funkcja f :X  będzie określona w pewnym sąsiedztwie S punktu Y

0

x .

Definicja 2 (granicy funkcji w punkcie według Heinego).

Liczbę g nazywamy granicą (właściwą) funkcji f w punkcie x , co 0

zapisujemy 0

lim ( ) ,

xx f xg wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn)

o wyrazach xn , zbieżnego do S x , ciąg ( (0 f xn)) wartości funkcji jest zbieżny do g.

Zapiszemy jeszcze symbolicznie drugą definicję granicy funkcji w punkcie równoważną powyższej definicji.

Definicja 3 (granicy funkcji w punkcie według Cauchy’ego).

0

0 0 0

lim ( ) x X 0 ( )

xx f xg        x x    f xg   .

Ilustracją graficzną definicji 3 jest rysunek 1. Interpretujemy ją w sposób następujący: liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x wtedy i tylko 0

wtedy, gdy dla dowolnego otoczenia U punktu g o promieniu  istnieje takie sąsiedztwo S punktu x o promieniu  , że dla każdego x należącego do tego 0

sąsiedztwa (x(x0 ,x0)(x0,x0  ), wartości ( )) f x funkcji f należą do U, czyli do przedziału (g ,g  . )

(2)

Rys. 1. Interpretacja definicji 3

Granice niewłaściwe oraz granice w nieskończonościach

Oprócz granicy właściwej (skończonej) funkcja może mieć granice niewłaściwe (). Dodatkowo można również obliczać granice w nieskończonościach, które także mogą być właściwe lub niewłaściwe. Ponadto funkcja może nie posiadać granicy. Podamy i zilustrujemy tutaj tylko wybrane definicje dotyczące wymienionych przypadków, a dodatkowo ograniczymy się do definicji według Cauchy’ego.

Niech funkcja f :X  będzie określona w pewnym sąsiedztwie punktu Y x 0. Definicja 4 (granic niewłaściwych funkcji w punkcie według Cauchy’ego).

0 0 0 1 lim ( ) M x X 0 ( ) . xx f x    x x f x M              0 0 0 2 lim ( ) M x X 0 ( ) . xx f x    x x f x M             

Niech funkcja f :X  będzie określona w pewnym przedziale (Y , ).a Definicja 5 (granic funkcji w minus nieskończoności według Cauchy’ego).

0 1 lim ( ) A x X ( ) . xf x g   x A f x g            

2 lim ( ) M A x X ( ) . x f xx A f x M          

3 lim ( ) M A x X ( ) . xf xx A f x M          

Podobnie określamy granice w  .

Na rysunku 2 można znaleźć ilustrację graficzną przypadku 2 definicji 4 oraz przypadku 3 definicji 5. x y O g   g   ( ) f x g 0 x   x0 xx  0 ( ) yf x

(3)

Rys. 2. Interpretacja: a) definicji 4 punkt2, b) definicji 5 punkt3

Oczywiście można również sformułować równoważne definicje odpowiednich granic według Heinego.

Granice jednostronne

Zajmiemy się teraz sytuacją, w której interesuje nas, co się dzieje z wartościami danej funkcji w przypadku, gdy x dąży do x z określonej strony – prawej lub 0

lewej. Mamy wówczas do czynienia z tzw. granicami jednostronnymi. Granice jednostronne mogą być zarówno właściwe, jak i niewłaściwe. Poniżej podamy tylko definicje granic jednostronnych właściwych według Cauchy’ego. Sformułowanie definicji granic jednostronnych niewłaściwych oraz odpowiednich definicji granic jednostronnych według Heinego pozostawiamy Czytelnikowi.

Niech funkcja f :X  będzie określona w lewostronnym sąsiedztwie SY

punktu x . 0

Definicja 6 (granicy lewostronnej funkcji w punkcie według Cauchy’ego).

0

0 0 0 0

lim ( ) l x X ( ) l

xxf xg      x    x xf xg   .

Niech funkcja f :X  będzie określona w prawostronnym sąsiedztwie Y S

punktu x . 0

Definicja 7 (granicy prawostronnej funkcji w punkcie według Cauchy’ego).

0

0 0 0 0

lim ( ) p x X ( ) p

xxf xg      x  x x    f xg   .

Jako ilustrację pojęcia granic jednostronnych rozważmy następujące funkcje:

2 1, dla 0 ( ) 1, dla 0 x x f x x x           oraz 1 ( ) g x x

 o wykresach podanych na rysunku 3. x y O M ( ) f x 0 x   x0 x ( ) yf x x O M ( ) f x A x ( ) yf x y b) a) 0 x  

(4)

Rys. 3. Ilustracja pojęcia granic jednostronnych

Granice jednostronne tych funkcji w punkcie x  są odpowiednio równe: 0 0

2 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1 x f xx  x   , xlim0 f x( )xlim (0    x 1) 1, 0 0 1 lim ( ) lim xg xx x , 0 0 1 lim ( ) lim xg xx x .

Wybrane twierdzenia o granicach funkcji

Twierdzenie 1. Funkcja f ma w punkcie x granicę wtedy i tylko wtedy, gdy 0

w tym punkcie istnieją obie granice jednostronne i są sobie równe, tzn.

0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

xx f x g xxf x xxf x g

 

   

 .

Twierdzenia dotyczące działań na granicach podamy w formie tabel

Tab. 1. Granica sumy i granica różnicy funkcji 0 lim ( ) x x f x  g   g   0 lim ( ) x x g x  0

lim ( ) ( ) x x f x g x  

0 lim ( ) ( ) x x f x g x   h gh   gh      s.n.  s.n.    s.n.    s.n.

Rozważmy przykładowo następującą sytuację: lim ( )

x f x   oraz

lim ( )

xg x  . Z tabeli 1 łatwo odczytać, że:

a) x y O y 1 x O 1 1 -1 b) 2 0 lim ( 1) 1 x x   0 1 lim xx  0 1 lim xx  0 lim ( 1) 1 x    x ( ) yf x yg x( )

(5)

 

 

lim ( ) ( ) ( ) x f x g x          – symbol nieoznaczony (s.n.),

 

lim ( ) ( ) ( ) [ ] x f xg x          .

Tab. 2. Granica iloczynu i granica ilorazu funkcji

0 lim ( ) x x f x  0 lim ( ) x x g x  0 g  0   0 g  0   0 g  g 0 g 0 g 0

0 lim ( ) ( ) x x f x g x   0 ( ) lim ( ) x x f x g x  0 h  h 0 g h0   g h 0   0 h      0 0  0 0 s.n. s.n.   s.n.   0        s.n.   0 0 0 s.n. s.n.    s.n.   0 0 0 s.n. s.n.

Z powyższej tabeli łatwo odczytać, że jeżeli na przykład lim ( ) 0

x f x  ,

lim ( )

xg x  , to xlim

f x( )g x( )

 

 0 ( )

– symbol nieoznaczony (s.n.),

( ) 0 lim 0 ( ) x f x g x         .

Warto również zapamiętać następujące przypadki:

0          , 0          , 0          , 0          .

Twierdzenie 2 (o granicy funkcji złożonej). Jeżeli 0 0 lim ( ) xx f xy i 0 lim ( )

yy h yg, przy czym f x( ) y0 dla każdego x

z pewnego sąsiedztwa punktu x0, to

0 0 lim ( ( )) lim ( ) xx h f xyy h yg . Opracowanie: dr Igor Kierkosz

Obraz

Tab. 2. Granica iloczynu i granica ilorazu funkcji

Cytaty

Powiązane dokumenty

83 Zob.. Oczywiście możliwość przedstaw ienia go w takiej w łaśnie postaci za­ istn ieje dopiero po dokonaniu szeregu bardzo żm udnych badań s ta ty ­

Podczas tego wykła- du postaramy się na podstawie dotychczasowej wiedzy wyprowadzić kilka użytecznych własności pochodnej, reguł różniczkowania oraz obliczyć pochodne

Jeśli natomiast f osiąga wartość największą na końcach przedziału, czyli mamy sytuację, którą w uproszczeniu można naszkicować jak na rysunku 3, to za punkt c przyjmiemy punkt,

Ciągłość funkcji mówi bowiem 2 , że w pobliżu rozważanego punktu dziedziny wartości funkcji są bliskie wzorca, którym to wzorcem.. 1 Czyli nie będzie nas interesować wartość

Na pamiątkę zmartwychwstania Jezusa Chrystusa i dla wyrażenia radości, jaką ta tajemnica wiernych napełniać po­ winna, pierwsi chrześcianie zawsze s t o j ą c

Westpreussen auf den mittelalterlichen U niversitäten, (Braunsberg 1895).. W żadnem z tych źródeł nie znalazłem pewnego śladu Mikołaja. Trudność zwiększa się

Definicja granicy funkcji (wg Heinego). a) powyższe definicje granicy funkcji są równoważne, b) rachunek granic skończonych jak dla granic ciągów, c) symbole nieoznaczone jak

Denicja 13. Wówczas funkcja ta nie jest ró»nowarto±ciowa, zatem nie istnieje funkcja do niej odwrotna... Wówczas istniej funkcja do niej odwrotna,f −1 : [0, +∞) → [0, +∞) i