wiczenia tablicowe z automatyki - zadania z rozwizaniami

(1)

Zadanie 1

Podaj model matematyczny układu jak na rysunku: a) w postaci transmitancji,

b) w postaci równań stanu (równań różniczkowych).

Rozwiązanie a) Transmitancja operatorowa 1 1 ) ( ₂ 1 2 + + = = CRs LCs U U s K

b) Równania stanu układu

1 u u i dt du dt di c c B A _+      =                   = c u i u₂ C gdzie:            ₋ ₋ = 0 1 1 C L L R A         = 0 1 L B C=

[

0 1

]

Zadanie 2

Na rysunku przedstawiono schemat ideowy generatora obcowzbudnego prądu stałego. Podać równanie różnicowe opisujące dynamikę generatora oraz transmitancję operatorową U(s)/U w (s).

(2)

k -stała konstrukcyjna maszyny;

ϕ -strumień wzbudzenia;

ω -prędkość obrotowa generatora.

Rozwiązanie 1 ) ( ) ( ) ( 2 ₊ ₊ ₊ = s T T Ts T R k s U s U w w o p w Gdzie: w w w w g p R L T R R L T R R R k k = + = + = 0 0) (

(3)

Zadanie 3

Podaj warunki stabilności układu przedstawionego na rysunku: Skorzystaj z kryterium stabilności Hurwitza i kryterium Nyquista

gdzie: - k1=13, - k2=1, - k3=3, - T0=10[s], - T1=4[s], - T2=20[s]. Rozwiązanie 2 1 2 1 0( ) T T T T T k< + Gdzie: 3 2 1k k k k = Zadanie 4.

Korzystając z kryterium Nyquista wyznaczyć graniczny współczynnik wzmocnienia dla układu ( k>0 , T1>0 , T2>0 , T3>0 )

(4)

2 : 2 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 1 ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ = < T T T T T T T T T T T T k gdzie k k gr gr Zadanie 5

Wyznaczyć błąd (uchyb) statyczny układu, gdy na wejście wprowadzono sygnał użyteczny x(t)=1(t), czyli s s X( )= 1 Rozwiązanie 1 1 2 2 1 2 2 1 0 0 0 ₁ 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( lim ) ( 1 lim ) ( lim K K sT sT sT sT s K s s s sE e s e s s ust + = + + + + + = = = > − > − > − Zadanie 6

Obliczyć transmitancję układu jak na rysunku:

Rozwiązanie

(

1 1 1 2

)

1

(

1 2 1 2

)

1 2 2 1 2 1 2 R R L L C R R s CL R C L R s sL LC R s U U + + + + + + + = Zadanie 7

(5)

₁ ₂ s k K = ;

(

)

(

2

)

1 1 2 2 1 1 sT T sT T K + + = Rozwiązanie

Układ jest stabilny dla T >₁ T₂

Zadanie 8

Korzystając z kryterium Nyquista znaleźć warunek jaki powinny spełniać parametry układu, aby był on stabilny:

2 s 1 1) 1 (sT 1 2 sT k (s) o K _      ⋅ + ⋅ + = Rozwiązanie

Układ jest stabilny dla T1>T2 (wynika to z warunku fazowego stabilności)

Zadanie 9

Zbadać stabilność układu przedstawionego na rysunku korzystając z kryterium Hurwitza:

(

)

2 2 1 sT k + 1 1 sT

(6)

Zadanie 10

Stosując kryterium Nyquista zbadać stabilność układu automatycznej regulacji mając dane:

s s K s s K s s s K 5 1 1 ) ( 10 1 1 ) ( 1 100 ) ( 3 2 1 + = + = + =

( )

s K3

( )

s K2

( )

s K1 Rozwiązanie

Układ jest stabilny

Zadanie 11

Znaleźć transmitancję operatorową ) ( ) ( s U s Ω

zespołu amplidyna - silnik prądu stałego, jak na rysunku poniżej:

(7)

Rozwiązanie (1) w w w sL R s U s I + = ( ) ) ( , (2) Eq(s)= k1⋅Iw(s), (3) q q q q sL R s E s I + = ( ) ) ( , (4) Ed(s)=k2⋅Iq(s), (5) ) ( ) ( ) ( ) ( L L s R R s E s E s I d d d d + + + − = , (6) E(s)=c⋅Ω(s), (7) Me(s) =Is⋅Ω(s)+B⋅Ω(s), (8) Me(s)=c⋅Id(s), ) )( }( )] ( )[ {( ) ( ) ( 2 1 2 q q w w d d R s L L c R sL R sL R B Is k ck s U s + + + + + + + = Ω Zadanie 12

Wyznaczyć transmitancję układu przedstawionego na rysunku poniżej:

) (x y k Fs= s − ks x dt dy k Ft= v

gdzie : Ft – siła tarcia tłoka

kv y Fs – siła sprężyny Rozwiązanie 1 1 ) ( ) ( + = + = s k k k s k k s X s Y s v s v s

(8)

Zadanie 13

Transmitancja obiektu regulacji ma postać:

) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 + + = s T s s T k s K o O układ przedstawiony jest poniżej:

Y

-

X

KO(s)

KC(s)

Czujnik Kc(s) pomiarowy, przy pomocy którego informacja na temat wielkości wyjściowej

podawana jest na wejście układu ma transmitancję:

1 + = C C C sT k K

Przy pomocy kryterium Hurwitza dobrać tak kc, aby układ po zamknięciu był stabilny.

Za dane należy uznać: ko, T1, T2, TC. Rozwiązanie ) 2 2 1 2 1 (TT TTc TTc k T T k o c c − + + − > Zadanie 14

Transmitancja układu otwartego jest równa:

4 ) 1 ( ) ( + = s k s K_o

Na podstawie kryterium Nyquista zbadać, stabilność układu.

Rozwiązanie

(9)

Zadanie 15

Transmitancja układu otwartego wynosi:

) 3 )( 2 5 ( ) ( + + = s s k s K_o

Jakie powinno być k, aby błąd (uchyb) statyczny w stanie ustalonym nie przekraczał 10% przy wymuszeniu s(t)=1(t)? Rozwiązanie 54 ≥ k Zadanie 16

Wyznaczyć transmitancję układu przedstawionego na rysunku: a) stosując prawa Kirchhoffa i Ohma

b) stosując metodę Coltriego

Rozwiązanie 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + + + = + + = = Cs R R RR R R R U sC RR R R R U s U s U s K Zadanie 17

Wyznaczyć transmitancję operatorową układu mechanicznego przedstawionego na rysunku. Jako dane należy potraktować ks , ks1 , kv , x , y

(10)

Rozwiązanie 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 ₊ + = + + = = s s s v k k s k k s X s Y s K s1 s v s k k s k k Zadanie 18

Stosując kryterium Hurwitza zbadać stabilność układu automatycznej regulacji w zależności od parametru T: s s K s s K Ts s K 3 1 1 ) ( 4 1 70 ) ( 1 ) ( 3 2 1 + = + = =

( )

s K₃

( )

s K₂

( )

s K₁ Rozwiązanie

Układ jest stabilny dla T>120 Zadanie 19

Transmitancja układu otwartego ma postać

) 1 )( 1 )( 1 ( ) ( 3 2 1 0 s T s T s T K s K + + + = . Mając dane

wartości parametrów K=25, T1=0,2[s], T2=1[s], T3=5[s] . Zbadać stabilność układu

(11)

Rozwiązanie

Po podstawieniu wartości parametrów: 1 2 , 6 2 , 6 25 ) ( ₃ ₂ + + + = s s s s K_o

Wyrażenie określające charakterystykę amplitudowo-fazową K0(jω) ma postać:

2 3 2 2 3 0 2 3 2 2 2 0 0 0 ) 2 , 6 ( ) 1 2 , 6 ( ) 2 , 6 ( 25 ) ( ) 2 , 6 ( ) 1 2 , 6 ( ) 1 2 , 6 ( 25 ) ( : ) ( ) ( ) (

ω

− + + − − − = − + + − + − = + = Q P gdzie jQ P j Ko 0 1 2 , 6 0 ) (ω = ⇔− ω2 + = o P 2 , 6 1 2 , 1 =±

ω

0 2 , 6 0 ) (ω = ⇔ ω−ω3 = o Q 2 , 6 0 5 , 4 3 ± = =

ω

Ponieważ uwzględniamy tylko ω>=0 odrzucamy dwa rozwiązania (ω2

=-2 , 6 1

, ω5=- 6,2 ).

Zgodnie z kryterium stabilności Nyquista muszą być spełnione dwa warunki: 1 ) ( 0 ) ( _i = ∧ _o _i >− o P Q ω ω 1 44 , 37 25 ) ( 2 , 6 1 1 25 ) ( 0 4 4 3 3 − > − = ⇒ = − > = ⇒ = ω ω ω ω o o P P

Układ po zamknięciu jest stabilny.

Zadanie 20

Transmitancja układu otartego jest równa:

) 3 s )( 2 s )( 1 s ( k ) s ( K₀ + + + =

W jakim zakresie można zmieniać k (k>0), aby spełnione były warunki: - stabilności układu,

(12)

Rozwiązanie

Warunek stabilności układu jest następujący k<60.

Warunek spełniający ograniczenia błędu statycznego k≥54.

Zatem aby układ spełniał powyższe wymagania k musi należeć do przedziału [54,60)

Zadanie 21

Dla układu jak na rysunku obliczyć transmitancję K(s):

gdzie: L- indukcyjność cewki R- rezystancja C- pojemność kondensatora Rozwiązanie 1 CLs 1 K(s) 2 ₊ ₊ = = s R L s U s U ) ( ) ( 1 2

Zadanie 22

Obliczyć transmitancję ) ( ) ( s F s Y

dla układu jak na rysunku:

f(t) m ks _k v y Rozwiązanie 2 k s 1 k 2 ms 1 F(s) Y(s) + + =

(13)

Zadanie 23

Zbadać stabilność układu automatycznej regulacji stosując kryterium Hurwitza. Transmitancje operatorowe poszczególnych bloków są następujące:

1

5 K

,

s

1

4 K

10,

3 K

,

s

1

2 K

,

s

1

1 K

=

+

=

K2(s) y(t) y_zad K1(s) K5(s) K3(s) K4(s) Rozwiązanie

Układ znajduje się na granicy stabilności.

Zadanie 24

Korzystając z kryterium Nyqusta określić zakres wartości k przy którym układ jest stabilny. Transmitancja operatorowa układu otwartego:

3 2) (s k (s) 0 K + = Rozwiązanie

Układ będzie stabilny przy spełnieniu warunku: k <64 Zadanie 25

Transmitancja operatorowa układu otwartego wynosi:

1) s(sT k o K + = Wyznaczyć wartość: _∫ ∞ = 0 dt 2 e

I₂ przy założeniu, że s(t) =1(t).

(14)

Zadanie 26

Wyznacz zakres k korzystając z kryterium stabilności Hurwitza. Schemat blokowy układu:

1 2 ₊ s k ) (s K_k − X(s) Y(s)

gdzie: Kk(s) - transmitancja członu korekcyjnego

Schemat ideowy elementu korekcyjnego jest następujący:

R

C

L

Uwe

Uwy

Rozwiązanie

Układ będzie stabilny dla k <

LC

1 .

Zadanie 27

Dla układu na rysunku wyznacz K dla którego będzie on stabilny korzystając z kryterium Nyquista:

(15)

3 ) 1 2 ( 1 + s s K e y − ) (t x s =const. Rozwiązanie

Układ jest stabilny dla K< 9 4

.

Zadanie 28

Wyznacz transmitancję dla układu jak na rysunku.

2 L 2 R 2 C 1 R L1 C1 Uwe Uwy Rozwiązanie 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 ) 1 ( ) )( ) 1 ( ( ) ( sL R s C R s R C L R sL R s C R s L R sL Uwe Uwy s K + + + + + + = = Zadanie 29

Określić stabilność układu o transmitancji Ko(s) za pomocą kryterium logarytmicznego.

) 10 5 ( ) 1 5 ( 2 ) ( ₂ + + + = s s s s s K_o Rozwiązanie

(16)

Zgodnie z warunkami stabilności według kryterium Nyquista: 0 180 180 0 0 0 < ⇒ = > ⇒ = M M φ φ

Oba warunki są spełnione więc rozpatrywany układ jest stabilny

Zadanie 30

Wyznacz uchyb statyczny układu przy wymuszeniu x(t)=10 sin 2t:

)

(s

Ko

X

Y

−

1 3 1 ) ( ₃ ₂ + + + = s s s s Ko Rozwiązanie ) (jω Ke A B = ⋅

(17)

8 13 10 4 4 4 9 10 = + + ⋅ = B

Zadanie 31

Wyznaczyć transmitancję układu zamkniętego przedstawionego na schemacie:

y(t) y_zad k1 K(s) sT ) 1 ( ) ( 2 em sT s k s K + = Rozwiązanie 2 1 2 2 1 2 ) ( k k s T s k k sTk s K em z + + + = Zadanie 32

Wyznaczyć transmitancję układu:

R

1

R

2

Uwe

Uwy

C

1

C

2 Rozwiązanie ) (s Uwy (T1−T2)s

(18)

Zadanie 33

Wykazać, że układ podany na schemacie jest stabilny dla dowolnego k>0 (kryterium Hurwitza):

y(t)

yzad

Kk(s) _k/s2

Schemat ideowy elementu K_k(s) C R₁ e R₂ u Rozwiązanie K_k(s)= ) ( ) ( s E s U = 2 1 1 2 1 R Cs R R R + + = 2 1 2 1 1 2(1 ) R R Cs R R sCR R + + + Kz(s)= ) ( 1 ) ( 0 0 s K s K + = Ts s kTs k sT k + + + + 1 2 3 1 1) 1 (

α

Gdzie: T₁=CR₁, 1 2 1 R R R + =

α

Stosując kryterium Hurwitza otrzymujemy następujące warunki stabilności: 0 1 = > ∆

α

, 0 1 1 2 = − > ∆

α

T k T k Dla T1, k, R1, R2 >0 uzyskuje się 0 1 > − α czyli 1 2 1 R R R + =

α

>1

(19)

Zadanie 34

Wyznaczyć błąd (uchyb) ustalony układu, z regulatorem PI, podanego na schemacie.

Sygnał zakłócający: Z(t)=2*1(t),

y

zad

(t)=0

K(s)=

2

_{+ s}

₊

s

k

Schemat układu: y(t) y_zad KR(s) K(s) z(t) Rozwiązanie e_ust= 0 lim → s s_s 2 0 ) 1 ( 4 ) 2 2 ( 4 2 ₊ ₊ ₊ ₊ = i r i i sT K s s sT sT

gdzie: Kr, Ti – parametry regulatora PI

Zadanie 35

Zbadać za pomocą kryterium Nyquista, czy układ regulacji automatycznej jest stabilny, jeżeli: Schemat blokowy układu :

(20)

KR(s) K(s) y(t) y_zad ) 1 ( ) ( 1 sT s k s K + = ) 1 ( 1 ) ( 2 sT s K_R + = Rozwiązanie

Układ będzie stabilny przy spełnieniu warunku

2 1 2 1 T T T T K ⋅ + 〈 Zadanie 36

Podaj model matematyczny układu jak na rysunku:

a)

w postaci równań stanu,

b)

w postaci transmitancji.

Rozwiązanie

a)

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t U D t U C U t U B t U A dt t dU WE C WY WE C C ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

Gdzie:

R

C

Uc

Uwe

Uwy

+

-+

(21)

-0 , 1 1 , 1 = = = − = D C RC B RC A

b)

1 1 ) ( + = = RCs U U s K WE WY Zadanie 37

Schemat układu otwartego przedstawiono na poniższym rysunku.

1/(2s+1)

2s/(4s+1)

y(t) x(t)

Zbadaj stabilność układu zamkniętego

Rozwiązanie

Układ po zamknięciu jest stabilny

Zadanie 38

Korzystając z kryterium Nyquista zbadać stabilność układu przedstawionego na rysunku, przy czym transmitancje operatorowe mają postać:

1 , 1 1 , 1 5 4 3 2 1 = = + = = = K K s K s K K

(22)

Rozwiązanie 1 2 1 ) ( ₃ ₂ + + + = s s s s K_z

Kryterium Nyquista sformułowane jest następująco: jeżeli układ otwarty jest stabilny to po jego zamknięciu układ też będzie stabilny jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (-1,j0).

Ponieważ wyznaczona transmitancja jest transmitancją układu zamkniętego, dlatego należy ją przekształcić zgodnie ze wzorem:

) ( 1 ) ( ) ( 0 s K s K s K z z − =

Otrzymujemy transmitancję układu otwartego:

s s s s K ⋅ + + = 2 1 ) ( ₃ ₂ 0

Następnie spełnione muszą być warunki:

{

_{

}

_}

   − > = 1 ) ( Re 0 ) ( Im 0 0 ω ω j K j K

Stąd

2 3 4 3 2 0 0 2 3 0 ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 1 ) (

ω

⋅ − + ⋅ − ⋅ + − = ⋅ + = ⋅ + − − = j j K Q j P j K j j j K

Oraz

-1 i > − = ⇒ ⋅ − + − = − = = ⇒ = − ⇔ = ⋅ − + ⋅ − = 5 , 0 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( 2 2 2 4 2 2 1 2 2 3 4 3 P P Q ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

Układ po zamknięciu będzie stabilny.

Zadanie 39

Schemat układu automatycznej regulacji jak na rysunku, gdzie transmitancje operatorowe mają postać:

(23)

s k s K sT sT s K = + ⋅ + = ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 2 2 1 1 100 , 10 , 1 ₂ 1 = T = k = T

Wyznaczyć błąd (uchyb) statyczny układu, gdy na wejście wprowadzono następujące sygnały użyteczne: ) 5 sin( 10 ) ( 10 ) ( ) ( 1 ) ( t t s t t s t t s ⋅ ⋅ = ⋅ = = Rozwiązanie

a)

0 100 0 1 100 ) 1 10 ( ) 1 ( ) 1 10 ( ) 1 ( lim 0 ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ = = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = → _s _s _s _s s s s s e S S

b)

0,1 100 10 10 100 ) 1 10 ( ) 1 ( ) 1 10 ( ) 1 ( lim ₂ 0 ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ = = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = → _s _s _s _s s s s s e S S

c)

B=AKe(jω) =10⋅0,13=1,3 gdzie: 13 , 0 115 , 9751 009 , 1275 ) 10000 25 10 1 ( 25 121 1 25 100 ( ) 1 25 1 ( 5 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 = = + ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = + ⋅ ⋅ − + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = k T T T T T T j Ke

ω

(24)

Zadanie 40

Podać równania różniczkowe opisujące dynamikę silnika w przypadku, gdy napięcie wzbudzenia Uw jest stałe (silnik sterowany twornikowo). Znaleźć transmitancję operatorową

Ω(s)/U(s) oraz Ω(s)/M.(s).

Schemat ideowy obcowzbudnego silnika prądu stałego.

Na poniższym rysunku przedstawiono zastępczy schemat elektryczny obwodu twornika uwzględniający oporność R i indukcyjność L twornika oraz siłę elektromotoryczną indukcji e = kφω, gdzie k – stała konstrukcyjna maszyny, a φ - strumień wzbudzenia.

Z uwagi na stałość Uw, ω = const, a zatem:

e= kϕω Rozwiązanie

(

)

1 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 2 + + + − = Ω + + = Ω s T s TT Ts k s M s s T s TT k s U s em em M em em u gdzie: i S M. ω Uw U U e L R i

(25)

2 2 , 1 , c R k c k c R J T R L T M u em = = = = T – stała elektromagnetyczna Tem – stała elektromechaniczna Zadanie 41

Korzystając z kryterium Nyquista wyznaczyć graficznie współczynniki wzmocnienia dla układu o następującej transmitancji w stanie otwartym (k > 0, T1 > 0, T2 > 0).

(

1

)(

2

)

0 1 1 ) ( sT sT s k s K + + = Rozwiązanie

Aby układ był stabilny, powinno zachodzić: k < kgr,

gdzie: 2 1 1 T T k_gr + = Zadanie 42

Dla elementu korekcyjnego:

Wyznacz odpowiedź skokową układu oraz charakterystykę amplitudowo – fazową

Rozwiązanie

(

)

1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 + + + = + + + = + + + = = R R sC sCR sCR sCR sC sCR sC R R sC R s U s U s K C R2 R1 U1 U2

(26)

Zadanie 43

Transmitancja układu jest równa:

( )

(

)

3 0 3 s k s k + =

W jakim zakresie można zmienić k aby spełnione były:

− stabilność układu stabilnego

− uchyb statyczny w stanie ustalonym był mniejszy od 2% przy wymuszeniu s(t) = 1(t)

Rozwiązanie

a) Układ będzie stabilny dla k< 216 b)

( )

_{( )}

1323 02 , 0 27 27 % 2 27 1 1 1 ) 3 ( 1 1 ) ( 1 1 3 0 0 0 0 ≥ ⇒ ≤ + ≤ + = + + = + = = → → → k k k s s k s im l s S s k s im l s sE im l e s s s

Nie ma takiego k które spełniałoby założenia zadania.

Zadanie 44

Korzystając z kryterium logarytmicznego określić stabilność układu o transmitancji

3 0 ) 1 2 ( 1 + = s s K Rozwiązanie

Wyznaczamy charakterystyki amplitudy i fazy w zależności od częstotliwości: - Charakterystyka amplitudy M(ω)=20lg K0(j

ω

) =20lg1- 20lgω – 3*20lg 4 1 2 ₊

ω

- Charakterystyka fazy Φ(ω)= 3* (2 ) 2 ω π arctg − −

Kryterium logarytmiczne jest sformułowane następująco:

- układ jest stabilny jeżeli dla Φ(ω)=arg{K0(jw)}=180 →M <0.

(27)

Charakterystyka odcinkowa (wartości przedstawione tabelarycznie)

ω

M(ω)

Φ

(ω)

0,001

60 -90

0,01

40 -90

0,1

20 -90

1

0 <-180

10 -80

-360

100 -160

-360

1000

-240

-360

Ponieważ warunki stabilności nie są spełnione rozpatrywany układ jest niestabilny

Zadanie 45

Obliczyć transmitancję układu przedstawionego na schemacie:

Rozwiązanie 1 ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 12 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 + + + + + ⋅ + = = + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ + = + + + ⋅ + = + = = T T T s T T s sT sT s U s U s K C R C R C R s C R C R s C sR C sR sC R R sC R sC sC R s Z s Z s Z s U s U s K gdzie: . , , ₂ ₂ ₂ ₁₂ ₁ ₂ 1 1 1 RC T R C T R C T = = = C1 U1 U2 C2 R2 R1

(28)

Za pomocą kryterium Hurwitza obliczyć współczynnik wzmocnienia dla układu posiadającego w stanie otwartym o danych: T1=0,1, T2=0,4 następującą transmitancję:

) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 0 sT sT s k s K + ⋅ + = Rozwiązanie

Warunek stabilności:

2 1 2 1 T T T T k< + =>k<12,5 Zadanie 47

Korzystając z kryterium Nyquista wyznaczyć warunki stabilności układu:

Rozwiązanie

Aby układ był stabilny musi być spełniony warunek: k < 0,42. Zadanie 48

Transmitancja układu otwartego ma postać

2 0 ) 2 ( ) 3 4 ( ) ( + ⋅ + = s s k s K . W jakim zakresie

można zmieniać k aby układ po zamknięciu był stabilny oraz uchyb statyczny w stanie ustalonym nie przekraczał 15% przy wymuszeniu s(t) = 1(t) ?.

Rozwiązanie a) k <107 b)

0 ,

15

68

12

1

1 _≤

_⇒

_≥

+

=

k

e

Układ będzie stabilny oraz uchyb nie będzie przekraczał 15% jeżeli k będzie w przedziale: 68 ≤ k < 107. S = const. 3 ) 1 2 ( 1 + s s k y

-

(29)

Zadanie 49

R2 C1 U2 R1 U1 C2 Rozwiązanie ) ) ( )( ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 R R C C C C s R R C C sR s Z s Z s Z s U s U s K + + + + + = + = = Zadanie 50

R2 U2 R1 U1 C2 L Rozwiązanie 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R R s L C R R s LCR R s Z s Z s Z s U s U s K + + + + = + = =