Struktury algebraiczne

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ. ĆWICZENIA Grupy

ALEKSANDER DENISIUK

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

1. Grupa symetrii

Ćwiczenie 1. Dla grupy symetrii trójkąta { e, R1, R2, ZA, ZB, Zc}, gdzie e jest symetrią tożsamociową, R1 jest obrotem

o 120◦_{, R2 — obrotem o −120}◦_{, ZA, ZB oraz ZC — symetrie względem odpowiednich osi, p. rysunek 1.}

A B C ZB ZA ZC _R1 R2

Rysunek 1. Symetrie trójkąta (1) Stwórz tabelę mnoeń (2) Oblicz R−1 1 , R−21 , ZA−1, ZA−2, R 2 1, R 2

1ZA, ZAZB, ZBZA, ZAZBZC, R1ZA, ZAR1, ZAR2ZB3R−22 .

(3) Rozwiąż równania (a) x2 = e, x2 = R1, x2= ZA,x3= e. (b) xR1= R2, R1x= R2, xR1= ZA, R1x= ZA, xZA= R1, ZAx= ZB. (c) R1xRB = ZA, R1xR−11 = R2, ZAxZB = ZC.

Ćwiczenie 2. Dla grupy symetrii kwadratu { e, R1, R2, R3, Z1, Z2, Z3, Z4}, gdzie e jest symetrią tożsamociową, R1 jest obrotem o 90◦_{, R2 — obrotem o −90}◦_{, R3 — obrotem o 180}◦_{, Z1 i Z2 są symetrie względem przekątnych, Z3 i Z4 są}

symetrie względem osi pionowej i poziomej: (1) Stwórz tabelę mnoeń (2) Oblicz R−1 1 , R−22 , Z1−1, Z1−2, R 2 3, R 2 1Z1, R1Z3, Z3R1, Z1Z2, Z2Z1, Z1Z3, Z1Z2Z3Z4, Z1R2Z33R−22 . (3) Rozwiąż równania (a) x2_{= e, x}2_{= R} 1, x2= Z1,x3= e. (b) xR1= R2, R1x= R2, xR1= Z3, R1x= Z3, xZ1= R1, Z4x= Z1. (c) R1xRB = Z1, R1xR1−1 = R3, Z2xZ3= Z1.

Ćwiczenie 3. Dla grupy symetrii prostokątu { e, R, Z1, Z2}, gdzie e jest symetrią tożsamociową, R jest obrotem o 180◦, Z1 i Z2 są symetrie względem osi pionowej i poziomej:

(1) Stwórz tabelę mnożeń (2) Oblicz R−1_{, R}−2_{, Z}−1 1 , Z1−2, R 2 , RZ1, RZ2, Z2R, Z1Z2, Z2Z1, Z1Z2R, Z1RZ1R. (3) Rozwiąż równania (a) x2 = e, x2 = R1, x2= Z1,x3= e. (b) xZ1= R, Z1x= R, xR = Z2, Rx = Z2, xZ1= Z1, Z2x= Z1. (c) RxR = Z1, RxR−11 = R, RxZ2= Z1. 2. Grupa permutacji Ćwiczenie 4. Pomnóż permutacje w prostej i odwrotnej kolejnoci:

(1) 1 2 3 4 53 4 1 5 2
× 1 2 3 4 5 5 3 1 2 4
, (2) 1 2 3 4 5 6 3 6 4 5 2 1
× 1 2 3 4 5 6 2 4 1 5 6 3
, (3) 1 2 3 4 5 2 1 3 5 4
× 1 2 3 4 5 4 5 3 2 1
, (4) 1 2 3 4 5 63 5 1 6 2 4
× 1 2 3 4 5 6 6 3 4 2 1 5
,

Ćwiczenie 5. Zapisz w postaci iloczynu cykli niezależnych: (1) 1 2 3 4 5 6 75 4 1 7 3 6 2
, 1 2 3 4 5 6 7 3 1 6 7 5 2 4
. (2) 1 2 3 4 5 6 73 7 6 5 1 2 4
, 1 2 3 4 5 6 7 4 3 6 7 1 5 2
. 1

2 ALEKSANDER DENISIUK

Ćwiczenie 6. Zapisz w postaci „zwykych” permutacji: (1) (1 3 6)(2 4 7)(5), (1 4 7 2 3 5 6),

(2) (1 3)(5 7)(2 4 6), (1 3 5 2 4 6 7).

Ćwiczenie 7. Pomnóż permutacje (1) [(1 3 5)(2 4 6 7)] · [(1 4 7)(2 3 5 6)],

(2) [(1 3)(5 7)(2 4 6)] · [(1 3 5)(2 4)(6 7)].

Ćwiczenie 8. Wyznacz ilość inwersji w ciągach: (1) (2, 3, 5, 4, 1), (1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8),

(2) (6, 3, 1, 2, 5, 4), (7, 5, 6, 4, 1, 3, 2).

Ćwiczenie 9. Wyznacz parzystość permutacji (1) 1 2 3 4 5 6 75 6 4 7 2 1 3
, 3 5 6 4 2 1 7 2 4 1 7 6 5 3
, (2) 1 2 3 4 5 6 7 83 5 2 1 6 4 8 7
, 2 7 5 4 8 3 6 1 3 5 8 7 2 6 1 4
, (3) (1 2 3), (1 2 3 4), (1 2 3 4 5),(1 2 . . . n), (1 4 7 3)(6 7 2 4 8)(3 2).

E-mail address_{: denisjuk@pjwstk.edu.pl}

Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk