Wyznaczniki

Algebra

Wyznaczniki

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Wyznaczniki

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Wyznaczniki macierzy małych wymiarów

• det a11 a12 a₂₁ a₂₂ ! =      a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂      = a₁₁a_{22 − a12}a₂₁ •        a11 a12 a13 a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃        = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₂₁a₃₂a_{13 −} − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11 • det a₁₁ = a₁₁

Definicja

• Ωn = { 1, 2, . . . , n }

• Wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie π : Ωn → Ωn

nazywa si ˛e permutacj ˛a.

• Oznaczenie: 1 2 . . . n π(1) π(2) . . . π(n) ! • Mno˙zenie permutacji: _{τ σ = τ ◦ σ} ◦ przykład: τ = 1 2 3 4 2 3 4 1 ! , σ = 1 2 3 4 4 3 2 1 ! ◦ _{τ σ 6= στ}

Grupa permutacji

• (τ σ)ω = τ (σω) • permutacja jednostkowa e = 1 . . . n 1 . . . n ! • permutacja odwrotna τ τ−1 = e • grupa permutacji: Sn

Cykle

• permutacja a_{1 7→ a2 7→ . . . 7→ a}k 7→ a1, pozostałe elementy

zostaj ˛a na miejscu (_{a 7→ a}) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k

• zapis: (a₁ a₂ . . . a_k)

• cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a

• dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych elementów

• mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne

Twierdzenie 1. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

Cykle

• permutacja a_{1 7→ a2 7→ . . . 7→ a}k 7→ a1, pozostałe elementy

zostaj ˛a na miejscu (_{a 7→ a}) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k

• zapis: (a₁ a₂ . . . a_k)

• cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a

• dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych elementów

• mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne

Twierdzenie 2. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

niezale˙znych cykli. Jednoznacznie z dokładno´sci ˛a do kolejno´sci czynników

Wniosek 3. Ka˙zda permutacja mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

Przykłady

• 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 1 7 6 8 ! = (12345)(67)(8) = (12345)(67) • w S₄: (123) = (13)(12) = (23)(13) = (13)(24)(12)(14)

Znak permutacji

Twierdzenie 4. Niech π ∈ S_n,

π = τ₁τ₂ . . . τ_k, (1)

gdzie τ_j s ˛a transpozycje (j = 1, . . . , k). Wtedy

ε(π) = (−1)k

nie zale˙zy od reprezentacji (1). Pozatym ∀α, β ∈ S_n

ε(αβ) = ε(α)ε(β).

Definicja 5. • permutacja σ ∈ S_n jest parzysta, je˙zeli ε(σ) = 1 • permutacja σ ∈ S_n jest nieparzysta, je˙zeli ε(σ) = −1

Obliczenie znaku permutacji

Definicja 6. Niech dana b ˛edzie permutacja

π = 1 2 . . . n π(1) π(2) . . . π(n)

!

Para (π(i), π(j)) tworzy inwersj ˛e, je˙zeli i < j oraz π(i) > π(j).

Twierdzenie 7. Permutacjia π ∈ S_n jest parzyst ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona parzyst ˛a ilo´s´c inwersji.

Dowód. • transposycja (a_i a_i+1) zmienia parzysto´s´c permutacji • ogólna transpozycja zmienia parzysto´s´c permutacji

Przykład 8. π = 1 2 3 4 5 6

Działanie permutacji na funkcjach

Definicja 9. Niech dane b ˛ed ˛a n-argumentowa funkcja f (x₁, . . . , x_n) oraz permutacja σ ∈ S_n. Działanie σ na f jest funkcja

(σ ◦ f)(x1, . . . , xn) = f (x_σ(1), . . . , x_σ(n))

Lemat 10. ∀σ, π ∈ S_n

Funkcje antysymetryczne

Definicja 11. n-argumentowa funkcja f (x₁, . . . , x_n) nazywa si ˛e

antysymetryczn ˛a (sko´sno-symmetryczn ˛a, je˙zeli ∀1 6 k < n

f (x₁, . . . x_k, x_k+1, . . . , xn) = −f(x1, . . . , xk+1, xk, . . . , xn)

Lemat 12. Dla antysymetrycznej funkcji f, ∀i, j

f (x₁, . . . x_i, . . . , x_j, . . . , x_{n) = −f(x1}, . . . x_j, . . . , x_i, . . . , x_n) Przykład 13. ∆n = Y 16j<i6n (xi − xj)

Dowód twierdzenia

4

• Niech f (x₁, . . . , xn) b ˛edzie dowolna niezerowa

antysymetryczna funkcja.

• Niech σ = τ₁τ₂ . . . τk b ˛edzie permutacj ˛a, rozło˙zona w iloczyn

transpozycji.

• _{σ ◦ f = (−1)}k_{f = ε(σ)f — nie zale˙zy od rozło˙zenia.}

• _{ε(σπ)f = (σπ) ◦ f = (σ ◦ π) ◦ f = σ ◦ (π ◦ f) = σ ◦ (ε(π)f) =}

Funkcje symetryczne

Definicja 14. n-argumentowa funkcja f (x₁, . . . , x_n) nazywa si ˛e

symetryczn ˛a, je˙zeli ∀1 6 k < n

f (x₁, . . . x_k, x_k+1, . . . , xn) = f (x1, . . . xk+1, xk, . . . , xn)

Lemat 15. Dla symetrycznej funkcji f, ∀σ ∈ S_n

f (x₁, . . . , x_n) = f (x_σ(1), . . . , x_σ(n))

Przykład 16. • x₁ + · · · + x_n

• x2₁ + x₁x_{2 + · · · + x1}xn + x2x1 + x2₂ + x2x3 + · · · + xnxn−1 + x2n

Wielomiany symetryczne

Definicja 17. Elementarne wielomiany symetryczne n zmiennych: • σ₁(x₁, . . . , xn) = P 16i6n xi • σ₂(x₁, . . . , xn) = P 16i1<i26n xi1xi2 • σ₃(x₁, . . . , xn) = P 16i1<i2<i36n xi1xi2xi3 • . . . . • σ_n(x₁, . . . , x_n) = x₁x₂ . . . x_n

Twierdzenie 18. Ka˙zdy wielomian symetryczny P (x₁, . . . , x_n) mo˙ze zosta´c

jednoznacznie przedstawiony jako wielomian od elementarnych wielomianów

symetrycznych:

Twierdzenie Viète’a

Twierdzenie 20. Niech x₁, x₂, . . . , x_n b ˛ed ˛a pierwiastkami wielomianu

P (x) = a₀ + a₁x + a₂x2 _{+ · · · + an−1}xn−1 + a_nxn. Wtedy • σ₁(x₁, . . . , xn) = −a_an−1_n • σ₂(x₁, . . . , xn) = an−2_an • . . . . • σn(x1, . . . , xn) = (−1)n a_an0 Dowód. P (x) = a_n(x − x₁)(x − x₂) . . . (x − x_n)

Rozwi ˛

azywanie równa ´n

Przykład 21. • x2 + bx + c = 0, • ∆ = (x_{1 − x2})2 = b2 _{− 4c}, • ( x₁ + x_{2 = −b} x_{1 − x2} = √∆ (x1 > x2), • x_{1,2 = (−b ±} √∆)/2.

Definicja wyznacznika

Definicja 23. det A = X π∈Sn ε(π)a_1π(1)a_2π(2) . . . a_nπ(n) Przykład 24. • n = 1, 2, 3, 4

Wyznacznik macierzy transponowanej

• det A = det    A₍₁₎ .. . A_(n)    = det  A(1) . . . A(n) Twierdzenie 25. det A = det At

Funkcje wieloliniowe

Definicja 26. Funckcja D : Rn × Rn

| {z }

m razy

→ R nazywa si ˛e

1. wieloliniow ˛a, (m-linow ˛a) je˙zeli jest ona liniowa według ka˙zdego z

argumentów, e.g. ∀j = 1, . . . m, ∀α, β ∈ R, oraz

∀x1, . . . , xj−1, a, b, xj+1, . . . , xm ∈ Rn

D(x₁, . . . , x_j−1, αa + βb, x_j+1, . . . , xm) =

= αD(x₁, . . . , x_j−1, a, x_j+1, . . . , xm)+

Wła´sciwo´sci wyznacznika

Twierdzenie 27. Wyznacznik jest wieloliniow ˛a antysymentryczn ˛a funkcj ˛a wierszy (column)

Twierdzenie 28. det I = 1

Wniosek 29. • det(λA) = λn det(A),

• Je˙zeli macierz A ma zerowy wiersz (kolumn ˛e), to det A = 0,

• Je˙zeli A ma dwa jednakowe wiersze (kolumny), to det A = 0,

• det A nie zmienia si ˛e po elementarnych przekształceniach rodzaju II.

Twierdzenie 30. det      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n 0 a22 . . . a2n . . . .      = a₁₁a₂₂ . . . a_nn

Minory i algebraiczne dopełnienia

Definicja 31. • Wyznacznik macierzy, powstałej z macierzy A przez skre´slenie wiersza i oraz kolumny j nazywa si ˛e minorem, M_ij

• Aij = (−1)i+jMij nazywa si ˛e dopełnieniem algebraicznym

Twierdzenie 32. 1. det A = Pn_i=1(−1)i+ja_ijM_ij = Pn_i=1 a_ijA_ij 2. det A = Pn_j=1(−1)i+ja_ijM_ij = Pn_j=1 a_ijA_ij Przykład 33.        1 ₋₂ 0 3 0 1 −1 1 ₋₃       

Wyznacznik iloczynu macierzy

Twierdzenie 34.

Wyznacznik a macierz odwrotna

Twierdzenie 35. Macierz A jest nieosobliw ˛a ⇐⇒ det A 6= 0, przy czym

   a₁₁ . . . a_1n . . . . a_n1 . . . ann    −1 = 1 det A    A₁₁ . . . A_n1 . . . . A_1n . . . Ann   

Wzory Cramera

Twierdzenie 37. Je˙zeli wyznacznik układu równa ´n

     a₁₁x_{1 + · · · + a1n}xn = b1, . . . . a_n1x_{1 + · · · + a}nnxn = bn,

ró˙zni si ˛e od zera, to jedyne rozwi ˛azanie układu dane jest wzorami

x_k =        a₁₁ . . . b₁ . . . a_1n . . . . a_n1 . . . b_n . . . a_nn        det A k = 1, 2, . . . , n