Struktury algebraiczne

Algebra

Struktury Algebraiczne

Alexander Denisjuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Struktury Algebraiczne

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Działania binarne a struktury algebraiczne

• _{X × X → X, (x, y) 7→ x · y, lub xy}

• _{Działanie przemienne, je˙zeli ∀x, y ∈ X ⇒ xy = yx (cz ˛este}

oznaczenie: x + y)

• _{Działanie ł ˛aczne, je˙zeli ∀x, y, z ∈ X ⇒ (xy)z = x(yz)} • _{Element neutralny ∃1 ∈ X, ∀x ∈ X ⇒ 1 · x = x · 1 = x}

◦ _{Wzgl ˛ednie ∃0 ∈ X, ∀x ∈ X ⇒ 0 + x = x + 0 = x} • _{Element x ∈ X odwracalny, je˙zeli}

∃x−1 ∈ X ⇒ x · x−1 = x−1 · x = 1

◦ _{Wzgl ˛ednie ∃(−x) ∈ X ⇒ (−x) + x = x + (−x) = 0} • _{Dzielenie x/y = xy}−1

Pot ˛egi

Definicja 1. Niech n ∈ Z. xn =          x · x · · · x · x | {z } n razy n > 0 1, n = 0 (x−1)(−n), n < 0 Definicja 2. Niech n ∈ Z. nx =          x + x + · · · + x + x | {z } n razy n > 0 0, n = 0 −(−n)x, n < 0 Twierdzenie 3. • xnxm = xm+n • _(xn )m = xmn

Grupa

Definicja 4. • Zbior C z okre´slonym na nim działaniem binarnym nazywa si ˛e grup ˛a, je˙zeli działanie jest ł ˛aczne, istnieje element neutralny oraz ka˙zdy element jest odwracalny:

◦ _{∀x, y, z ∈ G ⇒ (xy)z = x(yz)}

◦ _{∃1 ∈ G, ∀x ∈ G ⇒ 1 · x = x · 1 = x}

◦ _{∀x ∈ G, ∃x}−1 ∈ G ⇒ x · x−1 = x−1 · x = 1

• _{Je˙zeli działanie jest przemiennym, to grupa nazywa sie przemienn ˛a lub}

Przykłady

• Z_{, +; n}Z_{, +} • Z_{n, dodawanie reszt} • R_{, mno˙zenie} • _Wielomiany: W_, + • W_{n, +} • Rn , + • _{Macierze: m × m} M_{mn, +}

• _{Nieosobliwe macierze kwadratowe: GLn(}R)_{, mno˙zenie}

macierzy

• _{Permutacje: Sn, mno˙zenie permutacji}

Grupa cykliczna

Definicja 5. Grupa G nazywa si ˛e cykliczn ˛a, je˙zeli ∃a ∈ G (element

tworz ˛acy ), taki ˙ze ∀x ∈ G∃n ∈ Z, ⇒ x = an

Przykład 6. • Z

• _{{ −1, 1 }, mno˙zenie}

• _{Grupa obrotów pi ˛eciok ˛atu foremnego} • _{Grupa obrotów kwadratu}

Podgrupy

Definicja 7. • G₁ ⊂ G nazywa si ˛e podgrup ˛a, je˙zeli G₁ jest grup ˛a

• _{G1 ⊂ G jest podgrup ˛a ⇐⇒ (∀x, y ∈ G1 ⇒ xy}−1 ∈ G 1)

• _{Rz ˛edem grupy nazywamy ilo´s´c jej elementów}

• _{Rz ˛edem elementu x nazywamy majmniejsz ˛a dodatni ˛a liczb ˛e naturaln ˛a}

n, tak ˛a ˙ze xn = 1

Twierdzenie 8 (Lagrange). Dla sko ´nczonej grupy rz ˛ad podgrupy jest podzielnikiem rz ˛edu grupy

Przykłady podgrup

• _{Macierze kwadratowe o wyznaczniku ±1:}

SLn(R) ⊂ GLn(R)

• _{Macierze kwadratowe o wyznaczniku 1: SOn(}R_{) ⊂ GLn(}R₎

• _{Parzyste permutacje}

Grupy izomorfne