Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

(1)

Analiza Matematyczna. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona 2 / 15

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

(3)

Funkcja pierwotna

•Funkcja pierwotna

i całka nieoznaczona

•Całka nieoznaczona

Definicja 1. Funkcja F(x) jest pierwotn ˛a funkcj ˛a dla funkcji f(x)

na przedziale (a, b), je´sli ∀x ∈ (a, b) funkcja F jest ró˙zniczkowalna

w tym punkcie oraz F′_{(x) = f (x)}_.

Przykład 2. 1. F(x) = √_{1 − x}2 jest pierwotn ˛a dla

f_{(x) = −}√ x

1−x2 na przedziale (−1, 1).

2. F(x) = sin x jest pierwotn ˛a dla f(x) = cos x na _R. 3. F(x) = ln x jest pierwotn ˛a dla f(x) = _x1 na przedziale

(4)

Funkcje pierwotne •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona 4 / 15

• Je˙zeli F(x) jest pierwotn ˛a dla f(x), to ∀C ∈ R F (x) + C te˙z

jest pierwotn ˛a dla f(x).

• W taki sposób mo˙zna otrzyma´c wszystkie funkcje pierwotne.

Twierdzenie 3. Niech funkcje F₁(x) i F₂(x) b ˛ed ˛a pierwotnymi dla

f(x) na przedziale (a, b). Wtedy istnieje C ∈ R, taka, ˙ze

F₁(x) = F₂(x) + C.

Wniosek 4. Je˙zeli F(x) jest jedn ˛a z funkcji pierwotnych dla f(x)

na przedziale (a, b), to dowolna funkcja Φ(x), pierwotna dla f(x)

(5)

Całka nieoznaczona

Definicja 5. Zbiór wszystich funkcji pierwotnych dla danej

funkcji F(x) na przedziale (a, b) nazywa si ˛e całk ˛a nieoznaczon ˛a

(nieokre´slon ˛a) funkcji f(x). Oznaczenie R f (x) dx.

• Je˙zeli F(x) jest funkcj ˛a pierwotn ˛a dla f(x) na przedziale (a, b), to R f (x) dx = F (x) + C. Przykład 6. 1. R √−x 1−x2 dx = √ 1 − x2 _{+ C} _{na przedziale} (−1, 1).

(6)

Własno ´sci całki nieoznaczonej •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona 6 / 15 1. R f (x) dx′ = f (x), 2. R F′(x) dx = F (x) + C, 3. R f(x) ± g(x) dx = R f (x) dx ± R g(x) dx, 4. R λ · f(x) dx = λ · R f(x) dx, gdzie λ _{∈ R}, 5. R 0 dx = C, R 1 dx = x + C, 6. R xα dx = x α+1 α+1 + C, gdzie α 6= −1, 7. R dx_x = ln |x| + C, gdzie x _{6= 0}, 8. R ax dx = a x ln a + C, gdzie 0 < a 6= 1, 9. R ex dx = ex + C,

(7)

Własno ´sci całki nieoznaczonej, cd •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona 12. R _cosdx2_x = tg x + C, gdzie x 6= π 2 + πn, n ∈ Z, 13. R dx sin2 _x = ctg x + C, gdzie x 6= πn, n ∈ Z, 14. R √dx

1−x2 = arc sin x + C, gdzie x ∈ (−1, 1),

15. R √dx

1−x2 = − arc cos x + C, gdzie x ∈ (−1, 1), 16. R _1+xdx2 = arctg x + C, 17. R _1+xdx2 = − arcctg x + C, 18. R sinh x dx = cosh x + C, 19. R cosh x dx = sinh x + C, 20. R dx cosh2x = tgh x + C, 21. R dx sinh2 x = − ctgh x + C, gdzie x 6= 0.

(8)

Przykłady •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona 8 / 15

Przykład 7 (Całki, których nie mo˙zna wyrazi´c przez funkcje

elementarne). 1. R e−x2 dx, 2. R cos(x2) dx, 3. R sin(x2) dx, 4. R _{ln x}dx , 0 < x 6= 1, 5. R sin x_x dx, 6. R cos x_x dx, x _{6= 0}.

(9)

Zamiana zmiennej w całce nieoznaczonej

Twierdzenie 8. Niech funkcja t = ϕ(x) b ˛edzie ró˙zniczkowalna na przedziale (α, β), funkcja G(t) b ˛edzie pierwotn ˛a dla g(t) na

przedziale (a, b), gdzie (a, b) = ϕ (α, β). Wtedy na przedziale

(α, β)

Z

(10)

Przykłady •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona 10 / 15 Przykład 9. 1. R sin 3x dx = t = 3x dt = 3dx = R 1₃ sin t dt = −1₃ cos t + C = −1₃ cos 3x + C. 2. R _x+adx = t = x + a dt = dx = R dt_t _{= ln |t| + C = ln |x + a| + C,} x _{6= −a}. 3. R ecos x sin x dx = t = cos x dt _{= − sin x dx} = − R et _dt ₌

(11)

Przykłady, cd •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona Przykład 10. 1. R (arctg x) 100 1+x2 dx = t = arctg x dt = _1+xdx2 = R t100dt = t101 101 + C = (arctg x)101 101 + C. 2. R (5x − 6)2003dx = t _{= 5x − 6} dt = 5 dx = 1₅ R t2003 dx = t2004 10 020 + C = (5x−6) 2004 10 020 + C,

(12)

Całkowanie przez cz ˛e ´sci •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona 12 / 15

Twierdzenie 11. Niech funkcje u(x) oraz v(x) b ˛ed ˛a

ró˙zniczkowalne na przedziale (a, b) i dla funkcji u′(x)v(x) istnieje

funkcja pierwotna na tym przedziale. Wtedy dla funkcji u(x)v′_(x)

istnieje funkcja pierwotna oraz

Z

u(x)v′_{(x) dx = u(x)v(x) −} Z

(13)

Przykłady — I •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona Z x2 cos x dx = u(x) = x2 v′(x) = cos x u′_{(x) = 2x} _v_{(x) = sin x} = = x2 _{sin x − 2} Z xsin x dx = = u(x) = x v′(x) = sin x u′_{(x) = 1 v(x) = − cos x} = = x2 _{sin x + 2x cos x − 2} Z cos x dx = = (x2 _{− 2) sin x + 2x cos x + C.}

(14)

Przykłady — II •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona 14 / 15 Z xn ln x dx = u(x) = ln x v′_{(x) = x}n u′_{(x) =} 1 x, v(x) = xn+1 n+1 = = x n+1 n + 1 ln x − 1 n + 1 Z xn dx = = x n+1 n + 1 ln x − 1 n + 1 + C, n _{6= −1}.

(15)

Przykłady — III •Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona •Funkcja pierwotna •Całka nieoznaczona Z eαx cos βx dx = u(x) = eαx v′_{(x) = cos βx} u′_{(x) = αe}αx _v_{(x) =} sin βx β = = e αx _{sin βx} b − Z α β Z eαx sin βx dx = = u(x) = eαx v′_{(x) = sin βx} u′_{(x) = αe}αx _v_{(x) = −}cos βx β = = e αx _{sin βx} β + α β2e αx cos βx − α 2 β2 Z eαx cos βx dx,