Skalarne równania różniczkowe zwyczajne. Pojęcia wstępne

Skalarne równania

różniczkowe zwyczajne.

Pojęcia wstępne

Autorzy:

Vsevolod Vladimirov

2019

(1)

(2)

(3)

(4)

Skalarne równania różniczkowe zwyczajne. Pojęcia wstępne

Skalarne równania różniczkowe zwyczajne. Pojęcia wstępne

Czym są równania różniczkowe i do czego one służą? Zacznijmy od pewnych analogii. W kursie matematyki elementarnej rozwiązuje się równania algebraiczne. Przykładem może służyć układ równań liniowych

lub równanie

zwane równaniem kwadratowym. Rozwiązywanie obu równań polega na znalezieniu liczb, które po podstawieniu do

odpowiednich równań czyniły by z nich tożsamości. W przypadku układu równań w naszym przypadku są to liczby , które są określone jednoznacznie. Podane równanie kwadratowe spełniają dwie liczby: oraz . W przypadku równań różniczkowych nie chodzi o znalezienie rozwiązań liczbowych. Rozwiązaniami są funkcje różniczkowalne spełniające równanie, przy czym niejednoznaczność rozwiązania jest raczej regułą niż wyjątkiem. Przejdźmy jednak do definicji.

DEFINICJA

Definicja 1:

Definicja 1:

Równaniem różniczkowym zwyczajnym (RRZ) nazywamy równanie

gdzie jest funkcją różniczkowalną w każdym ze swoich argumentów. W równaniu ( 2 ) niewiadomą jest krotnie różniczkowana funkcja , zatem równanie ( 2 ) jest równaniem funkcyjnym.

Jeżeli jesteśmy w stanie rozwiązać równanie ( 2 ) względem ostatniej zmiennej, wówczas możemy go napisać w postaci równoważnej

zwanej postacią kanoniczną skalarnego RRZ -tego rzędu.

Rozwiązać równanie ( 2 ) oznacza znaleźć razy różniczkowalną funkcję , która, będąc podstawioną do równania ( 2 ), uczyni z niego tożsamość. Rzędem równania ( 2 ) nazywamy największy rząd pochodnej szukanej funkcji , występującej w tym równaniu.

Najprostsze równanie różniczkowe dyktuje problem znalezienia funkcji pierwotnej do zadanej funkcji ciągłej :

Zatem rozwiązanie tego równania dane jest wzorem

opisującym nieskończenie wiele funkcji pierwotnych funkcji , rózniących się o dowolną stałą.

{ x + y = 1,

_{x − y = 0}

− x − 6 = 0,

x

x = y = 1/2

x = 3

x = −2

F(t, x(t), (t), …,

x

_x

(t)) = 0,

F

n−

x = x(t)

= Ψ (t, x(t), x(t), . . . ,

) ,

x

_x

n

n

x = φ(t)

x = φ(t)

x(t)

f(t)

= f(t).

x(t) = ∫ f(t) dt,

x(t)

(5) - 4 - 2 0 2 t 2 4 6 8 10 12 X(t)

Rysunek 1: Fragmenty funkcji pierwotnych funkcji

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego z funkcją niewiadomą :

Powyższe równanie można zapisać w sposób równoważny jako równość różniczek

Jak wiadomo, równość różniczek implikuje równość odpowiednich całek, w danym przypadku równość ta będzie miała postać

Licząc odpowiednie całki otrzymamy

Zatem funkcja , spełniająca RRZ ( 5 ) nie jest zadana jednoznacznie, lecz z dokładnością do dowolnej stałej (stałej całkowania).

Sens geometryczny stałej występującej w powyższym wzorze wynika z interpretacji pochodnej jako tangensa kąta nachylenia do osi prostej stycznej do wykresu funkcji w dowolnym punkcie (zob. Rys. 1). Stąd funkcją pierwotną będzie również każda funkcja postaci , gdzie .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:19:28

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=fe08942ddcb605671c9e126550b8e603

Autor: Vsevolod Vladimirov

cos t

x(t)

= cos t.

dx = cos t dt ≡ d sin t.

∫ dx = ∫ cos tdt.

x(t) = sin t + C.

x(t)

O X

(t, x(t))

x(t) + C

C = const