1.4. Pierwiastkowanie..pdf 

1.4. PIERWIASTKOWANIE

Definicja pierwiastka n – tego stopnia

na =b⇔bn =a a- liczba podpierwiastkowa n- stopień pierwiastka

b - wynik pierwiastkowania

jeśli njest liczbą parzystą , to a≥0;b≥0 jeśli n jest liczbą nieparzystą, to a,b∈R

Przykład 1.4.1. Oblicz a) 64 b) 3 64 c) 0 d) 5 −1 e) 4 −16 f) 40000 g) 30,000027 h) 4 1 2 i) 3−3375 Rozwiązanie Komentarz a) 64 =8 , bo 82 =64 a =2a

Wykorzystujemy definicję pierwiastka n – tego stopnia.

b) 364 =4, bo 43 =64 c) 0 =0, bo 02 =0

d) 5−1=−1, bo

( )

−15 =−1

e) 4−16 - nie istnieje Nie istnieje pierwiastek parzystego stopnia z _{liczby ujemnej.} f) 40000 =200, bo 2002 =40000 g) 30,000027 =0,03 , bo

( )

0,033 =0,000027 h) 2 1 1 2 3 4 9 4 1 2 = = = , bo 4 1 2 4 9 2 3 2 _{= =}     

 Pierwiastkuj_{zamienić ją na ułamek niewłaściwy.} ąc liczbę mieszaną , musimy

i) 3−3375=−15 , bo

( )

−15 3 =−3375 Przy pierwiastkowaniu du_{wykorzystać rozkład liczby na czynniki} Ŝych liczb moŜemy

pierwsze. 3375 │5 675 │5 135 │5 27 │3 9 │3 3 │3 1 │ 3 15 15 15 15 3 5 3 5 3 5 3375= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Prawa działań na pierwiastkach n a⋅b =na⋅nb n n n b a b a ₌ m na =mna

( )

n a m =n am a⋅nb =nan⋅b

( )

na n =a

n an =a, gdy njest liczbą nieparzystą n an = a , gdy n jest liczbą parzystą

Przykład 1.4.2. Oblicz a) 5 2 40⋅ Rozwiązanie Komentarz 4 16 5 80 5 2 40 5 2 40⋅ = ⋅ = = = Stosujemy wzór n n n_{a⋅b= a⋅ b} b) 3 3 81 3 Rozwiązanie Komentarz 3 1 27 1 81 3 81 3 3 3 3 3 = = = Stosujemy wzór n n n b a b a = c) 3 1 2 : 7 Rozwiązanie Komentarz 3 7 3 1 7 3 7 : 1 7 3 1 2 : 7 3 1 2 : 7 = = = ⋅ = Stosujemy wzór n n n b a b a ₌ d)

( )

243 4 Rozwiązanie Komentarz

( )

243 4 =24 ⋅

( )

43 4 =16⋅3=48 Stosujemy wzór

( )

na n =a

Przykład 1.4.3. Wyłącz czynnik przed pierwiastek a) 48 Rozwiązanie Komentarz 3 4 3 16 3 16 48 = ⋅ = ⋅ = Stosujemy wzór na⋅b=n a⋅nb b) 3375 Rozwiązanie Komentarz 3 3 3 3 3 3

3_{375= 5 ⋅3= 5 ⋅ 3 =5 3} Przy pierwiastkowaniu duŜych liczb moŜemy wykorzystać rozkład liczby na czynniki pierwsze. 375 │5 75 │5 15 │5 3 │3 1 │ 3 5 375= 3⋅

Przykład 1.4.4. Włącz czynnik pod pierwiastek a) 3 5 Rozwiązanie Komentarz 45 5 3 5 3 = 2 ⋅ = b) 243 Rozwiązanie Komentarz 4 4 4 4_{3 2 3 48} 2 = ⋅ = Przykład 1.4.5. Oblicz a) 2 3+ 2−3 2+4 2−3 3 Rozwiązanie Komentarz 3 3 3 2 2 5 3 3 3 2 4 2 2 3 2 3 3 2 4 2 2 3 2 − + − = = − + − + = = − + −

+ Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Wyrazami podobnymi są wyrazy zawierające te same pierwiastki.

b) 72−4 18+5 8 Rozwiązanie Komentarz = + − = = ⋅ + ⋅ − = = ⋅ + ⋅ − ⋅ = = + − 2 10 2 12 2 6 2 2 5 2 3 4 2 6 2 4 5 2 9 4 2 36 8 5 18 4

72 Wyciągamy czynniki przed pierwiastki

2 4

= Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych.

Przykład 1.4.6. Wykonaj działanie

(

3−4 2

)(

2 3+5 2

)

Rozwiązanie Komentarz

(

)(

)

6 3 34 40 6 8 6 5 6 2 20 6 8 6 5 3 2 4 20 6 8 6 5 9 2 2 5 2 4 3 2 2 4 2 5 3 3 2 3 2 5 3 2 2 4 3 − − = = − − + = = ⋅ − − + ⋅ = = − − + = = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = = +

− MnoŜymy kaŜdy wyraz z pierwszego

nawiasu przez kaŜdy wyraz z drugiego nawisu.

Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych.

Wzory skróconego mnoŜenia

(

)

2 2 2 2ab b a b a+ = + + - kwadrat sumy

(

)

2 2 2 2ab b a b a− = − + - kwadrat róŜnicy

(

a b

)(

a b

)

b a2 − 2 = − + - róŜnica kwadratów

(

)

3 3 2 2 3 3 3a b ab b a b

a+ = + + + - sześcian sumy

(

)

3 3 2 2 3

3

3a b ab b

a b

a− = − + − - sześcian róŜnicy

(

)

(

2 2

)

3 3 b ab a b a b

a + = + − + - suma sześcianów

(

)

(

2 2

)

3 3 b ab a b a b a − = − + + - róŜnica sześcianów

Przykład 1.4.7. Wykonaj działania, korzystając ze wzorów skróconego mnoŜenia: a) 2+ 3⋅ 2− 3 Rozwiązanie Komentarz

(

) (

)

( )

1 1 3 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 = = − = = − = = − ⋅ + = = − ⋅ + Stosujemy wzór a2 −b2 =

(

a−b

)(

a+b

)

b)

(

2 5−3

)

2 Rozwiązanie Komentarz

(

)

( )

5 12 29 9 5 12 5 4 3 3 5 2 2 5 2 3 5 2 2 2 2 − = = + − ⋅ = = + ⋅ ⋅ − = = − Stosujemy wzór

(

a−b

)

2 =a2 −2ab+b2 c)

(

1+ 2

)

3 Rozwiązanie Komentarz

(

)

( ) ( )

2 5 7 2 2 6 2 3 1 8 2 3 2 3 1 2 2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 2 3 3 + = = + + + = = + ⋅ + + = = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = = + Stosujemy wzór

₍

₎

_{3 3 2 2 3} 3 3a b ab b a b a+ = + + +

Przykład 1.4.8. Usuń niewymierność z mianownika: a) 2 5 4 Rozwiązanie Komentarz 5 2 2 10 2 4 2 5 2 4 4 5 2 4 2 2 5 2 4 2 5 4 = = = ⋅ = = ⋅ ⋅

b) 3 1 3 2 − Rozwiązanie Komentarz

(

)

(

)(

)

_{( )}

3 3 2 6 2 3 2 2 6 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 9 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 2 2 − − = − + − = − + = − ⋅ + = = − + = + − + = −

Jeśli w mianowniku jest róŜnica lub suma, to licznik i mianownik mnoŜymy przez wyraŜenie podobne jak w mianowniku, ale ze zmienionym na przeciwny znakiem działania i korzystamy ze wzoru skróconego mnoŜenia a2 −b2 =

(

a−b

)(

a+b

)

Przykład 1.4.9. Uzasadnij, Ŝe 7+4 3 =2+ 3

Rozwiązanie Komentarz 3 2 3 4 7+ = +

(

)

2 2 3 2 3 4 7  = +      ₊

( )

2 2 _{2 2 3 3} 2 3 4 7+ = + ⋅ ⋅ + 3 3 4 4 3 4 7+ = + + 3 4 7 3 4 7+ = +

Obie strony równości są dodatnie , dlatego podnosząc je do kwadratu otrzymujemy równość toŜsamościową.

Podnosząc prawą stronę równości do kwadratu stosujemy wzór skróconego mnoŜenia

(

)

2 2 2 2ab b a b a+ = + + ĆWICZENIA Ćwiczenie 1.4.1. Oblicz: a) (1pkt.) 6,25 b) (1pkt.) 3 27 10 2 c) (1pkt.) : 8 2 1 40 d) (1pkt.) 3 −2⋅332 e) (1pkt.) 5

( )

−310 schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wyniku. 1

Ćwiczenie 1.4.2. (1pkt.) Wyłącz czynnik przed pierwiastek a) (1pkt.) 381 b) (1pkt.) 147 schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wyniku. 1

Ćwiczenie 1.4.3. Wykonaj działania. Wynik przedstaw w postaci a+b c

a) (1pkt.)

(

12−2 3− 27+ 1

)

⋅2 3, b) (1pkt.)

(

1−2 2

) (

⋅ 2+ 2

)

, c) (1pkt.)

(

2+ 5

)

2. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wyniku. 1

Ćwiczenie 1.4.4. Zlikwiduj niewymierność z mianownika, wynik przedstaw w najprostszej

Postaci. a) (1pkt.) , 2 10 b) (1pkt.) . 3 2 1 2 + schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wyniku. 1

Ćwiczenie 1.4.5. (4pkt.) Oblicz y x y x y x y x+ , − , ⋅ , jeśli x=2+ 2,y=1−4 2. Wynik przedstaw w postaci a+b c.

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie wartości x+y 1

2 Podanie wartości x−y 1

3 Podanie wartości x⋅y 1

4 Podanie wartości y x

1

Ćwiczenie 1.4.6. (2pkt.) Wyznacz niewiadomą x z równania: x−3= x 2−3 3. Wynik przedstaw w najprostszej postaci.

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Przedstawienie x w postaci ułamka. 1

2 Podanie wartości x po usunięciu niewymierności z