Wykady z matematyki

Wykład VII

III Całkowanie funkcji wymiernych



dx x Vn x Wn ) ( ) (

1-etap: n<m (czy stopień licznika mniejszy stopnia mianownika)

2-etap

Rozkładamy mianownik na czynniki (wielomiany) stopnia co najwyżej drugiego

Niech k l q px x x x x Vm( )(  0) ...( 2  ) NIE TAK ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x Vm x R x Q x Vn x Wn   2-etap

0





Nierozkładalny

3-etap

Rozkładamy iloraz na ułamki proste

Przykład 7.1









_   _                dx x x x dx x x dx x x x x dx x x x x ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 2 ) 1 ( 2 2 2 3 3 2 3 I1=



 dx x x( 1) 2 2

Rozkładamy na ułamki proste

I1 l l l k k l k q px x D x C q px x D x C q px x D x C x x A x x A x x A g px x x x x Wn ) ( ... ) ( ) ( ... ) ( ) ( ... ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 1 1 0 2 0 2 0 1 2 0                         

Ułamki proste I rodzaju Ułamki proste II rodzaju

A xC B A x x x x C Bx x A x x x C Bx x A x x                  ) ( 2 0 0 ) ( ) 1 ( 2 ) 1 ( / 1 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2

dt dx t x 5 5 2     I1= C x x C x x dx x x dx x          





| 1 | ln | 1 | ln | | ln 2 1 2 2 2 2 2 2

CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH

(I-go rodzaju)

CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH

(II-go rodzaju)

Na przykładzie: I=









                             2 1 5 ) 2 ( 4 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2 ( 4 ) 2 ( 3 9 4 2 3 2 2 2 2 I I x dx dx x x dx x x dx x x x I1= dx x x C x x       



ln 4 9 2 1 5 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 1 2 2 I2=



  2) 5 (x 2 dx I=3I1-4I2 x-x0=t dx=dt





      dx x x Ax C x x A dx x x A k ) ( | | ln 0 0 0



             _ C x x k A C k t A dt t A _k k k 1 0 1 ) ( 1 1 1





         arctg t C arctg x C t dt t dt ) 5 2 ( 5 5 ) ( 5 5 1 5 5 5 5 5 2 2             2 0 2 0 A C B B A Z porównania współczynników



dx f x C x f x f ) ( ln ) ( ) ( '

dt dx x dt dx x t x 2 1 2 1 2 1 2 4 3 2 1 2 2                          dt dx t x 2 3 2 3 2 1          n n x x n u x u ) 1 ( 2 ) 1 ( ' ) 1 ( 1 2 1 2      _ x v v  1 ' Przykład 7.2





                   2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1 5 4 3 2 1 3 2 5 ) 2 1 ( 5 1 3 5 I I x dx dx x x dx x x dx x x x









                                                          I1=



                      C x C t t dt 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 I2=



                2 2 4 3 2 1 x dx











_       _  ₂ 2 2 2 9 1 16 2 3 4 3 4 3 2 3 t dt t dt Przykład 7.3 Niech: In=



 n x dx ) 1 ( 2 In-1=







  1 2 1 1 _n x dx =                  





         n n I n I n n x dx x dx n x x ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 2 1 2 1



        dx x x n x x n n ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 1 2

Otrzymaliśmy równanie: 1 1 2 2 3 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 3 ) 1 )( 1 ( 2 ) ) 1 ( 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 (                            n n n n n n n n n n n I n n x n x I n I x x I n I n I n x x I   







                                                                                C x arctg x x x x x x x x Odp C x arctg x x x C x arctg x x x C t arctg t t t dt t t t dt I I 3 1 2 9 3 2 ) 1 ( 6 1 2 ) 1 ( 2 5 ) 1 ( 3 5 : 3 1 2 9 3 4 1 1 2 3 1 3 1 2 2 1 ) 1 ( 3 4 3 2 1 2 9 3 8 ) ( 2 1 ) 1 ( 2 9 3 8 1 2 1 ) 1 ( 2 9 3 8 ) 1 ( 9 3 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3   

Całkowanie funkcji wymiernych

Przykład 7.4







_  _  _  dx x x x x x I 1 ) 1 ( ) 3 ( 9 6 5 2 2

Rozkładamy na ułamki proste

D C B A D C A x D C B A x D C A x x x x x x D x x x C x B x x x A x x x x D x x C x x B x x x A x x x x x x D x C x B x A x x x x x x 9 9 3 ) 3 15 ( ) 5 7 3 ( ) ( 9 6 5 ) 9 3 5 ( ) 9 15 7 ( ) 1 ( ) 3 3 ( 9 6 5 ) 1 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 )( 3 ( 9 6 5 ) 1 )( 1 ( ) 3 ( 1 1 ) 3 ( 3 ) 1 )( 1 ( ) 3 ( 9 6 5 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                      wzór rekurencyjny-pozwala obniżyć stopień potęgi (*)

                               9 9 9 3 6 3 15 5 5 7 3 4 9 2 5 4 1 0 D C B A D C A D C B A D C A D C A dla x=1 2 5 8 20 2 ) 2 ( 9 6 5  D  2 D  dla x=-1 4 1 32 8 ) 2 ( ) 4 ( 9 6 5 2           C D dla x=3 9 8 72 4 ) 2 ( 9 18 45  B B  dla x=0 D C B A 9 9 3 9   

⇒

A=9₄ C x x x x x x x x x x x x I                          

















1 ln 2 5 1 ln 4 1 3 9 3 ln 9 4 1 1 2 5 1 1 4 1 ) 3 ( 1 9 3 1 4 9 1 2 5 1 4 1 ) 3 ( 9 3 4 9 2 2

IV Całkowanie funkcji niewymiernych



    B t t B C t dt ₂ 2 ln



_{ } c bx ax dx 2



  t t C dt arcsin 1 2 a>0 a<0

Z tego układu równań można wyznaczyc współczynniki ABCD. Ale można również inaczej, z równania (*)

Przykład 7.5 1.            





         ej kanponiczn postaci do rójmian iśśmy Sprowadzil x dx x x dx 4 7 2 1 2 1 4 2 2 2 2



   4 7 2 t dt C x x x C t t       2  2 1 ln 2 1 4 7 ln 2 1 2 2 2.





      2 2 ) 1 ( 4 2 3 x dx x x dx





     2 2 1 4 4 2 t dt t dt

 

t C x C          2 1 arcsin arcsin

Podstawienie Eulera

 



B x dx 2

=(*)

t B t t t B t t t B t t x B x dt t B t dx dt t B t t t dx t B t x B t xt t sxt x B x t x B x                                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 dt dx t x    2 1 x-1=2t dx=2dt

(*)=





                        C B x x C B x x C t t dt t B t dt t B t 2 2 2 2 2 1 ln ln | | ln 2 1 2 1 C B x x C B n l B x x C B x x B x x C                2 2 2 2 2 ln | | ln ) ( ln _{}

Metoda współczynników Lagrange’a



   



_{ }    _{   } 1 2 2 1 2 ( ) ) ( I n n c bx ax dx c bx ax x V dx c bx ax x W _

Musimy wyznaczyc współczynniki wielomianu Vn-1 i stałą 

Jeżeli dwie funkcje są tożsamościowo równe, to ich pochodne też będą tożsamościowo równe.

Inaczej: Tożsamości różniczkujemy stronami:

c bx ax c bx ax c bx ax b ax x V c bx ax x V C Bx ax x W n a n n                 2 2 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( ' ) (           ) 2 )( ( ) )( ( ' ) (x V ₁ x ax2 bx c V ₁ x ax b W_{n n n}

Otrzymaliśmy równość dwóch wielomianów i z porównania współczynników przy odpowiednich potęgach wyznaczymy współczynniki Vn-1 i 

dt dx x t x   1 ln 2 2 2 2 ) 2 ( 5 ] 5 ) 2 [( ) 1 4 ( 1 1 4                t t t t t t dz dt z t 5 5 2    2 0 0 1 1 t dt dx x t x t x x     

 Przy pomocy tego podstawienia sprowadzimy do przypadku IV czyli metody współczynników Lagrange’a V

 

                     _{ }                                  _{ }                                                                           























c bx ax x x dx C x x x x dx x x x x C t C z z dz z dz t dt I t t dt t t t dt t t t B A B B A A A B A B A A t A A t t t B At t t A t t t t t t t t t t B At t t A t t t t t dt t t B At t t dt t t t dt t dx x x x x k I 2 0 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 5 2 ) ln( arcsin 2 13 ) ( ln ) ln( 4 1 3 ) ln( 2 1 ) ( ln ) ln( 4 1 ) ( ln 5 2 arcsin arcsin 1 5 5 5 5 5 ) 2 ( 5 4 1 2 13 4 1 3 2 1 4 1 2 13 0 2 3 0 6 2 1 1 2 2 ) 2 4 ( ) ( ) 2 )( ( ) 4 1 ( 4 1 4 1 4 1 2 2 4 ) ( 4 1 4 1 ' 4 1 4 1 ) ( 4 1 4 1 ln ln 4 1 ln             