A. Mróz Notacja: Je±li µ : G × X → X jest dziaªaniem grupy G na zbiorze X, stosuje si¦ notacj¦ g · x := µ(g, x), dla g ∈ G, x ∈ X. Orbita elementu x ∈ X wzgl¦dem dziaªania µ to O(x) := G · x = {g · x : g ∈ G} = {y ∈ X : ∃g∈G y = g · x} ⊂ X, stabilizator elementu x ∈ X to
Gx:= {g ∈ G : g · x = g} ⊂ G.
Wªasno±ci: (1) |O(x)||Gx| = |G|dla wszystkich x ∈ X.
(2) Gg·x = gGxg−1.
Zad. 1 Niech G = hσi < S6, gdzie σ =
1 2 3 4 5 6 3 5 2 6 1 4
oraz niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. De niujemy odwzorowanie µ : G × X → X kªad¡c µ(τ, x) := τ(x), dla τ ∈ G, x ∈ X.
(a) Sprawd¹ czy odwzorowanie µ jest dziaªaniem grupy G na zbiorze X. (b) Opisz orbity poszczególnych elementów zbioru X.
(c) Opisz stabilizatory poszczególnych elementów zbioru X.
Zad. 2 Sprawd¹ czy poni»sze odwzorowania µ : G × X → X s¡ dziaªaniami grupy G na zbiorze X oraz opisz ich orbity i stabilizatory.
(a) G = SO2(R) - grupa wszystkich macierzy obrotów pªaszczyzny wokóª punktu (0, 0),
X = R2; µ(R, v) := Rv, dla R ∈ G, v ∈ R2.
(b) G = Cn, X = R2; µ(R, v) := Rv, dla R ∈ G, v ∈ R2.
(c) G = R∗, X = R2; µ(t, (x, y)) := (tx, ty), dla t ∈ G, v = (x, y) ∈ R2.
(d) G = R∗, X = R2; µ(t, (x, y)) := (tx, t−1y), dla t ∈ G, v = (x, y) ∈ R2.
(e) Wska» przykªad dziaªania na pªaszczy¹nie (podobnego do (d)) takiego, »e w±ród orbit tego dziaªania b¦d¡ parabole (bez (0, 0)).
(f) G = Gl2(R), X = R2; µ(A, v) := Av, dla A ∈ G, v ∈ R2.
Zad. 3 Niech X b¦dzie dowolnym zbiorem mocy 13.
(a) Wyka», »e ka»de dziaªanie grupy G rz¦du 9 na X ma punkty staªe (tzn. takie, »e Gx= G).
(b) Wska» dziaªanie Z12 na X bez punktów staªych.
[Def. Centrum grupy G nazywamy zbiór Z(G) := {g ∈ G : ∀h∈G hg = gh}. Wniosek: je±li
Gjest abelowa, to Z(G) = G. ] Zad. 4 Wyka», »e:
(a) Z(Sn) = {id}, gdy n ≥ 3,
(b) Z(GLn(k)) = {λ · In: λ ∈ k∗}.
[Def. Komutatorem el. a, b w grupie G nazywamy el. [a, b] = aba−1b−1, a komutantem
nazywamy podgrup¦ grupy G generowan¡ przez wszystkie komutatory, ozn. G0.
Wªasno±ci: (0) Je±li G jest abelowa, to G0 = {e}.
(1) G0C G oraz G/G0 jest abelowa.
(2) Dla ka»dego H C G takiego, »e G/H jest abelowa, G0 ⊂ H. ]
Zad. 5 (a) Wyka», »e Gln(k)0 = Sln(k) := {A ∈ Gln(k) : detA = 1}.
(b) Wyka», »e S0
n = An [Wskazówka: wykorzystaj fakt, »e An jest generowana przez cykle
dª. 3.]
(c) Oblicz D0 n.
Zad. 6 Niech Q8 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} ⊂ Gl2(C), gdzie 1 = 1 0 0 1 , i = i 0 0 −i , j = 0 1 −1 0 , k= 0 i i 0 .
(a) Udowodnij, »e Q8 jest podgrup¡ Gl2(C) (utwórz tabelk¦ mno»enia). [Q8 nazywamy grup¡
kwaternionow¡.] (b) Oblicz Q0
Zad. 1 Niech G i H b¦d¡ grupami. Na zbiorze G × H mo»na zada¢ dziaªanie wzorem (g, h) · (g0, h0) = (gg0, hh0), dla dow. g, g0 ∈ G, h, h0∈ H.
(a) Wyka» »e (G × H, ·) jest grup¡.
(b) Znajd¹ podgrupy G, ee H < G × H takie, »e G ∼e= G, eH ∼= H i wyka» »e s¡ one dzielnikami normalnymi w G × H.
(c) Udowodnij, »e (G × H)/G ∼e= H oraz (G × H)/H ∼e = G.
[Przypomnienie: Tw. Lagrange'a: Dla H < G, |G| < ∞ mamy wzór |G| = |H|[G : H], gdzie [G : H] = |G/H|. Wniosek: |H| | |G|.]
Zad. 2 (a) G, H- grupy sko«czone, g ∈ G, h ∈ H. Wyka», »e |(g, h)| = nww(|g|, |h|).
(b) Udowodnij, »e Z3× Z4 jest cykliczna (ogólnie Za× Zb, gdzie nwd(a, b) = 1). [Wniosek:
Za× Zb ∼= Zab je±li nwd(a, b) = 1.]
(c) Wyka», »e je±li |G| = p i p jest liczb¡ pierwsz¡, to G ∼= Zp.
(d) Wypisz wszystkie podgrupy grup Z5× Z5 i Z25. [Wskazówka: G < Zn⇔ G = kZn dla
pewnego k|n.]
(e) Wykorzystaj powy»sze rozumowanie do udowodnienia, »e dla dow. liczby pierwszej p grupy Zp× Zp i Zp2 nie s¡ izomor czne.
(f) Które z grup Z100, Z25× Z4, Z5× Z5× Z4, Z25× Z2× Z2, Z5× Z5× Z2× Z2, Z5× Z20,
Z10× Z10 s¡ ze sob¡ izomor czne?
(g) Udowodnij, »e Zn∼= Zn1 × Zn2 × · · · × Znm, gdzie n = n1n2· · · nm, ni= p
αi
i , αi > 0, dla
1 ≤ i ≤ m, oraz p1, p2, . . . , pm to parami ró»ne liczby pierwsze.
[Przypomnienie: (1) Ka»da sko«czenie generowana grupa abelowa jest izomor czna z grup¡ postaci Zm× Z
t1 × Zt2× · · · × Ztn, dla pewnych m ≥ 0, n ≥ 0, t1, . . . , tn≥ 1.
(2) Ka»da nierozkªadalna sko«czenie generowana grupa abelowa jest izomor czna albo z Z albo z Zpα, dla pewnej liczby pierwszej p i α ≥ 0.]
(h) Rozªó» grup¦ Z1000× Z50× Z7 na produkt grup nierozkªadalnych.
(i) Ile jest parami nieizomor cznych grup abelowych rz¦du 100, a ile rz¦du 16? Ogólnie: jak to liczy¢ dla dowolnego n ≥ 1?
Oznaczenie: Dla m ≥ 1 i dzielnika normalnego H C Zm generowanego przez elementy
b1, . . . , bngrup¦ ilorazow¡ Zm/H czasami oznacza si¦ nast¦puj¡co: Zm/A, gdzie A jest macierz¡
m × n, której kolumnami s¡ wektory b1, . . . , bn.
Algorytm rozkªadu grupy Zm/A na produkt grup nierozkªadalnych:
(1) Stosuj¡c eliminacj¦ Gaussa nad Z sprowadzamy macierz A do postaci diagonalnej
d1 ... dr , r ≤ m, d1, . . . , dr.
(2) Wówczas Zm/Ajest izomor czna z grup¡ Zm−r× Z
d1 × · · · × Zdr (∗).
(3) Ka»d¡ z grup Zdi, 1 ≤ i ≤ r rozkªadamy na produkt sko«czonych grup nierozkªadalnych
(Zad. 2(h)) i rozkªad ten podstawiamy w odpowiednie miejsce w (∗).
Zad. 3 Niech A1 = 3 6 0 2 0 8 oraz A2 = 1 1 −1 0 6 6 2 2 10 1 7 17 .
(a) Rozªó» grupy Z2/A
1 oraz Z4/A2 na produkt grup nierozkªadalnych.
(b) Rozwi¡» ukªady równa« nad Z: A1 x1 x2 x3 = 15 14 oraz A2 x1 x2 x3 = 1 2 0 0
