Analysis of the standard manoeuvre test of Kempf and proposed steering quality indices and The improved simultaneous equation method of analysing zig-zag manoeuvre by K. Nomoto. Aantekeningen bij deze artikels

ANAI.XSIS OF THE STANDARD MANOEUVRE TEST 0F KEMPF AND

PROPOSED STEERXNG

_{===== ==}

UALIT! INDICES.

en:

TRE IMPROVED SIMULTANEOUS EQUATION METhOD

OP-ANALYSING ZIG-ZAG MANOEUVRE._============

_=======z=

By K

Nonioto

Rapport No

1Q

Dooi G. van Leeuwen.

Laboratorium voor Scheaabouwkunde4

december 1962.

-1-1. Bealing der kwaiiteitsindjces K en T,

De "standard sanosuvre test" volgens Keiipf is gedefinleerd als voigt:

Voor tO vaart hot sohip op recht. koers; daaxbij is de

roerhoek á

Voor 0tt1

1.8

t. Voor t1 tt2 is

Is voor t t2 de koershoek ₌

6,

dan geidt voor:

t2tt3:

u t. Voor

t3ttkiØ

&=.

Is vor t de koerabook Ó - ¿ 1,dan geidt voor:

8=

Voor t5tt6

i 6

Za wordt dit procee enige mal.n herbaald Een iliustratie ervan vorst 11g. 1.

Ken serate vraag die zicli bij beechouwing van de'e gegeven.

opdringt is: Kunnen we de door bet schip beachreven baan

bereke-bij bekende t1, t2,

$ tkO!

8v

Vøtji 16k1

<ca 100 zouden we daarbij uit kunnen gaan van de in rapport afgeleide dilferentiaalvergelijking:

T1T2L-+(T1+T2)+ò=K,5(t).KT

d8(t)

Ç

t 't

K2j6

dt We vinden dan: + x26

re

=

9,5

e

Q'

_e

'-t'

_o

0'

QI

e

01'

en - te'

t'

e - te" Q 5,

-

t "

of van de eerte orde benadering hiervan:

T + = K8(t) (2)

De functie Q(t) zou dan wegens de discont1nuteiten van

S (t)

opgebouwd zijn uit deelunctiea die

ouden gelden voor tkttk+l*

Bepa].ing van T1, T2, T3 en K reapeotievelijk T en K zou dan in

prin-cipe mogelijk zijn door meting iran i en

ô.

Eon methode die aanmerke:Lijk eenvoud&ger is, is die waarbij be-halve

₅

en Q oak van de opgenomen curven geineten wordt Hot is dan niet nodig de differentlaal vergalijking (2) op te besen. In princi-pe i deze methode oak bruikbaar ter bepaling van T1, T2, T3 en K,

doch dan zou tevena eon curve van opgenomen moeten worden, We zu].-len deze method. nader uitwerken voor het goya]. we vergalijking (2) ale uitgangspunt kiezeri,

Izt.jrati

van (2) levert:

T(ô - + Q = K

₃

₅

(t) dt

+ K& t

(3)

waarin

_{8 m(t)}

de gometen waarde van rS is en de roerhoek waarbij

het sobip sen reohte koers zou varen. Nomon we voor t die waarden waarvoor A dan kunnen we met twaa zodanige waarden van t de on-bekenden K en £ oploasen uit:

t 'p X2 je _& m dt + t s = e e o

i

-3-Hiermee la K "in de tweede halve periode"

en

bepaald,

Ga-bruiken we de gevonden waarde van

_{op het tijdatip t = t}

dan

kri.jgan we;

te

K1f

_{Smdt*KiSpteQe,dua:}

e

_{(K Ij}

_{de eerate halve periode"),}

0

Voor K nemen we het gemiddelde van K1 en K2. Ter bepal1ng

Vafl 2

paesen we (3) toe voor t

=tJ

,

t = t

en t = tg: (t2", t

en t

lets kleiner dan t2, t

en t6).

Smdt+

]

0)=(Q-Q,).K2 f £dt+ ¿'y(t_t

j

tt

_i

T3(40)=(Q.Q)-K2

je

_{. mdti i}

(t-tu

t

_j

Voor T neien we het gemiddelde van T1, T2 en T3.

t

t'

De integraienJ'

dt, Seni dt

enfe

berekent men ale voigt:

ala t2<t Et3 dan le:

md

1t2_

ale t3(t <4 dan la:

(b) f S dt S1t2

(t3t2)(S1$2)+

_{(te t,,)}

-ala tj4(t't5, dan ta: t' t'f e

elf

(a')f

at=5 L

dt+ a t5t'f

)(t0'

+t4)-al t5t0'<t6 dan ta: t' tif. çe (b')j

& dt=f

_{adt4(t5_t4)(3+S)+Ç(t'_t,)}

a

ala t6<t"(t

e7

dan is:

fu

(a")J

_{dtI;Jadt_}

e 6 t7 - t6

[_ft:

_{+t6)_33t?+S'ft6I}

en ale t7t"t8 dan is

(b")

f

¿t=

_{dt+f3+'fXt7t6)+ £f(t-t7).}

waarin:

raep.ctievelijk

16

_£adt

verkregen wordt door in vergelijking (b) reepectiavelijic (b') voor

t

reep.ctievelijk

t' te aubatitueren t'f reapectievelijk t6. Voor de berekening van T hebbert we nodig:

t t t' t

Se

iÇdt_JSdt

Ç

-ta o o o t, t'

ra

J

òm

_J

adt- [(b)

met t

t/}

t4

o en tena].otte:

tu

si.

dt-(b') ¡net t= t

t6'

o

1

-5

i

Qo

L,'

2. Uitvoaring van de proeven.

De "standard manoeuvre teat voigens Kampf"

te geechikt orn

uit-gevoerd te worden met schepen op ware grootte. Mon vaart daarbij

een bepaalde rechte koers bijv. 65°. Op bet ttjdsttp t*t0 least

men de koere mf vañ hat kompas0 die dan bivoorbeeld

670

_{is Ten}

opzl,ohte hiervan bepaalt men op geregelde tijdatippen 4e

koereaf-wijking. Bij modeiproeven zullen we eon eniga4ne andere procedure

moeten voigen. Do ujjiaratuur welke Q reg±streert wordt op nul

af-geregeld vannier bet echi» etti ugt evenwijdig san eon tevoren

nauwkeurig gedefinieerde referentie-as (bijva de langte-as van de

sleeptank). Daarria wordt de sobroet in werkirig geateld eri bet model

met )iandbeaturtng zoveel mogelLJk in eon rechte koere evenwijdig

san de referentie-as gebracht. ¡ri hot algemean is dan echter op

hat tijdatip t.t0 de koeraboek Q nietrecis gelijks.an nuls due

Q

= Q. Dat betekezit dat we in de gentegreerde

differentiaalver-geltjking (3) in plaate van Q moeten subetitueren O-Q, 0m

prac-tische redenen riemen we voor £ ean ey'mmetrisch eignaal

dus:

Lak

_4,

=So

+ &e (k

o, i

.

. .

k +2

S

Meten we Q met eon hoekgiro en laten we deza bet roeraigriaai bedierien dan zal de proef siechte dan een symmetrisch verloop

hab-ben a1e6

= O

enc,

O (fig, ).

6

FI&Z.

3.

Draeieirkelpro.v.n.

In rapport No. 96 i. ean method. aangegeven hoe uit model-draaioirkelproevan de indice. K en T bspaald kunnen worden. _De prost is echter ook geschikt orn uitgevoard te worden met sohepen

op ware grootte. We gaan daarbij uit van de eerate orde benad.ring van vergelijking (12) rapport No. 96, biz. 17:

ti/T

-t/T1. ₍₄₎

9(t) = x _o {t._(T

+ kt1)+T.

_{_tl,1*}

D. aaymptoet van deze funotie he.ft tot verge].ijking;

9(t)_K

_{&0[t_(T+ft1)}}

(zia fig. 3). ₍₅₎

¿o

FIG..

D. kromm. van fig, 3 kan nu bepaald worden door _{Q op bet} koapse at te lezen en daarbij de tijd te notaren. _{Zet aen de proef} Voldoends lang voort dan kan de asyaptoot met rodelijke nauwkeurig

beid getrokken worden waarm.e K en T bepanid zijn.

Baanverelijkinç.

Laten we in verg.lijking (4) t1 tot nul nadaren dan vinden we:

9(t)

_{.KSo[t.T(l_et/T)1}

₍₆₎

Stellen we de baanvergelijking: f(xy)

O of

in parametervorm: 7 a y(a)

Ter bepaling van y(s) en x(a) hebben we: = tg ₀ ofwei: dx dx - 1 2_dy2'

V

de -1

:cotØ.ainØ

coeø.

N is ₀ = Q -'i' terwiji opgelost kan worden uit:

+ - ₌

i2

1

(;) n

C+; Ck6 =

door ].iminatie van Q. Uit de eerate vergelijking voigt:

;m2%p +c1y

-=(m)1.m2Çi+c1ig

Subetitutie van en in

da

tweade vergelijking geeft na enige

herleidirtg: m n " 1 2Ck+

nC

(1)2 2 CkC1_mCIfl + ckcl_wc i4+LP=

- ______

ofwel: I T1T2 j.+(T1+T2)Cy + %'= u.S + c de overdraohtafunctje

is

dan:

1+Tp

(sie rapport No.$verg.5)

-8-waarin;

1

nC

Rcc

_{k i}

_e

_CkCA+l.

Bij voldoend grote wearden der relatieve kromteatraal kunnen we

echter Lf.

verwaarlozen,

0

Q, zodat

ein Q en

coa Q.

8teilen wet

V

8

t

T'

= T V

TT

dan 1e

_

-d

de

_$L

_mi

dz

''de'

.1.

=T'f

dz*?'f ji9d2

ea:

z

-

_x

dx

T' f

dz

T'

cos Qdg,

waarin:

Q = K0

[t

T(l_e_t/T)}

= KT,Ç

op

.

- KT

.KT0

e

-t/T.

o

Met KTS0

a worden de integralen:

T'

₇

ein

j'

_{a(z - i + a e} d}

o

T' f

coe[a(z_1)+ aeZJdz

Ztelien we:

a(z-1+e)

= a(1 -e).

Nu je:

a(1 - e_Z) einc1z

ooae?

-9-afwei t

6irtdz+a

_J

e

ein

*

= cos1fl

ein Qdz

- coeiQ)

ainQdz.

Evenzo:

coadz = (ein i)+j ez coslQdz

VIat one nu in bet bijzondez' _{intereeaeert is}

_{het gedrag van de func.}

ttes voor z-u Me bepalen due:

en;

-9-11m

_Z

unii

Z-

P' -

- OO8

11m ;

11m (1

'

8in

z

T'

_a

I

11m

;

i' z-. ?' ein ¿(z - i) +

Deza formules drukken uit dat zowel fr

_{ala ir op den duur}

zui-ver perjgdjeke functîes niet periode 27t worden doch'dat de Symmetrie

aa ei-van niet samen'a1t met de z-ao.(V1. 5)

Da baanvergelijking voor z O _{voigt nu uit (7) door}

elimi-natip van z:

fi-cos a(z

+

e

eln(edz}

7

_-

{l

- cos a(z

-

+

z =

_fain

_{a(z -}

i)]

_{+ T'}

f;

2+{

-

T'.!2

I

dz}

'J

(7)

- io

z

ce

À

1-v

rr

If

Z'o

(R-Zo)

FIG5

Dit ie de

_{verge131d.ng Van}

«en cirkel

_{waarvan de}

cordjnaten

Van het midd.ipiat

_zijn:

+

T'.I.

De atraal

_{Vgn d«z« cirkel}

_ia

I

Roo= o

hetgee

_{cok direct}

_{Voigt tit:}

i

_iii

_{dO i.}

_ij

£r

ft_T(1..-t/T)

t-, de

y

_8t

L

= =

_x

_{(i -}

«t/T)

_1,

K_{S =}

_X'

V

ot-ø

V _o

-

Io

-- Il

Indien de integralen I en

₁₂

_{bekend zljn (zie Appendix), dan}

kunuen K' en T' op oenvoudige wijze uit craaicirkelproeven bapaald

worden

wanneer daarbij de

cordinoten van hot middelpunt en de

traal van de Utnietcirkol gematen worden, zoals b].ijkt uit de

ver-galijkingen:

K'

M

I = __

'2

I

De bij deze waarde van

_{behorende waarde van K'T'S levert do}

1

o

constante T'.

. Gedrag van Ken T birotere roerhoekan.

B±j de afleiding

van de differentiaalvergelijkingen:

=K

en:

is uitgegaan van een gelinearsaerde theorie. De vraag rijet dus

tot welke warde van de roerhoek S zijn K en T

T2, T3) ais

constanten te besohouwen? In plaats van

kunnen we ook

R(limiet-bij draaic1rke1) of Si

₌

_{j (=}

r

ale parameter gebruiken.

Nomoto heeft dit gedsan waarbij hi

echter de resultaten van zig-.

zag proeven gebruikte. BiJ defj,.nieerde eeu geniiddeld

"kromminga-niveau":

kki'k6I

= 2 -

(zie

fig. 1).

due:

.

A Q

= 0,7 ;,

i.- u-.-.

Op doze wijze werd experimanteel een verband tuasen K'

a

gevonden, wearvan fig. 7 eon voorbeeld 154

-

12

q2

-"aaidd.3.dø" K'

*

"diff.r.,itjj'K'

Ret op deze wijze gevonden empirische verband

tuasen

g en..f?..

is:

S =

a b..2

(S

in graden

).

Ook kan gebruikt worden:

S =

arz. +

01L 3

Definiren we K' als

dan vinden we

in het eerste geval:

K' =

_a+bIL

i

-a 2 a UK'

-2b

_¿K'

_8b2

dSL 2

(a

+

2bS,)

_dS,

(a

+

2b2.)3

s 4O

13

13

-waaruit voigt dt K' dea te bet.r ais conetant t. beachouwen is

naarm*te SL (of £ ) toeneemt. Uit drasicirke]- en zig-ag-proeven b..

paalde Noaoto tevens bat verband tuesen T' enS. Fig.

8 le daarvan

sen voorbeeld.

l4hT'

z

011

-De integralen

Ii(a)

en Id(a) zijn waarechijnlijk niet

elemen-tair ap te loaaen, doch hot is wel mogelijk een reekeontwikkeling

aan te given. De ab8olute waarde ervan is kleiner dan 1

zoala

voigt nit:

ff

eain a(z - I + e) dz

sin a (z -.1 + e) f dz<

fedz

li.

J.5ina(x

-

1)+ae_1}dx_ f._Xiina(xl)coeae_X=

=fe

{ ein ax coa a cos ae

- cee ax ein a coe

_ae"j

dx

Se

ax coa a ain:e

+ sin a:ain a ein

ae}thc

-cosa e ainaos*.

-sin a

e

cosaxcoaae

+

+ co.

af

ecos ax ein ae + ein

af

eeinaxein ae

Nu is a

X'T'IO en uit proeven vari Nontoto blijkt dat bij

be-nadering voor "normale" achepen

(dit

meir ria

g-no*on) geldt dat O(K'T'(30 Verdor heeft hot

gun min

riemen daar de

linearieatie dan niet bruikbaar meer is. Ergo ie lo

ale bovengreria voor a zuker

voidoende. Dit betekent dat cos ae1

en sinae

door bun aachtreekeen

te benaderen zinn mita we ein

voldoend aantal tersen

bepalen.

Iera'. ale Ox

dan is:

-x

aae

,O,

dus:

cae

acosaeXl,

en:

sin a

nm ae

O.

- 15

Naa,W. als we bet santal termen zo groot riemen dat cosa en

siria er voldoende nauwkeurig mee bepaald kunnen worden, dab is dit

aanta]. termen ook voldoende om cos

aez

en stnae

te benaderen:

n

2k+1

n

2k

81fl* =

(_1)k a

-

en coaa

L

(1)k

Eon eigenschap van deze alternerenda reekeen ta dat de tout

die men maakt door de reeks b3.j de in-.de term at te breken kleiner

is dan de absolute waarde van de

_{+'1ste tez',}

_{ieen we eeri nauw-.}

keurigheict van 1% dan betekent d1t dat eon waarde

van t bepaald

moot worden uit:

lot

_I

ofwei

t i

Kieraan voldoet t

30 waaruit voigt dat we moetea berekenen:

15

coaae"

_2k1

k=O

en:

15

k

sin ae

()

\ae -,

kO

(2k*1)t

Yoor

(a) vindon we dan:

Io 15

e

-sin a.

(1)1fecoeax

k=0

o

en op analoge wijzet

15

.cos aZ

(1)kf e_Xcooax(ae_X)2k+,

k=O

(2k+1)1

+

-x 2k ti

15

-x2k

I2(a)=cosar(_l)kfe_tcosax (a.,

_dx + a 15 +Gjfla k'.O 15

-cosa

k=O 15 +ejflaF C-Stellen we:

15

co

(_1)kfe_Xsinax

o

15

Z

(i)kf

eOO5

o

15

o

f esin

-x

2k

x

(ae

₎ sin ax 2k1

°

+ o

-x

2k + I

1)kI

e-x

airiez

(a.

(2k+ 1)1 + o

co

1)kJ-.x2k1

_e

-x

_{(ae )}

cosax _{(2k+ 7)}

dx.

o

ax

-x% t (a. ) sin ax.

(X2k

2k1 ' dx --_A .

ae

J 2k!

dxT2

-z 2k+1 Cae ) al

_2k+1!

4-(ae

x)2k

.P1

2k+11

dan is due:

I1(a) (T1 +

F3)coaa +(T4 -

ema

12(a) (F2 - F4)

coe'&+ (F1

F3) ema.

De toreen van F1 en P zijn

van

de gedaante

=

ti_(t+1)x8ji=

e ti

a

at

I

(t+1)xam

t+1

t+1I

F3 F4

(t+1)x

d[(t+1)x}

17

-fe

() 00

t

r

-a _¡ 0-x

t + j-g

.1 o a t

t+1

a

t+1

e 't

t+1114( __& )tF(t+l)2fá2

+I

Voor ioeten we aubetitueren t

*

2k,

duez

2k+1

I

i?

ka

2

r1 =

2.

(-1)

(zk+1) +a

kO

en vooz F: t=2k+1, dus:

¿f

Z (i.1)

(2k+1)I (2k 2) i.e

k=O

15

_{k a.}

22

21vs2

_i

I en die

van

F2 en F : -I

-x

Çae )

je

øøax

o at

t+i,tífe_(t)x

_{CO8(.:-l)(t+1)Xd(t+1)x=}

o

ti

f

e CosctIr); d = t

t+111 ,a

+'bt + I

t

_(t+i)2

t

a a

t+I

t+1I(t+1)2+a2t'(t+i)2i.a2

Voor P2 moetenwe eubstitueren; t 2k

dus:

15 k

a2k.

2k+1

2

Z(1)

'k.,.:

(2k+1)

-

18

17 -dx

en voùr F3: t2k+1

15

2k#1

F

(1)k

a

2k+2

(2ic+i)i

(2k2)2+a

--

k=O

N.B. Rterbij ii due

gebruik gewaakt

van de

=fe

co& o due: oplosbaarheid

vane

br dx,

e_2einbxdxa_Jed(coab;)

l_lb

I

J"ecoe

br dx ¿. fe d(ain bx)

j

eain

br

₊

-ecoebx1=O_.

o

+

}

I b

Il

G,

FI

+

F3

uitgoacbreven

is:

k

O:ii[.

i-+

i +a I

k

3.

L'

72sa2

+

a

2

i

_sa

Lp

42 ia2

6 2 2

6+a

i

i

-x

en

ein br

=

OO

= O o

I

b Gi

_{I+()2 =}

ib2

G 2

_lib2

8

2

2

o +a

J

J

J

j

uib j

_{achtereenvolgeus te t3chr&jven}

_als:

ra

i 2 I

T

2'2

2

ij

1a

3

k

.1

LT?+a2'

+ ¿.

fcos

bxedx1

fain

br - 19

._

k

=1'

[a3

I

a3

2!32,,5T

I a5

23T

2

=

L

ainbxdx en 02

ri (ì

dus:

Waarin t

____

6

151'2 22

L

5+a

6a

2+

2

a

'

7 +a

8 +'a

15

ka2kf

_2k*1

2k+2

F'

2k+1!((2k

1)2

2

_(2+2)2+a2

-

F1 Ci Evenza ±8 F2 -laO _O

i

IO!

_02+a2

T

_1*a2

r2

2

la

2 a

-1

_[T

22+a2

+

22

ra4

a 5 *1 L

42+a2

+ +

ra6

6 6 -1

[.

₆₂₊

a

+

72 +a2 -

19

-k

_2k

1

kO

L2k)2a2

+

(2k+i)2+a)

= F'2 - F4 = C2 We achrjjye des:

11(a)

_{C1(a) cosa- C2() sins}

12(&)

C2(a) coaa# aine.

e voor de bepaling van K' en V gebruikto vorm ven

ala

xl

tg(

a)

cl

_'-a

t7 Cob

_{'f' - ________} C2 ana., is dan te echrij-h

12