08 listopad 2005

(1)

8 listopada 2005

1. Korzystaj¡ z deni jizbada¢ ró»ni zkowalno±¢ podany h funk ji w punkta h

(a)

f

(x, y) = x

2

− y

2

,

(x

0

, y

0

) = (1, −2)

; (b)

f

(x, y) =

(

_xy

√

x

2 +

y

2

dla

(x, y) 6= (0, 0),

0

dla

(x, y) = (0, 0),

(x

0

, y

0

) = (0, 0)

.

2. Napisa¢ równanie pªasz zyzny sty znej dowykresu funk ji we wskazanym punk ie

(nale»¡- ymdo wykresu funk ji) (a)

z

=

p9 − x

2

_{− y}

2

,

(x

0

, y

0

, z

0

) = (

√

2, −

√

3, 2)

; (b)

z

= y · ln(2 + x

2

y

_{− y}

2

)

,

(x

0

, y

0

, z

0

) = (2, 1, z

0

)

.

3. Pokaza¢, »e je»eli zterokrotnieró»ni zkowalna funk ja

f

: R

2

→ R

dlapewny h wspóª zyn-ników

A, B, C

∈ R

speªnia równanie

A

_·

∂

2

f

∂x

2

+ B ·

∂

2

f

∂x∂y

+ C ·

∂

2

f

∂y

2

= 0,

tofunk je

∂f

∂x

i

∂f

∂y

równie» speªniaj¡ torównanie.

4. Sprawdzi¢, »e funk ja

f(x, y) =

p|xy|

jest i¡gªa w punk ie

(0, 0)

, ma w punk ie

(0, 0)

po hodne z¡stkowe, alenie jest ró»ni zkowalna wpunk ie

(0, 0)

. Czy po hodne z¡stkowe

f

s¡ i¡gªew

(0, 0)

?

f

(x, y) =

x · sin 4 · arctan

y

x

je±li

x

6= 0;

0

je±li

x

= 0,

jest i¡gªawpewnymoto zeniupunktu

(0, 0)

,po hodne z¡stkowe

f

s¡ograni zonei i¡gªe ze wzgldu na ka»d¡ ze zmienny h, ale

f

nie jestró»ni zkowalna w

(0, 0)

.

f

(x, y) =

(x + y)

2

· sin

1 x

2 _+y

2

je±li

x

2

+ y

2

6= 0,

0

je±li

(x, y) = (0, 0),

manie i¡gªepo hodne z¡stkowe wpunk ie

(0, 0)

,ale jestró»ni zkowalna. 7. Sprawdzi¢, »e funk ja

f(x, y) =

(x

2

+ y

2

) · sin

1 x

2 _+y

2

je±li

x

2

+ y

2

6= 0,

0

je±li

(x, y) = (0, 0),

mapo hodne z¡stkowektóre nies¡ograni zonew»adnymoto zeniupunktu

(0, 0)

,alejest ró»ni zkowalna.

(2)

8. Pokaza¢, »e je»eli

f, g

s¡ funk jami ró»ni zkowalnymi o warto± ia h rze zywisty h okre±lo-nymi na

R

n

, to

▽

(f · g) = f · ▽g + g · ▽f

i

▽

1 f

=

▽f

f

2

.

9. Funk ja

f

: R

3

→ R

jest jednorodna stopnia

m

je»eli dla dowolny h

x, y, z

∈ R

i

t >

0

za hodzi

f

(tx, ty, tz) = t

m

_{· f(x, y, z).}

Sprawdzi¢,»e je»elifunk ja

f

jestjednorodna iró»ni zkowalna, todladowolny h

x, y, z

∈ R

x

_·

∂f

∂x

(x, y, z) + y ·

∂f

∂y

(x, y, z) + z ·

∂f

∂z

(x, y, z) = m · f(x, y, z).

Wskazówka: zbada¢po hodn¡ funk ji

f(tx, ty, tz)

ze wzgldu na zmienn¡

t

. 10. Sprawdzi¢, »e je»eli funk ja

f

: R

3

→ R

jest ró»ni zkowalna i istnieje takie

m

,»e

x

_·

∂f

∂x

(x, y, z) + y ·

∂f

∂y

(x, y, z) + z ·

∂f

∂z

(x, y, z) = m · f(x, y, z)

dladowolny h

x, y, z

∈ R

, to

f

jestjednorodna stopnia

m

. Wskazówka: pokaza¢, »e funk ja

t

m

· f(

x

t

,

y

t

,

z

t

)

jest staªa ze wzgldu na

t

.

11. Sprawdzi¢, »e je»eli

f

jest ró»ni zkowaln¡ funk j¡ jednorodn¡, stopnia

m

, to jej po hodne z¡stkowe s¡funk jamijednorodnymistopnia

m

− 1

.