Beschouwingen over de luchtkrachten op trillende vliegtuigvleugels waarbij in het bijzonder rekening wordt gehouden met de samendrukbaarheid van de lucht

Li

BESCHOUWINGEN OVER DE LUCHTKRACHTEN

OP TRILLENDE VLIEGTUIGVLEUGELS

T ^ ^ ï ^

BESCHOUWINGEN OVER

DE LUCHTKRACHTEN OP

TRILLENDE VLIEGTUIG^

VLEUGELS

WAARBIJ IN HET BIJZONDER REKENING WORDT GEHOUDEN MET DE SAMENDRUKBAARHEID VAN

DE LUCHT

P R O E F S C H R I F T

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE T E C H N I S C H E W E T E N S C H A P AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT KRACH-TENS ARTIKEL 2 VAN HET KONINKLIJK BESLUIT VAN 16 SEPTEMBER 1927, STAATSBLAD No. 310 EN OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS J. M. TIENSTRA, HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER WEG- EN WATERBOUWKUNDE VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT T E VERDEDIGEN OP WOENSDAG 9 OCTOBER 1946, DES NAMIDDAGS

T E 4 UUR DOOR

REINIER TIMMAN

GEBOREN TE DEN HELDER

iBIBLIOTHEEKj

Dit proefschrift en de stellingen zijn goedgekeurd door den promotoren;

Prof. Dr. H. BREMEKAMP en

ERRATA.

bldz. 5 staat den promotoren moet zijn de promotoren. 9 regel 11 v.b. staat worden moet zijn wordt. 20 regel 9 v.b. staat nvl moet zijn nul.

20 formule (1,1,7), middelste formule, staat ~ moet zijn—.

c)z dy 20 formule (1,1,8) staat ~ moet zijn —-.

dt at

20 formule (1,1,9), middelste formule, staat w^y^ — w^j/^ moet zijn w,v^ —w^j;,.

20 laatste formule staat — - moet zijn - . —. Qdy Q dz

22 regel 2 v.o. staat druksprong moet zijn potentiaalsprong. 22 formule (1,1,16) staat (1,1,16) moet zijn (1,1,18).

k K 23 formule (1,1,23) staat—— moet zijn ^^-.

VQ VQ

45 regel 10 v.b. staat functie van g moet zijn functie g. 58 formule (3,2,19), eerste rij van de determinant, staat

Ootjl moet zijn Oa^O.

61 regel 5 v.b. staat ju — iVA moet zijn ju = —iVA. 62 regel 3 v.b. staat 1 moet zijn ni.

63 regel 1 v.o. staat c___^ = —c,, moet zijn c_j = —c^. 64 formule (3,4,9) staat «_,, = a_i moet zijn a_„ = a^-r 65 regel 10 v.b. staat (3,4,12) moet zijn (3,4,13). 66 formule (3,4,27), staat e(2n+i)>? moet zijn e(2°+i)i)?.

h^ 68 formule (3,5,9), eerste rij van de determinant staat —

, .. - 2 h 2 moet zijn — .

70 regel 1 v.b. staat (r + 1) moet zijn (r + 1 )2.

bldz. 75 formule (3,5,24) staat — ~-———j moet zijn

4 ( r + l ) ^ ' " " " " ^ "

4(r+l)^-JC tl 77 formule (3,7,4) staat / moet zijn / .

o o 78 formule (3,7,5) staat - moet zijn — .

n n

79 regel 3 v.b. staat 2^^^^^ moet zijn h^^^^.

80 r.egi?l 10 v.b. staat Courant 1 moet zijn Hilbert-Courant I

en bij Kneser toevoegen 7.

83 formule (3,9,13) behoort voor sin (kc Sh f . sin ?;) te 2w

staan / . o

83 volgende regel moet zijn ( W e y r i c h , 14, bldz. 20). n 2 83 formule (3,9,14) s t a a t - moet zijn - .

2 n

83 formule (3,9,17) in het eerste en tweede lid een factor k toevoegen.

84 formule (3,9,21) in het linkerhd een factor k toevoegen. 85 formule (3,10,5) staat (u^ — m) moet zijn {[j? — m^). 93 formule (3,12,25) weglaten O < 0 < 1 .

93 regel 3 v.o. achter Sieger invullen (11). 94 regel 9 v.o. achter Nielsen invullen 9, bldz. 280. 104 regel 8 v.o. in het hnkerlid toevoegen P2ni+i-104 regel 3 v.o, staat eC^^+Df moet zijn e-(?'"+i'i

h"*

117 regel 3 v.o. staat —~- moet staan vóóraan op regel 2 v.o. 128

118 formule (3,16,13) staat o [ ^ ) moet zijn 0 \ ^ . 119 formule (3,16,18) staat (n + L) moet zijn (n + 1). 120 regel 9 v.o. staat Srutt moet zijn Strutt.

123 formule (4,2,1) staat a" moet zijn «„. 124 formule (4,2,3) staat «" moet zijn «„.

125 regel 6 v.b. invullen (Sommerfeld 4, Carslaw 1). 128 regel 4 v.b. toevoegen | .

INHOUD.

bldz.

Inleiding 9— 18 Hoofdstuk I. Afleiding van de grondvergelijkingen

om de stroming met behulp van de

versnellings-potentiaal 19— 28 § 1. De versnelhngspotentiaal 19— 23 § 2. De vergelijkingen van de snelheids- en

versnellingspotentiaal 23— 28 Hoofdstuk II. De trillende vleugel in een niet

samen-drukbaar medium 29— 53 § 1. Formulering van het probleem als opgave

uit de potentiaaltheorie 29— 34 § 2. Berekening van de versnellingspotentiaal

mei: behulp van het theorema van G r e e n 35— 38 § 3. De vlakke plaat in stationnaire stroming 38— 42 § 4. Berekening van de versnellingspotentiaal

om een trillende vlakke plaat . . . . 42— 44 § 5. Berekening van de snelheidspotentiaal en

bepahng van a„ 44— 50 § 6. Berekening van de krachten en momenten

op het draagvlak 50— 53 Hoofdstuk III. Eigenschappen van de vergelijking van

M a t h i e u 54—120 § 1. Bespreking van de vergelijking

A u + k^u = O in elliptische coördinaten 54— 55 § 2. Oplossing van de vergelijking van

M a t h i e u voor willekeurige waarde van X 55— 60 § 3. Herleiding van de determinant van H i l l 60— 63 § 4. Nadere beschouwing van de periodieke

§ 5. Berekening v. d. functies van M a t h i e u

volgens I n c e en G o l d s t e i n . . . 66^— 75 § 6. Convergentie-onderzoek van de

F o u r i e r-reeksen 75— 77 § 7. De tweede oplossing van de- vergelijking

van M a t h i e u 77— 78 § 8. De toegevoegde functies van M a t h i e u 78— 80 § 9. De reeksen van H e i n e voor de

toe-gevoegde functies van M a t h i e u . . 80— 85 § 10. Afleiding van de reeksen van H e i n e

uit de differentiaalvergelijking . . . . 85— 88 § 11. Gedrag van de toegevoegde functies van

M a t h i e u in het oneindige. Functies van

de tweede en derde soort 88— 90 § 12. Asymptotische ontwikkelingen van de

functies van B e s s e l e n H a n k e l . . 90— 93 § 13. De reeksontwikkelingen van S i e g e r

voor de toegevoegde functies van

M a t h i e u 93—102 § 14. Reeksontwikkelingen die voor | = O

con-vergent zijn 102—108 § 15. Reeksen voor ^CT'(i) en-g-</^'^,(|) . • . 108—112

§ 16. Benaderingsformules voor de functies van M a t h i e u voor grote waarden van n of

kleine waarden van h 112—120 Hoofdstuk IV. De trillende vleugel in een

samen-drukbaar medium 121—154 § 1. Mathematische formulering v. h. probleem 121—123

§ 2. De oplossing zonder singulariteit aan de

voorkant 123—124 § 3. De drukverdeling met singulariteit aan de

voorkant 124—138 § 4. De volledige drukverdeling 138—142

§ 5. Berekening van de integralen An(ü) en

L^(Q) 141—147 § 6. Berekening van de krachten en momenten 147—154

I N L E I D I N G .

Onder bepaalde omstandigheden kunnen bij vliegtuigvleugels en staartvlakken heftige trillingsverschijnselen optreden, die in Sommige gevallen tot breuk van het onderdeel van het vliegtuig voeren.

De hier bedoelde trillingen vinden hun oorzaak hierin, dat door een stoot, die verschillende oorzaken kan hebben (bijv. remous) de vleugel in trilling geraakt, waarbij de luchtkrachten, die op de vleugel werken, deze trilling niet dempen, maar versterken.

Het blijkt nu, dat er in het algemeen een bepaalde snelheid is, de kritieke snelheid, waarboven de trilling door de luchtkrachten versterkt worden, terwijl beneden deze snelheid de luchtkrachten een dempende werking uitoefenen.

Dit verschijnsel wordt door K ü s s n e r gekarakteriseerd door een dimensieloze grootheid co, de ,,gereduceerde frequentie", ge-definieerd door de formule

co^"^ . (0.1) waarbij

V kritieke snelheid in m/sec / halve vleugelkoorde in m

V cirkelfrequentie van de trilling in rad/sec.

Het is voor den vliegtuigconstructeur van groot belang reeds tijdens het ontwerp deze kritieke snelheid te kennen.

Daar de kritieke snelheid de grens is tussen de snelheden, waarbij gedempte trillingen optreden en die, waarbij de trillingen door de luchtkrachten versterkt worden, zal bij deze kritieke snelheid de vleugel juist zuiver harmonische trillingen' uitvoeren.

Voor de berekening van de kritieke snelheid is het dus in de eerste plaats nodig de luchtkrachten te kunnen berekenen, die op een harmonisch trillende vleugel uitgeoefend worden.

In dit proefschrift zullen wij ons uitsluitend met dit probleem bezig houden.

Een van de eerste onderzoekingen over het probleem van de instabiele vleugeltrillingen is van V o n B a u m h a u e r en K o n i n g (1).

Zij behandelen echter de luchtkrachten niet met behulp van een theorie van de instationnaire stroming, maar geven benaderings-formules, die met behulp van stationnaire windtunnelmetingen op-gesteld zijn.

De eerste onderzoeker, die een theorie opstelt voor luchtkrachten bij instationnaire stroming, is W . B i r n b a u m (2,3).

Hij behandelt het probleem van de tweedimensionale stroming om een vleugel, die hij vervangt door een vlakke plaat, in niet-samendrukbare lucht en denkt hierbij de vleugel vervangen door een systeem van gebonden wervels, dat aan het oppervlak van de vleugel dezelfde snelheden geeft als die, welke bij de beweging optreden.

Daar deze snelheden voor de harmonisch trillende vleugel periodiek met de tijd veranderen, moet ook de sterkte van de gebon-den wervels periodiek met de tijd veranderen met dezelfde periode.

Dit heeft tot gevolg, dat op ieder ogenbhk vrije wervels aan de achterkant van de vleugel loslaten en met de luchtstroom mee-gevoerd worden.

Met behulp van de vergelijking voor het behoud van de wervel-sterkte

^+H+^I^=° <«'

is het mogelijk de sterkte van de vrije wervels e uit te drukken in de

sterkte van de gebonden wervels. Men vindt

y{x — Vt)

Is ZO e gevonden, dan kan men de verticale snelheid op het profiel uitdrukken in de sterkte van de gebonden wervels.

Door deze snelheid gelijk te stellen aan de uit kinematischc 10

beschouwingen gevonden snelheid vinden wij een vergelijking voor y.

B i r n b a u m veronderstelt, dat y harmonisch met de tijd ver-andert en verkrijgt tenslotte de vergelijking

03 1 ryfx.t) -f £(x.t) w(xi, t) = ;^— / dx== 2n j xi — X - 1 + 1 -t-i —1 V iwVt In ^ . .' Xi — X J Xi — X .' f ^ - ^ dx + i<o f-^^ f é->^' 5.o(x). dx . dx' + (0.4) — I 00 + iü) f ^_!^ J ^ f giCöx' (^/j _ J ^ / J Xi X J J 1 + 1

Hij ontwikkelt de functie y^ in een reeks en vindt dan, na invoeren van de bovengenoemde parameter co een uitdrukking van de vorm

7o = a/oa + bj'ob + c^oc (0.5) Deze reeks convergeert echter alleen voor kleine waarden van o)

terwijl in de practijk waarden van <w = 1,5 zeer wel kunnen voor-komen.

De trillingsvormen van de plaat denkt B i r n b a u m samen-gesteld uit twee elementaire trillingsvormen, door hem ,,graden van vrijheid" genoemd, de buigingstrilling, een verticale translatie van de vleugel en een torsietrilling, een rotatie van de vleugel om het voorste neutrale punt, dat is het punt op een vierde van de vleugel-diepte achter de voorrand gelegen.

In aansluiting aan het artikel van B i r n b a u m heeft H. G. K ü s s n e r in 1939 (8) formules voor de berekening van de luchtkrachten gegeven, die voor practische berekeningen veel beter bruikbaar zijn.

Uitgaande van de vergelijking van B i r n b a u m leidt hij voor de luchtkrachten reeksen in w af, die voor alle waarden van u) convergent zijn.

Ook is hij de eerste, die, hoewel bij benadering, de invloed van de roerbeweging op de instationnaire luchtkrachten in rekening brengt.

Uitgaande van dezelfde principes publiceert K ü s s n e r in 1936 uitdrukkingen voor de luchtkrachten (12), die deze krachten geven als functies van een grootheid T ( Ü J ) , die zelf weer is samengesteld uit functies v a n ' H a n k e 1.

Hij voert op het profiel in als coördinaat x = — Z cos 0 en ontwikkelt de wervelsterkte op het profiel in een F o u r i e r-reeks

y(0,t) = V e ' ' ' ' ( 2 a o C O t ^ 0 + 4 l — S i n n © ) . . (0,6) 1 n

Substitutie in de vergelijking levert na omslachtige berekeningen voor a^ en a^ de bovenbedoelde uitdrukkingen in de T functie. Tot dezelfde resultaten was in 1935 reeds T h . T h e o d o r s e n gekomen.

Door het profiel conform op een cirkel af te beelden, vindt deze laatste uitdrukkingen voor de snelheid van het veld, geïnduceerd door de wervels op het profiel en voor de snelheden, die door de vrije wervels in het discontinuiteitsvlak achter het profiel geïndu-ceerd worden.

Na omrekenen in de door K ü s s n e r en B i r n b a u m inge-voerde notatie blijken de resultaten volledig overeen te stemmen.

Omstreeks dezelfde tijd zijn de luchtkrachten op het draagvlak met roer berekend door K a s s n e r F i n g a d o (7) , E l l e n -b e r g e r (6) en C i g a l a (5), -benevens door enige Sovjet-Russische onderzoekers i ) .

Al deze artikelen behandelen het probleem van de luchtkrachten op een vlakke plaat in tweedimensionale stroming onder verwaar-lozing van de viscositeit voor niet-samendrukbare lucht.

Vermoedelijk heeft de viscositeit een gunstige invloed op de kritieke snelheid, d.w.z. dat de werkelijke kritieke snelheid hoger zal hggen dan de berekende. Volgens K ü s s n e r (9) en B i r n b a u m vormt zich bij kleine amplituden om de vleugel een grenslaag, waarin de vleugel heen en weer trilt, zonder dat dit aanleiding geeft tot het vormen van een instationnaire liftverdeling. Bij dezelfde snelheid zal dus voor kleine amplituden de onge-dempte trilling niet beginnen, terwijl dit bij een grote verstoring uit de evenwichtsstand wel het geval zal zijn.

1) L. S e d o v (17) gebruikt formules in een artikel over een verwant onder-werp, die zeer -Ceel op die van K ü s s n e r gelijken en citeert daarbij een artikel van K j e l d i s c h e n L a v r e n j e v .

Het blijkt nu, dat voor de vrijheidsgraden buiging^torsie de kritieke snelheid in het algemeen betrekkelijk hoog ligt, terwijl de aanwezigheid van een niet-statisch gebalanceerd roer deze snelheid aanmerkelijk lager doet liggen.

Het kan voorkomen, dat in het geval buiging-torsie de berekende snelheid boven de geluidssnelheid ligt, zodat de formules voor de kracht en het moment op het draagvlak, die afgeleid zijn in de veronderstelling van niet-samendrukbare lucht, hun betekenis ver-liezen.

Bij schroefloze vliegtuigen, die in de laatste tijd steeds meer worden toegepast, naderen de optredende snelheden zo dicht tot de geluidssnelheid, dat de invloed van de samendrukbaarheid van de lucht niet meer verwaarloosd mag worden.

Een behandeling van het probleem in samendrukbare lucht geeft echter voor elk van de hierboven genoemde methoden moeilijkheden. Het werken met vrije en gebonden wervels is hier veel gecom-pliceerder dan in het geval van niet-samendrukbare lucht, zodat dat geen aanbevelenswaardige methode is.

Verder voldoet in samendrukbare lucht de snelheidspotentiaal niet aan de vergelijking van L a p l a c e , zodat ook de methode van de conforme afbeelding niet kan worden toegepast.

Het probleem is eerst toegankelijk geworden voor numerieke berekening, nadat P r a n d t l in 1936 het begrip ,,versnellings-potentiaal" invoerde, zowel voor stationnaire als voor niet-stationnaire stroming.

Deze versnellingspotentiaal is, naar analogie met de snelheids-potentiaal een functie met de eigenschap, dat in elk punt haar gradiënt gelijk is aan de versnelling in dat punt, evenals de snel-heidspotentiaal een functie is met de eigenschap, dat in elk punt van de ruimte haar gradiënt gelijk is aan de snelheid in dat punt. Uit de bewegingsvergelijkingen van E u 1 e r is af te leiden, dat de versnellingspotentiaal nauw samenhangt met de druk in de vloeistof.

Het blijkt nu mogelijk te zijn verschillende problemen uit de theorie der draagvlakken zo te formuleren, dat zij met de methoden der potentiaaltheorie ook in het geval van samendrukbare lucht zijn op te lossen.

P r a n d 11 heeft in bovengenoemde artikelen de luchtkrachten op een vlakke plaat afgeleid bij stationnaire beweging, zowel voor snelheden groter als kleiner dan de geluidssnelheid.

Voor stationnaire stroming met snelheid kleiner dan de geluids-snelheid blijkt, dat het veld door een affiene transformatie (een verkorting van alle afmetingen in de X-richting in de verhouding VI—1?, waarin (i het getal van M a c h voorstelt) volkomen analoog met de L o r e n t z-contractie, overgaat in het veld voor niet-samen-drukbare lucht.

In dit geval is het dus zeer gemakkelijk de krachten en momenten in eerste benadering te bepalen.

Voor niet-samendrukbare stromingen is dit echter zeer veel gecompliceerder.

C. P o s s i o heeft dit probleem in 1938 het eerst beschouwd (13). Met behulp van de versnellingspotentiaal leidt hij een integraal-vergelijking af voor de drukverdeling op het draagvlak, die echter zo ' lompliceerd is, dat de oplossing op ,,onoverkomelijke analy-tische moeilijkheden" stuit.

H. G. K ü s s n e r geeft in 1940 in het kader van een reeks artikelen die alle handelen over niet-stationnaire bewegingen, een overzicht over verschillende problemen uit de theorie der draag-vlakken, die met behulp van de versnellingspotentiaal behandeld kunnen worden (11). Hij leidt opnieuw de vergelijking van P o s s i o af, geeft echter geen oplossingsmethode aan.

In de volgende hoofdstukken wordt de berekening aangegeven van de luchtkrachten op een oneindig brede vlakke vleugel, die vervangen gedacht is door een vlakke plaat, die zich in samen-drukbare lucht beweegt met een snelheid, die kleiner is dan de geluidssnelheid en harmonische triUingen uitvoert.

Voor een snelheid, die groter is dan de geluidssnelheid, is het probleem eenvoudiger op te lossen, omdat de vergelijking, waaraan de snelheidspotentiaal voldoet, in dit geval hyperbohsch is.

Deze oplossing is dan ook volledig gegeven door C. P o s s i o en later door V o n B o r b e l y ( 4 ) .

Tenslotte volgt hier een kort overzicht over de inhoud van het proefschrift.

In hoofdstuk I worden de algemene vergelijkingen, waaraan de 14

snelheids- en versnellingspotentiaal in een samendrukbaar medium voldoen, afgeleid.

Het blijkt, dat de vergelijkingen met bepaalde vereenvoudigingen herleid kunnen worden tot de golfvergelijking.

Verder wordt, met dezelfde vereenvoudigingen, een verband tussen snelheids- en versnellingspotentiaal afgeleid, waardoor deze beide functies in elkaar kunnen worden uitgedrukt.

In hoofdstuk II worden de krachten en het moment op een trillende vlakke plaat afgeleid in niet-samendrukbare lucht. Aan-genomen wordt, dat de plaat buigings- en torsietrillingen uitvoert, zodat op elk ogenblik de uitwijking van ieder punt bekend is.

Daaruit worden de snelheid en versnelling op het oppervlak berekend.

Uit deze randvoorwaarde voor haar normale afgeleide wordt nu de versnelhngspotentiaal bepaald (probleem van N e u m a n n ) .

Om de vergelijking van het profiel in eenvoudiger vorm te brengen, voeren wij elliptische coördinaten in, f, rj, met de uite' d^n van het profiel als brandpunten van de ellipsen.

Voor de versnellingspotentiaal nemen wij nu een reeks-ontwikkeling aan van de vorm

9'(f,^) = ( l a „ e - ° ^ s i n n ^ ) . e " " . • • • (0.7) waarbij de coëfficiënten a^ bepaald worden uit de waarden van — op het profiel.

dn

Hierdoor is (p echter niet volledig bepaald. Het is n.l. mogelijk een willekeurige functie toe te voegen, die op de rand van het profiel een normale afgeleide nul heeft.

Deze functie wordt in § 2 berekend.

Het blijkt, dat het de versnellingspotentiaal is, die behoort bij een stroming, die overal op het profiel een constante neerstroom-snelheid geeft. Zij heeft de vorm

n(f..) = a o . ^ ^ — e - . . . . (0.8)

De coëfficiënt a,, kan bepaald worden door de snelheid aan de

voorkant van het profiel gelijk te stellen aan de gegeven snelheid. Uit de op deze wijze berekende versnellingspotentiaal kan de druk-verdeling op het draagvlak berekend worden en daaruit volgen dan de kracht en het moment.

In hoofdstuk I is bewezen, dat de studie van de stroming in samendrukbare lucht teruggebracht kan worden tot de studie van de vergelijking A u 4- k^u = 0. Met het oog hierop is hoofdstuk III gewijd aan de studie van enkele eigenschappen van deze vergelijking in elliptische coördinaten.

Het blijkt, dat de oplossing in dit geval kan worden gevonden met behulp van de vergelijking van M a t h i e u . Het hoofdstuk wordt voor het grootste deel ingenomen door een overzicht van de eigenschappen van deze functies, die bij de oplossing van het probleem nodig zijn.

Naast de bekende reeksontwikkelingen van H e i n e en S i e g e r worden andere afgeleid, die ook voor de waarde | = O conver-geren.

Verder worden nog benaderingsformules afgeleid, die nodig zijn om de in het vierde hoofdstuk nodige convergentiebewijzen te voeren.

In dit laatste hoofdstuk wordt tenslotte het probleem van de trillende vleugel in samendrukbare lucht behandeld als uitbreiding van de in hoofdstuk II gevonden resultaten.

In plaats van de reeks (0,7) treedt hier voor de versnellings-potentiaal op een reeksontwikkeling naar producten van functies van M a t h i e u en toegevoegde functies van M a t h i e u van de derde soort.

9.(4» = >'-*7fti^'^^-^°^''la„T^L^> (f).sL"(,) . (0.9)

u-H

Een moeilijkheid werd hier geleverd door het probleem een functie te zoeken, die analoog aan de functie ^ , ƒ ' " ^ op het profiel

Ch f — cos r]

een constante neerstroomsnelheid leverde en tevens een oplossing was van de vergelijking A u + k^u = 0.

Deze functie werd tenslotte gevonden door —--^ '- in een Ch § — cos t] 16

voor ^ > O convergente reeks te ontwikkelen en daarna met onbepaalde coëfficiënten op te schrijven de functie

Chf-cos^ + i , ^°^° (') • ^" ('^^-f, ^ ''°"''• (°'^°)

Voor alle waarden van f > O is dit inderdaad een functie, die aan de vergehjking A u -f k^u = O voldoet.

De coëfficiënten ^3^ worden bepaald uit de eis, dat voor f = O de normale afgeleide nul wordt.

Z o wordt tenslotte de functie gevonden in de vorm van een oplossing van de vergelijking van L a p l a c e , welker normale afgeleide voor i = O nul is, met daarop gesuperponeerd een reeks van correctietermen, die zorgen, dat de gehele functie voldoet aan de vergelijking A u + k^u = 0.

Op dezelfde wijze als in hoofdstuk II worden nu de coëfficiënten in de reeks

<P(i.ri,t) = e'^'-" ^'^ ^ ^°=" I ao uo + J a „ Z f f (f). S ^ (,) | (0.11) voor de versnellingspotentiaal bepaald.

Hierna kunnen de kracht en het moment voor het gehele trillende tweedimensionale draagvlak berekend worden.

Het is hier in principe zeer goed mogelijk ook de invloed van een roer in rekening te brengen.

Het maakt echter de formules nog meer gecompliceerd en bovendien is het voor de practijk overbodig, daar, zoals reeds is opgemerkt, de aanwezigheid van een roer in de te beschouwen, . ongunstige gevallen, de kritieke snelheid zodanig verlaagt, dat met de samendrukbaarheid van de lucht geen rekening behoeft te worden gehouden.

Met de verkregen formules is het mogelijk de kritieke snelheid in een concreet geval uit te rekenen, indien voldoend uitvoerige tabellen van de functies van M a t h i e u aanwezig zijn.

De snelheid mag echter niet al te dicht bij de geluidssnelheid komen, daar in dat geval de vereenvoudigingen, die in hoofdstuk I zijn ingevoerd, niet meer geldig zijn.

Bij de huidige maximale vliegsnelheden is dit echter vermoedelijk nog niet het geval.

Literatuur.

1. A. G. v o n B a u m h a u e r en C. K o n i n g , Instabiele trillingen van een draagvlak-klap systeem.

Verslagen en Verhandelingen van de Rijksstudiedienst voor de luchtvaart. 1923.

2. W . B i r n b a u m . Das ebene Problem des schlagenden Flügels. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik (Z.A.M.M.), Deel 4, 1924, bldz. 277.

3. W . B i r n b a u m . Die tragende Wirbelflache, Z.A.M.M., Deel 3, blz. 290. 4. S. v o n B o r b e l y . Über die Luftkrafte, die auf einer Tiarmonisch

schwingenden zweidimensionalen Flügel bei Überschallgeschwindigkeit wirken. Z.A.M.M., Deel 22, bldz. 190—205.

5. P. C i g a 1 a, Le azione aerodinamiche sul profilo oscillante. L'Aerotechnica 1936, Deel 16.

6. G. E 11 e n b e r g e r. Z u r berechnung der kritischen Geschwindigkeit eines Tragflügels mit Querruder. Luftfahrtforschung, Deel 14, 1937.

7. R. K a s s n e r - H . F i n g a d o . Das ebene Problem der Flügelschwingung. Luftfahrtforschung, Deel 13, 1936, bldz. 374—387.

8. H. G. K ü s s n e r. Schwingungen von Flugzeugflügeln. Luftfahrtforschung, Deel 4, 1929, bldz. 41—62.

9. H. G. K üs s n e r. Augenblicklicher Entwicklungsstand der Frage des Flügelflatterns. Luftfahrtforschung, Deel 12, 1935.

10. H. G. K üs s n e r. Zusammenfassender Bericht über den instationaren Auftrieb von Flügeln. Luftfahrtforschung, Deel 13, 1936, bldz. 410—424. 11. H . G. K ü s s n e r . Allgemeine T r a g f lachen theorie. Luftfahrtforschung, Deel

17, 1940, bldz. 370—378.

12. H . G. K ü s s n e r - L. S c h w a r z. Der schwingende Flügel mit aëro-dynamisch ausgeglichenem Ruder. Luftfahrtforschung, Deel 17, 1940, bldz. 337—354.

13. C. P o s s i o . L'azione aerodinamiche sul profilo oscillante in un fluido compressibile a velocita iposonara. Aerotechnica, Deel 18, 1938, blz. 441—458. 14. L. P r a n d 11. Theorie des Flugzeugtragflügels in zusamraendruckbaren

Medien. Luftfahrtforschung, Deel 13, 1936, bldz. 313—319.

15. L. P r a n d t l . Allgemeine Betrachtungen über die Strömung zusammen-druckbarer Flüssigkeiten. Z.A.M.M., Deel 16, 1936, bldz. 129—142. 16. L. P r a n d t L Beitrag zur Theorie der tragenden Flache. Z.A.M.M., Deel

16, 1936, bldz. 360—361.

17. L. S e d o v. Z u r theorie des nichtstationaren Gleitens und der Bewegung des Flügels mit Wirbelablösung. Veröffentlichungen des Zentralen Aero-Hydrodynamischen Instituts im Namen von Prof. Joukowski, no. 252, 1936.

(Russisch met Duits uittreksel).

18. T h . T h e o d o r s e n . General Theory of aerodynamical instability and the mechanism of flutter. N.A.C.A. Report N o . 496, 1935.

H O O F D S T U K I.

Afleiding van de grondvergelijkingen voor de

stroming met behulp van de versnellingpotentiaal.

§ 1. De versnellingspotentiaal.

Voor een vloeistof, waarop geen uitwendige krachten werken, geldt, bij verwaarlozen van de wrijvingsweerstand, de bewegings-vergelijking van E u 1 e r,

^ = ^ + ( w . V ) w = - A g r a d p . . . (1.1.1) Hierin stelt w de snelheidsvector voor, Q de dichtheid en p de druk in de vloeistof.

Samen met de continuïteitsvergelijking

d i v ( e w ) r = - ^ (1,1.2) vormt de vergelijking (1,1,1) het volledige stelsel

differentiaal-vergelijkingen voor de beweging van elke vloeistof, waarbij de bovengenoemde eisen vervuld zijn.

De versnelling — is een vector b , zodat (1,1,1) geschreven kan dr.

worden als

b + - g r a d p = 0 (1,1,3) Veronderstellen wij, dat de dichtheid slechts afhangt van de

plaatselijke druk, dan is het mogelijk een ,,drukfunctie" P in te voeren, die gedefinieerd wordt door

P = / f (1.1.4) zodat (1,1,2) overgaat in

b + grad P = 0 (1,1,5) Hieruit blijkt, dat het mogelijk is de versnellingsvector b op te

vatten als de gradient van een potentiaalfunctie (p, de versnellings-potentiaal.

Deze versnelhngspotentiaal is het eerst ingevoerd door P r a n d 11. Met behulp van haar is het mogelijk (1,1,5) te integreren. Dit levert op

95 + P = f(t) (1,1,6) waar f(t) een willekeurige functie is, die alleen van t afhangt. Is

in het oneindige de stroming ongestoord, dan is in de gehele ruimte f(t) constant. W i j kiezen deze constante nvl.

In het volgende beschouwen wij een vliegtuigvleugel, die met een constante snelheid V in de richting van de negatieve X-as beweegt.

Zoals in dat geval gebruikelijk is, beschrijven wij de beweging in een coördinatensysteem, dat vast aan de vleugel verbonden is en waarin dus een stroming met constante snelheid V in de richting van de positieve X-as aanwezig is, terwijl de aanwezigheid van de vleugel veroorzaakt, dat op deze ,,ongestoorde' stroming een snelheidsveld met snelheidscomponenten w^, Wy, w^ de ,,stoorsnel-heden" gesuperponeerd wordt.

De snelheidscomponenten in het totale snelheidsveld zullen zijn V + Wj, Wy, Wj, zodat de vergelijkingen van E u 1 e r uitgeschreven zullen luiden (1, blz. 109)). d w x , , T Ö W X , d w x , ö w x I öWx l i ^ p ' — \- V —— + Wx - r V Wy —— + W i —— = —• dt öx ax ^ öy ï>z Q ?x Jt öx ?x ^y <*z Q^yi —— + V—— + Wx - 7 — + Wy— h w,—— = — (ft dx dx cly dz Q dz

De continuïteitsvergelijking gaat over in

^ i L V ^ 4 t'(gWx) _^ dJQVJy) ^(gwQ __Q (1,1,8) öt dx dx dy dz

Wij schrijven deze vergelijkingen in enigszins andere vorm

d w ^ , . - d W j , 1 (fp ö w ^ - r - + V — - = • r^ — ^ T + Wy . yz — W. /y . öt dx Q dx dx 2 ÖWy , , , itWy 1 ?P Ö W^ I , M 1 m - T ^ + V — ^ = -T^—^^ + w , y « — W x ^ i . ) . 1.1.9 dt dx Q dy dy 2 ^' ( ÖWz I . , dWz 1 Sp d -W^ . dt dx e dy ciz 2 20

waann

w2 = W^2 + Wy2 + w,2 . . . . . (1,1,10)

en y = rot w ( 1 , 1 , 1 1 ) de rotatie van de snelheidsvector is.

In het gehele gebied buiten de vleugel is deze rotatie nul, zodat in dat gebied de snelheidsvector opgevat kan worden als de gradient van een potentiaalfunctie

Wx = ^

-dx

d ^ I

Wy = ^ ^ (1.1.12)

ÖZ

Voldoen de snelheidscomponenten aan de vergelijkingen (1,1,12). dan kunnen de vergelijkingen (1,1,9) geïntegreerd worden.

Dat geeft

^+vg = -P-*S(^)V(^r+(^)l.,..M3,

of, met behulp van (1,1,6) waarbij f(t) = const. = O is, daar in het oneindige de stroming niet gestoord is.

V! + V? + *i©' + (^)V(Sl = --<U.H.

Uit deze vergelijkingen kan bij gegeven $(x,y,z,t) de vcr-snellingspotentiaal 9j(x,y,z,t) berekend worden.

Omgekeerd is bij gegeven (p de vergelijking (1,1,14) op te vatten als een partiële differentiaalvergelijking voor de snelheids-potentiaal <!>, die, omdat zij niet-lineair is, lastig te behandelen is.

Indien wij de stoorsnelheden verwaarlozen t.o.v. de snelheid van de ongestoorde stroming, wordt (1,1,14) vervangen door

^ + ^ 1 = " ('•'•'5)

(1,1,15) is op te vatten als een lineaire partiële differentiaal-vergelijking van de eerste orde voor <P.

Om hiervan de algemene oplossing te zoeken, beschouwen wij het stelsel simultane gewone differentiaalvergelijkingen.

d t _ d x _ d«?

Dit heeft de beide particuliere integralen X = V t + C,

$(x.t) = / 9 ' ( V t ' + Q,t')dt' + C2 . . . (1.1.17) Volgens de theorie der partiële differentiaalvergelijkingen vinden wij nu de algemene integraal van (1,1,15) door te stellen

C2 = f(Ci) (1,1,16) en vervolgens Cj te elimineren.

Hierin is f een willekeurige differentieerbare functie.

Nemen wij als beginpunt van de integratie naar t' t' = — oo dan wordt de algemene integraal

t

$(x,y,z.t) = ƒ'?'(x-V(t—t'),y.z.t')dt' + f(x—Vt) (1,1,19) — 00

een formule, die ook geschreven kan worden als

X

«P(x,y,z.t) = 1 l<P{x.y,z.t - ' ^ ) dx' + f ( x - V t ) (1,1.20)

— 00

Op deze wijze is het mogelijk uit de versnellingspotentiaal het gehele snelheidsveld van het draagvlak te berekenen.

Om ook de kracht en het moment op het draagvlak te berekenen moeten wij uit de versnellingspotentiaal de druk bepalen.

Op het draagvlak is aan de bovenzijde de druk kleiner dan aan de onderzijde.

Bij doorgang loodrecht op het draagvlak vertoont de druk een sprong, die overeenkomt met een sprong in de versnellings-potentiaal

PI PI PO

<p.-<p,=^p,-p.=f^=r^-^+f^ . (1.1.21) J 9 J Q J Q

P2 PO P J

Hierbij hebben de indices 1 betrekking op de onderzijde van het draagvlak, de indices 2 op de bovenzijde van het draagvlak en o op de ongestoorde stroming.

Verlopen de processen adiabatisch, dan is het verband tussen de druk en de dichtheid

PQ'^ = PiQr^ = P2Q2'''" = Poeo~^ • • • (1.1.19)

Hierin is k de constante van P o i s s o n.

Met dit verband tussen Q en p, kunnen wij voor de druksprong schrijven

Po'/^ 9o PI •J ' P2 k

p-"^p==^-,-^lpl-'"-pi-'''i=

-.-r'^|(p!-'"-P«'-''0-(pr"-P»'-'''')i"'''^"

Zijn de afwijkingen van de ongestoorde stroming klein, dan kunnen wij hiervoor met beperking tot termen van de eerste orde schrijven

k PoV'' U - 1 _y,

1 • Qo

^ k — 1 _ i / k , > .

j —^— -Po ' • (Pi — Po) +

- ' ^ . P o - V ^ . ( p . - P o ) | = ^ (1.1.21) zodat de druksprong op het draagvlak evenredig is met de sprong

in de versnellingspotentiaal.

Voor de stationnaire stromingen gaat (1,1,15) over in

^ = ^ ^ (^•1-22) de circulatie om het profiel is in dit geval

chter

r.

'=/?l-=/lfêM^)>-^{<P2-<Pr)dx^^ (1.1,23) waarin K de totale kracht op het profiel is.

§ 2. De vergelijkingen voor de snelheids- en versnellings-potentiaal.

Voor het volgende is het van groot belang de differentiaal-vergelijkingen te vinden, waaraan de versnellings- en de snelheids-potentiaal moeten voldoen.

Deze vergelijkingen ontstaan door eliminatie van p en p uit de vergelijkingen (1,1.7) en (1,1,8), daarbij gebruik makend van de betrekking (1,1,19) tussen p en o.

De grootheid Vg heeft de dimensie van een snelheid.

Zij blijkt gelijk te zijn aan de voortplantingssnelheid van het geluid.

Uit (1,1,6) volgt, met toepassing van (1,1,4) bij totale diffe-rentiatie naar t

W_—dP__\ d p _ _ l ^.._dQ

dt ~ dt ~ e ' d t ~ e ' = dt • • ^ • • '

Uit (1,1,1) volgen dan verder de vergelijkingen dwx ^95 1 dt dx Q dwx _ 9 ^ _ _ 1 dt 9z Q dwz _'d(p _ 1 dt ?z Q De continuïteitsvergelijking wordt (1.2,3) öwx öwy d w , ^ d , ^ Q (1,2,4) dx dy dz QÓt

of, met toepassing van (1,2,2)

^ + ' ? + ^ - x ^ 2 - f = 0 . . . . (1,2.5)

dx dy dz Vg^ dt

Nogmaals differentiëren naar t geeft, met gebruik van (1,2,3)

d^ d^ d^ L ^ ^ A (A\ - n n 9 6^

i^x^ "^ öy2 ^ öz^ Vg2 • dt^ dt • dt \v,y ~ " • • ^ ' '^' Deze uitdrukking wordt verder herleid door substitutie van

- = _ + ( V - f - W x ) - + W y - + W z ^ - ^ . zodat (1,2,6) wordt 1 — : V 2 ^ 9 dx' '^ V ~ V,^) dy''^ V V.V^z''^ _ j V + Wx ^ _ , Wy ^ _ o W ^ 1 ! ^ 1 Vg2 • öxdt Vg2 • dyöt Vg2 • dzdt "*" _ , ( V + Wx) • Wy ^ _ j ( V + Wx)wz d'<P Vg2 • ^x<^y "^ • V , 2 • öx<fz ^ V,2 'dydz Vg^'öt^ d t ' d t i d R Wy Wz ct-y !_ c » 2 P _ a r ^ / 5 g _ « n ? ? ^ 24

De laatste term wordt met toepassing van (1,2,1) als volgt herleid d ldQ\ _ d^ /^v _ dt vdp/ dt ikpj " J^ dg __ _e_ dp_ _Q^ d^ , e^ d^ _ kp • dt kp^ • dt ~ k^p^ • dt k p ^ ' dt ~ _ g ' ( k - l ) d ^ _ k ^ d^ ~ k^p^ • dt ~ Vo^ • dt • • • • ^ '^•°' Daar deze term de geluidssnelheid in de noemer tot de vierde macht bevat, kunnen wij hem verwaarlozen t.o.v. de andere termen. Zijn de stoorsnelheden klein t.o.v. de geluidssnelheid, dan kunnen wij de termen, die deze stoorsnelheden bevatten, eveneens ver-waarlozen. Na al deze vereenvoudigende veronderstellingen gaat de vergelijking (1,2,8) over in

V VgV dx' ^ dy^ ^ dz^ • V,' • dxöt V,' • dt^ ^ ^ • • ' Voeren wij nu in het getal van M a c h

V dan wordt (1,2,9)

^ = ^ (L2.10)

( 1 — ^ ) ^ T 2 + ^ 2 - ^ — 2 . ^ . ^ ^ ^ . ^ ^ — . ^ y ^ . ^ = 0 (1,2,11) d x 2 ^ d y 2 dz^ ^^-V,'dxdt Vg2-at2

Beschouwen wij alleen tweedimensionale stroming, dan is (p onafhankelijk van z, zodat (1,2,11) overgaat in

Indien het medium als onsamendrukbaar kan worden beschouwd,

de

dp

dx' """dy

dat is de vergelijking van L a p l a c e in twee variabelen.

Om de differentiaalvergelijking (1,2,12) verder te herleiden, voeren wij een affiene transformatie uit

X

(1,2.14)

is T^ = 0 , zodat Vg = oo en /? = O en de vergelijking wordt

In de getransformeerde coördinaten wordt de vergelijking ^'"P I d'^P .-, ^ l d'<P 1 è'9 _

dX''^dY' yjZZ^-V^-dXdT V g 2 " d T 2 ~ • ^'•'^•^^> In het vervolg maken wij een speciale veronderstelling over de wijze, waarop de functie cp van de tijd afhangt en nemen daartoe aan, dat zij geschreven kan worden in de vorm

9'(X.Y.t) = e'"'^(X,Y) (1,2,16) Hierin kan v een willekeurig reëel of complex getal voorstellen.

Is V reëel, dan is de beweging zuiver harmonisch met cirkel-frequentie V.

De vergelijking voor 95 wordt

0 2 ^ 3 2 ^ i f a 3 9 v ^ - ^

öX^^öY^ ^•V,f[IZf2-dX^Vl-^ ^- • • ^••''

In het geval van niet-samendrukbare lucht gaat de vergelijking weer over in de vergelijking van L a p l a c e in twee variabelen

öX^+öY^-^ ^^•^'^^'

Voor samendrukbare lucht is vergelijking (1,2,17) verder te ver-eenvoudigen door de substitutie

9(X.Y) = e"^u(X.Y) (1.2,19) waann

ij8>'

Hierdoor wordt de vergelijking voor u(X,Y)

(1,2,20)

d^u ö^u v' M -> •ïn

w + W' + vAi-n-'"'^^- • • • ^'"^'^

Stellen wij dan nog

dan wordt (1,2,21)

" = , - ^ = k . . . (1,2,22)

3^2 + | j 2 + k ^ " = 0 (1,2,23)

zodat in het gev.al van samendrukbare lucht de studie van de stroming is teruggebracht tot de studie van de vergelijking A u + k'2u = O in twee variabelen.

Ook is het mogelijk met behulp van (1,1,14) uit (1,2,6) de vergelijking van de snelheidspotentiaal in samendrukbare lucht te vinden in de gebieden, waar deze snelheidspotentiaal bestaat, d.w.z. daar, waar de rotatie van de snelheidsvector nul is.

Met gebruikmaken van (1,1,12) wordt (1,2,5)

dx'^dy''^dz' V,'-dt} dt ^ dx^ of (V-I-Wx)^^)^^ , /, vvy^\d',0 . 1, w.'\d'0 _ 9 V + Wx ^ * _ - , w ^ <^^^ ., Wz d'^ V,'I .fz^ Vg' 'dxdt 'Vg''dydt 'Vg''dzdt Vg' 'dxdy • Vg' 'dxdz WyWz d'0 1 d'0 2 y ^ ^-^ — '—^ —O Vg' 'dydZ Vg'' dt 2 (1,2.25) Verwaarlozen wij, evenals bij de afleiding van de vergelijking voor de versnellingspotentiaal, de stoorsnelheden t.o.v. de geluids-snelheid, dan wordt (1,2,25)

d'^ d'0 d'$ 1 d'0 1 d'^

zodat de snelheids- en de versnellingspotentiaal aan dezelfde ver-gelijkingen voldoen.

Deze laatste vergelijking kan eveneens door dezelfde substitutie als (1,2,19) tot de vergelijking A u + k^u = O herleid worden.

Is de lucht niet-samendrukbaar, dan is Vg = oo en ook deze vergelijking gaat over in de vergelijking van L a p l a c e

Literatuur.

1. W . F. D u r a n d . Aerodynamic Theory. Vol. II.

J. M. B u r g e r s en T h . v o n K a r m a n . General Aerodynamic theory, Perfect Fluids. 1935.

2. L. P r a n d 11. Theorie des Flugzeugtragflügels in zusammendruckbaren Medien. Luftfahrtforschung, Deel 13, bldz. 313—319.

3. L. P r a n d 11. Allgemeine Betrachtungen über die Strömung zusammendruck-barer Flüssigkeiten. Z.A.M.M., Deel 13, 1936, bldz. 129—142.

4. L. P r a n d t l . Beitrag zur Theorie der tragenden Flache. Z.A.M.M., Deel 16, 1926, bldz. 360—361.

H O O F D S T U K II.

De trillende vleugel in een niet-samendrukbaar

medium.

§ 1. Formulering van het probleem als opgave uit de potentiaal-theorie.

In dit hoofdstuk wordt de drukverdeling op een trillende vlakke plaat berekend in het geval, dat de lucht als niet-samendrukbaar kan worden beschouwd.

De resultaten, die verkregen zijn door H. G. K ü s s n e r (3,4), T h . T h e o d o r s e n (7), P. C i g a l a (1) en anderen worden hier met behulp van de versnellingspotentiaal afgeleid, zodanig, dat zij direct kunnen 'ivorden uitgebreid tot het geval van niet-samen-drukbare lucht.

Wij veronderstellen, dat de beweging van de vleugel vastgelegd is. Door de voorgeschreven beweging is in ieder punt van het vleugeloppervlak de normale snelheid van de lucht bepaald.

Dit heeft tot gevolg, dat in ieder punt van het oppervlak de normale afgeleide van de snelheidspotentiaal gegeven is.

Voor stationnaire bewegingen in een niet-samendrukbaar medium kan het probleem van de vlakke plaat, die zich met een constante snelheid voortbeweegt, zodanig, dat de hoek tussen snelheid en plaat constant is, volledig met behulp van de snelheidspotentiaal opgelost worden.

Omdat de daarbij optredende drukverdeling in het volgende onderzoek een ze€-r bijzondere rol speelt, wordt in § 2 deze eerst afgeleid.

Wij vervangen de vleugel door een oneindig brede vlakke plaat, die zich uitstrekt in de richting van de Z-as en van de X-as het segment — t ^ x ^ + / afsnijdt.

De vleugel voert trillingen uit, zodanig, dat van ieder punt van het oppervlak de uitwijking uit de evenwichtsstand op het tijdstip t gegeven is door

y(x,t) = ^ ) . e ' ' " . . . (2.1,1) Hierin kan v een reëel of complex getal zijn, is v reëel, dan zijn de trilHngen zuiver harmonisch, is /m(v) > O, dan zijn de trillingen gedempt, is Im{v) < 0 , dan neemt de uitwijking met de tijd steeds toe.

Wij houden ons in het vervolg bezig met kleine trillingen, zodat bij het formuleren van de randvoorwaarden voor de potentiaal aan-genomen kan worden, dat deze gelden voor de evenwichtsstand, d.w.z. voor het segment — / ^ x ^ + / van de X—as.

Uit de gegeven uitwijking (2,1,1) kan men de snelheidscompo-nent loodrecht op het profiel, bij onze benadering dus de Y-com-ponent van de snelheid berekenen.

wy = ^ = ^ + ^ . j ^ (2.1.2)

^ dt èt dx dt ' Met de in Hoofdstuk I ingevoerde verwaarlozing van w^^ t.o.v. V

wordt dan

Door de gegeven uitdrukking voor y(x,t) is hiermede de normale component van de snelheid bepaald.

Ook is nu op het profiel de normale component van de versnelling vastgelegd.

Is de versnellingspotentiaal 95(x,y,z,t), dan is op de vleugel

i^ = b y = ^ = ^ - f V ^ = e*^'Si''-^+V^J (2,1.4)

dy '^ dt öt dx ^ yv ' I dx ^ ' Wij verkrijgen dus voor de versnellingspotentiaal het volgende vraagstuk.

Gevraagd wordt een oplossing van de vergelijking van L a p l a c e . die op de door het profiel bepaalde kromme een gegeven normale afgeleide bezit, terwijl overal in het gebied om het profiel de functie regulier moet zijn.

Het probleem is zo teruggebracht tot het tweede hoofdprobleem uit de potentiaaltheorie (zie bijv. K e l l o g g , 2, blz. 246).

^ . . . (2,1.6)

y = 0

Om dit probleem op te lossen voor de door ons beschouwde kromme, d.i. het dubbel tellende segment — ' ^ x ^ + / van de X-as, voeren wij de volgende conforme transformatie uit, waardoor het segment wordt afgebeeld op de eenheidscirkel in het r , 0 vlak

X=U(Q + ^]COS 0

) i \

p.'.»

y = i /lp I sin 0 ' O p de rand van de cirkel geldt

I g - - ) = . / . sin 0 . —

Op de cirkel is dus de normale afgeleide van de versnellings-potentiaal gegeven, zodat het probleem is teruggebracht tot het probleem van N e u m a n n voor het platte vlak, waarbij op de eenheidscirkel de normale afgeleide van de potentiaal gegeven is. De grondslag voor de behandeling hiervan is de volgende stelling van G r e e n .

Is G een regelmatig gesloten gebied in het platte vlak en zijn U en V twee functies, die in G gedefinieerd zijn en samen met hun partiële afgeleiden van de eerste twee orden continu zijn, dan geldt de identiteit ( K e l l o g g , 2, bldz. 215)

/ ; / ( U A V - V A U ) d O = / ( u ^ ^ - V ^ ) d s . (2,1.7) G S ' Hierin stelt S de begrenzing van het gebied G voor en n de normaal, naar buiten toe gericht.

Voor het uitwendige probleem beschouwen wij het gebied, begrensd door een gesloten kromme S en een cirkel C met zeer grote straal R, die de kromme geheel omsluit.

Daarvoor geldt dan

/ f ( U A V - V A U , d O = / ( u » ^ - V ^ ) d . + / ( u g - V ^ l d ,

G S C , (2,1,8)

Hierin is G het gebied, dat tussen de kromme S en de cirkel C ligt.

De normaal is hier naar het inwendige van het door S omsloten gebied gericht.

Men zegt, dat de functie U regulier is in het oneindige, indien

R ^ | < K J R

dU dx dy /'U — R In < K2 als R 00 en bovendien

R

^"V

0 (2,1.9) lim R -> 00

ledere logarithmische potentiaal van een bepaalde massaverdeling voldoet aan deze voorwaarden ( S t e r n b e r g , 6, I, blz. 133).

Is dit het geval voor U en V , dan wordt lim R-> «=

u ' - ^ - v ^

_{dR dR} ds = 0 (2,1.10) zodat (2,1,8) overgaat in (UAV—VAU)dO = l " ^ - V ^ ) < , . . . . (2,,,U) G S

waarbij de integratie over het gehele gebied buiten S is uit te strekken en waarbij de normaal naar binnen toe is gericht.

Zij P een punt in C. Voor V nemen wij dan de functie

V = l n r (2,1,12) waarin r de afstand van het variabele punt tot het punt P i s .

Daar in P deze functie niet harmonisch is, sluiten wij het punt P buiten het integratiegebied door een cirkel met P als middelpunt en een straal Q.

Toepassing van de formule (2,1,11) geeft dan U r— Inr — Inr —— ) ds ^ > 3 J dn dn / (U . Alnr—Inr . A U ) d O = G S 2 n Q dn

/("tf

l n e . ^ ) e d < P (2.1,13) dn / 32

Bij de limietovergang Q -^ O wordt dit, gelet op het feit, dat in P •r— eindig is en dat op C geldt —- = — —-.

dn dn dg

— ff /lUïnr .dO—J{^U~ —lm .^^ds + 2nUp . (2.1,14)

G S

Is U een potentiaalfunctie, dan wordt dit

s

waarbij de normaal naar binnen toe gericht is.

Draaien wij deze richting om, dan wordt de vergelijking

ƒ

s

Is V een harmonische functie, dan wordt (2,1,11)

/ U ^ _ v | y ) d s = 0 (2,1,17) \ dn dn '

s

Uit (2,1,16) en (2,1,17) volgt

Het zal nu mogelijk zijn om U in de randwaarden van de normale afgeleide uit te drukken, indien V zo gekozen is, dat de eerste term in deze integraal verdwijnt.

Het is echter niet mogelijk de harmonische functie V zo te bepalen, dat langs de rand

~ = - ' ^ ^ (2.1.19) dn dn

Immers in het binnengebied is In r harmonisch, dus is

' " " ' ^ d s = 0 (2.1,20)

i

_s dn

V kan echter niet ook harmonisch zijn in het binnengebied. daar V dan zowel in het binnen- als buitengebied harmonisch zou zijn en volgens het theorema van L i o u v i 11 e een constante zou zijn.

W i j stellen nu langs de rand

öV d In r

+ C (2,1,21)

dn dn waarin C een willekeurige onbepaalde constante is.

Hierdoor gaat (2,1,18) over in

Up = - ^ | ( V + l n r ) ^ d s + c | U d s . (2,1,22)

s s

Nemen wij voor — de afgeleide naar buiten, dan wordt dn

Up = — /'(V + l n r ) ^ d s + c | U d s . . (2.1.23)

s s Hierin is de functie V + In r een in het gehele buitengebied met uitzondering van het punt P reguliere functie, die in P oneindig wordt als In r.

Bovendien is haar normale afgeleide op de rand van het gebied G constant.

Deze functie heet de functie van G r e e n van de tweede soort voor het buitengebied van G.

Wij kunnen (2,1,23) nu schrijven

s s

§ 2. Berekening van de versnellingspotentiaal met behulp van het theorema van Green.

Wij bewijzen nu, dat voor de eenheidscirkel de functie van G r e e n van de tweede soort is

G = l n ^ + l n ^ (2,2.1) r r

P en Q zijn twee punten buiten de cirkel, r is de afstand P Q , r' is de afstand van Q tot het punt P', dat uit P ontstaat door een inversie met O, de oorsprong als 'centrum en macht 1.

Zijn nu de poolcoördinaten van P en Q resp. g, 0 en Q', y>, dan is r2 = g2 _|_ p/2 _ 2 Q Q' COS ( 0 — V )

i"=-, + e"—2-.e'cos(0—rp) . . . (2,2.2)

Nu is voor een punt Q op de omtrek van de cirkel

'£

*è

In p + In ^

Inp + l n ^

g ' = l ~ g ' = l " / r //-i \ — Ê > ' - h - c o s ( 0 — x p )

—e' + e cos (0—v) "^ ' e

t' ' r"

J - 1 + ^ c o s ( 0 - v ) | + | - g 2 + gcos(0-v)|_

e' + 1—2 e cos {0—%p\

—i—e' + 2ecos{0—rp) ,

1 + e'—2 e cos (0—rp) (2.2.3)

Verder is deze functie harmonisch in het gehele platte vlak met uitzondering van de punten P en Q.

Voor een punt Q op de omtrek van de cirkel is i In G = In - - j - l n - , r r 1 |p2 + l _ 2 p c o s ( 0 — v ) | J ^ + 1 - 2 . - . c o s ( 0 — W ^_^^l-\-Q'-2ecos(0~rp) (2,2,4) De oplossing van het probleem, dat voor de versnelhngspoteniaal

is gesteld, wordt dan

In

V ~ h ivw . sin y . In j l - h e ^ — 2 p c o s ( 0 — v ) !

dy-f-dx

In

+ {fdxp (2,2,5)

Is nu p = 1, ligt het punt P op de cirkel, dan is In l 9'(0) = 2n , , ö w V Y i''w dx sin V . In 2 ) 1 — cos ( 0 — v ) | d v -f C (2.2,6) Daar w ( 2 j i — ! f ) = w ( ï ' ) , wordt dit als volgt herleid:

2n

m=if

-V 1- ivlw . sin w

dyj

— V . l n 2 s i n i ( v — 6 » ) - w

C

271 vl f

-|- 2 i ^ / w . sin v . In 2 sin i (y—0)dyj

. In 2 sin i ( y — 0 ) . d y + C = 2n / w . c o t è ( v — 0 ) - d +

+ C =

2 J I 2Jt 2 J I = x - I /w|co t U v — 0) — co t è (v—0)1 dxp + o , o . /* . , sin i (v —0) + 2 ICO / w . sin v» • In -.—, , , ^ , d y J ^ s i n H v + ö )

+ C

36

Vf .A — s i n 0 . . . , s i n j ( v — 0 ) ^ , , ^

= — / w(v) < p. + ICO sin V . In ' _, ^,> dv -f C

71 J 7cosv—cos 0 s i n i ( v + 0 ) >

(2,2.7)

Hierin stelt co een dimensieloze grootheid voor, de ,,gereduceerde frequentie"

t« = ^ (2.2,8)

In de rechthoekige coördinaten wordt deze formule + ; V f ( Y l' —x' l ) 9'(x) = ^ / w ( x ' ) | i c o . ^ ( x , x ' ) - j , ^ ^ = = . , ^ 3 : ^ ( d x ' (2,2,9) met ^(x.x') = èln'^ x^' + '^^' ^'[ill L ' . (2,2.10) P — xx'-W — x".fP^^'

In het geval, dat de lucht samendrukbaar is, voldoet de ver-snellingspotentiaal niet meer aan de vergelijking van L a p l a c e , zodat de methode van de conforme afbeelding niet meer toe-passelijk is.

Het is wel mogelijk een formule voor de functie van G r e e n voor het dubbeltellende segment — / ^ x ^ + / fan de X-as te vinden, maar deze is niet in gesloten vorm te bepalen.

Wij zullen daarom de versnellingspotentiaal nog op een andere manier bepalen, die gemakkelijker te generaliseren is tot het geval, dat de lucht samendrukbaar is.

Wij zullen n.l. de versnellingspotentiaal in een F o u r i e r-reeks gaan ontwikkelen.

Hiertoe voeren wij in het platte vlak elliptische coördinaten in door middel van de transformatieformules

X = —/ Ch I . cos »/ . O < f < oo

y = = - / S h | . 9 i n )7 0<ri<2n- ' * ^^.2.11) Door de keuze van het — teken bereiken wij, dat het voorste punt van het profiel, dat in het volgende een bijzondere rol zal spelen, de speciale coördinaten f = O, j^ = O verkrijgt.

Het stuk van de X-as voor de vleugel heeft tot vergelijking t] — O, het stuk achter de vleugel rj = n.

Voor een willekeurige functie U(x,y) zijn de trans formatie-formules voor de afgeleiden naar ^ en rj bij overgang op elliptische coördinaten d U 9 U , „ , , ^^ 1 nut • -r-: ^ — -— . Z. bh f . cos r] — ^ . Z. Ch f . sin w df dx dy dU , ÖU , „ . , . 9U , ^. , ^^'^''^^ ^ ^ := + ~— . l. Ch i . sm v — ^ . Z. öh f . cos w dy dx dy Hieruit kunnen de afgeleiden naar x en y opgelost worden.

^ y — - ^ . Sh § . cos jy + — . Ch f . sin >? " d ^ " l{Ch' § — cos^ f])

.TT — ^^TT . Ch ^ . Sin « — -^r-bhi . cos n

dU dg drj ^ d^~ Z(Ch2 § — cos2 rj)

In elliptische coördinaten gaat de vergelijking van L a p l a c e over in

w+w='' '«•''»

§ 3. De vlakke plaat in stationnaire stroming.

Zoals in 1 reeds is medegedeeld, speelt het stationnaire stromings-veld van een vlakke plaat, die een eenparige translatie uitvoert, in het vervolg een bijzondere rol. Wij zullen daarom deze paragraaf aan het onderzoek van deze stroming wijden.

Hierbij wordt verondersteld, dat de ongestoorde stroming een constante hoek a met de X-as maakt, die zo klein is, dat voor de Y-component van de snelheid geschreven kan worden Va en voor de X-component V . f

Op het profiel is de Y-component van de stoorsnelheid constant Va. Voor de snelheidspotentiaal krijgen wij dus de opgave een op-lossing te zoeken van de vergelijking van L a p l a c e , welker normale afgeleide op het dubbel te tellen segment — Z ^ x ^ + Z van de

X-as gegeven is.

In elliptische coördinaten wordt de transformatieformule voor de normale afgeleide voor f = 0.

fd<pl

[^?

f = 0 = : — Z . s i n 57.

d0

dy ? = 0 «VZsin»? . . (2,3.1)

Wij proberen nu aan vergelijking (2,2,14) te voldoen door d e substitutie

^(^.rj)=0,{^).^M (2.3.2) waardoor zij overgaat in

^(1) ' ^2('?) 0. waaruit volgt met de oplossingen ^ / ( ^ ) _ , 2 . M ^ ) _ _ , 2

^.(5)

^2{V) cf cJ . —cf —cf e cos c>?, e sin crj, e cos c»?, e sin crj

(2,3,3)

(2,3,4)

(2.3.5) Rekenen wij c positief, dan vervallen de eerste twee oplossingen. omdat de snelheidspotentiaal in het oneindige nul moet worden.

W i j stellen nu

<5(§, rj)=ze (A cos crj -\-'B sin CJ;) . . . . (2,3.6) Substitutie in (2.3,1) geeft voor de oplossing van de vergelijking, die aan de randvoorwaarden voldoet

0{ir,,rj) = xVle~^ sin rj (2,3,7) De tangentiële component van de stoorsnelheid is op het

draag-vlak W x = : d(p 1 d x j ? r = 0 l sin rj' d ^ l dJ?Js = 0 otVcotjy (2,3,8)

Voor tj = O oi Ij = 71, dus aan de voor- en achterkant van het profiel, wordt zij oneindig groot.

Voor stationnaire stroming geldt verder voor de circulatie om het profiel de formule

r= f^^dz= \ f '

J ds J Z. si sin rj In d^l . l. sin t] . dr] = 5 = 0 d»? — ƒ a V . cos j? . d»? = O (2,3,9) V o l g e n s het t h e o r e m a v a n K u t t a - J o u k o w s k i is dus de totale k r a c h t op het d r a a g v l a k voor deze stroming nul.

O m d a t de stoorsnelheid a a n d e a c h t e r k a n t van het d r a a g v l a k oneindig groot w o r d t en wij eisen, d a t a a n de a c h t e r k a n t de stroming ,,glad" verloopt, zoeken wij op deze stroming nog een a n d e r e te s u p e r p o n e r e n , zodanig, dat a a n de a c h t e r r a n d de t o t a l e stoorsnelheid eindig w o r d t .

D e snelheidspotentiaal, die bij deze s t r o m i n g behoort, m a g op het profiel niet meer tot de n o r m a l e snelheid bijdragen, d a a r (2,3,6) r e e d s de g e g e v e n n o r m a l e snelheid oplevert.

Zij moet d u s op het d r a a g v l a k de n o r m a l e afgeleide nul h e b b e n . D e lijn ^ = O moet d u s stroomlijn zijn.

D i t zal h e t geval zijn, als de potentiaalfunctie alleen v a n tj afhangt.

A l s oplossing v a n de vergelijking v a n L a p l a c e moet zij de vorm hebben

(P = Arj + B (2,3,10)

D a a r voor de snelheidspotentiaal alleen de afgeleiden een rol spelen, k a n de additieve c o n s t a n t e n a a r willekeur w o r d e n w e g g e -laten, wij stellen B = 0.

D e stroming met deze versnellingspotentiaal is een zuivere circu-latiestroming om de plaat, de stroomlijnen zijn de ellipsen i = const.

D e t a n g e n t i ë l e snelheid l a n g s de plaat is W ^ : d 0 dx 1 f = O l. sin rj' d'P dri l . sin )/ (2,3,11)

L a n g s een stroomlijn is de circulatie. 2 ^

d^ , rd^

0^^ds= f^.dij = A.2n = r . . . . (2,3,12)

ds J drj

Wij vinden dus, dat de stroming langs een vlakke plaat met constante normale snelheid tot potentiaal heeft

r

^ (^.v)

_2n .•t]-\-y.Vle ^ . sin

•n-Voor de tangentiële snelheid op het profiel vinden wij • a t v COt rj.

(2,3,13)

. (2,3,14) 2n l. sin jy

Voor rj = n, dus aan de achterzijde van het profiel, wordt deze alleen dan niet oneindig groot, indien

:/^, = « V (2.3,15) 27TZ

zodat wij voor de snelheidspotentiaal de uitdrukking verkrijgen 0(i,r]) =aVl{r] + e-i sin rj) . . . (2,3,16) De bijbehorende versnelhngspotentiaal levert de drukverdeling op het draagvlak.

Volgens (1,1,15) is de versnellingspotentiaal voor stationnaire stroming

d<P d<f :irfi - ^ S h | . c o s 5 ? — - — . C h l . s i n » / 9 , ^ V — V ^^ ^5

-dx~ ^ • l (Ch^ I — cos^ v)

=—<xV'' ( — e ~ ' . sin ?/). Sh g . cos y —(1 -j-e-"'- cos 7/).Ch|sin7/ _ Z (Ch^ I — cos^ Tj)

c,V'. sin rj . (2,3, 7)

Ch I — cos rj O p het profiel is f = O, zodat daar

(p = aV^ . COt 14 fj (2,3,18) De drukverdeling vertoont dus aan de voorkant van het profiel

een singulariteit.

Verder heeft deze versnellingspotentiaal de eigenschap, dat overal op het profiel haar normale afgeleide nul is.

Deze is n.l. d^" -1 { = 0 l . sin rj df] 4 = 0 l. sin rj' L(Ch I — cos rj) Sh I . sin »/ 1 = 0 (2.3,19) 41

Is nu de normale afgeleide van de versnellingspotentiaal op het profiel gegeven, dan is daardoor de versnellingspotentiaal zelf niet eenduidig bepaald.

Is n.l. een speciale versnellingspotentiaal (po(^,rj) gevonden, die de gegeven randwaarden van de normale afgeleide oplevert, dan zal de versnellingspotentiaal

<P(l v) = «Pod.^;) + ao . rJ'^'L • • • (2.3.20) _{Cn§—cos rj}

dezelfde randwaarden bezitten van de normale afgeleide als (p^(^,rj), zodat de oplossing van het probleem niet eenduidig bepaald is door de waarden van de normale afgeleide.

De waarde van de constante a^ moet dan nog uit een andere voorwaarde worden bepaald.

§ 4. Berekening van de versnellingspotentiaal voor een trillende vlakke plaat.

W i j bespreken nu het in § 1 genoemde randvoorwaardenprobleem voor de functie q){x,y.t).

Evenals in hoofdstuk I kunnen wij stellen, dat cp(^,ïj,t) zodanig van de tijd afhangt, dat wij kunnen schrijven

•Pd.^.t) = e "'• ?(|.77) (2,4,1) (p(S,rj) is een oplossing van de vergelijking van L a p l a c e , waarbij

d'P(i,ri)

voor f = O de afgeleide ——-^— bekend is.

Is de snelheid w op het profiel bekend, dan volgt uit (2,1,4) in elliptische coördinaten, als wij tevens stellen

Wy(j;,t) = w(j/) e"" (2,4,2)

dat geldt

d-w(rj))

\df~\ — i l d9~\ {. - n j_ \/ _L- ^^'^'i

Z~ =T:—• ^ = Vw(i/) + V . j - ^ — . — j — |_dy_|f = 0 Zsin»; L^**/J'= O ( l sin rj drj

I ^^ I T r U w ( ' ; ) , .Iv —j-. . ) I0A-X\

Ldfi=o=-^!^r+'v"('')-^''^^^i • • (^•'•^)

De snelheid Wy is, zowel aan de bovenzijde als aan de onderzijde van de vleugel gelijk aan de normale snelheid van de trillende plaat. In elliptische coördinaten moet Wy dus een even functie van rj zijn.

Uit (2,4,3) volgt dan, dat _ een oneven functie van « L d | j 5 = 0

moet zijn.

Om nu (pii.rj) te vinden, passen wij weer de methode van de scheiding der variabelen toe en vinden dan evenals in § 2 de particuliere oplossing

e " (A cos c»^ + B sin cjj) (2,4,4) \~d9~\

Daar wij zojuist hebben aangetoond, dat — 1 een oneven functie van rj moet zijn, vervallen de termen A cos crj.

Verder moet aan de achterzijde van het profiel de druk continu overgaan in de druk van de stroming achter het draagvlak, zodat daar de druksprong op het profiel en dus volgens (1,1,21) ook de versnellingspotentiaal nul moet zijn.

Dus

sin c»; = O voor rj = n (2,4,5) wat oplevert, dat c = n (n = 1,2,3,4 ).

Wij stellen nu, dat wij de versnellingspotentiaal kunnen ontwik-kelen in een reeks van deze particuliere oplossingen

^(|,i7) = 2'a„e~"^'sinnJ7 (2.4,6)

B = 1

Om de coëfficiënten a„ te bepalen, moeten wij nu de gegeven functie w();) in een F o u r i e r-reeks ontwikkelen

^=Po + 2SK.cosnrj . . . . (2.4.7)

n = I

Substitutie van (2,4,6) en (2,4,7) in (2,4,3) geeft nu

00 I ca

2 —n an sin nrj = — V ]—2 2 P„n, sin n?; + ico Pg sin rj

-\-n = 1 ( n = 1

00 \

+ 2 icü 2" P„ cos nrj. sin );( = V

n = l )

ico 1 P„ j sin (n + 1 ))7—sin (n— 1)»; Jj = 2 V

+ i i « P n + i ) s i n n J (2,4,8) Gelijkstellen van de overeenkomstige coëfficiënten in beide

uit-drukkingen voor -— geeft voor a„ de formule L d f j 5 = 0

00

2 ^ nP„ sin nrj—ico PQ sin rj— I ( n P „ — U « P „ _ i f

2 V

aa = (—nP„ -t- i ico P„_i — f ico P„+,)- • • (2.4.9) n

De versnellingspotentiaal wordt dus

«Pd. rj. t) = e"'' . 2 V . ^ ( — n P „ + Ho) P„_, —èicoP„+,)-^ .sinni?.

n=i n (2.4.10)

Zoals in het voorgaande reeds werd opgemerkt, is de versnel-lingspotentiaal door de gegeven randwaarden van de versnelling nog niet vastgelegd.

De volledige uitdrukking voor cpi^.rj.t) wordt volgens (2,3,21) e*"' «o • ruT^ + 2V I ( - n P , + è ico P„_, - J ico P„+,)

C h I — cos rj „=i

-n4

Sin nrj (2,4,11)

n waarin a^ nog onbepaald is.

a^ wordt bepaald door op te merken, dat op het profiel niet alleen de normale component van de versnelling, maar ook die van de snelheid gegeven is.

Noemen wij de verticale snelheid, die bij de versnellingspotentiaal (pii.rj.t; aj uit (2,4,11) behoort, 'w(a„), dan moet overal op het draagvlak voldaan zijn aan

Wy(x,t) = w ( x , t ; a j (2,4,12) Wij hebben a„ bepaald uit vergelijking (2,4,8), die volgde uit

(2,4,3), de voorwaarde, dat de normale afgeleide van de versnel-lingspotentiaal gelijk is aan de gegeven normale versnelling.

Het is echter niet mogelijk uit (2,4,3) ook nog a^ te bepalen. Om vergelijking (2,4,12) op te stellen, is het nodig de snelheids-potentiaal te bepalen.

§ 5. Berekening van de snelheidspotentiaal en bepaling van a^. De snelheidspotentiaal kan uit de versnellingspotentiaal berekend worden met behulp van de vergelijking (1,1,20), die met de sub-stitutie (1,2,16) wordt

^ X—x')

<5(x,y,z,t) = ^ / e " * ' ^ • ^(x'.yz) dx' + f(x—Vt.y.z). . (2,5,1)

Ook de normale snelheid op het draagvlak kan uit <p berekend worden

, ^ . d^(x,y,t; a) 1 f iv{t-\p dVJx'.y) , , , w(x,t:ao) = =^J e V . _ _ ; . dx +

00

+ g(x — Vt,y,z) = Wo(x,y,t; a) + g(x — Vt,y,z) . . (2,5,2) Daar f(x—Vt,y,z) een willekeurige differentieerbare functie is,

df

is ook — = g(x—Vt,y,z) een willekeurige functie. dy

Als in een punt van het draagvlak geldt, dat de snelheid Wy gelijk is aan de gegeven snelheid w^,

Wy(x,0,t) = w „ ( x , 0 , t ; a „ ) (2,5,3) voor alle waarden van t, dan is de functie van g identiek nul, zodat

vergelijking (2,5,3) voor alle punten van het draagvlak geldt. Bij transformatie op elliptische coördinaten wordt (2,5,3) voor een punt op de negatieve X-as met abscis x < — Z

[ö^(t.»;.t)-Wy(?,0,t) = dcP(x,y,t) dy i ( /(ChS'-ch4)>

•i'

i__ y = o ~ Z.ShI drj t] = O • Z . S h f [ 'drj ri — O . — Z . S h r . d l ' (2,5,4)

Voor een punt op het draagvlak wordt de snelheid berekend door de integraal in twee delen te splitsen, n.l. van — oo tot — Z en van — Z tot X.

Wy(»?,0,t) = Y / e

^I'

ir!t-(ChS'—cos rj V S h l ' d<p{r.v)

+

J'

rj { l{t:osri'—cos ij)

1

Cr V

V

I

-^ . s i n . Ij drj

m.v')

t] — 0

H. shrdr +

ö? 4 = 0 . § . sin rj'drj' (2.5.5)

In het begin van deze paragraaf is bewezen, dat de snelheid, als eenmaal voor een punt op het draagvlak voldaan is aan (2,5,2), overal op het draagvlak gelijk zal zijn aan de gegeven snelheid. Voor dit speciale punt kiezen wij het voorste punt van het draag-vlak.

de reeks (2,4,6) gelijkmatig in | convergeert i ) , dan wordt de snel-heid in het voorste punt, die bij de versnellingspotentiaal (2,4,6) behoort co W.y (0,0.t) = ,ivt + ift)

''V~

ĥ

.—ico . C h 4 . ^ n . an . e n = l - n £ ' . dr =

=

- v ^

1 ^

f'

.dr-

(2,5.6)

Met gebruikmaken van de formules (2,4,9) voor a,, wordt deze uitdrukking

wiy (0,0,t) = 2 e " " + "» 2 (nPn + i icoPn+i — J ico P n - , ) . n=l ... 00 00 . f e - ' « C h E ' - n 4 ' d^ _ givt + io. 2 ^ nPn ƒ" e - ' ^ ^ h S ' - n l ' j j ^ O O 00 + ico 2- Pn . r e - ' " Ch4'-n4' (^4' _ g - 4 ' ) J l ' _ O 00 00

— icoPo ƒ e-*"'ChS'-4' d | ' —icoP, |'e-i™Chï' d?' (2,5.7) o o Indien wij dan verder vcxir waarden van co met lm co < O, stellen:

co

L n ( c o ) ^ | e - ' ' " C h ï ' - n S ' d l ' . . . . ( 2 . 5 . 8 )

' ) Als de gegeven snelheid w ( y ) op het profiel zodanig is, dat de versnelling op het profiel, die gegeven is door (2, 4,3) met haar afgeleiden tot en met de tweede orde naar TJ continu differentieerbare functies zijn van TJ, dan kunnen wij voor de F o u r i e r-coëfficienten van deze versnelling 1(TJ) de grootheden

+ na afleiden.

2« , 2JI 1

2 j i n a n = / {{rj). sin n»; .d») = — - . / f (»;) . d cos n>? = — ~ [{{v) • cos nr; O ° O

. 271 . 2JI 1

-\-- . / i'(t]). cos nrj. drj = Q-\- -^ J i'(v). d sin n)? = 3 [ f {^/l • sin EJ?

O 2JI 2n O 231 o

+

2M

fi"(ri). sin n»? d(; = — -^ / i" (tj) . sin ni; ATJ.

O

0(1)

Daar de laatste integralen begrensd zijn, is | nan | <C —2" '^°^^^ ^^ reeks 03 ^ t

2 nan e ^ sin n»? gelijkmatig in l en TJ convergeert.

n=l 46

gaat (2,5,7) na partiele integratie over in

Wiy (O.O.t): Avt+ioi 2 2 nP„Ln((ü) + 2 e - " " K - 2 I nU{io). P„

icöPflLJcb) — icoP,Lo(co) (2.5.9) Alle optredende integralen convergeren alleen in de bovenge-noemde veronderstelling, dat lm co <C 0.

In dit geval geldt voor de functie van H a n k e 1 de integraal-formule van H e i n e ( W e y r i c h , 8, bldz. 30) H'2)(a;) = - 1°+' / e-''"Ch4 " 71

'' .Chnl'.dr.

(2,5,10) zodat en Lo(co) = — ^ jii. H i V ) (2,5,11) 00 00 r -io,Ch4'-4'

L,(cü)=je

o co 00 /• — ia>Ch4' f

= je .ChI'dl'—|e

— i<uCh4'

e (Chr—shr)dr =

-iwChJ' , ,

e . Shrdl' =

= — ^ jiH,^'\o}) + i^— ^ co Z o wordt (2.5,9) ivt 4- il w,y(0,0,t) = e (2.5,12) 2e ""lPn+.;racoPoH,(2)(co) + n = l + e Po —ijrcoPiHo(^Hco) . (2.5,13)

Deze formule hebben wij alleen bewezen voor Imco < 0. Daar volgens onze veronderstelling w^, een analytische functie is, en in het rechterlid ook analytische functies staan, kunnen wij door middel van het principe der analytische voortzetting aantonen, dat ook voor andere waarden van co de formule haar geldigheid behoudt.

Deze methode is echter niet bruikbaar voor de term s i n rj

Ch4' cos ^ daar de integralen, die zich over de singulariteit aan de voorkant uitstrekken, divergent worden.