• Nie Znaleziono Wyników

POLE GREKA

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "POLE GREKA"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

Jacek Kredenc – szkic rozwiązania

Pole Greka

Zadanie

Oblicz pole poniżej narysowanej figury. A może skorzystasz ze wzoru Herona?

Rozwiązanie

Powyższy czworokąt można podzielić na trójkąt prostokątny egipski o bokach 3; 4; i 5 i trójkąt równoramienny o bokach 10; 10 i 5.

Dla pierwszego trójkąta 𝑝 = 6, a dla drugiego trójkąta p=12,5 Pole całego czworokąta równe jest sumie pól tych trójkątów, czyli:

𝑷 = √𝟔 ∙ (𝟔 − 𝟑) ∙ (𝟔 − 𝟒) ∙ (𝟔 − 𝟓) + √𝟏𝟐, 𝟓 ∙ (𝟏𝟐, 𝟓 − 𝟓) ∙ (𝟏𝟐, 𝟓 − 𝟏𝟎) ∙ (𝟏𝟐, 𝟓 − 𝟏𝟎) = √𝟔 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 + √𝟏𝟐, 𝟓 ∙ 𝟕, 𝟓 ∙ 𝟐, 𝟓 ∙ 𝟐, 𝟓 = √𝟑𝟔 + √𝟓𝟖𝟓, 𝟗𝟑𝟕𝟓

= 𝟔 + 𝟔, 𝟐𝟓√𝟏𝟓

Poszukiwania wielokątów

Zadanie 1.

Udowodnij, że jeśli wielościan wypukły ma wszystkie ściany trójkątne i wszystkie kąty trójścienne, to ten wielościan jest czworościanem.

Rozwiązanie

Mamy 𝑘 =3𝑆2 i 𝑘 = 3𝑤2 . Stąd 𝑠 =2𝑘3 i 𝑤 =2𝑘3.

Po podstawieniu do wzoru Eulera 𝑤 + 𝑠 − 𝑘 = 2 mamy 2𝑘

3 + 2𝑘

3 − 𝑘 = 2 2𝑘 + 2𝑘 − 3𝑘 = 6

(2)

𝑘 = 6

W konsekwencji 𝑠 =2∙63 = 4 i 𝑤 =2∙63 = 4, czyli mamy czworościan

Zadanie 2.

Udowodnij, że jeśli wielościan wypukły ma wszystkie ściany trójkątne i wszystkie kąty czworościenne, to ten wielościan jest ośmiościanem.

Rozwiązanie

Mamy 𝑘 =2𝑠3 i 𝑘 =4𝑤2 . Stąd 𝑠 =2𝑘3 i 𝑤 =𝑘2.

Po podstawieniu do wzoru Eulera 𝑤 + 𝑠 − 𝑘 = 2 mamy 𝑘 2+ 2𝑘 3 − 𝑘 = 2 3𝑘 + 4𝑘 − 6𝑘 = 12 𝑘 = 12

W konsekwencji 𝑠 =2∙123 = 8 i 𝑤 =122 = 6, czyli mamy ośmiościan.

Zadanie 3.

Udowodnij, że jeśli wielościan wypukły ma wszystkie ściany czworokątne i wszystkie kąty trójkątne, to ten wielościan jest sześcianem.

Rozwiązanie

Mamy 𝑘 =4𝑠2 i 𝑘 =3𝑤2 . Stąd 𝑠 =𝑘2 i 𝑤 =2𝑘3.

Po podstawieniu do wzoru Eulera 𝑤 + 𝑠 − 𝑘 = 2 mamy 2𝑘 3 + 𝑘 2− 𝑘 = 2 4𝑘 + 3𝑘 − 6𝑘 = 12 𝑘 = 12

(3)

Zadanie 4.

Czy istnieje wielościan wypukły, który ma wszystkie ściany czworokątne i wszystkie kąty czworościenne?

Odpowiedź

Cytaty

Powiązane dokumenty

Ruch polega na wybraniu dwóch sąsiadujących w wierszu lub kolumnie pionów, a następnie przeskoczeniem jednym z nich przez drugi i zdjęciem drugiego.. Ruch wolno wykonać tylko o

W jednym rzędzie ustawiono n słupków monet tak, że między każdymi dwoma słupkami tej samej wysokości znajduje się co najmniej jeden słupek wyższy.. Najwyższy słupek zawiera

Udowodnij, że wówczas ist- nieje wśród nich taki matematyk, że średnia liczba przyjaciół jego przyjaciół jest nie mniejsza od średniej liczby przyjaciół całego

Niech punkt I będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś D, E, F niech będą punktami przecięcia dwusiecznych kątów A, B, C trójkąta ABC odpowiednio z bokami BC, AC

Punkty te połączono między sobą i z wierzchołkami trójkąta nieprzecinającymi się odcinkami tak, iż ”duży” trójkąt podzielono na mniejsze trójkąty.. Udowodnij, że

Udowodnij, że możemy tak położyć drugiego tetrisa, aby suma liczb w polach, które on przykrył, była nieujemna...

Udowodnij, że możemy tak położyć drugiego tetrisa, aby suma liczb w polach, które on przykrył, była nieujemna...

[r]