Moduł i argument liczby zespolonej

Moduł i argument liczby

zespolonej

Autorzy:

Agnieszka Kowalik

Moduł i argument liczby zespolonej

Moduł i argument liczby zespolonej

Autor: Agnieszka Kowalik

DEFINICJA

Definicja 1: Moduł liczby zespolonej

Definicja 1: Moduł liczby zespolonej

Niech , gdzie , będzie dowolną liczbą zespoloną. ModułemModułem liczby nazywamy liczbę rzeczywistą daną wzorem

Innym, powszechnie stosowanym oznaczeniem modułu liczby zespolonej jest symbol .

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Obliczymy moduł liczby . Część rzeczywista liczby wynosi , zaś część urojona , zatem

Geometrycznie moduł liczby zespolonej to odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej

Powyższą interpretację możemy rozszerzyć na dwie dowolne liczby zespolone. Niech mianowicie oraz

będą dwiema liczbami zespolonymi. Wówczas oraz , . Mamy

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie równości jest zwykłą odległością euklidesową punktu od punktu .

Zatem dla dowolych liczb zespolonych moduł ich różnicy oznacza odległość od na płaszczyźnie zespolonej.

Rysunek 2: Interpretacja geometryczna modułu różnicy dwóch liczb zespolonych

z = x + iy

x, y ∈ R

z

|z|

|z| =

_√

x

−

−−−−

+

_y

−

.

z

r = |z|

z = −2 − 4 i

√

2

z

x = −2

y = −4 2

√

|z| =

_√

−

(−2 + (−4

−−−−−−−−−−−−

)

_{√ )}

₂

−

=

_√

− −

_{4 + 32}

−−−

= 6.

z

=

+ i

z

x

y

z = x + iy

z − = (x − ) + i(y − )

z

x

y

Rez = x − x

Imz = y − y

|z − | =

z

√

−

(x −

−−−−−−−−−−−−−−−

x

)

+ (y −

y

)

−

.

(x, y)

( , )

x

y

(1)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Własności modułu liczby zespolonej

Własności modułu liczby zespolonej

Niech . Prawdziwe są następujące własności:

, przy czym wtedy i tylko wtedy, gdy ;

; ; ; ; , jeżeli .

DEFINICJA

Definicja 2: Argument liczby zespolonej

Definicja 2: Argument liczby zespolonej

Niech , gdzie , będzie liczbą zespoloną różną od zera. ArgumentemArgumentem liczby nazywamy każdą liczbę rzeczywistą , spełniającą warunki:

Argumentem głównym

Argumentem głównym liczby nazywamy ten argument, który należy do przedziału .

Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej jest dowolna liczba rzeczywista , zaś argumentem głównym dla

jest .

Argument liczby oznaczamy symbolem , zaś argument główny symbolem . Mamy zatem

Geometrycznie argument liczby zespolonej to kąt skierowany, jaki tworzy wektor z dodatnią półosią osi rzeczywistej .

Rysunek 3: Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej

z, , ∈ C

z

z

|z| ⩾ 0

|z| = 0

z = 0

| + | ⩽ | | + | |

z

z

z

z

|| | − | || ⩽ | − |

z

z

z

z

z ⋅ = |z

z¯

|

| ⋅ | = | | ⋅ | |

z

z

z

z

=

∣∣

∣∣

z

= 0

/

z = x + iy

x, y ∈ R

z

φ

{

cos φ

_{sin φ}

=

₌

,

.

.

z

[0, 2π)

z = 0

φ ∈ R

z = 0

φ = 0

z

argz

Argz

argz = Argz + 2kπ, gdzie k ∈ Z.

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Obliczymy argument główny liczby .

Mamy:

.

Układ równań ( 2 ) ma postać:

Kątem z przedziału spełniającym powyższy układ równań jest . Zatem

Zauważmy przy tym, że rozważany układ równań jest spełniony także dla czy dla . Zarówno jak i

są zatem argumentami liczby , przy czym , a . Korzystając z zależności

, gdzie możemy wyliczyć inne argumenty liczby .

DEFINICJA

Definicja 3: Biegunowy układ współrzędnych

Definicja 3: Biegunowy układ współrzędnych

Dla ustalenia położenia punktu na płaszczyźnie można wprowadzić biegunowy układ odniesieniabiegunowy układ odniesienia. W biegunowym układzie odniesienia wyróżniamy pewien punkt płaszczyzny, nazywany biegunem płaszczyznybiegunem płaszczyzny oraz pewną wyróżnioną półprostą poprowadzoną z bieguna, nazywaną półosią biegunowąpółosią biegunową. Wówczas położenie dowolnego punktu płaszczyzny określamy poprzez podanie odległości tego punktu od bieguna oraz określenie kąta skierowanego pomiędzy półosią biegunową a półprostą o początku w biegunie i przechodzącą przez dany punkt (tzw. promieniem wodzącympromieniem wodzącym tego punktu).

Rysunek 4: Biegunowy układ współrzędnych na płaszczyźnie

Łatwo zauważyć, że dla liczby zespolonej , podanie jej modułu i argumentu jest opisem położenia

liczby względem bieguna w punkcie oraz półosi dodatniej jako półosi biegunowej.

Rysunek 5: Biegunowy (polarny) opis położenia liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej

z = −1 +

√

3

i

|z| =

√

− −

1 + 3

−−

= 2

{

cos φ

.

sin φ

=

=

,

.

[0, 2π

φ = π

Argz = π.

= − π

φ

φ

= π

φ

φ

z = −1 + 3

√

φ

= φ − 2π

φ

= φ + 2π

argz = Argz + 2kπ

k ∈ Z

z

r

φ

z = x + iy

r = |z|

φ = Argz

z

0

DEFINICJA

Definicja 4: Moduł liczby zespolonej

Definicja 4: Moduł liczby zespolonej

Niech , gdzie , będzie dowolną liczbą zespoloną. ModułemModułem liczby nazywamy liczbę rzeczywistą daną wzorem

Innym, powszechnie stosowanym oznaczeniem modułu liczby zespolonej jest symbol .

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Obliczymy moduł liczby . Część rzeczywista liczby wynosi , zaś część urojona , zatem

Geometrycznie moduł liczby zespolonej to odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.

Rysunek 6: Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej

Powyższą interpretację możemy rozszerzyć na dwie dowolne liczby zespolone. Niech mianowicie oraz

będą dwiema liczbami zespolonymi. Wówczas oraz , . Mamy

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie równości jest zwykłą odległością euklidesową punktu od punktu .

Zatem dla dowolych liczb zespolonych moduł ich różnicy oznacza odległość od na płaszczyźnie zespolonej.

Rysunek 7: Interpretacja geometryczna modułu różnicy dwóch liczb zespolonych

z = x + iy

x, y ∈ R

z

|z|

|z| =

_√

x

−

−−−−

+

_y

−

.

z

r = |z|

z = −2 − 4 i

√

2

z

x = −2

y = −4 2

√

|z| =

_√

−

(−2 + (−4

−−−−−−−−−−−−

)

_{√ )}

₂

−

=

_√

− −

_{4 + 32}

−−−

= 6.

z

=

+ i

z

x

y

z = x + iy

z − = (x − ) + i(y − )

z

x

y

Rez = x − x

Imz = y − y

|z − | =

z

√

−

(x −

−−−−−−−−−−−−−−−

x

)

+ (y −

y

)

−

.

(x, y)

( , )

x

y

(2)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: Własności modułu liczby zespolonej

Własności modułu liczby zespolonej

Niech . Prawdziwe są następujące własności:

, przy czym wtedy i tylko wtedy, gdy ;

; ; ; ; , jeżeli .

DEFINICJA

Definicja 5: Argument liczby zespolonej

Definicja 5: Argument liczby zespolonej

Niech , gdzie , będzie liczbą zespoloną różną od zera. ArgumentemArgumentem liczby nazywamy każdą liczbę rzeczywistą , spełniającą warunki:

Argumentem głównym

Argumentem głównym liczby nazywamy ten argument, który należy do przedziału

Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej jest dowolna liczba rzeczywista , zaś argumentem głównym dla

jest .

Argument liczby oznaczamy symbolem , zaś argument główny symbolem . Mamy zatem

Geometrycznie argument liczby zespolonej to kąt skierowany, jaki tworzy wektor z dodatnią półosią osi rzeczywistej .

Rysunek 8: Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej

z, , ∈ C

z

z

|z| ⩾ 0

|z| = 0

z = 0

| + | ⩽ | | + | |

z

z

z

z

|| | − | || ⩽ | − |

z

z

z

z

z ⋅ = |z

z¯

|

| ⋅ | = | | ⋅ | |

z

z

z

z

=

∣∣

∣∣

z

= 0

/

z = x + iy

x, y ∈ R

z

φ

{

cos φ

_{sin φ}

=

₌

,

.

z

[0, 2π)

z = 0

φ ∈ R

z = 0

φ = 0

z

argz

Argz

argz = Argz + 2kπ, gdzie k ∈ Z.

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Obliczymy argument główny liczby .

Mamy:

.

Układ równań ( 2 ) ma postać:

Kątem z przedziału spełniającym powyższy układ równań jest . Zatem

Zauważmy przy tym, że rozważany układ równań jest spełniony także dla czy dla , Zarówno jak i

są zatem argumentami liczby , przy czym , a . Korzystając z zależności

, gdzie możemy wyliczyć inne argumenty liczby .

DEFINICJA

Definicja 6: Biegunowy układ współrzędnych

Definicja 6: Biegunowy układ współrzędnych

Dla ustalenia położenia punktu na płaszczyźnie można wprowadzić biegunowy układ odniesieniabiegunowy układ odniesienia. W biegunowym układzie odniesienia wyróżniamy pewien punkt płaszczyzny, nazywany biegunem płaszczyznybiegunem płaszczyzny oraz pewną wyróżnioną półprostą poprowadzoną z bieguna, nazywaną półosią biegunowąpółosią biegunową. Wówczas położenie dowolnego punktu płaszczyzny określamy poprzez podanie odległości tego punktu od bieguna oraz określenie kąta skierowanego pomiędzy półosią biegunową a półprostą o początku w biegunie i przechodzącą przez dany punkt (tzw. promieniem wodzącympromieniem wodzącym tego punktu).

Rysunek 9: Biegunowy układ współrzędnych na płaszczyźnie

Łatwo zauważyć, że dla liczby zespolonej , podanie jej modułu i argumentu jest opisem położenia

liczby względem bieguna w punkcie oraz półosi dodatniej jako półosi biegunowej.

Rysunek 10: Biegunowy (polarny) opis położenia liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

z = −1 +

√

3

i

|z| =

√

− −

1 + 3

−−

= 2

{

cos φ

sin φ

=

=

,

.

[0, 2π)

φ = π

Argz = π.

= − π

φ

φ

= π

φ

φ

z = −1 + 3

√

φ

= φ − 2π

φ

= φ + 2π

argz = Argz + 2kπ

k ∈ Z

z

r

φ

z = x + iy

r = |z|

φ = Argz

z

0

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:07:00

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=a7e77ed1f1684f8544f211fe4799a653