Przyrostowe równania nieliniowej teorii płyt z naprężeniami i ugięciami początkowymi w zakresie sprężysto-plastycznym materiału

M E C H AN I K A TEORETYC Z N A I STOSOWAN A 1/2, 22 (1934)

PRZYROSTOWE RÓWNANIA N IELIN IOWEJ TEORII PŁYT Z NAPRĘ Ż ENIAMI I UGIĘ CIAMI POCZĄ TKOWYMI W ZAKRESIE SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZNYM

MATERIAŁU

MARIAN   K M I E C I K

Politechnika Szczeciń ska

1. Wstę p

Badania doś wiadczalne [1] pł yt ś ciskanych osiowo z naprę ż eniami wstę pnymi i ugię -ciami począ tkowymi wskazują  n a ich nieliniowe zachowanie się . N ie zachodzi bowiem proporcjonalność pomię dzy zewnę trznym obcią ż eniem ś ciskają cym, a wywoł anym nim ugię ciem, nawet w zakresie sprę ż ystym. G ranica plastycznoś ci zostaje osią gnię ta przy obcią ż eniach znacznie niż szych od obcią ż eń maksymalnych, jakie może przenieść pł yta. M aksymalna noś ność pł yty wystę puje przy ugię ciach przekraczają cych wielokrotnie gru-bość pł yty i przy znacznym uplastycznieniu materiał u. U wzglę dnienie naprę ż eń wstę pnych i ugię ć począ tkowych w obliczeniach wytrzymał oś ciowych pł yt ś ciskanych osiowo pocią ga wię c za sobą  konieczność uwzglę dnienia zarówno nieliniowoś ci fizycznej, jak i geometrycz-nej. Efektywne rozwią zywanie zagadnień nieliniowych wymaga sformuł owań przyrosto-wych [2, 3, 4]. Poniż ej, opierają c się  n a wariacyjnym sformuł owaniu równań równowagi oraz teorii plastycznego pł ynię cia Prandtla- Reussa, wyprowadzone został y przyrostowe równania nieliniowej teorii pł yt z naprę ż eniami wstę pnymi i ugię ciami począ tkowymi. P odan o także stosowne wyraż enia przyrostowe dla rozwią zywania zagadnienia metodą elementu skoń czonego.

2. Przyrostowe zwią zki konstytutywne w zakresie sprę ż ysto- plastycznego materiał u

Rozpatrzone zostaną  pł yty z materiał u izotropowego. Zakł ada się  także wzmocnienie izotropowe p o przekroczeniu granicy plastycznoś ci. Przyjmujemy pon adto, że speł niony jest postulat D ruckera [5] wykluczają cy przyrost] odkształ cenia plastycznego przy spadku wartoś ci naprę ż enia. Cechę  tę  posiada wię kszość materiał ów konstrukcyjnych, w tym stale okrę towe. W powszechnym zastosowaniu są  dwie teorie plastycznoś ci: odkształ ce-niowa i plastycznego pł ynię cia. D alsze rozważ ania bę dą  oparte na tej ostatniej. Jest ona bowiem teorią  bardziej ogólną . Teoria odkształ ceniowa daje poprawne wyniki i zgodne z wynikami uzyskanymi n a bazie teorii plastycznego pł ynię cia tylko przy obcią ż eniu

236 M . KM I E C I K

prostym, czyli proporcjonalnym, które zdefiniował ILIU SZIN [6]. W zwią zku z tym wyniki oparte na teorii plastycznego pł ynię cia są  na ogół  bardziej zgodne z eksperymentem [7]. Istotnym jest także przyrostowy charakter tej teorii, bardziej odpowiedni do rozwią zywa-nia zł oż onych problemów nieliniowych.

Postulat D ruckera zapewnia jednoznaczność uzyskiwanych rozwią zań [8], a jego speł nienie wymaga wypukł ej powierzchni pł ynię cia plastycznego oraz ortogonalnoś ci do tej powierzchni wektora przyrostu odkształ cenia plastycznego [5, 8]. N ajczę ś ciej sto-sowany w praktyce warunek plastycznoś ci H ubera- Misesa należy także do tych, które dostarczają  wypukł ą  powierzchnię  pł ynię cia. Zgodnie z tym warunkiem powierzchnię tą  moż na okreś lić nastę pują co:

f=o_t- HM = 0, (2.1)

gdzie:

j/ 2 (2.2)

N atomiast H(x) — granica plastycznoś ci zależ na od parametru wzmocnienia x. Para-metr wzmocnienia jest tak okreś lony, że przy braku odkształ ceń plastycznych x -  0. W zwią zku z tym H{x =   0 ) — jest wartoś cią począ tkowej granicy plastycznoś ci apt (rys. 2.1).

H'

Si Rys. 2.1

Istnieją  dwa sposoby wyznaczania parametru x. Pierwszy zakł ada, że jego miarą  jest praca odkształ cenia plastycznego • tr

*= W =  J a

u

de

u

, (2.3)

o lub (2.4)

RÓWNANIA NIELINIOWEJ TEORII PŁYT 237 gdzie: de? =

 3 [

( rfe

* ~

de

*

)2+(de

' ~

de

*

)

+   ( «

2

 +

W sposobie drugim

y  ( «  + y (.dy>

_z

y +  i (rf^)*]*. (2.5)

D owiedziono, że dla warun ku plastycznoś ci H ubera- M isesa obie drogi prowadzą  do tego samego rezultatu [9].

W dziewię ciowymiarowej przestrzeni naprę ż eń powierzchnia /  oddziela stan sprę ż ysty od plastycznego. W zwią zku z  t y m /  < 0 jest stanem sprę ż ystym,/ =  0 — stanem plastycz-nym, n a t o m ia st /  > 0 — stanem niedopuszczalnym. Zgodnie z (2.1) i (2.6) róż niczka funkcji uplastycznienia Stą d w stanie plastycznym ( /  =  0)

Sf

. 8 au

JL

8a,j natom iast

doij < 0 — oznacza odcią ż enie (2.8)

dau =  0 — obcią ż enie neutralne, (2.9)

Sf — obcią ż enie prowadzą ce do nowej

- Ir-  d<rtJ>0 . : . . (2.10)

day powierzchni pł ynię cia

Ponieważ / je st powierzchnią  ekwipotencjalną  gradient tej powierzchni jest do niej orto-gonalny a jego skł adowymi są  pochodne czą stkowe =  ' , co przy ortogonalnoś ci

coy ć atJ

do powierzchni także wektora przyrostu odkształ cenia plastycznego o module def po-zwala n a okreś lenie jego skł adowych w oparciu o zwią zek

defj =  - ^- dtĄ . (2.8)

W zapisie macierzowym wektor skł adowych przyrostów odkształ ceń plastycznych =  {da"} =

gdzie, zgodnie z (2.2)

\

 dcti

 \  = 1

 3a

'

x 3ct

'

y 3a

*

  3 T ł y  3 T y r  3 T

" 1 (213)

238 M. KMIECIK

natomiast a'x, a'y, a'z są  skł adowymi dewiatora;

ax = ax — (2.14)

W zakresie sprę ż ysto- plastycznym odkształ cenia cał kowite efJ m oż na traktować jako sumę

odkształ ceń sprę ż ystych ef, i plastycznych ef, rys. (2.1), za tym

oraz

se

} = {de}- {ck>},

{dau} =  {da} =  [E]{de°} -  [E] ({<**}- { Je"}],

(2.15)

(2.16) gdzie [E] jest konwencjonalną  macierzą  stał ych sprę ż ystoś ci. Przy panują cym w pł ytach cienkich pł askim stanie naprę ż eń

E "1 V V

1

~~2~ (2.17)

P o wymnoż eniu lewostronnym równania (2.16) przez { . ' > i mają c n a uwadze zwią zek I  * « )

(2.12), a takż edat = = H'de" (rys. 2.1).

def = (2.18)

Wykorzystanie (2.18) w zwią zku (2.12), a uzyskany w ten sposób rezultat nastę pnie w zwią z-ku (2.16) dostarcza:

{dc} =   [ E ] - {dz} =  [E

_.J

(2.19) M acierz [Eep] ma bardzo duże znaczenie praktyczne. Pozwala bowiem okreś lić przyrosty

naprę ż eń w zakresie sprę ż ysto- plastycznym w oparciu o przyrosty odkształ ceń cał kowi-tych, a wię c w sposób podobny, jak w zakresie sprę ż ystym. M acierz tę  wykorzystano w opracowanym algorytmie i programie nieliniowej analizy paneli [10]. Pierwszy podał ją  YAMADA Z innymi w [11] w 1968 r. Wyprowadził  ją  także niezależ nie, n a nieco innej drodze, Zienkiewicz z innymi [12] w 1969 r. Łatwo zauważ yć, że macierz może być także wykorzystana w modelach materiał ów idealnie sprę ż ysto- plastycznych, dla których H' —

RÓWN AN IA NIELINIOWEJ TEORII PŁYT 239

D la pł askiego stan u naprę ż eń [2]:

gdzie: ~Q 2(1+ v) 9E 9E (2.20) 3. Przyrostowe wariacyjne sformuł owanie stanów równowagi

Z godnie z zasadą  prac przygotowanych w dowolnym stanie równowagi pł yty (rys. 3.1) przy pominię ciu sił  masowych

Yol S

gdzie:

{de} — wektor wariacji skł adowych ten sora odkształ ceń, {a} — wektor skł adowych tensora naprę ż eń,

{dq} — wektor wariacji skł adowych pomieszczeń,

{/>} — wektor powierzchniowych obcią ż eń zewnę trznych.

a ) b)

/Py isT pofotehie(N)

ototenie| N*1)

potoż enietO)

W pł ytach cienkich istotn e znaczenie mają  tylko trzy skł adowe tensora odkształ ceń {e} = =  {sxsyyXy}) i n aprę ż eń ({er} =  {<JxoyrXy}). Przy istnieniu ugię ć począ tkowych w0 i duż ych ugię ciach pł yty

1 ,

240 M. KMIECIK

Jeż eli zał oż ymy, że istnieje taka funkcja stanu U, że

to równanie (3.1) moż na także przedstawić w postaci /  dUdV-  J{dq}*{p}dS=Q, (3.4) Vo\  S czyli (577 =  0 (3.5) gdzie: 2 7 -  I UdV- j {qf{p)dS, (3.6) Po/  S

nazwiemy potencjał em ukł adu.

Równanie (3.5) jest znanym wariacyjnym sformuł owaniem stanu równowagi, zgodnie z którym dowolny stan równowagi charakteryzuje się  stacjonarnoś cią potencjał u 27, po-nieważ róż niczka potencjał u w tym stanie jest równa zeru.

W zakresie liniowym materiał u

{*}=  [E]{e}+{*<>}, (3.7) gdzie:

{a0

} — wektor skł adowych tensora samozrównoważ onych naprę ż eń począ tkowych

Stą d, zgodnie z (3.3)

T0}, (3.8)

oraz

ff-  f (- ^«

T

[E]{8}+ W>°}W-  f {€»}<». (3.9)

Równanie (3.5) ł ą cznie ze zwią zkami (3.9) i 3.2) może stanowić podstawę  wielu algoryt-mów analizy pł yt w zakresie sprę ż ystym. Zastosowanie wariacyjnych równań Eulera sprowadza (3.5) do znanych nieliniowych równań duż ych ugię ć pł yt von Karm ana, które nastę pnie mogą  być rozwią zywane stosowanymi metodami analitycznymi lub numerycz-nymi [13,14]. Wykorzystanie natomiast w równaniu (3.5) wyraż eń róż nicowych na po-chodne czą stkowe stanowi podstawę  numerycznych metod wariacyjno- róż nicowych [15], a wprowadzenie do tych równań stosowanych funkcji opisują cych przemieszczenia ele-mentów pł yty za pomocą  przemieszczeń ich wę zł ów — to znana i powszechnie już sto-sowana metoda elementu skoń czonego [2.16].

Jak już zaznaczono; przy rozwią zywaniu zadań nieliniowych w mechanice ciał  stał ych stosuje się  zazwyczaj przyrostowy opis zagadnień brzegowo- począ tkowych. W zakresie sprę ż ystym materiał u i problemie tylko geometrycznie nieliniowym uję cie takie jest jed-nym z moż liwych, podczas, gdy przy przyrostowych zwią zkach konstytutywnych, n a które zdecydowano się  wyż ej, jest ono nieuniknione. Traktują c stan równowagi (N)

RÓWNANIA NIELINIOWEJ TEORII PŁ YT 241

(rys. 3.1b) jako stan odniesienia dla stanu równowagi (iV+ l), zgodnie z zasadą prac przygotowanych winno być speł nione równanie [17]:

/  {qn{p}{p}) -  0, (3.1 0)

Vol S

któremu, wzorując się n a (3.3) i (3.4 -  6), moż na także nadać postać:

Ó(AII) =  0, (3.11)

gdzie:

AH = J AUdV- f {Aqf({piN>}+{Ap})dS, (3.12)

Vol S {a<S)

} i {piN)

} — wektory naprę ż eń i obcią ż eń w stanie (N), przy czym

{*<">} -  {ff°}+ {<>}, (3.13) jest stanem naprę ż eń w N wywoł anym naprę ż eniami począ tkowymi {er0

} oraz obcią ż e -niem {/ ">}.

D la ostatecznie mał ych przyrostów odkształ ceń, zgodnie z (2.16)

{A<r}= \ E)({M- {<4*"}), (3.14)

wobec tego

AU-  y {/ le}T

[E]{^e}- {/ l8}T t£]{J8''}+ {/ lfi}>(N ) } (3.15) a n a tej podstawie

f

' ( 3 . 1 6 ) s gdzie: {Zl8} -  {AsxAeyAyxy}, {Az>} natomiast w oparciu o (3.2) Aex =  Atux -Aey =  Av^- A +  ^ A + Ayxy =  Au^

W powyż szych zwią zkach

(3.18) Jest to suma ugię cia począ tkowego w0 oraz ugię cia w wywoł anego obcią ż eniem w poł oż

e-niu równowagi (N). Suma ta stanowi więc ugię cie począ tkowe dla przyrostu obcią ż enia

242 M .

{Ap}. Podobnie, jak w zakresie sprę ż ystym, na bazie równania (3.11) oraz zwią zków (3.16) i (3.17) moż na budować algorytmy w technice przyrostowej. Zastosowanie waria-cyjnych równań Eulera dostarcza przyrostowych róż niczkowych równań równowagi nie-liniowej teorii pł yt z uwzglę dnieniem uplastycznienia materiał u. Równania te mogą być nastę pnie rozwią zywane na drodze obliczeniowej. Bezpoś rednie wykorzystanie w równa-niu (3.11) zwią zków róż nicowych na pochodne czą stkowe jest podstawą algorytmów o technice wariacyjno- róż nicowej, natomiast opis wektora (A e) za pomocą stosownych funkcji kształ tu prowadzi do metody elementu skoń czonego.

4. Przyrostowe równania róż niczkowe równowagi nieliniowej teorii pł yt z naprę ż eniam wstę pnymi i ugię ciami począ tkowymi w zakresie sprę ż ysto- plastycznym

W przyrostach odkształ ceń (3.17) wyróż nimy czę ść liniową {Ae1} i nieliniową {Ae"1}

oraz przyjmiemy oznaczenia:

Aex =  Ael+Ae'J+Ae'/ '+Ae'/  =  Ae l

x+Ae n

J, Ae, -  Ae'y+Ael'+Ae'/ '+Ae1

/  =  Ael

,+A$, (4.1) Ayxy =  Ayxy+Ayxy + Ay'/ / ' + Ayx^ — Ay'xy + Ayxy,

gdzie:

Ae'x m Au,x, Ae'y -  Av>y, Ay l

xy = Auiy+AvtX,

Ae" =  - zAw_tXX, Ae'/ t =  - zAw_ty_y, Ay% =  - 2zAw_lXy, (4.2) v,_x,Ae_y" = Wobec tego ^ 4 =   ^ £ y + ^f i " +  / l E "r '  ^ e j' =  ^e yK » (4.3)

Korzystając z równań wariacyjnych Eulera moż na dowieś ć, że <j( f {Ael

}T

{aW }dV~ j{Aqf{p^}dS\  =  0 (4.4) Vol S

wobec tego wyraż enie na przyrost potencjał u (3.16) przyjmuje postać nastę pują cą: A U

^ / ( y{/ l 8>TtEH ^ 8}- {^ e}r[E ]{z]8P }+ {ziB'"}VN) }jrfF - J {Aq}T{Ap}dS (4.5)

Po uwzglę dnieniu zwią zków (4.1), wartoś ci poszczególnych czł onów pierwszej cał ki po-wyż szego wyraż enia wyniosą:

Ae1/  = —Awfx,Aey v  — - ~Awfy,Ay'x v y -  AwtXAw,y. (4.6) V'ol

RÓWN AN IA NIELINIOWEJ TEORII PŁYT 2 4 3 1 /* 1 C C

m — {As'}T\ E]{A^}dV+— I {Asu}T\ E]{A8II}dV+ I {A8I}T\ E]{As"I}dV+

Vol Vol Vol

\  c c

- -  {Asln}r\ E]{A8IU}dV+ {Asul}T [E] {AsIV}dV+ 2 J J Vol Vol Vol + - X-  ( {^«IF }T [EI{/ l«IF }dF . (4.6) 1  vii [cd.]

W wyraż eniu tym pominię to czł ony zawierają ce skł adowe wektora {As11} w pierwszej

potę dze. Skł adowe te są  zależ ne od z (4.2), a wię c wartoś ci cał ek, w których one wystę -pują  są  równe zero.

j {AB}T[E]{Aep}dV = J {ABl}T\ E]{A8<'}dV+ j{AaII}T[E]{Asl>}dF+

Vol Vol Vol + J{AEm }r [E]{Ae<'}dV+ j {A8Ir }T [E){A8'}dV. (4.7) Vol Vol f {Asnl f{a^}dV =  j{Asly f{a^}dV. (4.8) Vol Vol

Korzystają c z kolei z zależ noś ci (4.2) oraz przyję tych oznaczeń n a rys. (3.la) 1 f {A8'nE]{A_s'}dV =

« 4 - T —T I \ (Au

 x+vAv%y)AuiX+(vAu X+Av y)Av>y+—~(Au,y+AviX) 2

\ dS, (4.9)

1 f  - 1 Et3

 f

+ (?AwtXX+Awiyy)Aw,y3,+2(l— v)Aw?xy]dS. (4.10)

J

Et r \

{A8I }T

\ E]{A8III

}dV =  T  I (Au x+vAv y)wo N

lAw x+(vAu X+Av y)w[yAw y +

I- * j

 L •

T

(4.13)

244 M . K M I E C I K

1 J {A*«nn{A*

lv

}dV =  1 ~~ J* [(A

_w

?

_I+

vA

_W

?

_y

)Aw?

_x

 +

Vl S

J

Vol ?y+2(l - v)(AwiXAw,y) 2 ]dS, (4.14)

J

+  ±ZLAyb /y(Au, ,+Av,Ą dS, (4.15) J{zlE"} T [E]{ziE''}rfF =   - ^ j -  J [(Amp x + vAm>)Aw,xx + Vol V  S + {vAmp x+Amy r )Awii,y+(\ - y)Am p xyAw,xy]dS, (4.16) Vol V  S  *-+ - d ej") w£$ zl w,  y+

,, +  wfftA w, Ą dS, (4.17)

+  (v4e*'1+ ZleJp)zlw,2), +  (l- »')zly* p zlM 'iI4K',},]rf5, (4.18)

f {zJe

/ K

}V

W)

}^^ =  f  ( 4 - ^ ^ ^ +  4 - # f Mw

2

, +  iyS»4w »<d>v ,)d», (4.19)

vol J s  \2 2  '

J{/ lg}T{zlp}fiK'=  J [4pI< dw+ fdpxZ l«,x+ i;- dpy4oi, 4- ^pw(i4u, , + id«> x)]dS, (4.20)

s s gdzie: 2 'i ~ 2 2  2 2 2  7 i ' i 2 "2

/

 _x

fdz.

> i t T "7  "7

RÓWNANIA NIELINIOWEJ TEORII PŁYT 2 4 5

Zsumowanie wszystkich cał ek (4.9 -  20) z uwzglę dnieniem znaków wystę pują cych w rów-n acych w rów-n iu (4.5) daje fucych w rów-nkcjocych w rów-nał

(j> = <j>(Au,x, Au,y, Av_x, Av,y, AwiX, Aw_y, Aw.xx, Aw>yy, AwiXy), (4.22) zgodnie z którym

An=f<j)dS (4.23) s

Zgodnie z zasadami rach un ku wariacyjnego, przyrostowy warunek równowagi (3.11),

d(AII) =  0, jest równoważ ny speł nieniu przez funkcjonał  nastę pują

cych równań Eule-ra [18]:

/  \  [ ty

9 /  ty \  _

8x\ 8Au_iXJ

8Au 8x \  8AuiX ! 8y \  8Aut

8Av 8x ty g /  ty \  d i d4> 8Aw 8x \ 8Aw,xJ dy\ dAwl

82  I 8<j) \  82  I 8(j) \  81  /  cty \ _ +  ~8xT  \ 8AwtXX }  +  liy2 " \ 8Aw^J +  "8x8y \ 8Aw^} =

D wa pierwsze równ am a Eulera dostarczają  zwią zków:

(ANx- tAPx),x+ (ANxy- tApxylf =  0,

(ANxy -  tAp„\ x+(ANy -  tAp,\ y = 0,

  ( 4 l 2 5 )

natomiast trzecie

D(Aw,xxxx+2Aw,xxyy+Aw,yyyy) =

+  AF% yy(wh N)

 +  Aw)f xx- 2AF. ^(w 1

^ +  Aw), xy] -  - —j [(,Am p x +  (vAm> + Amy'),yy+ (\ —v)Am p xy], (4.26 gdzie: D = . 12(1 —vz ) F—funkcja naprę ż eń Airy'ego, zgodnie z którą

„ ANy =  tAF.„, ANxy =  - tAFtXy

Równania (4.25) są  znanymi róż niczkowymi warunkami równowagi N aviera dla pł askiego stan u naprę ż eń, n ie dotyczą  wię c naszego zagadnienia. Równanie (4.26) wią że przyrosty funkcji ugię ć A w z przyrostam i funkcji naprę ż eń bł onowych AF, powstał e w wyniku przyrostu obcią ż enia Apx, przy zadanym stanie naprę ż eń i ugię ć pł yty w poł oż eniu równowagi (N). Jest t o wię c równanie z dwoma niewiadomymi, bowiem przyrosty odkształ -ceń plastycznych, których miarą  w tym równaniu są  Ami, Am?y, Am

v

xy zależą  także od

246 M . K M I E C I K

D odatkowe równanie wią ż ą ce obie te wielkoś ci otrzymamy na bazie równania niero-zdzielnoś ci odkształ ceń de Saint- Venanta odniesionego do pł aszczyzny ś rodkowej pł y-ty [19].

(A4), _yy + 0e_y), _xx-  (Ayh

xy),xy =  0. (4.27)

Mają c na uwadze, że (3.17)

Asbx =  Aex(z =  0) =  Au>3

1

Aeb

 =  AeJz =  0) =  Av r,+w^lAw _y + - =- Aw2

y, (4.28) Ayxy =  «^yI y(z =  0) =  4l/ ,y +  / l«,x +  Wo 1 !*^M',j- + W; o!'y^M; ,s +  ^M ' , i ^ *t ' , y) a także Asb  =  Asbe +Aeh / , (4.29) oraz E ' SiL , (4.30) równanie (4.27) dostarcza:

^

,

„

.

,

,

(

5

,

5

]

} (4- 31)

Równanie (4.31) moż na również otrzymać n a drodze wariacyjnej, jeż eli wykorzystana zostanie znana zasada stacjonarnoś ci potencjał u komplementarnego [19,20]. Oba rów-nania natomiast, tzn. (4.26) i (4.31) jednocześ nie, moż na uzyskać takż e, ale po wprowa-dzeniu do zasady prac przygotowawczych mnoż ników Lagrange'a czyli w oparciu o zasadę  wariacyjną  H ellingera Reissnera [20, 21,22]. Łatwo dostrzec, że w zakresie sprę -ż ystym, i gdy nie istnieją  naprę -ż enia począ tkowe, a przyrost obcią -ż enia Ap i ugię cia A w potraktujemy jako obcią ż enie i ugię cie cał kowite (tylko jeden przyrost obcią ż enia), rów-nania (4.26) i (4.31) przyjmują  postać znanych równań nieliniowej teorii duż ych ugię ć pł yt:

+ 2H>, _xxyy+w,  _{y w}) =  p_t+t[F, _xx(w₀+w), „ ,+ F, _yy(w₀ + w)- 2F, _xy(w₀+w)], F.xxxx+2F,xxyy+F, yyyy =  E[(w?xy-  w, xx •  w,yy) -  (4.32)

w.xx- 2w0)Xwy,xy)}. , xxxx

RÓWN AN IA NIELINIOWEJ TEORII PŁYT 247

Równania te dla pł yt bez ugię ć począ tkowych (w0 = 0) został y wprowadzone w roku 1910 przez von Karmana, natomiast postać podaną  wyż ej nadał  im znacznie póź niej, bo w 1937 r., Marguerre [23].

Równania (4.26) i (4.31) stanowią  wię c uogólnienie, w uję ciu przyrostowym, nieliniowej teorii duż ych ugię ć pł yt cienkich von Karmana na obszar sprę ż ysto- plastyczny z uwzglę d-nieniem zarówno naprę ż eń, jak i ugię ć począ tkowych.

5. Przyrostowe równania równowagi nieliniowej teorii pł yt z naprę ż eniami i ugię ciami począ tkowymi w zakresie sprę ź ysto- plastycznym materiał u w metodzie elementu skoń czonego Zgodnie z (4.2) 0 8

Jy

8 8 8x [Au(x,y) {Ae1 } -  {AćxAłyAy l xy} =

D la każ dego elementu pł yty dobieramy odpowiednią  funkcję  opisują cą  przemieszczenia jego pł aszczyzny ś rodkowej w postaci:

{g(x,y)}= m*,y)]{*}, (5- 2)

gdzie {«} jest wektorem przemieszczeń liniowych punktów wę zł owych elementu. Stą d

MrfojW- PlWMW, a, (5.3)

{Ae1} =  [A1] [&] {Au}= [C] {Au}. (5.4

Wobec tego (4.5) Vol gdzie:

- 4- /w

Vol Vol

u}dV =  ±- {Auf [k6] {Au}, (5.5)

(5.6)

jest znaną  liniową  macierzą  sztywnoś ci bł onowej elementu pł yty [16]. Ponieważ (4.2) {AB11 } =  - z 2 82 8x2 82 8x8y Aw(x,y) = [A.n]Aw(x,y) (5.7)

248 M. KMIECIK

wię c po doborze odpowiedniej funkcji opisują cej ugię cia elementu pł yty w postaci:

w(x,y)~ [B'\ x,y)]{w}, (5.8)

gdzie {w} jest wektorem przemieszczeń liniowych i ką towych punktów wę zł owych ele-mentu, wówczas

Aw{x,y)=[B"(x,y)]{Aw}, a, (5.9) {ós"} =  [A"J [B"] {Aw} =  [Cr i

] {Aw}. (5.10) Stą d (4.10)

T

=  4 JiMW m [C"\ {Aw}dV m ±- {Aw}

T

[k

z

]{Aw}, (5,11)

Vl Vol Vol gdzie: [kz]=  §[C u \T[E\ [Cn\ dV, (5.12) Vol

jest natomiast znaną  liniową  macierzą  sztywnoś ci n a zginanie elementów pł yty [16], Kontynuują c okreś lanie w podobny sposób wartoś ci nastę pnych cał ek (4.11 -  20) przy za-ł oż eniu, że ugię cia począ tkowe dla stanów równowagi (N), w^  bę dą  wyznaczane w oparciu

o zbliż one lub identyczne funkcje kształ tu, jak w wyraż eniu (5.8) otrzymamy:

/  {Ae'}T [E]{As!

"}dV =  Q ({>• >&">}, {Au}, {Aw}), (5.13)

Vol

gdzie, zgodnie z (4.11) elementy wektorów  {H ^ }, {AU}, {AW} W tej cał ce wystą pią w pierwszej potę dze. N astę pnie C2({Au}, {Aw 2 }) (5.14) Vol

gdzie z kolei, zgodnie z (4.12) elementy wektora {Au} wystą pią  w pierwszej, natomiast wektora {Aw} w drugiej potę dze. I dalej: Vol {Aw*}), (5.15) W *3 }), (5.16)

- i J'{A^nn{M

v

}dV =  C

_s

({Aw*J), (5.17)

J {Az'r\ E]{Aep }dV =  C6({Zle"}, {zlB}), (5.18) Vol ^ H - }) , (5.19) Vol

RÓWN AN IA NIELINIOWEJ TEORII PŁ YT 249 /  {AĆ »Ym{A£p }dV =  C8({/ ls 6 *}, {<«>}, W ), (5.20) Vol f C9({Ae>">),{Aw 2 }), (5.21) / (5.22) Vol f {Aq}T {Ap}dS = J Ap,AwdS+t j s s ś =   C „ ( ^ „ {Aw}) +   C1 2( { ^ , {J«}) (5.23)

W powyż szych cał kach przez {^ef>p

}) {Am

p

}, {MW)

}, {Zl/>6} oznaczono nastę pują c

e wek-tory:

Z,}, {APb}

 -Ponieważ winno być d(AII) =  0, a przyrost potencjał u jest funkcją wektorów {Au},

{dw} przeto: gdzie przez « oznaczono liczbę elementów pł yty. Stąd ^ Z O (526) Warunki (5.26) dostarczają poniż sze nieliniowe równania algebraiczne, w oparciu o które moż na wyznaczyć {Au} i {Aw} [Kb]{Au}+ ([KL {» r a + [ K g ( {j » » D   {4 » }+ ( [ K 3 + w ({H - SW) 2})]+ [Kfj({H - n . {^H - })]+ +  [K7({ZIw2 })] +  [K?({J 66 "})] +  [# f'({# <">})]) {4 H-} =  {J ^ } (5.27) +  {Apl'({Am<- })} + {Apl»} (K»>}, {Aa""})} gdzie:

— liniowa macierz sztywnoś ci bł onowej pł yty liniowa macierz sztywnoś ci na zginanie pł yty

{Au} — wektor przyrostów przemieszczeń bł onowych pł

yty (przemieszczenia linio-we w kierunku osi x i y, rys. 3.la)

{Aw} — wektor przyrostów przemieszczeń wywoł anych zginaniem pł

yty (przemiesz-czenia liniowe wzdł uż osi z i ką towe wzglę dem x i y)

{Ap'b} — wektor przyrostu ekwiwalentnych zewnę trznych obcią ż eń bł onowych pł yty {Ap\ } — wektor przyrostu ekwiwalentnych zewnę trznych obcią ż eń poprzecznych

250 M . KM I E C I K

(5.28)

Bardziej zwię zł a postać równań (5.27) przystosowana do powszechnie już uż ywanej w za-gadnieniach nieliniowych procedury numerycznej N ewtona- R aphsona z sił ami korekcyj-nymi [2.3] jest nastę pują ca:

gdzie: Ap{\

2^

{ARK}B, { }BC =

0 ' KJJ

. (5.29) (5.30) (AB Znaczenie poszczególnych symboli w równaniu (5.29) wyjaś nia rys. 5.1

RÓ WN AN I A NIELINIOWEJ TEORII PŁ YT ₂₅₁

Rys. 5.1

D la dostatecznie mał ych kroków obcią ż eń równania (5.27) moż na nieco uproś cić n a drodze ich linearyzacji, czyli przez pominię cie czł onów zależ nych od iloczynów przy-rostów skł adowych poszczególnych wektorów, wzglę dnie przyrostów skł adowych wekto-rów w potę dze drugiej i wyż szych. Wówczas  K g =   K #  =   K £ " =  K1/  =  K£ =

 0. W kon-sekwencji tego sił y korekcyjne zależą tylko od ugięć począ tkowych oraz stopnia uplastycz-nienia m ateriał u:

(5.31)

( {Am'

W odniesieniu do przyrostowych róż niczkowych równań (4.26) (4.31) takie uproszczenie jest równoznaczne wyeliminowaniu iloczynów AFtXXAw,yy,AF,yyAw,xx, 2AFiXyAw,xy, w równaniu (4.26) oraz Awfxy—Aw,xxAw,yy w równaniu (4.31). D la tych samych re-zultatów prowadzi zaniechanie w wektorze {J e} w wyraż eniu (4.5) jego skł adowych nie-liniowych — J w?*, - ~- Aw?y, AwiXAwwy n a począ tku wszelkich dział ań.

Przyrostowa nieliniowa teoria pł yt w zakresie sprę ż ysto- plastycznych odkształ ceń materiał u oraz m etoda elementu skoń czonego stanowił y podstawę algorytmu i programu obliczeń noś noś ci granicznej pł yt, których szczegół owy opis zamieszczono w pracy [10]. P rogram opracowan o w ram ach problemu mię dzyresortowego M RI- 27. Jest on wyko-rzystywany do analizy wpł ywu naprę ż eń i ugięć począ tkowych n a noś ność graniczną pł yt poszycia statków przy ś ciskaniu osiowym. U zyskane wyniki badań bę dą przedmiotem

kolejnych publikacji.

Literatura cytowana w tekś cie

1. M. KMIECIK, Badania modelowe noś noś ci granicznej osiowo- ś ciskowych wzdł uż nie usztywnionych pł yt okrę towych, Zeszyty Problemowe Techniki Okrę towej, Zeszyt N r 1. Budownictwo Okrę towe, G dań sk,

252 M. KMIECIK

2. R. D. COOK, Concepts and applications of finite element analysis, John Wiley Sons, Inc. 1974.

3. M . KXEIBER, Nieliniowa, styczna i dynamiczna analiza powł ok metodą  elementów skoń czonych.  Mecha-nika Teoretyczna i Stosowana, Tom 18, Zeszyt 2, PWN  — Warszawa, 1980.

4. C. S. SMITH, J. BACKLUN D, P. G . BEBG AN, Y. F U JITA, N . JON ES, M. KM

IECIK, P. MAIJERS, P. T PE-DERSEN, K. A. RECKLIN G , A. B. STAVOVY, Nonlinear structural response. Proceedings of the Seventh International Ship Structures Congress, Vol. I, Institute de Recherches de la Construction N avale — Paris, 1979.

5. Teoria plastycznoś ci, praca zbiorowa pod redakcją : W. OLSZAKA, P. PERZYNY i A. SAWCZUKA, PWN  — Warszawa, 1965.

6. A. A. ILIUSZIN, Pł asticznost, G ostiechizdat — Moskwa, 1948.

7. N . N . M EU N IN , J. RŻ YSKO, Mechanika materiał ów, PWN  — Warszawa, 1981.

8. J. B. MARTIN, Plasticity: Fundamentals and general results, The M IT Press, Cambridge, Massachusetts, 1975.

9. R. H ILL, Mathematical theory of plasticity, Oxford, 1950.

10. A. JAZUKIEWICZ, M. KMIECIK, Opis programu PLAMES do nieliniowej analizy usztywnionych pł yt z uwzglę dnieniem odkształ ceń i naprę ż eń spawalniczych metodą  elementu skoń czonego. Opracowanie N r 37- S. Politechnika Szczeciń ska, Instytut Okrę towy, Zakł ad Konstrukcji i Mechaniki Okrę tów, Szczecin, 1981.

11. Y. YAMADA, N . YOSHIMURA, T. SAKARAI, Plastic stress- strain matrix and its application for the solution of elastic- plastic problems by the finite element method, IJMSci, Vol. 10, N o . 5, 1968.

12. O. C. ZIENKIEWICZ, S. VALLIAPPAN, I. P. KI N G , Elastoplastic solutions of engineering problems, Initial stress, Finite element approach, IJN ME, Vol 1, N o. 1, 1969.

13. M. KMIECIK, Metody rozwią zywania równań nieliniowej teorii pł yt, Prace N aukowe Politechniki Szcze-ciń skiej N r 162, Szczecin, 1981.

14. H . PFAU, M. KMIECIK, H . J. KN APPE, Ein Beitrag zur Berechmng der Verformungenund Spannungen in druckhelasteten isotropen Rechteckplatten grosser Ausbiegung unter Vervendung von Geeigneten Differenzenmethoden, Schiffbauforschung 5/ 6, 1978.

15. J. DANKERT, Numerische Methoden der Mechanik, VEB Fachbuchverlag, Leipzig, 1977. 16. O. C. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych, Arkady — Warszawa, 1972.

17. K. WASHIZU, Complementary vuriational principles in elasticity; Praca zamieszczona w: „D uality and complementarity in mechanics of solids", PAN  IPPT, Ossolineum, 1979.

18. J. COLVILLE, A general solution of the von Kdrmdn plate equations by finite element method, University Microfilms, A XEROX Company, Ann Arbor, Michigan, 1971.

19. T. KOZŁOWSKI, Zarys teorii sprę ż ystoś ci, Arkady — Warszawa, 1968. 20. W. NOWACKI, Teoria sprę ż ystoś ci, PWN  — Warszawa, 1970.

21. T. H . RICHARDS, Energy methods in stress analysis, Applied Science Publishers Ltd, London, 1977. 22. H . PFAU, U. H

AR, Mathetnatische Modelle zur Berechnung von axial und normal belasteten, vorvers-formten Rechteckplatten grosser Verformung mittels Differenzenmethoden, Schiffbauforschung, 3/ 1980. 23. S. WOLMIR, Gibkije pł astinki i oboloczki, Moskwa, 1956.

P e 3 io M e

H H KPH M EH TH ŁIE yPABH EH H H  H EJIH H EflH Oft T E O P H H  ITJIACTH H OK C H A^AJIbH BIM H  HAITJWDKEHtLHMH  H  I I P OrH BAM H  B

OBJIACTH

, 3<p<f>eKTHBHoe peuieHHe H ejiKH etebix 3 aflai Tpe6yeT HHKpHMeHTHofi dpopMyjmpoBKH. B pa6oTe, Ha OCHOBC BapaaqHOHHoJi (popiwyjnrpoBKH ypaBHeiarii paBH Oseciw H TeopHH reueHHH

BtiBeją eHŁi raiKpiiMeHTHbie ypaBHeBHH HejiHHeftHoii Teopsm nnaciHHOK c HaManBHBiMH

H nporH6aiHH. TB KH M cnoco6oiw nojryneHO HHKpHMeHTHoe o6o6meH H e HejnnieHHoft TeopHH iuiacrHHOK 4>OH KapMaHa a a ynpyronjiac npie c Kyio o6jiacn>. flaHbi TaiOKe cooTBeicTBeHHbie BbipajKemw «JIH  pe

RÓWNANIA NIELINIOWEJ TEORII PŁYT 253

S u m m a r y

IN CREM EN TAL EQU ATION S OF N ON LIN EAR TH EORY OF PLATES WITH IN ITIAL D EF LECTION S AN D  STRESSES IN  ELASTIC- PLASTIC RAN G E

Incremental approach is necessary for effective solution of nonlinear problems of structural mechanics. The incremental equations of finite deflection theory of plates have been derived on the base of variational formulation of equilibrium equations taking into account Prandtl- Reuss flow theory. Initial deflections and stresses have also been into account. In this way an incremental generalization on elastic- plastic range of von Karman nonlinear theory of plates has been derived. Finite element solution of the generalization has been demonstrated.