RUN-UF DISTRIBUTIONS OF WAVES BREAKINlCr ON SLOPINQ V/ALLS J . A . B a t t j e s D e p t . o f C i v i l E n g i n e e r i n g D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y S e p t e m b e r I 9 6 9 SYMOPSIS D i s t r i b u t i o n s o-f run-u]:) a r e c a l c u l a t e d by a s s i g n i n g t o eacli i n d i v i d u a l wave i n an i r r e g u l a r wave t r a i n a r u n u p v a l u e t i c c o r d i n g t o H u n t ' s f o r m u l a , Tlie use o f t h i s f o r m u l a p e r -m i t s a n o r -m a l i z a t i o n o f t h e r u n - u p i n s u c h a way t h a t t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n s a r e i n d o j i e n d e n t o f s l o p e a n g l c j mean wa-ve h e i g h t and mean wawa-ve period„ E x j j r e s s i o n s a r e d e r i v e d f o r t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y a n d t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e r u n u p a n d o f t h e wave s t e e p n e s s f o r a r b i t r a r y j o i n t d i s t r i b u t i o n s .of wave h e i g l i t and p e r i o d . E x p ] i c i t r e s u l t s a r e o b -t a i n e d fór w i n d waves b y a s s u m i n g ivrave h e i g h -t a n d p e r i o d s q u a r e d t o be j o i n t l y R a y l e i g h d i s t r i b u t e d w i t h a r b i t r a r y d e -g r e e o f c o r r e l a t i o n . E m p i r i c a l d a t a f r o m t h e l a b o r a t o r ^ ' - a r e d i s c u s s e d . These l e n d s u p p o r t t o some o f t h e m a i n p r e m i s e s u s e d a n d r e s u l t s o b t a i n e d , A f e w f i e l d m e a s u r e m e n t s o f r u n - u p d i s t r i b u t i o n s a r e p r e s e n t e d ; t h e R a y l e i g h d i s t r i b u t i o n a p p e a r s t o f i t t h e s e data,.
L I S T OF CONTENTS page L I S T OF SYKfflOLS_ o , 1 1 INTRODUCTION 1 , 1 B a c k g r o u n d „ „ 3 I „ 2 O u t l i n e o f c o n t e n t s „ . . „ „ , , , , 4
2 RUM-UP OF PERIODIC WAITIS BREAKING ON A SLOPE 5
3 RUNUP DISTRIBUTION OF V/AVES WITH AHRITRJVRY JOINT D I S -TRIBUTION OF H AND Z„
3o-l A n a l y t i c a l s o l u t i o n . o o ,, , 0 „ 7
3., 2 G ' r a p b i c a l s o l u t i o n f o r d i s c r e t e d a t a , . „ « „ . „ 1 0
4 RUN-UP DISTRIBUTION OF WIND V/AVES WITH A BIVARIATE RAY-LEIGH DISTRIBUTION OF // AND
4 ^ 1 The h i v a r i a t e R a y l e i g h d i s t r i b u t i o n 1 0 4 „ 2 D e r i v a t i o n o f t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n 1 2 4 ^ 3 C o m p a r i s o n w i t h S a v i l l e ' s w o r k „ „ ...I6
5 RUN-UP DISTRIBUTION OF SWELL 1 7
6 STEEPNESS DISTRIBUTION OF WAVES WITH ARRITRARY JOINT
DISTRIBUTION OF // AND A„ „ _18
7 STEEPNESS DISTRIBUTION OF WIND WAVES WITH A BIVARIATE RAYLEIGH DISTRIBUTION OF H AND
7 ^ 1 D e r i v a t i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n . „ „ „ o « „ „ . „ 1 9 7 . 2 C o m p a r i s o n w i t h B.reischne i d e r ' s a n d S a v i l l e ' s w o r k 2 2
8 EMPIRICAL RUN-UP DISTRIBUTIONS 8,1 I n t r o d u c t i o n 8„2 L a b o r a t o r y d a t a „ . , „ 8,3 F i e l d d a t a 2 3 2 3 2 7 9 SUMMJVRY AND C O N C L U S I O N S ^ „ 2 9 1 0 R E C O M M E N D A T I O N S „ . 0 . -50 ACICNOWLEDGEMENTS , „ , 3 0 REFERENCES o o o , 3 1
_ i „ L I S T OF SYÏvffiOLS Symbol D e f i n i t i o n C Ch^zy c o e f f i c i e n t (eq„ 2„7) C c o e f f i c i e n t i n r u n - u p f o r m u l a ( e q , 8„2) ct mean w a t e r d e p t h (Z, base o f n a t u r a l l o g a r i t h m s £{-{) c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e s e c o n d k i n d o f modu-l u s ;€ /* p r o b a b i l i t y d e n s i t y F d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ( c u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y ) h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n ^ a c c e l e r a t i o n due t o g r a v i t y TC- v a l u e assumed by // // wave h e i g h t : max. ( c r e s t ) h e i g h t m i n u s m i n . ( t r o u g h ) h e i g h t o f t h e w a t e r s u r f a c e b e t w e e n two s u c c e s s i v e z e r o u p - c r o s s i n g s mean h e i g h t o f t h e h i g h e s t l / 3 o J t h e waves U' n o r m a l i z e d wave h e i g h t : T ' m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n s o f t h e f i r s t k i n d J^^ J o f o r d e r z e r o r e s p . one J~ J a c o b i a n -i p a r a m e t e r o f t h e h i v a r i a t e H , a y l e i g h d i s t r i b u t i o n A; 1^ m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n s o f t h e t h i r d k i n d o f / t , > o r d e r z e r o resp,, one ^ v a l u e assumed by
wave l e n g t h i n deep w a t e r ; = f'^^U^ _ n o r m a l i z e d d e e p - w a t e r wave l e n g t h : Z„ - j
'TV p r o b a b i l i t y o f e x c e e d a n c e , i n ^ ( s u b s c r i p t ) t v a l u e assumed b y 7^.
R r u n - u p : max, h e i g h t above mean w a t e r l e v e l r e a c h e d by a wave w h i c h r u n s up a s l o p e
y^y^ r r t n - u p o f a wave w i t h ^=^f'^ and T= ^ y^' n o r m a l i z e d r u n - u p ( e q , 3 . 3 )
v a l u e assumed by S* ^ s t e e p n e s s : S - U/L.
Symbo1 D e f i n i t i o n 7~ wave p e r i o d : t i m e i n t e r v a l b e t w e e n two s u c c e s s i v e z e r o u p - c r o s s i n g s o f w a t e r s u r f a c e mean p e r i o d o f t h e h i g h e s t l / 3 o f t h e waves T p e r i o d o f s p e c t r a l c o m p o n e n t w i t h maximum e n e r g y d e n -s i t y i n f r e c [ u e n c y d o m a i n Li m a g n i t u d e o f mean w i n d v e l o c i t y ^ a t l i i c k n e s s o f t h e u p r u s h oC a n g l e o f s l o p e w i t h r e s p e c t t o t h e h o r i z o n t a l J~ gamma f u n c t j ^ o n S D i r a c ' s u n i t i m p u l s e " f u n c t i o n " e s p e c t r a l w i d t h p a r a m e t e r yO c o e f f i c i e n t o f l i n e a r c o r r e l a t i o n b e t w e e n /V a n d A u x i l i a r y c o n s t a n t s and v a r i a b l e s : , ">C J A ^ A b a r d e n o t e s aver-age v a l u e .
~ 3 -1 I N T R O D U C T I O N 1 . 1 B a c k g r o u n d T h e r u n u i 3 o f w a v e s i s o f t e n a n i m p o r t a n t f a c t o r i n t h e d e s i g n o f s h o r e s t r u c t u r e s , M a n j ^ s t u d i e s , h a v e b e e n m a d e t o d e t e r m i -n e i t a s a f u -n c t i o -n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f s t r u c t u r e a -n d Aga-v e s , b o t h f r o m a t h e o r e t i c a l a n d a n e m p i r i c a l p o i n t o f Aga-v i e w . F i r s t t h e t h e o r e t i c a l a ] ) p r o a c h w i l l b e v e r y b r i e f l y c o n s i d e r e d . I n a l l a n a l y t i c a ] t h e o r i e s f o r w a v e r u n u p k n o w n t o t h e a u -t h o r ( e . g . , P o c k l i n g -t o n , 1 9 2 1 ; M i c h e , 1 9 4 4 ) -t h e f l u i d i s a s s u m e d t o b e n o n v i s c o u s , a n d , i n m o s t o f t h e s e , t h e m o t i o n t o b e i r r o -t a -t i o n a l . T h e s e -t l i e o r i e s c a n n o -t b e e x p " e c -t e d -t o b e a p p l i c a b l e i n t h e c a s e o f w a v e s b r e a k i n g o n a s l o p i n g s t r u c t u r e , w h i c h i s o f t e n t h e c a s e t o b e c o n s i d e r e d . F o r a n a p p r o x i m a t e a n a l y t i c a l d e s c r i p -t i o n o f b r e a k i n g w a v e s i n s h a l l o w w a -t e r , -t h e l o n g - w n v e -t h e o r y m u s -t b e u s e d , a s w a s f i r s t d o n e b y S t o k e r ( 1 9 4 8 ) , A r e v i e w o f t h e m e -t l i o d , i n c l u d i n g r e c e n -t a d d i -t i o n s , h a s b e e n g i v e n b y A m e i n ( 1 9 6 6 ) , T h e r u n - u p o f b r e a k i n g w a v e s i s f o u n d b y n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , g e n e r a l l y b y m e a n s o f t h e m e t h o d o f c h a r a c t e r i s t i c s . I n m o s t c a s e s t h e p r o p a g a t i o n o f a b o r e a d v a n c i n g i n t o w a t e r a t r e s t i s d e a l t w i t h . I n a few c a s e s t h e r u n u p o f p e r i o d i c w a v e s h a s b e e n c a l c u l a t e d ( A m e i n , I 9 6 6 ; D a u b e r t a n d W a r l u -z e l , 1 9 6 7 ) . I t s e e m s l i k e l y t h a t t h i s p r o c e d u r e c o u l d a l s o b e u s e d t o c a l c u l a t e t h e r u n - u p o f i r r e g u l a r w a v e s . T h e s e i s f a v e s w o u l d t h e n haA^e t o b e s i m u l a t e d b y s u i t a b l y c h o s e n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . H o w -e v -e r , s u c h a p r o c -e d u r -e w o u l d b -e r a t h -e r l a b o r i o u s . I n t h i s p a p -e r a d i f f e r e n t a p p r o a c h i s u s e d , w h i c h , i n c o n t r a s t A v i t h t h e p r e c e d i n g m e t h o d s , i s n o t b a s e d o n p r i n c i p l e s o f f l u i d d y n a m i c s . I t r e s e m -b l e s t h e m e t h o d u s e d -b y S a v i l l e ( 1 9 6 2 ) , t o -b e d e s c r i -b e d i n t h e f o l l o w i n g , * S a v i l l e a s s u m e s t i i a t t h e d i s t r i b u t i o n o f r u n u p s o f a n i r r e -g u l a r w a v e t r a i n c a n b e c a l c u l a t e d b y a s s i -g n i n -g t o e a c h i n d i v i d u a l w a v e t h e r u n - u p v a l u e o f a p e r i o d i c w a v e t r a i n o f c o r r e s p o n d i n g h e i g h t a n d p e r i o d . T h i s w i l l h e n c e f o r t h b e r e f e r r e d t o a s t h e " h y -p o t h e s i s o f e q u i v a l e n c y " , . A s i m i l a r h y -p o t h e s i s h a s b e e n w i d e l y u s e d t o c o m p u t e d i s t r i b a t i o n s ' o f , waA^e f o r c e s o n p i j _ e s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e h y p o t h e s i s o f e q u i v a l e n c j ' ^ d o p s n o t n e c e s s a r i l y i m p l y t l i a t e a c h i n d i v i d u a l w a v e c a u s e s a, r u n - u p e ( [ u a l t o t h e r u n - u p o f t h e c o r r e s p o n d i n g u n i f o r m w a v e t r a i n . I n ; f a c t , i t d o e s n o t e v e n i r a j ^ l y t h a t c o r r e s ] ) o n d i n g t o e a c h wave a n
4 -i d e n t -i f -i a b l e -i^un-np e x -i s t s . The a s s u m p t -i o n -i s r a t h e r w e a k e r , as i t p e r t a i n s t o t h e d i s t r i b u t i o n o f wave h e i g h t s and p q r i o d s on t h e one h a n d , and o f r u n - u p s on t h e o t h e r h a n d , I n o t h e r w o r d s , i t p e r t a i n s t o a v e r a g e s o f many v a l u e s , r a t h e r t h a n t o i n d i v i d u a l v a -l u e s . I n o r d e r t o a p p l y t h e h y p o t h e s i s o f e q u i v a l e n c y one h a s t o • know^ t h e r u n - u p o f p e r i o d i c w a v e s , a n d t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f t h e wave h e i g h t (H) and p e r i o d (7") „ S a v i l l e u s e s t h e r u n - u p d a t a o b t a i n e d p r e v i o u s l y b y h i m ( 1 9 5 6 ) , as p u b l i s h e d by t h e B.E.B, ( 1 9 6 1 ) , a n d t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f // and 7 p r o p o s e d b y B r e t -s c h n e i d e r ( l 9 5 9 ) f o r t h e c a s e when t h e s e a r e s t o c h a s t i c a l l y i n d e -p e n d e n t . The r e s u l t i n g r u n - u -p d i s t r i b u t i o n s h a v e t o bc c a l c u l a t e d n u m e r i c a l l y f o r each c o m b i n a t i o n o f s l o p e a n g l e and wave s t e e p n e s s .
1 , 2 O u t l i n e o f c o n t e n t s The a p p r o a c h u s e d i n t h i s p a p e r i s s i m i l a r t o t h e one u s e d by S a v i l l e , as f a r as t h e h y p o t h e s i s oT e q u i v a l e u c y i s c o n c e r n e d . Howe v Howe r , t h i s h y p o t h Howe s i s i s Howe l a b o r a t Howe d d i f f Howe r Howe n t l y . By c o n s i d Howe r i n g o n -l y waves w h i c h b r e a k on t h e s -l o p e , a s i m p -l e a n a i y t i c a i expre!SHUu. can be u s e d f o r t h e r u n - u p o f p e r i o d i c waves ( H u n t , 1 9 5 9 ) » T h i s w i l l be d e a l t w i t h i n c h a p t e r 2 , The use o f t h i s e x p r e s s i o n o b v i a t e s t h e n e e d t o compute t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n anew f o r each c o m b i n a t i o n o f wave s t e e p n e s s a n d s l o p e a n g l e . F u r t h e r m o r e , i t p e r m i t s t h e . t r a n s -f o r m a t i o n -f r o m j o i n t d i s t r i b u t i o n o -f h e i g h t a n d p e r i o d , i n t o t h e d i s t r i b u t i o n o f r u n u p , t o be c a r r i e d o u t a n a l y t i c a l l y . T h i s t r a n s -f o r m a t i o n i s c a r r i e d o u t -f i r s t -f o r an a r b i t r a r y d i s t r i b u t i o n o -f // and T ^ i n c h a p t e r 3 , a n d s u b s e q u e n t l y f o r s p e c i f i c d i s t r i b u t i o n s . T h i s i s done i n c h a p t e r 4 f o r w i n d waves w i t h a h i v a r i a t e R a y l e i g h d i s t r i b u t i o n o f // a n d x ' ^ a n d a r b i t r a r y d e g r e e o f c o r r e l a t i o n , and i n c h a p t e r 5 f o r s w e l l Av^ith a n e g l i g i b l e v a r i a t i o n i n p e r i o d . I n o r d e r t o be a b l e t o e s t i m a t e t h e f r a c t i o n o f t h e A g a v e s A d i i c h i s b r e a k i n g on t h e s l o p e , t h e d i s t r i b u t i o n o f wave s t e e p n e s s i s d e t e r m i n e d i n t h e c h a p t e r s 6 and 7 . E x a c t s o l u t i o n s a r e o b t a i n e d f o r waves ^<^ith t h e same j o i n t d i s t r i b u t i o n o f // a n d T as us^ed i n t h e c h a p t e r s 4 a n d 5 , I n c h a p t e r 8 some e m p i r i c a l r u n u p d i s t r i b u t i o n s a r e p r e s e n t e d a n d d i s c u s s e d , A b r i e f summary a n d some c o n c l u -s i o n -s a n d r e c o m m e n d a t i o n -s a r e g i v e n i n t h e c h a p t e r -s 9 a n d 1 0 .
-- O
s u m p t i o n s a r e b e i n g u s e d i n t h e v a r i o u s s t a g e s o f t h e d e v e l o p -m e n t s . D e t a i l s o f a l g e b r a and c a l c u l u s have b e e n o -m i t t e d f o r t h e
sake o f b r e v i t y ,
2 RUN-UP OF PERIODIC V/AVES BREAKING ON A SLOPE
Numerous e x p e r i m e n t s have b e e n c a r r i e d o u t t o dètermine t h e r u n - u p o f p e r i o d i c w a v e s . I t a p p e a r s f r o m t h e s e e x p e r i m e n t s t h a t t h e r e a r e c o n s i d e r a b l e d i f f e r e n c e s i n t h e r u n - u p o f w a v e s w h i c h b r e a k on t h e s l o p e a n d t h o s e w h i c h do n o t b r e a k . F o r b r e a k i n g Aga-v e s f o r i n s t a n c e , t h e r u n - u p i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g s l o p e a n g l e , w h i ] e t h e r e v e r s e i s t r u e f o r n o n - b r e a k i n g w a v e s , V f l i e t h e r o r n o t t h e waves b r e a k on t h e s l o p e d e p e n d s l a r g e l y o n t h e s l o p e ' a n g l e {•>^) and t h e wave s t e e p n e s s . I r i b a r r e n a n d N o g a l e s ( 1 9 4 9 ) g i v e t h e f o l l o w i n g f o r m u l a f o r t h e s l o p e . ^ c o r r e s p o n d i n g t o a r e g i m e h a l f w a y b e -t w e e n no b r e a k i n g a n d c o m p l e -t e b r e a k i n g : /j,,' Cf -hur, ^ ^1-
LK
( 2 , 1 ) T 1 / ^ ^/ " i s t h e wave p e r i o d , t h e A.ave h e i g h t a n d ^ t h e a c c e l e r a t i o n due t o g r a v i t y . S u b s t i t u t i n g t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r t h e deep-A.ater Afave l e n g t h /A<. f = ^ 7 , ' ( 2 . 2 ) :iTT and r e a r r a n g i n g g i v e s //.'/;,c?.5 H '^/•<-flL\ ^o./^-L^^ J^,J'/.i ( 2 . 3 ) B r e a k i n g o c c u r s Adien t h e g i v e n v a l u e o f 7/^. e x c e e d s (^Z-^»)^^- T l i i s w i l l m o s t l y be t h e case i f Afind Av^aves i m p i n g i n g on g e n t l y s l o p i n g w a l l s a r e c o n s i d e r e d . F o r e x a m p l e , t h e s t e e p e s t s l o p e o f c o a s t a l d i k e s i n t h e N e t h e r l a n d s i s 1 : 3 . The c o r r e s p o n d i n g c r i t i c a l s t e e p -n e s s a c c o r d i -n g t o e q . 2 , 3 i s a b o u t 0 . 0 2 . The d e s i g -n A.aves h a v e s t e e p n e s s e s w e l l i n e x c e s s o f t h i s v a l u e . T h i s A.as t h e m a i n r e a s o n f o r c o n s i d e r i n g b r e a k i n g waves o n l y i n t h i s p a p e r . H u n t ( 1 9 5 9 ) h a s g i v e n t h e f o l l o w i n g f o r m u l a f o r t h e r i i n - u p o f p e r i o d i c As^aves b r e a k i n g on a s m o o t h s l o p e :
72 = 5 , 3 tVÏÏ-L^
( 2 . 4 ) i n t h e f t - s e c system,. i s t h e h e i g h t above M.W.L. r e a c h e d by a wa ve w h i c h r u n s up t h e s l o p e . R e s t o r i n g d i m e n s i o n a l h o m o g e n e i t y b y s u b s t i t u t i o n o f ƒ = 3 2 „ 2 f t / s e c ' ^ e q . 2 . 4 may be w r i t t e n as o r as 1///Z„ -fü^ OC ( 2 6 ) Eq. 2 , 4 i s b a s e d on m e a s u r e m e n t s made a t t h e W a t e r w a y s E x p e r i m e n t S t a t i o n i n V i c k s b u r g , M i s s , , a n d a t t h e Beach E r o s i o n B o a r d i n Wa-s h i n g t o n , D.C. A c c o r d i n g t o H u n t , t h e c r i t e r i o n o f I r i b a r r e n and N o g a l e s ( e q . 2 . 3 ) i s a d e q u a t e t o d e l i n e a t e t h e t r a n s i t i o n f r o m b r e a -I c i n g t o no b r e a l f i n g .H u n t ' s f o r m u l a i s p u r e l y e m p i r i c a l , and i t i s n o t known why t h e f o r m u l a i s as i t i s . I t w o u l d be d e s i r a b l e t o g a i n some i n s i g h t i n t o i t s s t r u c t u r e . To t h i s end t h e f o l l o w i n g i n t e r p r e t a t i o n i s o f f e r e d .
The f o r m u l a a p p l i e s t o waves b r e a k i n g on t h e s l o p e . The i n i t i a l v e l o c i t y o f t h o w a t e r p a r t i c l e s i n t h e t o n g u e w h i c h r u n s up t h e s l o -pe m u s t be o f t h e same o r d e r o f m a g n i t u d e as t h e p a r t i c l e v e l o c i t i e s i n t h e b r e a k i n g wave, i . e . , ^ / ^ ^ J . The m o t i o n i s p e r i o d i c , w i t h p e r i o d r , and t h e r u n - u p t i m e i s I f i t i s assumed t h a t t l i e shape o f t h e v e l o c i t y - t i m e c u r v e does n o t s i g n i f i c a n t l y depend on the c h a r a c t e r i s t i c s o f s l o p e and w a v e s , t h e n t h e d i s p l a c e m e n t s a l o n g t h e s l o p e a r e e x p e c t e d t o be CT[TVf^) , and t h e v e r t i c a l d i s p l a c e -m e n t s , a-mong w h i c h t h e r u n - u p , t o be ^fTl^-^c^, T h i s a g r e e s w i t h 'eq, 2,5, e x c e p t f o r a f a c t o r eoso<', A d i i c h i s a l m o s t 1 f o r g e n t l e s l o p e s . The d i f f e r e n c e i s u n i m p o r t a n t , as t h e r e a s o n i n g g i v e n above a p -p l i e s t o g e n t l e s l o -p e s o n l y , and i s s t a t e d i n t e r m s o f o r d e r s o f m a g n i t u d e ,
A r u n - u p f o r m u l a s i m i l a r t o H u n t ' s has been d e r i v e d by Wagner ( 1 9 6 8 ) f r o m a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n d e s c r i b i n g t h e m o t i o n o f t h e mass o f A m t e r A d i i c h r u n s up t h e s l o p e :
s t h e wave-a e 7
-The c o e f f i c i e n t s "{.^ and a r e unknown c o n s t a n t s , / i
l e n g t h i n t h e d e p t h J, ^ is a. t h i c k n e s s o f t h e u p r u s h , a n d C ia C h e z y - c o e f f i c i e n t f o r t h e s l o p e . No d e t a i l s a r e g i v e n a b o u t t h d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o r a b o u t t h e m e t h o d o f s o l v i n g i t . F o r s m o o t h s l o p e s , t h e f a c t o r i n p a r e n t h e s e ^ i s a l m o s t , 1 T h e e x p e r i m e n t a l v a l u e o f f o r t h e m e d i a n r u n - u p a v e r a g e d o v e r t l i e f l u m e w i d t h i s g i v e n as 0 , 9 7 1 , I f i n a d d i t i o n t h e f o l l o w i n g r e l a -t i o n s h i p i s s u b s -t i -t u -t e d : Z „ = Z c<rUSLirsL ( 2 . 8 ) t h e n eq, 2 . 7 becomes °^ ( 2 9 ) w h i c h f o r n o t t o o s t e e p s l o p e s i s a l m o s t t h e same as H u n t ' s f o r m u -l a .
3 RUNUP DISTRIBUTION OF BREAKING WAVES WITH ARBITRARY JOINT D I S T R I -BUTION OP // AND A . 3 . 1 A n a l y t i c a l s o l u t i o n The d e r i v a t i o n s i n t h i s c h a p t e r a r e b a s e d on t h e h y p o t h e s i s o f e q u i v a l e n c y , a n d on t h e h y p o t h e s i s t h a t H u n t ' s f o r m u l a c a n be a p p l i e d t o t h e w a v e s . The l a t t e r h y p o t h e s i s i m p l i e s t h a t t h e r u n -up d i s t r i b u t i o n i s n o t s i g n i f i c a n t l y a f f e c t e d b y t h e f a c t t h a t n o t a l l t h e waves b r e a k on t h e s l o p e , ( T h e f r a c t i o n w h i c h does n o t b r e a k i s e s t i m a t e d i n c h a p t e r 7 . ) A c c o r d i n g l y , t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n w i l l be d e t e r m i n e d b y a s s i g n i n g t o each wave w i t h h e i g h t // a n d d e e p - w a t e r l e n g t h a r u n - u p g i v e n b y I t s h o u l d be n o t e d t h a t H , / a n d tan=<: a p p e a r i n . p r o d u c t f o r m o n l y . T h i s h a s t h e a d v a n t a g e t h a t t h e r u n - u p c a n be so n o r m a l i z e d as t o make t h e shape o f i t s d i s t r i b u t i o n i n d e p e i i d e r t t o f t h e c h a r a c -t e r i s -t i c s o f waves a n d s l o p e . The. v a r i a b l e s w i l l be n o r m a l i z e d as f o i l o w s :
8 -/ -/ ' « - ^ , ( 3 . 1 ) H and 1^ . ^ ( 3 „ 2 ) i n w h i c h a b a r d e n o t e s a v e r a g e ( e x j D e c t e d ) v a l u e . S u b s t i t u t i o n o f e r i , 2 , 6 i n t o e q , 3 . 3 g i v e s ^VTnl ( 3 . 4 ) T h u s , t h e n o r m a l i z e d r u n - u p d i s t r i b u t i o n e q u a l s t h e d 1 .o, t r i bu t i on o l
VN'LI
, w h i c h i n t u r n may be f o u n d by a t r a n s f o r m a t i o n o f t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f //•' a n d , w h i c h i s assumed t o be known i n t h e p r o -s e n t c o n t e x t . T h i -s t r a n -s f o r m a t i o n may be c a r r i e d o u t i n a number o f w a y s . The m e t h o d p r e s e n t e d h e r e i s b e l i e v e d t o be r a t h e r s t r a i g h t f o r w a r d , A more f o r m a l p r o c e d u r e w i l l be u s e d i n c h a p t e r 6 f o r s o l -v i n g a s i m i l a r p r o b l e m . T h r o u g h o u t t h i s p a p e r , s t o c h a s t i c v a r i a b l e s w i l l be d e n o t e d by c a p i t a l l e t t e r s , a n d p a r t i c u l a r A^alues A v r h i c h t h e y may assume b y l o-Av^er c a s e l e t t e r s , A v i t h o m i s s i o n o f p r i m e s a n d i n d i c e s , , T « + J') K „ + K „ ^ „ 4 , ^ + „ „ „ U r , l , ^ T -; + „ A ^ 4 - . , „ -P W 1 / ' d e f i n e d by Because H a n d a r e p o s i t i v e q u a n t i t i e s , •ff-^.-t^ = 0 i f -^<o o r -^<0 ( 3 . 6 ) The e x p r e s s i o n i n t h e r i g h t h a n d member o f e q . 3 o 5 i s c a l l e d a p r o -b a -b i l i t y e l e m e n t . The p r o -b a -b i l i t y t h a t and L[ s i m u l t a n e o u s l y assume A^alues TT a n d i n a c e r t a i n ar.ea o f t h e " ^ " ^ p l a n e i s d e -t e r m i n e d by summing -t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i -t y e l e m e n -t s , i o O .
i n t e g r a t i n g •ff'^,'^) o v e r t h e a r e a o f t h e 'Z p l a n e u n d e r con-s i d e r a t i o n . T h i con-s w i l l he u con-s e d i n t h e f o l l o w i n g . The c u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y t i f , d e n o t e d by is t h e p r o b a b i l i t y Z";^'<é. /'7" S u b s t i t u t i o n o f eq. 3 . 4 g i v e s ( 3 , 7 ) T h i s p r o b a b i l i t y i n t u r n m a y b e d e t e r m i n e d b y i u t o g r a t i o n o f w i t h r e s p e c t t o a n d f o r a l l v a l u e s t h e r e o f A d i i c h f u l f i l l t h e i n e q u a l i t y ^ ^ : Fro-m f i g u r e 1 a n d eq. 3 . 6 , i t c a n be s e e n t h a t t h e i n t e g r a t i o n o f m u s t be c a r r i e d o u t o-A^er t h e h a t c h e d a r e a b o r d e r e d bj^ t h e h y p e r b o l a /" a n d b y t h e s t r a i g h t l i n e s "^^^O a n d -/^O: F i g u r e 1 ( 3 . 8 ) ( 3 , 9 ) D i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o r y i e l d s t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f
71' •
( 3 , 1 0 ) A v f h i c h g i A ' c s ( 3 , 1 1 ) The e q s , 3 , 9 a n d 3 , 1 1 r e p r e s e n t t h e f o r m a l s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m^ l o o f d e t e r m i n i n g t h e r u n u p d i s t r i b u t i o n f r o m a known j o i n t d i s t r i -b u t i o n o f wave h e i g h t a n d p e r i o d , i f H u n t ' s f o r m u l a i s a p p l i e d t o i n d i v i d u a l w a v e s . These e x p r e s s i o n s a r e v a l i d f o r a r b i t r a r y I n t h e n e x t t w o c h a p t e r s s p e c i f i c f u n c t i o n s w i l l be s u b s t i t u t e d f o r •f(^^é) . B e f o r e t h i s i s d o n e , h o w e v e r , a g r a p h i c a l m e t h o d o f e s -t i m a -t i n g F(l') f r o m d i s c r e -t e d a -t a on wave h e i g l i -t s a n d p e r i o d s i s p r e s e n t e d . 3 - 2 G r a p h i c a l s o l u t i o n f o r d i s c r e t e d a t a I n t h i s s e c t i o n i t A v i l l be assumed t h a t a s c a t t e r d i a g r a m i s a v a i l a b l e o f A^^ave h e i g h t v s , p e r i o d , . The p r o b l e m i s t o c o m p u t e a n e s t i m a t e o f t h e a s s o c i a t e d r u n - u p d i s t r i b u t i o n , i f f o r i n d i v i d u a l Av^aves t h e r u n - u p i s g i v e n by H u n t ' s f o r m u l a ; = o . v r 1 ^ ^'^-C • ( 2 , 5 ) A p r a c t i c a l s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m i s s u g g e s t e d b y t h e a n a l y t i -c a l d e r i v a t i o n i n t h e p r e -c e d i n g s e -c t i o n . On a t r a n s p a r a n t s h e e t o f p a p e r a f a m i l y o f c u r v e s i s d r a A v ^ n , a l o n g each o f w h i c h 7~]/77 is c o n -s t a n t , (On d o u b l e - l o g p a p e r -s u c h c u r v e -s A v ^ i l l be -s t r a i g h t l i n e -s , ) T h i -s s h e e t i s u s e d as a n o v e r l a y o v e r t h e g i v e n s c a t t e r d i a g r a m . By s i m p l y c o u n t i n g t h e t o t a l number o f p o i n t s o f t h e s c a t t e r d i a g r a m b e -t w e e n c o n s e c u t i A ^ e p a i r s o f c u r A ^ e s c o n s t a n t , t h e number o f a n t i c i p a t e d r u n - u p s i n c e r t a i n c l a s s e s c a n be d e t e r m i n e d ; t h e cumu-l a t i v e d i s t r i b u t i o n c a n n e x t bo f o u n d b y s u m m a t i o n .
4 : RUNUP DISTRIBUTIONS OF WIND WAVES WITH A BIVARIATE BAYLEIGH D I S -TRIBUTION OP H AND .
4.1 The H i v a r i a t e H . a y l e i g h d i s t r i b u t i o n
I t i s g e n e r a l l y k n o A r a t h a t w i n d wave h e i g h t s a r e v e r y n e a r l y ) R a y l e i g h - d i s t r i b u t e d . A c c o r d i n g t o B r e t s c h n e i d e r ( l 9 5 9 ) t h e same
i s t r u e f o r t h e p e r i o d s sc^uared o f A^'ind A^raA^es, Based on t h i s o b s e r -v a t i o n , B r e t s c h n e i d e r assumes t h a t t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f h e i g h t s and p e r i o d s s c [ u a r e d i s some t j ^ p e o f b i v a r i a t e R a j ^ l e i g h d i s t r i b u t i o n .
~ i l
-HoAtfever, such a d i s t r i b u t i o n Afas u n k n o A ^ n t o h i m . O n l y i n t h e c a s e s Afhen A/ and T ^ a r e s t o c h a s t i c a l l y i n d e p e n d e n t r e s p , 1 0 0 ^ . c o r r e l a -t e d Avas B r e -t s c h n e i d e r a b l e -t o use -t h e j o i n -t d i s -t r i b u -t i o n , s i n c e i n b o t h c a s e s i t i s c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d by t h e m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s ,
U h l e n b e c k ( 1 9 4 3 ) a n d R i c e ( 1 9 4 4 ) i n t h e i r Avork on s i g n a l s t a -t i s -t i c s deriA-e -t h e j o i n -t p r o b a b i l i -t y d e n s i -t y f o r -tAv^o A-^alues o f -t h e enA'elo])e o f a n a r r o A v » b a n d r a n d o m n o i s e s i g n a l , s e p a r a t e d b y a c e r t a i n t i m e i n t e r A ' a l . The r e s u l t i n g d i s t r i b u t i o n maj' be c a l l e d t l i e b i -A - a r i a t e R a y l e i g h d i s t r i b u t i o n , a l t h o u g h t h i s i s n o t done b y R i c e {\d\o CA^en i n t l i e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e does n o t m e n t i o n R a y l e i g l i ) ,
The p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f tA^ro v a r i a b l e s A/' and L[ , A\diich a r e j o i n t l y R a y l e i g h d i s t r i b u t e d , and o f A d i i c h t h e mean v a l u e i s e q u a l t o one^, i s giA^en bj^ f o r / and ^ ^ o ; t^C''^.'^)=0 f o r / o r / < 0 . is t h e m o d i f i e d B e s -s e l f u n c t i o n o f t h e f i r -s t k i n d o f o r d e r z e r o . The d i -s t r i b u t i o n h a -s one p a r a m e t e r , A d i i c h f u l f i l l s t h e i n e q u a l i t y K l ^ 1 . T h i s p a r a m e t e r i s n o t i n g e n e r a l e q u a l t p p , t h e c o e f f i c i e n t o f l i n e a r c o r -r e l a t i o n b e t i v e e n /V" and A\fhich i s d e f i n e d by f - -j^^M-^=:r ( 4 , 2 )
The r e l a t i o n s h i p betA-zeen f and ^ lias been d e a l t Avith e l s c A d i e r e ( B a t t j e s , 1 9 6 9 ) , I t i s shoAvn g r a p h i c a l l y i n f i g u r e 2,
The a p p l i c a t i o n o f e q , 4 . 1 t o Av^ind A\'aves A^rould i m p l y t h a t a c e r t a i n f r a c t i o n o f t h e Av^aves h a s a s t e e p n e s s e x c e e d i n g t h e l i m i t i m p o s e d by t h e p r o c e s s o f b r e a k i n g . T l i i s h a s b e e n c o n s i d e r e d f o r t h e c a s e yO =0 b y SaA'^i 1 1 e ( 1 9 6 2 ) , A^ho f o u n d t h a t t h e f r a c t i o n o f b r e a k i n g Araves i s g e n e r a l l y o f t h e o r d e r o f a f e w p e r c e n t a t m o s t . The s t e e p n e s s d i s t r i b u t i o n t o be d e r i v e d i n t h e c h a p t e r s >6 a n d 7 p e r m i t s a s i m i l a r c h e c k f o r jo^O, i n Atdiich c a s e t h e v a l u e s A/ere f o u n d t o be o v e n s m a l l e r t h a n t h o s e g i A ^ e n by S a v i l l e , The e f f e c t o f a l i m i t i n g s t e e p n e s s A ^ f i l l n o t be t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n i n t h e f o l l o A \ f i n g .
4.2 D e i - i v i i t i o n o f t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n The p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f 7?' w i l l now be d e t e r m i n e d b}^ s u b -s t i t u t i o n o f e q , 4 ^ 1 i n t o eq„ 3 » 1 1 : By s u b s t i t u t i n g a. ( 4 . 4 ) and , 2 , t h e i n t e g r a l c a n be w r i t t e n as ! t = _ Z r ^ ( 4 . 5 ) oo 'O T h i s i n t e g r a l may be f o u n d i n a t a b l e o f L a p l a c e t r a n s f a r m s ( A b r a -m o w i t z and S t e g u n , 1 9 6 5 ) , I t i s e q u a l t o , w h e r e /C^ is t h e m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n o f t h e t h i r d k i n d o f o r d e r z e r o . S u b s t i t u -t i o n i n eq. 4 , 3 g i v e s -t h e p r o b . a b i l i -t y d e n s i i y of (he r u n - u p as a g r a p h o f w h i c h i s shown i n f i g u r e 3 f o r s i x v a l u e s o f -^f f r o m 0 t o 1 , w h i c h have been so s e l e c t e d as t o g i v e e q u a l i n c r e m e n t s o f t h e c o e f f i c i e n t o f c o r r e l a t i o n ^ y O , The c i U T i u l a t i v e d i s t r i b u t i o n may be f o u n d by i n t e g r a t i o n o f I n o r d e r t o c a r r y o u t t h e i n t e g r a t i o n i t i s c o n v e n i e n t t o t r a n s f o r m t o t h e v a r i a b l e CC d e f i n e d by eq. 4 . 5 . Because X i s a s i n g l e v a l u -ed f u n c t i o n o f A , and v i c e v e r s a , t h e f o l l o A v f i n g r e l a t i o n s h i p h o l d s ( 4 , 8 )
„ 1 3
T h e r e f o r e ,
f(oc)cloc.-fft)c^r o r -fCoc)^-f(r) — . „ ( 4 . 9 )
s u b s t i t u t i o n o f i w h i c h , i n t o e q , 4 , 6 _ g i Y e s
•fcoc)
=
(,-ocl^ Uo.)
/ c
( 4 . - 1 0 )The c u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y i s
( 4 . 1 1 )
The f o l l o w i n g f o i ' m u l a s f o r d e r i v a t i v e s o f 1 a n d h o l d :
(4„12)
i n w h i c h a p r i m e d e n o t e s d i f f e r e n t a t i o n w i t h r e s p e c t t o ^ ( A b r a m o -w i t z and Stegim,, I 9 6 5 ) . U s i n g t h e s e r e l a t i o n s h i p s , e q . 4 . 1 1 may be
i n t e g r t i t e d by p a r t s , w i t h t h e r e s u l t
F(dc)
^/
-
DcJJ^^)F,(:k)
-
'i^oclF-4oc)F^CF> ( ^ . 1 3 )
S u b s t i t u t i o n o f eq,. 4.5 i n t h e r i g h t h a n d member o f e q . 4 , 1 3 y i e l d s J""Cr) J w h i c h i s d e p i c t e d i n f i g u r e 4 f o r s e l e c t e d v a l u e s o f . Eq. 4 , 1 3 becomes F(r) = / - J^F^(jr£^) i f 0 . ( 4 , 1 4 ) T h i s c o r r e s p o n d s t o t h e ' c a s e o f z e r o c o r r e l a t i o n b e t w e e n //'and , w l i i c h , f o r t h e b i v a r i a t e R a y l e i g h d i s t r i b u t i o n , i m p l i e s s t o c h a s t i c i n d e p e n d e n c e o f // a n d L' . When " ^ = 1 , i s u n b o u n d e d f o r a l l r^Oj as f o l l o w s f r o m e q , 4,5 The same i s t r u e f o r t l i e B e s s e l f u n c t i o n s i n e q , 4 , 1 3 . T h e r e f o r e , e q , 4 , 1 3 c a n n o t be u s e d as i t s t a n d s i f = 1 , U s i n g a s j n n j i t o t i c e x p a n s i o n o f t h e B e s s e l f i m c t i o n s , i t may be showji t h a tLk rr so t h a t i f = 1 (4„16) T h i s i s t h e o n e - t l i m e n s i o n a l R a y l e i g h d i s t r i b u t i o n , as e x p e c t e d : 1 c o r r e s p o n d s t o = 1 ( s e e f i g u r e 2 ) , w h i c h means t h a t //'and a r e l i n e a r l y d e p e n d e n t . T h i s i n t u r n i m p l i e s b e c a u s e t h e y a r e i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d , , Eq, 3 „ 4 t h e n bee ;omes ( 4 . 1 7 ) so t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f becomes e q u a l t o t h a t o f / / ' o r /' i . e . e q u a l t o t h e D , a y l e i g h d i s t r i b u t i o n .
The mean o f t h e n o r m a l i z e d r u n - u p c a n be f o u n d as a moment o f t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f //' and /' : S u b s t i t u t i n g eq„ 4.1 and c a r r y i n g o u t t h e i n t e g r a t i o n y i e l d s i n w h i c h ^f, i s t h e h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n ( M i d d l e t o n , I 9 6 0 ) . T h i s e x p r e s s i o n r e d u c e s t o ' ^ ' = - / / Y - f j j ' ' ^ 0 , 5 3 i f -/= ,o ( 4 , 2 0 ) and t o
^ ' = / . r f
( 4 , 2 1 ) The a s s o c i a t e d c u m u l a t i v e p r o b a b i l i t i e s a r e 0 , 5 3 5 a n d 0 , 5 4 4 r e s -p e c t i v e l y , i . e , a -p -p r o x i m a t e l y 0 . 5 4 i n b o t h c a s e s . I t i s assumed t h a t t h i s v a l u e w i l l a l s o h o l d f o r o t h e r v a l u e s o f - - 7 ^ ,1 5 -An i n s p e c t i o n o f f i g u r e s 3 and 4 shows t h a t t l i e w i d t h o f t h e r u n u p d i s t r i b u t i o n i n c r e a s e s as p i n c r e a s e s . A c c o r d i n g t o B r e t -s c h n e i d e r ( 1 9 5 9 ) , 7 ° = 0 o c c u r s w h e n t h e sea i s f u l l y d e v e l o p e d , w d i i -l e ƒ?= -l i i s c o n s i d e r e d t o be a -l i m i t i n g v a -l u e w h i c -l i i s more n e a r -l y a p p r o a c h e d i n a y o u n g s e a . A t t h i s s t a g e i t may be u s e f u l t o r e v e r t b r i e f l y t o n o n n o r m a l i z e d v a r i a b l e s . As an e x a m p l e , t h e v a l u e e x c e e d e d by 1$ o f t h e r u n ups w i l l be c o n s i d e r e d f o r t h e l i m i t i n g c a s e s f>= 0 and f>= 1 . E n t e -r i n g f i g u -r e 4 w i t h t h e v a l u e 7 = 0 . 9 8 a n d -r e a d i n g t h e c o -r -r e s p o n d i n g v a l u e s o f g i v e s = 1 , 7 8 . i f 0 R' = 2 , 2 3 i f /) = 1 ( 4 , 2 2 ) S u b s t i t u t i o n o f eq,, 3 . 3 g i v e s
=. /.ys VFT^
7 ^ a i f ƒ>= 0 = «2.2 3 \/h L, ioyn oC i f y O = 1 I f /•/ and 7''* a r e R a y l e i g h d i s t r i b u t e d , t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p s h o l d : ( 4 . 2 3 ) T^o.gCX/T'' ( 4 , 2 4 ) and \ ( 4 . 2 5 ) i n w d i i c h /-/'/^is t h e a v e r a g e o f t h e h i g h e s t I / 3 o f t h e wave h e i g h t s . S u b s t i t u t i o n o f e q s . 2 , 2 , 4,24 a n d 4 , 2 5 i n t o . e q s . 4 . 2 3 y i e l d s f i n a l o. Co T l^/j/^ éu^oc i f yO= 0 ( 4 , 2 6 ) /?2, = Q^5- T\/^y^ -éa^oc i f y O = 1- 1 6
-4 „ 3 C'ompai'ison w i t h S a v i l l e ' s w o r k
S a v i l l e ( I 9 6 2 ) g i A ^ e s r u n - u p d i s t r i b u t i o n c u r v e s A ^ f h i c h a r e b a
-sed o n t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f // and T^given by B r e t s c h n e i d e r ( 1 9 5 9 ) l o r t h e case A i r h e n t h e m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s a r e o f t h e
Rayl e i g h t y p e , a n d // a n d T a r e s t o c h a s t i c a Rayl Rayl y i n d e p e n d e n t . T h i s d i s t r i b u t i o n i s t h e same as g i v e n by e q , 4 , 1 i f ƒ> = 0. Tho r u n u p d i s -t r i b u -t i o n g i v e n hy eq„ 4,14 ma.y -t h e r e f o r e be c o m p a r e d Avi-th S a v i l l e ' s r e s u l t s . Such a c o m p a r i s o n c a n n o t be c a r r i e d o u t d i r e c t l y b e c a u s e t h e r u n - u p s haA'e b e e n n o r m a l i z e d i n d i f f e r e n t A\'ays. The n o r m a l i z a t i o n f a c t o r u s e d b y S a v i l l e i s ^//g , t h e r u n - u p o f a p e r i o d i c As^aA^e Av'ith h e i g h t //^ a n d p e r i o d 7^^ , i . e , t h e mean/^of t h e h i g h e s t i / 3 o f t h e Av'aA-eSj, A d i i c h i n t h i s case ( z e r o c o r r e l a t i o n ) e q u a l s , V a l u e s o f 71^^/-/% A f e r e o b t a i n e d f r o m t h e r u n - u p c u r A ^ e s p u b l i s h e d by t h e B.K.B,
( 1 9 6 1 ) , These c u r v e s a r e b a s e d on t h e same d a t a a s used i i y H u n t , T h v f a c t o r u s e d h e r e i s [/// -éa^oi, i , e „ t h e r u n - u p , a c c o r d i n g t o H u n t ' s f o r m u l a , o f a p e r i o d i c Av^ave As'ith h e i g h t H a n d d e e p - A r a t e r l e n g t h ,
TAfo q u e s t i o n s s h o u l d be d i s t i n g u i sh ed i n c o m p a r i n g t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n s ' .
( a ) V/hat i s t h e A^alue o f t h e n o r m a l i z a t i o n f a c t o r f o r g i v e n As^aves and s l o j i b ? ( b ) HoA^' i s t h e n o r m a l i z e d r u n - u p d i s t r i b u t e d ? The f i r s t q u e s t i o n i n f a c t m u t u a l l y c o m p a r e s H u n t ' s f o r m u l a a n d t h e r u n - u p c u r A ' e s u s e d by S a v i l l e , Such a c o m p a r i s o n i s n o t r e l c A a n t h e -r e . B o t h n o -r m a l i z a t i o n f a c t o -r s A f i l l t h e -r e f o -r e b e b a s e d on t h e same r e l a t i o n s h i p b e t w e e n r u n - u p , waves, and s l o p e . U s i n g H u n t ' s f o r m u l a , t h e r a t i o o f t h e n o r m a l i z a t i o n f a c t o r s becomes: ( 4 , 2 7 ) S u b s t i t u t i o n o f e q s , 4,24 a n d 4,25 g i v e s ^ = 4 , 2 2 , W i t h t h e u s e o f t h i s c o n v e r s i o n f a c t o r , S a v i l l e ' s c u r v e f o r t a n o c = 1 ; 6 a n d J'T}^ = 0,22 f t / s e c ^ has b e e n p l o t t e d i n f i g u r e 5, T h i s c u r v e a p p e a r s t o be i n v e r y c l o s e a g r e e m e n t As'ith eq. 4,14, A s f h i c h i s a l s o s h o A / n i n t h e f i -g u r e . S a A ' i l l e ' s curA^es f o r t h e s t e e p e r s l o p e s ( n o t shoAm h e r e ) a r e somoAdiat d i f f e r e n t , p r e d o m i n a n t l y i n t h e r a n g e o f 1 OAV' r u n - u p A'-aliies, T h i s A \ ' i l l be i n A ' e s t i ga t e d f u r t h e r i n c h a p t e r , 7,
1 7
-RUN-UP DISTRIBUTION OF SWELL
I n t h i s c h a p t e r waves w i l l be c o n s i d e r e d o f w h i c h t h e h e i g h t s a r e R a y l e i g h d i s t r i b u t e d , w h i l e t h e v a r i a t i o n i n p e r i o d s i s n e g l e c t e d . T h i s m o d e l i s a p p r o x i m a t e l y a p p l i c a b l e t o o l d s w e l l . I t r e p r e -s e n t -s a d e g e n e r a t e ca-se o f t h e g e n e r a l j o i n t d i -s t r i b u t i o n o f H' and Z j " , b e c a u s e = 1 w i t h a p r o b a b i l i t y o f lOOJ^, One c a n p r o c e e d f o r m a l l y as b e f o r e bj' w r i t i n g f o r t h e j o i n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y ( 5 . , ) i n w l i i c h •fa) i s t h e raai'ginal ] j r o b a b i l i t y d e r i s i t y o f /•/ a n d 1 s D i r a c ' s u n i t i m p u l s e " f u n c t i o n " , and by s u b s t i t u t i n g t h i s i n t o e q s . 3 , 9 and 3 . 1 1 , A more d i r e c t m e t h o d i s t o r e v e r t t o ec[„ 3,4;'
w h i c h i n t h i s c a s e becomes I t f o l l o w s t h a t i s R a y l e i g h - d i s t r i b u t e d ( e q . 4 . l 6 ) , so t h a t t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f "Rj c a n be w r i t t e n down a t once"/ F[t) = / - e ( 5 . 3 ) f r o m w h i c h t l i e p r o b a b i l i t y d e n s i t y i s f o u n d by d i f f e r e n t a t i o n as = ttF ^' ( 5 , 4 ) The mean v a l u e o f t h e n o r m a l i z e d r u n - u p i n t h i s c a s e i s 1^' =^ ^^7^ rC^^"^^ ^ 0 , 9 6 ; t h e mean s q u a r e v a l u e i s o f c o u r s e 1 , The
f u n c t i o n ' s g i v e n hy ec[s, 5 . 3 and 5 , 4 a r e d e p i c t e d i n f i g u r e s 4 and 3 , r e s p e c t i v e l y .
From an i n s p e c t i o n o f a l l t h e c u r v e s i n t h e s e f i g u r e s i t i s c l e a r t h a t t h e shape o f tJie r u n - u p d i s t r i b u t i o n v a r i e s more o r l e s s m o n o t o n i c a l l y w i t l i t h e wave age,. The A f i d e s t s p r e a d ( g r e a t e s t v a r i -a n c e ) o c c u r s Ai^ith -a v e r y y o u n g s e -a , t h e s m -a l l e s t s p r e -a d w i t h -an o l d s w e l l , , w h i l e t h e d i s t r i b u t i o n c o r r e s j i o n d i n g t o f u l l y dcA'eloped Avind AvraA^es i s a p p r o x i m a t e l y halfA^ray b e t w e e n t h e s e e x t r e m e s .
J 18
STEEPNESS DISTRIBUTION OF WAVES WITH A[1BITRAR,Y JOINT D I S T R I -BUTION OF H AND „ I t h a s been p o i n t e d o u t i n c h a p t e r 2 t h a t H u n t ' s r u n u p f o r -m u l a i s n o t a p p l i c a b l e t o waves o f w h i c h t h e s t e e p n e s s 6 s / / ^ ^ i s l e s s t h a n g i v e n by e q . 2„3, L i k e H a n d , ^ i s a s t o c h a s -t i c v a r i a b l e ^ The d i s -t r i b u -t i o n o f -t h i s v a r i a b l e w i l l be d e -t e r m i n e d i n o r d e r t o be a b l e t o e s t i m a t e t h e f r a c t i o n o f t h e waves t o w h i c h H u n t ' s f o r m u l a c o u l d be a p p l i e d . I t i s w o r t h n o t i n g t h a t t h e peak h o r i z o n t a l i n e r t i a wa^-e f o r c e on a f i x e d body i s p r o p o r t i o n a l t o / / / 7 - ^ i f t h e wave i s i n deep wa-t e r . The same i s wa-t r u e f o r wa-t h e v e r wa-t i c a l f o r c e i n w a wa-t e r o f a n y d e p wa-t h p T h u s , t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s e peak f o r c e s , i f s u i t a b l y n o r m a l i z e d i s t h e same as t h e t l i s t r i h u t i o n o f t h e n o r m a l i z e d s t e e p n e s s , t o be d e t e r m i n e d i n t h e f o l l o w i n g . The s t e e p n e s s 0 w i l l be n o r m a l i z e d as f o l l o w s : S ' = — E L - - ( 6 . 1 ) or ( 6 . 2 ) The d i s t r i b u t i o n o f 5 ' c a n be o b t a i n e d f r o m '^f^,'^) by e x a c t l y t h e same p r o c e d u r e as was u s e d i n c h a p t e r 3 f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f F(f-') . , A more f o r m a l p r o c e d u r e i s t o u s e t h e s t a n d a r d t e c h n i q u e f o r t h e t r a n s f o r m a t i o n o f one b i v a r i a t e p r o b a b i l i t y d e n s i t y i n t o an o t h e r . The wave s t e e p n e s s s h o u l d be one o f t h e t-\-iQ v a r i a b l e s o f w h i c h t h e j o i n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y i s t o be f o u n d . The o t h e r one i
a d'unmiy v a r i a b l e w h i c h w i l l be e l i m i n a t e d a f t e r w a r d s . I t c a n be cho sen a t c o n v e n i e n c e .
L e t be t r a n s f o r m e d i n t o (-^i "^J , i n w h i c h
and t h e dummy v a r i a b l e é i s some f u n c t i o n o f and t ^ „ An a s t e -r i s k i s u s e d t o d i s t i n g v i i s h t h e t w o p -r o b a b i l i t y d e n s i t i e s . The t r a n s f o r m a t i o n i s g i v e n by
19 i n A d i i c h <jr i s t h e J a c o b i a n : 2)0 2-i 1 ± c>-t "f g iAi-e s ( 6 . 4 ) (Cirainei", 1 9 6 6 ) , C h o o s i n g -é = g i A ^ e s v7~= • T h e r e f o r e ,
The p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f 3^'can now be f o u n d as a. m a r g i n a l p r o b a -b i l i t y d e n s i t y o f (-^ ^ - / j : o r -^o ( 6 , 6 ) -C6,7) I n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t t o y i e l d s t h e c u m u l a t i A ^ e p r o b a b i l i t y : Fc-.) =JJol^- fJj/'C-.^J^ J)^F A \ d i i c h raa5^ b e t r a n s f o i ' m e d i n t o '•CO , /CO •/n o ( 6 . 8 ) ( 6 , 9 ) T h i s w o u l d haA'^e b e e n o b t a i n e d a t o n c e A v i t h t h e p r o c e d u r e u s e d i n c h a p t e r 3 .
7 • STEEPNESS DISTRIBUTION OF V/IND V/AV"ES VaTH A BIVARIATE RAYLEIGH DISTRIBUTION OF /V AND zL •„ 7^ 1 D c r i A ' a t i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n S u b s t i t u t i o n o f t h e b i v a r i a t e R a y l e i g h p r o b a b i l i t y d e n s i t y ( e q , 4 , l ) i n t o e q , 6 , 7 giA'es' TT By s u b s t i t u t i n g and 7r -^-^ ( 7 . 1 ) ( 7 „ 2 ) ( 7 . 3 )
2 0
-eq, 7 . i becomes
±00
The s i g n o f t h e l i i ^ p e r l i m i t o f i n t e g r a t i o n m u s t e q u a l t h e s i g n o f
F o r l a r g e l ^ j j •<z^fs/zF^ , so t h a t t h e i n t e g r a l c o n v e r g e s o n l y i f lybj > 1 ( W a t s o n , I 9 6 6 ) , Eq. 7 o 3 may be r c A v r r i t t e n as
The n u m e r a t o r i s a l w a y s > 1 e x c e p t f o r 1 , i n w h i c h case i t s v a -l u e i s 1„ The d e n i n n e r a t o r i s a t most 1 . T -l i u s , o n -l y i f = - i ' = 1 does t h e i n t e g r a l f a i l t o c o n v e r g e ^ T h i s i s t o be e x p e c t e d , as = 1 i m ] 3 l i e s //= Z.^' ( s e e page 1 4 ) , so t h a t i n t h a t case S^'assumes t h e v a l u e 1 . w i t h a p r o b a b i l i t y o f 100fó„ Tlie c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i -t y d e n s i -t y i s z e r o f o r a l l -s/:^ 1 a n d i s unb-ounded f o r — i f = i„ l i i s d e s c r i b e d by D i r a c ' s u n i t i m p u l s e f u n c t i o n :
~PC'<)= ^C^-')
i f i 4 = 1 . ( 7 o 6 ) The d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s t h e u n i t s t e p f u n c t i o n c e n t e r e d a t -d = 1„ I f l - ^ l < 1 , t h e n )/»/>! f o r a l l , and t h e i n t e g r a l i n e q , 7.4 i s bounded„ I t has b e e n e v a l u a t e d u s i n g s e c t i o n 1 3 . 2 f r o m W a t s o n ( 1 9 6 6 ) , w i t h t h e r e s u l t Til i s r e du c e s t o "^^"^^^ i f 0 ( 7 „ 8 ) has b e e n p l o t t e d , i n f i g u r e 6 f o r s e l e c t e d v a l u e s o f I n t e g r a t * L o n o f -f{-^) g i v e n b y ec[, 7 , 7 y i e l d s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ; f o r l ^ / : ^ l ( 7 . 9 ) T h i s e q u a t i o n i s ^ I s o A ^ a l i d f o r |^/= 1 , i n A^diich c a s e i t r e p r e -s e n t -s t h e u n i t -s t e p f u n c t i o n c e n t e r e d a t = 1 .PROB. D E N S I T Y OF NORMALIZED STEEPNESS OF Fig. 6 swell ''(rayleigh) wind waves- , (•e.qs.7.5and 7.7) 0.0 0.2 S
Eq. 7 = 9 r e d u c e s t o
^^-^3=7^^
-
-rh^ ' 1 ' ^ = » ( 7 , 1 0 ) The c o - c u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y ( p r o b a b i l i t y o f e x c e e d a n c e ) i s l-fC^-)- - j ^ i f / = 0 G r a p h s o f TC-^) a r e g i v e n i n f i g u r e 7 , i n s p e c t i o n o f w h i c h shows t h a t t h e d i s t r i b u t i o n i s n o t v e r y s e n s i t i v e t o v a r i a t i o n s o f p i f p i s s m a l l ( < 0 , 4 ^ f o r i n s t a n c e ) . T h i s means t h a t t h e s i m p l e e x p r e s -s i o n -s g i v e n b y e q -s , 7 , 1 0 a n d 7 « 1 1 c a n be u -s e d a-s a n a p p r o x i m a t i o n i n c a s e s o f l o w l i n e a r c o r r e l a t i o n b e t w e e n hi a n d „ I t i s e v i d e n t f r o m f i g u r e 7 as w e l l as f r o m eq, 7 , 9 t h a t t h e gied i a n o f t h e s t e e p n e s s gied i s t r i b v i t i o n giedoes n o t gied e p e n gied o n ƒ> ; i t i s a l -ways 1,,The mean s t e e p n e s s h a s b e e n e v a l u a t e d as a moment o f
S u b s t i t u t i o n o f t h e b i v a r i a t e R a y l e i g h j j r o b a b i l i t y d e n s i t y ( e q , 4 , l ) and e v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l g i v e s t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e s e c o n d k i n d o f m o d u l u s U t i -l i z i n g t h e r e -l a t i o n s h i p b e t w e e n ^ a n d p g i v e n i n f i g u r e 2 , S' has been p l o t t e d as a f u n c t i o n o f p i n f i g u r e 8 , The s t e e p n e s s d i s t r i b u t i o n o f s w e l l h a v i n g t h e d i s t r i b u t i o n o f /V'and d e s c r i b e d i n c h a p t e r 5 n e e d n o t be c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y ; i t i s e q u a l t o t h e d i s t r i b u t i o n o f / / ' ( R a y l e i g h ) b e c a u s e i s assumed t o b e ' c o n s t a n t , , F o r p u r p o s e s o f c o m p a r i s o n , i t h a s a l s o b e e n p l o t t e d i n t h e f i g u r e s 6 a n d 7» The d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s d e p i c t e d i n f i g u r e 7 may be u s e d t o e s t i m a t e t h e f r a c t i o n o f t h e waves f o r w l i i c h Hunt'.s f o r m u l a w o u l d ( n o t ) be a p p l i c a b l e . As a n e x a m p l e , t h e v a l u e s u s e d b y S a v i l l e i n t h e c o m p u t a t i o n o f t h e c u r v e shown i n f i g u r e 5 w i l l be t a k e n : t a n o c = 1 : 6 , z e r o c o r r e l a t i o n b e t w e e n
H
a n dT
, and//'/ij 7>/^ = 0 ^ 2 2
f t / s e c ' " , w h i c c o r r e s p o n d s t oHjL^ = 0 , 0 2 5 .
From e q , 2 , 3 , S = 0 „ 1 9 ( l / 6 ) ^ = 0 , 0 0 5 3 ,2 2 -T h e r e f o r e , = 0 , 0 0 5 3 / o „ O 2 5 = 0 O j ^ • 7 10 i + 1 • • " ™ f i g u r e 7 o r f r o m eq, 1 , V ^"^^ "^"^'^ ^"^^-^^^^ - - ^ ^ ^ a p p l i e a h l e t o 9 6 / o f t h e PS . 9 ^ , H o w e v e r , t h e e u r v e eomputecl by S a v i l l e f o r t h i s ease d i f f e r s a t m o s t 10% f r o m t h e e u r v e f o r t h e 1 - 6 s l o P A IA Th' • S l o p e , o r f r o m eq 4 a 4 „ T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e e f f e c t n f « f , r e l a t i v e l y weak. n o n ^ b r e a k i n g waves i . B r e t s c h n e i d e r ( l 9 5 9 ) i n h i s w o r k on wave v a r i a b n . - + t h e wave s t e e p n e s s IT. . , ''^^ ^ a r i a b i l i t y c o n s i d e r e d t h r ' " • ^ ^ ^ ^ ' ^ ^ i ' ^ ^ d i s t r i b u t i o n b u t o n l v t h e mean v a l u e , w i t h t h e r e s u l t ^
r e s . . , r . s e q u a t i o n and e q . 7 . 1 3 g i v e C.e same
vaCes/e
t s c h-e l s -e w h -e r -e ( H a t t j -e s , I 9 6 9 ) t h a t t h " "^'""^ ' ^ a s s u m p t i o n o f l i n e a r r e g r e s s i o n
™:..::.nr'LV;:!:;;r"r'^^
---
"::::i:::::::v::\:r.r-qp« Ti,„ cxj.vt;u on t u e same nremi-,
" 3 . T„ a . r . e „ e „ t » „ p e „ e d t o be '
" - e t„ d e v i a t e „ „ t i e e« M , „.„,„ e , 7 10
2 3 -8 EMPIRICAL RUN-UP DISTRIBUTIONS 8 . 1 I n t r o d u c t i o n
B e f o r e p r o c e e d i n g t o t h e p r e s e n t a t i o n and d i s c u s s i o n o f some e m p i r i c a l d a t a ; i t i s r e c a l l e d t h a t t h e d e r i v a t i o n o f t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n o f w i n d waves has been b a s e d on t h e f o l l o w i n g p r e m i -s e -s : I Tbe r u n - u p d i s t r i b u t i o n can be d e t e r m i n e d by a s s i g n i n g t o each i n d i v i d u a l wave a r u n u p e q u a l t o t h e r u n u p o f a p e r i -o d i c wave t r a i n -o f c -o r r e s p -o n d i n g h e i g h t and p e r i -o d , I I The r u n - u p o f p e r i o d i c waves b r e a k i n g on t h e s l o p e i s g i v e n by H u n t ' s f o r m u l a , I I I The f a c t t h a t ' n o t a l l t h e w a v e s b r e a k on t h e s l o p e has a n e -g l i -g i b l e e f f e c t on t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n , IV A/ and have a b i v a r i a t e R a y l e i g h d i s t r i b u t i o n . The s e c o n d o f t l i e s e prerais'es w i l l i n t h e p r e s e n t c o n t e x t bc c o n s i d e r e d as an e m p i r i c a l l y e s t a b l i s h e d f a c t . The o t l i e r s a r e a p r i o r i c o n s i d e r e d t o be h y p o t h e t i c a l , and i n need o t c h e c k i n g . H y p o t h e s i s I I I i s more n e a r l y v a l i d f o r t h e s t e e p e r waves and t h e g e n t l e r slopes^, b e c a u s e t h e f r a c t i o n o f t h e waves w h i c h i s n o t b r e a k i n g i s t h e n v e r y s m a l l . I n t h e f o l l o w i n g two s e c t i o n s , e m p i r i c a l d a t a f r o m t h e l a -b o r a t o r y and t h e f i e l d w i l l -be p r e s e n t e d . O n l y t h e l a -b o r a t o r y da-t a c a n be u s e d da-t o c h e c k some o f da-t h e h y p o da-t h e s e s I da-t h r o u g h I V , o r c o m b i n a t i o n s t h e r e o f . The f i e l d d a t a w i l l be p r e s e n t e d f o r t h e i r i n t r i n s i c i n t e r e s t . Such d a t a a r e a l m o s t n o n e x i s t e n t , 8 . 2 L a b o r a t o r y d a t a I n 1 9 3 9 r u n - u p e x p e r i m e n t s w e r e c a r r i e d o u t a t t h e D e l f t Hy-d r a u l i c s L a b o r a t o r y , i n b e h a l f o f Z u i Hy-d e r z e e V/orks, The N e t h e r l a n Hy-d s , The r u n - u p s o f i r r e g u l a r w a v e s on v a r i o u s s l o p e s w e r e measured-( W a s s i n g j 1 9 5 8 ) , The w a v e s w e r e g e n e r a t e d by a c o m b i n a t i o n o f w i n d and a b u l k h e a d w i t h a p e r i o d i c m o t i o n . As a r e s u l t , t h e
mo-d e l waA^es w e r e n o t n a t u r a l winmo-d waves on a s m a l l s c a l e . T h i s i s e v i d e n c e d by t h e f a c t t l i a t t l i e m e a s u r e d wave h e i g h t d i s t r i b u t i o n i s much narroAN^er t h a n t h e R a y l e i g h d i s t r i b u t i o n . The d e v i a t i o n I f r o m n a t u r a l c o n d i t i o n s i s e v e n g r e a t e r f o r t h e wave p e r i o d s ,
n o t u s e f t x l t o compare t h e m e a s u r e d r u n - u p d i s t r i b u t i o n s w i t h t h o ¬ se d e r i v e d i n t h i s p a p e r on t h e b a s i s o f h y p o t h e s i s I\'„r]ie measur e m e n t s c a n , h o w e v e measur , be u s e d t o c h e c k t o a c e measur t a i n e x t e n t t l i e v a -l i d i t y o f t h e h y p o t h e s e s ( -l 4- I I + I I I ) . T h i s c h e e k A ^ i -l -l bo c a r r i e d o u t i n two s t a g e s . F i r s t t h e m a g n i t u d e o f t h e m e d i a n r u n - u p ( ^so) i s c o n s i d e r e d , and a f t e r t h a t t h e shape o f t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n , as g i v e n by t h e A^alues ^ ^ / ^ s b ^^"^ A\diieh i s t h e p r o b a b i l i t y o f e x c e e d a n c e i n 'fo { ^ = l o o ( / ~ F )
I V o s e r i e s o f m e a s u r e m e n t s Afere made„ I n each s e r i e s t h e c h a -r a c t e -r i s t i c s o f t h e i n c i d e n t w a v e s A f e -r e k e p t c o n s t a n t , and t h e r i m - u p Av'as m e a s u r e d on 7 d i f f e r e n t s l o p e s , A f i t h t a n oc r a n g i n g f r o m 0,1 t o 0,4, The w a t e r d e p t h ( 0 , 3 5 m) , t h e mean' A^faAre p e r i o d ( l s e e ) ^ and t h e mean wave l e n g t h ( 1 , 4 0 m) w e r e t h e same in b o t h s e r i e s . The Afave p e r i o d s v a r i e d A^ery l i t t l e and A ^ i l l h e r e be c o n s i d e r e d t o be
c o n s t a n t . The Ai^aA^e h e i g h t A^as 0,10 m r e s p , 0,07 i i * . I t - i« " o t c l e a r f r o m t h e o r i g i n a l r e p o r t IIOA*' t h i s h e i g h t l i a d b c e n c l e f i n e d ; f o r t h i s r e a s o n i t A s ' i l l h e r e be c a l l e d t h e n o m i n a l AvaA^e h e i g h t . A c c o r d i n g t o . t h e h y p o t h e s e s t o be t e s t e d , t h e r a t i o ^ , ( 8 U ) ' s h o u l d be c o n s t a n t . The A r a l u e o f t h e c o n s t a n t c a n n o t be p r e d i c t e d b e c a u s e o f t h e u n c e r t a i n t y As'ith r e s p e c t t o /^Ct<rvn •> E x p e r i m e n t a l A'a-l u e s a r e A'a-l i s t e d i n T a b A'a-l e 1„ (cm) 1 0 7 1 0 7 t a n oc K . •.• — (cm) (cm)
-
-0 . 1 4,7 3 . 7 1 , 1 7 1.11 0 , 1 5 6,9 5 o 7 I 0 I 5 1.14 0,2 9 . 3 8 , 1 1 , 1 6 1 , 2 1 0 „ 2 5 1 1 , 8 9 . 3 1,18 1 , 1 2 0,286 1 5 . 4 1 3 . 4 1 . 3 5 1. 40 0 , 3 3 3 1 5 , 8 1 3 . 2 1 . 1 9 1 . 1 9 0,4 i 7 o 5 1 5 0 4 10O9 1 . 1 5 T a b l e 1
T'lie a g r e e m e n t b e t w e e n J^^^ v a l u e s i n two c o l u m s f o r t h e same v a -l u e o f tancc ( h o r i z o n t a -l -l y ) i s g o o d j and c o n f i r m s t h e assumed p r o -p o r t i o n a l i t y o f Të. and V/J , The a g r e e m e n t b e t w e e n ü?*^ v a l u e s w i t h i n one c o l u m n ( v e r t i c a l l y ) i s f a i r l y g o o d ; t h i s c o n f i r m s t h e p r o -p o r t i o n a l i t y o f 7i and tan°c , O n l y t h e two p o i n t s f o r t a n «c = 0,286 ( = I'.Jir) d e v i a t e c o n s i d e r a b l y f r o m t h e o t h e r s . A p a r t f r o m t h e s e t w o j a l l m e a s u r e d v a l u e s o f 7^^^ a r e g r o u p e d r i u i t e c l o s e l y a r o u n d t h e mean v a l u e 1 , 1 5 , w i t h a maximum d e v i a t i o n o f a p p r o x i m a -t e l y '^fo o n l y . T h i s means t h a t f o r t h e s e e x p e r i m e n t s t h e v a r i a t i o n o f t h e m e d i a n r u n - u p A f i t h wave h e i g h t and s l o p e a n g l e i s a d e q u a t e -l y e x p r e s s e d by H u n t ' s f o r m u -l a , V/hether o r n o t t h i s i s a -l s o t h e c a s e f o r r u n - u p v a l u e s w i t h a d i f f e r e n t p r o b a b i l i t y o f e x c e e d a n c e c a n be i n v e s t i g a t e d by c o m p a r i n g TZ^^'To w i t h VA/^/A4Ó s w h i c h a c c o r d i n g t o t h e h y p o t h e s e s t o be t e s t e d s h o u l d be e q u a l t o e a c l i - o t h e r f o r a l l , b e c a u s e 7" was assumed t o be c o n s t a n t . Such a
a b
c o m p a r i s o n has b e e n g i v e n i n f i g u r e s 9 and 9 f o r AA, u , i u lü and 0 , 0 7 m r e s p e c t i v e l y f o r v a l u e s o f oz f r o m 5 0 t o 2, The p l o t t e d p o i n t s r e p r e s e n t v a l u e s w h i c h have b e e n o b t a i n e d b y a v e r a g i n g o v e r t h e d i f f e r e n t s l o p e a n g l e s i n each s e r i e s . The shape o f t h e Av-ave h e i g h t d i s t r i b u t i o n i s a l s o siioAvn,
T h e r e a p p e a r s t o be a f a i r a g r e e m e n t betAs'een 7?^ /^So
y^f^/^/f^
f o r t h e A(faves A\rithH^^~ 0 , 1 0
m ( f i g u r e 9 ^ ) and a v e r y g o o d a g r e e m e n t f o r t h e A\raves w i t h , /^-hvhC ( f i g u r e 9 ^ ) „ T h i s l e n d s s u p p o r t t o t h e h y p o t h e s e s ( I + I I + I I I ) ,Van O o r s c h o t and d'Angremond ( 1 9 6 8 ) have c a r r i e d o u t r u n - u p e x p e r i m e n t s w i t h i r r e g u l a r wa\eB, D i s p o s i t i o n o f a p r o g r a m m e d Ai^a-ve b o a r d e n a b l e d t h e m t o g e n e r a t e A ^ r a v c s A \ r i t h p r e s c r i b e d enei'gy
d e n s i t y s p e c t r a . I n a d d i t i o n , a A ^ i n d A v ' i t h a mean v e l o c i t y o f up t o
3 m/sec Av^as b l o A \ ' n o v e r t h e A v r a t e r s u r f a c e . One t e s t Av^as r u n i n .
A v d i i c h t h e A^^avos were g e n e r a t e d e n t i r e l y by A v f i n d , A \ r i t h a mean A ' e l o
-c i t j ^ o f a p p r o x i m a t e l y 8 m/se-c. The e f f e -c t o f t h e s p e -c t r a l shape on
t h e A f a v e r u n - u p w&e. t h e m a i n o b j e c t o f t h e s t u d y , i n p a r t i c u l a r , t h e e f f e c t o f t h e s p e c t r a l A v i d t h , The A^alue o f t h e s p e c t r a l A\'idth
p a r a m e t e r g: ^ i n t r o d u c e d by C a r t A s r r i g h t and L o n g u e t - H i g g i n s , was
0 , 2 2 f o r t h e A ^ ' i n d - g e n e r a t e d A g a v e s and A ' a r i e d f r o m 0(,34 t o 0 ^ 5 9
-- 2 6 l a r t o t h e w i d e s t s p e c t r a w h i c h h a d b e e n m e a s u r e d w i t h a wave p o l e i n t h e N o r t h Sea o f f t h e D u t c h c o a s t i n a d e p t h " o f a p p r o x i m a t e l y 1 5 m. The v a l u e s o f C were c o m p u t e d a f t e r c u t t i n g o f f t h e h i g h -f r e q u e n c y t a i l o -f each s p e c t r u m a t t h e -f r e q u e n c y w h e r e t h e e n e r g y d e n s i t y was % o f t h e maximum v a l u e . As a r e s u l t , t h e a c t u a l € 1 v a l u e s a r e c o n s i d e r a b l y u n d e r e s t i m a t e d . The c o m p u t e d v a l u e s t l i e r e f o r e have c o m p a r a t i v e s i g n i f i c a n c e o n l y , r a t h e r t h a n a b s o l u t e s i g -n i f i c a -n c e . T h i s i s o f -no c o -n c e r -n , h o w e v e r , as i -n t h i s a p p l i c a t i o -n t h e r e i s no c o m p e l l i n g r e a s o n t o u s e j u s t é as a m e a s u r e o f t h e S p e c t r a l w i d t h . I n a d d i t i o n t o G , t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s w e r e v a r i e d ( t h e e x p e r i m e n t a l r a n g e i s g i v e n i n p a r e n t h e s e s ) : f , t h e p e r i o d o f t h e s p e c t r a l c o m p o n e n t w i t h maximum e n e r g y d e n s i t y ( 0 , 7 1 sec 1 , 6 4 -s e c ) ; , t h e -s i g n i f i c a n t wave h e i g h t ( 3 , 7 cm ~ 1 3 , 6 c m ) ; ^ ^'^^^'^ s t e e p n e s s f / f „ 0 x 1 0 ~ ^ - 1 2 , 2 x 1 0 ~ ^ ) ' ; ^ / o f ^ , a r e l a t i v e w a t e r d e p t h ( L , 7 X l O ^ ^ ^ g , ! x 1 0 " " - ) ; a n d t a n o< , , t h e ' s 1 o-~ pe ( 1 : 4 a n d 1 ; ; 6 } , The m o s t i m p o r t a n t r e s u l t s o b t a i n e d by v a n O o r s c h o t a n d d t A n -g r e m o n d , a n d t h e i n t e r p r e t a t i o n s t h e r e o f i n t h e c o n t e x t o f t h i s p a p e r J c a n be s u i i m i a r i s e d as f o l l o w s : ;
~ The e f f e c t on t h e run--up o f wave h e i g h t , wave p e r i o d a n d s l o p e a n g l e i s a d e q u a t e l y e x p r e s s e d by a H u n t t y p e f o r m u l a w i t h a p r o -p o r t i o n a l i t y f a c t o r w h i c h de-pends on and 6 r. T h i s i m p l i e s t h a t t h e shape o f t h e r u n u p d i s t r i b u t i o n i s s i g n i -f i c a n t l y a -f -f e c t e d by G o n l y , n o t by e i t h e r t h e wave s t e e p n e s s , t h e r e l a t i v e w a t e r d e p t h o r t h e s l o p e a n g l e . T h i s i s i n a g r e e m e n t w i t h h y p o t h e s e s ( l + I I + I I I ) i f t h e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n i s made, : t h a t t h e shape o f t h e /^^ ^ d i s t r i b u t i o n i s d e t e r m i n e d by t h e s p e c -t r a l s h a p e , - The w i d t h ( s p r e a d ) o f t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n s i n c r e a s e s w i t h £ , i,e„ w i t h t h e w i d t h o f t h e e n e r g y s p e c t r u m , - The r u n - u p d i s t r i b u t i o n s , c o m p u t e d on t h e b a s i s o f h y p o t h e s i s 1 ^ t h e m e a s u r e d d i s t r i b u t i o n , a n d t h e run^^up d a t a f r o m t h e B„E„B, ( 1 9 6 1 1 , a g r e e d f a i r l y w e l l A ^ i t h t h e m e a s u r e d d i s t r i b u t i -ons T h i s p r o v e s t h a t h y p o t h e s i s I c a n l e a d t o u s e f u l r e s u l t s .
- 2 7
-Some r u n - u p d i s t r i b u t i o n s m e a s u r e d by v a n O o r s c h o t and d'Ang r e m o n d have b e e n r e p l o t t e d i n f i d'Ang u r e 1 0 ^ The c o r r e s p o n d i n d'Ang € v a -l u e s r a n g e f r o m 0 , 2 2 ( w i n d - g e n e r a t e d w a v e s ) t o 0 , 5 7 , so t h a t a -l m o s t t h e e n t i r e e x p e r i m e n t a l r a n g e o f
&
( 0 „ 2 2 - 0 , 5 9 ) i s r e p r e s e n t e d i n t h e f i g u r e o The d i s t r i b u t i o n s g i v e n b y e q s , 4.14 a n d 4 , l 6 a b o v e j , . f o r t h e l i m i t i n g e a s e s ƒ> = 0 a n d = 1 , a r e a l s o shown. I t a p p e a r s t h a t t h e r a n g e o f r u n u p s p r e d i c t e d on t h e b a s i s o f h y p o t h e -ses I t h r o u g h I V a g r e e s w i t h t h e r a n g e o f e x p e r i m e n t a l r u n - u p s o f w a v e s w i t h s p e c t r a w h i c h v a r i e d f r o m n a r r o w t o w i d e . A l t h o u g h t h i sa g r e e m e n t does n o t p r o v e each o f t h e h y p o t h e s e s c o r r e c t , i t does a t l e a s t i n d i c a t e t h a t t h e e n d r e s u l t s a r e n o t u n r e a s o n a b l e , 8 , 3 F i e l d d a t a I n t h i s s e c t i o n some p r o t o t y p e r u n - u p d i s t r i b u t i o n s w i l l be p r e s e n t e d w h i c h h a v e b e e n measui'cd b j ' Z u i d e r z e e W o r k s o f t h e Net h e r l a n d s , The a u Net h o r h a d a c c e s s Net o Net h e o r i g i n a l d a Net a f o r Net h e p u r -pose o f a n a l y s i s .
The m e a s u r e m e n t s s t e m f r o m a t i m e ( 1 9 4 3 - 1 9 4 4 ) when wave m e t e r s i n t h e f i e l d w e r e n o t a v a i l a b l e . I t i s t h e r e f o r e n o t p o s s i b l e t o _ -r e l a t e t h e m a g n i t u d e o f t h e -r u n - u p s t o t h o s e o f t h e i n c i d e n t w a v e s . O n l y t h e shape o f t h e r u n - u p d i s t r i b u t i o n w i l l be d e a l t w i t h . The m e a s u r e m e n t s w e r e c a r r i e d o i i t on a d i k e o f t h e U s s e l l a k e ( f i g u r e l l ) . T h i s i s e s s e n t i a l l y a t i d e l e s s b o d y o f w a t e r w i t h d e p t h s o f a p p r o x i m a t e l y 5 m; t h e maximmn f e t c h a t t h e p o i n t s o f o b -o i - . i r a i ^ M T -o a A- ^ i ^ 1 ... o + 1 ^ r K O l ^ v , ^ ^ ^ ^, ^ ^ V -J- K „ ^ U „ „ X „ 1. „ „ J . i j . j _ vy M J . * ] j x .V j - i u n u t: i V i U , txx: ^> f:h \x ^ xz u J. l / H U » H U 1 b x e u c U L ' b a i l U t h e a b s e n c e o f a s t r o n o m i c a l t i d e , a s t a t i s t i c a l l y s t e a d y s t a t e i s more o f t e n a p p r o a c h e d , a n d l o n g e r l a s t i n g , t h a n on a s e a c o a s t . T h i s p e r m i t s r a t h e r l o n g m e a s u r i n g t i m e s j d e p e n d i n g m a i n l y on t h e d u r a t i o n o f t h e l o c a l w i n d . The m e a s u r e m e n t t i m e f o r t h e d a t a t o be p r e -s e n t e d wa-s f r o m 1 h r t^o 3 h r , w h i c h c o r r e -s p o n d -s t o a p p r o x i m a t e l y 1 0 0 0 t o 3 0 0 0 o b s e r v a t i o n s p e r s e r i e s . The l o c a t i o n o f t h e t w o p o i n t s o f o b s e r v a t i o n a n d a s k e t c h o f t h e d i k e c r o s s - r s e c t i o n s a r e shown i n f i g u r e 1 1 , The n a r r o w berm w h i c l i i s p r e s e n t n e a r mean l a k e l e v e l i s f o r p u r p o s e s o f d i k e c o n
s t r u c t i o n . The b r o a d e r berm a t an e l e v a t i o n o f + 1 , 7 in has b e e n i n -s t a l l e d f o r p u r p o -s e -s o f r u n - u p r e d u c t i o n .
T Y P I C A L CROSS S E C T I O N 1
