Badanie stacjonarności jednowymiarowych procesów losowych

(1)

Adam Góral

Badanie stacjonarności

jednowymiarowych procesów

losowych

Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska. Sectio H, Oeconomia 23, 421-436

(2)

A N N A L E S

U N I V E R S I T A T I S M A R I A E C U R I E - S K Ł O D O W S K A L U B L I N — P O L O N I A

VOL. X X III, 27 SECTIO H 1989

Z a k ła d N a u k E k o n o m i c z n y c h

W y d z ia ł u E k o n o m i c z n e g o F i l i i U M C S w R z e s z o w i e

A d a m G Ó R A L

Badanie stacjonarności jednow ym iarow ych procesów losowych

С тационарны е и сследован и е однам ерны х случайны х процессов The S tu d y of S ta tio n a rity of O n e-d im en sion al Stoch astic P rocesses

M odele ARIM A (p,d,q) są obecnie szeroko stosow ane do opisu d y n a m iki prognozow ania procesów losowych, pomimo że m etody id en ty fi kacji 1 tych m odeli są niejednoznaczne i często wysoce w ątpliw e. P o d sta wę id en ty fik acji w spom nianych m odeli stanow ią uw agi zaw arte w pracy G. E. P. Boxa i G. M. Jen k in sa [6, s. 174— 187], zgodnie z k tó ry m i ocena p aram etró w p, d, q może być dokonana w oparciu o analizę w ykresów ocen w artości fu n k cji autok o relacji i autokorelacji cząstkowej. W n in ie j szej p racy uw agę skoncentrow ano n a problem ie doboru rzędu różnicow a nia d, czyli na badaniu stacjonarności w szerszym sensie procesu re p re zentow anego przez określony szereg czasowy.

P ra ca składa się z sześciu części i zakończenia. Po uw agach w stępnych, w drugiej części pracy przedstaw iono uw agi dotyczące estym acji pod staw ow ych c h a ra k te ry sty k procesów losowych. W części trzeciej omówio no istotę zaproponow anej przez Boxa i Jenkin sa m etody bad ania sta c jo n a r ności. Część czw artą poświęcono w ykorzystaniu m edianow ego testu serii do badan ia stacjonarności jednow ym iarow ych ciągów losowych. W części p iątej dokonano oceny efektyw ności m etod b ad an ia stacjonarności, k tó re są stosunkow o często w ykorzystyw ane w p rakty ce, czyli m etody Boxa i Jen k in sa oraz m edianow ego testu serii. Ocenę tę przeprow adzono w opar

ciu o w yniki badań sym ulacyjnych. W szóstej części p racy zapropono w ano m etodę bad an ia stacjonarności, k tó ra — ja k sądzi a u to r — um ożli w ia bardziej w iarygodną ocenę stacjonarności, niż m etody dotychczas stosow ane.

(3)

422 A . Góral

ESTY M A C JA C H A R A K T E R Y STY K SŁABO ST A C JO N A R N Y C H PROCESÓW LOSOW YCH

Pod pojęciem słabo stacjonarnego procesu losowego rozum iem y pro ces sta c jo n arn y ze w zględu na w artość oczekiw aną i fu n k cję kow ariancji, czyli: E (X (t))= ji (1) A t = 0, ± 1, ± 2,... A |t1- t 2| = |t3- t 4K = > cov (X (t1)X (t2)(= > cov(X (t3),X (t4)). tx,t2,t3,t4 = 0 ,± 1 ,± 2,... (2)

W przy p ad k u stacjonarności procesu ze w zględu na fu n kcję kow a rian cji m am y możliwość 2 w prow adzenia pojęcia funkcji autokow ariancji o postaci:

^ (r)= c o v (X (ti),X (tj)), (3) gdzie: r = t i —t 3(x = 0, ± 1, ± 2,...)

Z w łasności (2) w ynika parzystość fun k cji autokow ariancji, czyli ^ (t )= rp (—t).

Przebieg procesów losow ych ch arak tery zo w an y jest często na p o d sta wie ich fu n k cji korelacji, czyli

(?(ti,,tj) = cov(X (ti)„X(tj))/(s(ti) • s(tj)), (4) gdzie:

s(tO = y/ c o y ^ tO ,X (t,))

P roces losowy jest sta c jo n arn y ze w zględu na funk cję korelacji, gdy fu n k cję ę(ti,tj) m ożna zastąpić fu n k cją jed nej zm iennej T = ti—ti(tJ,tj = 0, ± 1, ±2,...). F u n k cję q(t) n azyw am y fu n k cją autorelacji. Przedstaw ione uw agi w skazują, że stacjonarność ze w zględu na fun kcję korelacji nie im p liku je stacjonarności ze w zględu na kow ariancję 3.

Om ówione w yżej c h a ra k te ry sty k i szacow ane są w p rzy p ad k u założe nia o słabej stacjonarności i ergodyczności danego procesu losowego na podstaw ie n astęp u jący ch wzorów:

n

x = n_1 y ^ x t, (5)

t=i

2 W pracy św ia d o m ie użyto słó w „m am y m o żliw o ść”. W w ie lu pracach z za k re su a n a lizy szeregów czasow ych p o jęcie fu n k cji au tok orelacji jest b o w iem u żyw an e dla p ro cesó w n iestacjon arn ych ze w zg lęd u na fu n k cję k ow arian cji. T ego typu p o  d ejście jest — w ed łu g autora n in iejszej p racy — n iezgod n e z teorią procesów lo  sow ych .

3 U w a g a ta w y n ik a z fak tu , że m ożna w yob razić so b ie tak i proces lo so w y , dla którego e (ti, tj) n ie zależy od ti, tj, lecz od T = t i—tj, pom im o, iż proces ten nie jest stacjon arn y ze w zg lęd u na fu n k cję kow arian cji.

(4)

B adanie stacjonarności jedn ow ym iarow ych procesów ... 423 n — : c(x) = n _1 ^ ( x t - x ) ( x t+ł- x ) , (6) t=l r(x)=c(r)/c(0), t = 0,l,...,m r = 0,l,...,m (7)

gdzie: {x^x x n } oznacza pojedynczą realizację analizow anego procesu losowego,

m jest p u n k tem odcięcia fu nk cji autokow ariancji i autokorelacji. Ś redni błąd szacunku p a ra m etru q(t) oceniany jest w oparciu o fo r

m ułę B a rtle tta [6, s. 179]. F orm uła ta przedstaw iona jest w n a stęp u jący sposób:

s(r(k)) = n-1/2(l + 2(r2(l) + r 2(2) + . . . + r 2(q)))1/2,

k > q (8)

W artości fu n k cji au tokoleracji uznaw ane są jako staty sty czn ie nie istotne, gdy

r ( k ) 6 < —2 • s(r(k)),2 • s(r(k))). (9)

OCENA RZĘDU RÓŻNICO W AN IA W METODZIE B O X A -JE N K IN SA

Załóżmy, że do szeregu czasowego x ^ , . . . ^ stanow iącego realizację procesu losowego (X (t);

t = 0, ± 1, ± 2,...} dopasow ujem y m odel ARIMA, p, d, q) o postaci:

F (B )V dx t = Q (B )at, (10) gdzie:

F(B) = 1 —a p lB —a p2 B2—...—app Bp,

Q ( B ) 1 h q l B ' Ilq2 B 2 . .. h q q B q,

V dx t = ( l - B ) d x t, Bxt = x t_ 1, Bat_!, BPxt = x t_p Bqat = at_q,

{at} oznacza proces czysto losowy o w arian cji <32a.

Id en ty fik acja m odeli (10) polega na ocenie p aram etrów p, d, q ozna czających odpowiednio: rząd składow ej au to reg resy jn ej (AR), rząd róż nicow ania doprow adzającego proces {Xt } do słabej stacjonarności i rząd składow ej w y stęp u jącej w postaci średniej ruchom ej (MA).

G. E. P. Box i G. M. Je n k in s proponują, by rząd różnicow ania oznaczał tak ą najm niejszą liczbę z ciągu 0, 1, 2,..., dla której szereg czasowy w t = V dxtm ożna uznać za realizację słabo stacjonarnego procesu losowe go. W spom niani au to rzy sugerują, że decyzja odnośnie stacjonarności (bądź niestacjonarności) danego procesu losowego może być podejm ow ana w oparciu o obserw ację „zachow ania” ocen w artości fu n k cji au toko re lacji danego procesu. Pow yższa sugestia w ynika z następującego stw ie

(5)

r-424 A . G óral

dzenia [6, s. 175]: „w p rzy p ad k u m odelu stacjonarnego, w k tó ry m żaden z p ierw iastk ów nie leży blisko okręgu jednostkow ego fu n k cja a u to k o re lacji szybko zanika dla dużych i średn ich k ”. S tąd w yciągany je s t w nio sek, że w sy tu acji, gdy fu n k cja au to k o relacji nie w ykazu je ten d en cji do szybkiego zaniku analizow any szereg czasow y m ożna rozw ażać jako re a li zację procesu niestacjonarnego. Box i Jen k in s p o dejm ują próbę fo rm al nego w yjaśn ienia przed staw ionych w yżej spostrzeżeń. P od staw ę tego w y jaśnienia stanow i fak t, że fu n k cja au to ko relacji słabo stacjonarnego p ro cesu losowego ARMA (p, q) spełnia rów nan ie różnicowe o postaci:

<p(B)e(k) = 0 k > q , (11) gdzie

cp(B) = ń ( l —G.B).

i =1

P rz y założeniu, że w szystkie p ierw ia stk i rów nania różnicowego (11) są jedn o k ro tn e, jego rozw iązanie może być przedstaw ione w n astęp u jący sposób:

e(k) = AjGkx+ A 2Gk2+ ... + ApGkp k > q - p, (12) Z rów n an ia (12) w ynika, że w przy pad ku , gdy p rzy najm niej jeden p ierw iastek ró w n an ia ch arak tery sty czn eg o leży w pobliżu okręgu jed no stkow ego, fu n k cja au to k o relacji opada wolno ([6, s. 176]). Uważam, że rów n an ie (12) nie może być w yk o rzy sty w an e do w yciągania jakichkol w iek w niosków odnośnie przebiegu teoretycznej fun kcji autokorelacji procesu n iestacjonarnego, gdyż fu n k cja ta k a nie istnieje. Można jedynie podjąć próbę analizy kształtow an ia się w artości estym ato ra fu n k cji a u to korelacji procesu stacjo n arnego w sy tu acji, gdy dysponu jem y realizacją procesu niestacjonarnego. W szelkie uogólnienia m ogą być dokonyw ane jedynie na podstaw ie w yników bad ań sym ulacy jny ch.

M E D IA N O WY TEST SERII W B A D A N IU STA C JO N A R N O ŚC I JEDN O W Y M IA RO W YC H C IĄG ÓW LOSOW YCH.

Obok m etody Boxa i Je n k in sa podstaw ę badania stacjonarności p ro cesów losow ych stanow i rów nież m edianow y te s t serii om ów iony m. in. w [4] i [7]. Zgodnie z propozycją J. S. B endata i A. G. P iersola badanie stacjo n arno ści sprow adzane je st do oceny stacjonarności ze w zględu na w artość śred nią i w ariancję. Zastosow anie w spom nianego w yżej te stu do w e ry fik a c ji hipotezy o stacjonarności ze w zględu na średnią w ym aga po działu n elem entow ego szeregu czasowego (realizacja procesu) na k roz łącznych s elem entow ych podciągów {xj, x 2,..., x s }, {xs+1, x s+2,..., x 2s},...,

(6)

B adanie stacjonarności jed n ow ym iarow ych procesów ... 425

(i = l, 2,...,k), (13) P rz y założeniu praw dziw ości H0 o stacjonarności ze w zględu na śre d nią, w artości Xi; i = l , 2,...,k stanow ią realizacje zm iennej losowej o w a r tości oczekiw anej W idać więc, że ciąg w artości Xi| i = l , 2,...,k pow inien charakteryzow ać się losowością. S tąd liczba serii w ciągu uzyskanym w w y niku porów nania w artości z ich m edianą (Mex) pow inna być zbli żona do liczby serii ch arak tery sty czn ej dla ciągu niezależnych obserw acji zm iennej losow ej. Spraw dzianem w om aw ianym teście je st liczba serii uzyskanych w w ynik u porów nyw ania Xi z Mex. P rzy budowie obszaru krytycznego w y k orzy sty w an e są następ u jące równości:

P { l < l J = ! 4 a i P{1<1«} = 1 - 'Aa,

1 oznacza liczbę serii uzyskanych w dan ym ciągu, llf 12 oznaczają w artości kry ty czn e odczytane z tablic rozkładu liczby serii dla po ziomu istotności a (zob. [7]).

W św ietle pow yższych uw ag widać, że gdy w yznaczona w artość 1 spełnia jedną z nierów ności K i j lub D>12, to hipotezę o stacjonarności rozw aża nego procesu należy odrzucić. W p rzypadku gdy l ^ l ^ l j , nie m am y pod staw do odrzucenia HQ.

B adanie stacjonarności procesu ze względu na w ariancję w ym aga an a logicznego do przedstaw ionego wyżej postępow ania z ciągiem w ariancji s2i| i = l , 2,...,k. Proces u znajem y za stacjonarny, gdy nie m am y podstaw do odrzucenia hipotezy H0 o jego stacjonarności zarów no ze względu n a średnią, jak i na w ariancję.

OCENA EFEK TY W NO ŚCI K LA SY C Z N Y C H METOD B A D A N IA ST AC JO N A R N O SC I JEDNOW YM IAROW YCH CIĄGÓW LOSOW YCH

W tej części pracy oceniona zostanie p rak ty czna użyteczność m ediano- wego te s tu serii i m etody B oxa-Jenkinsa do badania stacjonarności proce sów losow ych. S ta ty sty cz n a ocena w ym ienionych m etod zostanie doko nana w oparciu o w yniki badań sym ulacyjnych.

O cena obydw u sposobów postępow ania w ym agała generow ania rea li zacji w y b ran y ch słabo stacjo n arn y ch i n iestacjon arn ych procesów AR(p). Realizacje te otrzym yw ano w w yniku zastosow ania następu jącej form uły:

gdzie:

(14)

(7)

426 A. Góral gdzie:

a pi|; i = 1, 2,...,p — p a ra m e try au to reg resji,

{et; t = p + l , . . . , n } — liczby pseudolosowe o rozkładzie norm alnym N(0, 1).

Liczby pseudolosowe o rozkładzie normalnym N (0,1) uzyskiwano w wyniku zastosowania generatora wykorzystującego centralne tw ier dzenie graniczne. Opis tego generatora można znaleźć np. w [9, s. 84]. W przypadku, gdy ocenie poddawano metodę Boxa-Jenkinsa generowano realizacje następujących procesów:

A R (l)-a n = 0,3 ; an = 0,4; an = 0,9; an = l,0; an = l,05

AR (2)'a21= l ; a2 2 = —0,9 — proces stacjonarny

a2i = l,l; a22 = —0,1 — proces niestacjonarny

AR(3):a31 = 0,8; a32 = 0,51; a33 = —0,378 — proces stacjonarny

« 3 1 = 0,9; a32=0,52; a33= —0,42 — proces niestacjonarny

Pojedynczy eksperym ent polegał na 100-krotnym generowaniu reali zacji jednego z w yżej wym ienionych procesów. Na podstawie każdej rea lizacji dokonywano oceny wartości funkcji autokorelacji rzędu 1, 2,...,20 i okleślano rząd począwszy, od którego wartości funkcji autokorelacji okazały się statystycznie nieistotne. Rząd ten określany był na podstawie wyrażenia (9). W oparciu o każde 100 w yników wyznaczano średni rząd począwszy od którego wartości funkcji autokorelacji okazywały się sta tystycznie nieistotne.

Średni rząd obliczono na podstawie następującego wzoru:

gdzie: 14 oznacza rząd począwszy od którego wartości funkcji autokorelacji okazały się nieistotne statystycznie w i-tym powtórzeniu.

Odchylenie standardowe w yników uzyskanych w danym eksperym en cie obliczano według wzoru o postaci

Dla kadżego procesu generowano realizacje o liczbie obserwacji n = 50, 100, 200 i 500.

Wyniki badań przeprowadzonych w omówiony wyżej sposób zawarto w tabelach 1 i 2.

Analiza uzyskanych wyników pozwala zauważyć, że o ile w przypad-(15)

(8)

B adanie stacjonarności jed n ow ym iarow ych procesów .., ₄₂₇

Tab. 1. Ocena metody Boxa-Jenkinsa The estim ation of Box-Jenkins’ method

Liczba ob serw acji

N azw a procesu 50 100 200 500 śred n i rząd o d ch y le n ie stan d ar dow e średni rząd o d ch y len ie standar dow e średni rząd odchy len ie standar dow e średni rząd od ch y le n ie stan d ar dow e AR (1) «n = 0,3 3,63 2,76 5,53 5,61 6,08 5,68 8,36 6,59 AR (1) an = 0,4 3,42 2,92 4,21 4,01 6,26 5,64 6,36 5,53 AR (1) « n = 0 ,5 3,39 2,82 4,42 4,02 5,37 4,60 5,46 4,99 AR (1) «ii = 0,6 3,23 4,15 5,19 4,15 5,29 4,08 7,12 5,00 AR (1) «n = 0,7 3,59 2,94 5,19 3,66 5,73 3,46 7,46 3,53 AR (1) an=0,,8 3,29 1,29 4,88 2,12 6,33 3,21 8,38 3,30 AR (1) oii = 0,9 3,69 1,62 6,13 2,42 8,96 2,52 12,52 3,01 AR (1) «n = l 4,31 0,64 8,03 1,3.3 14,61 3,42 ____ C ____C AR (1) c n = l,05 4,79 0,52 8,01 0,36 _c ____ C __c __c

Źródło: Obliczenia własne.

c — wszystkie oceny okazały się statystycznie istotne.

ku prób bardzo dużych (500 obserwacji) istnieje możliwość jednoznacz nego stwierdzenia czy dany proces można uznać za stacjonarny, czy nie \ to w przypadku prób o liczbie obserwacji n = 50 i n = 1 0 0 wyciągnięcie ta kiego wniosku jest praktycznie niemożliwe. Powyższa uwaga wynika z tego, że dla prób o liczbie obserwacji 50 i 100, średni rząd powyżej któ rego wartości funkcji autokorelacji są statystycznie nieistotne jest zbliżo ny zarówno dla procesów stacjonarnych, jak i niestacjonarnych. Jest on

4 W przypadku, gdy generowano bardzo długie szeregi czasowe stanowiące

realizacje procesów niestacjonarnych, to w szystkie w artości funkcji autokorelacji okazyw ały się statystycznie istotne.

(9)

428 A. G óral

w praw dzie dla procesów n iesta cjo n a rn y c h w yższy lecz ta k nieznacznie, iż tru d n o je s t w yciągnąć tu ta j w nioski, k tóre m ogłyby być p rzy d atn e w p rak ty c e b ad ania stacjonarności. U zyskane w yniki uśw iadam iają w p e ł ni, ja k bardzo zaw odne je s t w y k o rzy sty w an ie m etody Boxa i Jen k in sa do b ad an ia stacjonarności.

K olejno p rzystąpiono do oceny efektyw ności badania stacjonarności przy w y k o rzy stan iu m edianow ego te s tu serii. Celem badań było określe nie m ocy m edianow ego te s tu s e r i i 5 w sy tuacji, gdy stosow any je st on do b ad ania stacjo narn ości procesu losowego. W ty m p rzy p ad k u zgodnie z zasadam i p o danym i na w stępie niniejszej części p racy generow ano re a lizacje n iesta cjo n a rn y c h procesów losow ych AR(1) z an = l i a n = l , l . P o jedynczy e k sp ery m en t polegał na 100 k ro tn y m w ygenerow aniu realizacji

Tab. 2. O cena m eto d y B o x a -J en k in sa T h e estim a tio n o f B o x -J e n k in s’ m ethod

N azw a procesu

L iczba ob serw acji

50 100 200 500 średni rząd o d ch y le n ie stan d ar dow e śred n i rząd o d ch y  le n ie stan d ar d ow e średni rząd od ch y len ie stan d ar dow e średni rząd o d ch y len ie stan d ar dow e A R (2) 021 = 1 3,86 1,78 6,33 2,75 8,48 2,34 12,68 2,74 022= —0,09 A R (2) 021 = 1,1 4,29 0,97 7,69 1,59 14,5 2,90 _0 — 022= —0,1 AR (3) 031=0,8 032=0,51 3,93 1,00 6,31 1,50 9,39 2,74 11,8 3,72 03 3 = —0,378 AR (3) O3i=0,9 082=^=0,52 4,43 0,75 7,99 1,30 15,18 3,21 __c — 0 3 3 = —0,42

c — w sz y stk ie ocen y ok azały się sta ty sty c z n ie istotn e. Źródło: o b liczen ia w ła sn e.

5 P od p o jęciem m ocy testu rozu m ie się tu praw d op od obień stw o odrzucenia h i p otezy g łoszącej stacjon arn ość p rocesu lo so w eg o w przypadku, gd y realizacja r e  p rezen to w a ła p roces n iestacjon arn y.

(10)

Tab. 3. Moc testu stacjonarności T he p ow er of th e test of station arity N azw a procesu Moc testu N azw a procesu Moc testu AR (1) an —1 N = 5 0 M = 5 0,874 AR (1) 011 = 1,1 N = 5 0 M = 5 0,856 N = 5 0 M = 10 0,78 N = 1 0 0 M = 5 0,972 N = 1 0 0 M = 5 0,986 N = 100 M = 8 0,858 N = 10<0 M = 8 0,846 N = 1 0 0 M = 10 0,850 N = 100 M = 10 0,844 N = 150 M = 5 1 N = 150 M = 1 0 0,99 N = 150 M = 1 0 N = 1 5 0 M = 15 N = 2 0 0 M = 20 1 0,892 0,872 N = 150 M = 15 0,854

Źródło: ob liczen ia w ła sn e.

w ym ienionych w yżej procesów. Badanie stacjonarności przeprow adzano dla szeregów czasow ych o różnej długości (n = 50, 100, 150, 200) i przy założeniu różnej długości odcinków, na k tó re szeregi te były dzielone. W yniki badań przedstaw iono w tab eli 3.

R ezultaty, k tó re uzyskano w w y n ik u badania m ocy te s tu sta c jo n a r ności w p rzypad k u realizacji niestacjo narn ych procesów AR(1) w ydaw ały się być obiecujące. We w szystkich bowiem przypadkach praw dopodobień stw o odrzucenia fałszyw ej hipotezy zerowej było w ysokie (0,85 — 1). P o niew aż przy postępow aniu polegającym na dw u k ro tn y m zastosowaniu te s tu serii nie m a możliwości określenia praw dopodobieństw a popełnienia błędu I rodzaju, zdecydow ano się na podjęcie badań sym ulacyjnych, które um ożliw iłyby oszacow anie tego praw dopodobieństw a. B adania ograniczo no jedynie do realizacji procesu AR(1) z au = 0,8, gdyż już pierw sze w y niki p rzek reśliły p rak ty czn ą przydatność analizow anego testu . Okazało się bowiem, że dla n = 5 0 i m = 5 stacjonarność została stw ierdzona jed y nie w 21 na 100 pow tórzeń, dla n = 100, m = 1 0 w 22 pow tórzeniach, dla

(11)

430 A. G óral

Tab. 4. E m p iryczn y rozkład estym atora param etru an E m pirical d istrib u tion of the estim ator of param eter an

P rzedział k la so w y AR (1) a n — —0,99 AR (1) an — —1 AR (1) 0(11= —1,01 n = 5 0 n== 100 n n = 200 = 300 n = 5 0 n = 100 n = n = = 200 300 n = 5 0 n== 100 n n = 200 = 300 p on iżej ( — 1,175) 0a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 «0 (- 1 ,1 7 5 )— ( - 1 ,1 5 ) 0 0 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 ( — 1,15)—( —1,125) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (- 1 ,1 2 5 )—( - 1 ,1 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0/ ( - 1 , 1 ) — (-1 ,0 7 5 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (- 1 ,0 7 5 )—< -1 ,0 5 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( - 1 ,0 5 ) — (-1 ,0 2 5 ) 3 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 (- 1 ,0 2 5 )—( - 1 ,0 0 ) 24 10 4 1 35 34 37 27 74 80 93 931 ( - 1 ,0 ) —(-0 ,9 7 5 ) 30 56 71 82 38 53 56 73 13 11 6 6 ( - 0 ,9 7 5 )—( - 0 ,9 5 ) 24 20 18 16 11 6 7 0 6 5 1 1 ( - 0 ,9 5 ) —(- 0 ,9 2 5 ) 9 13 6 1 8 2 0 0 2 1 0 0 (- 0 ,9 2 5 )— ( - 0 ,9 ) 4 1 1 0 2 4 0 0 0 3 0 0 ( - 0 , 9 ) —(-0 ,8 7 5 ) 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ( - 0 ,8 7 5 )— ( - 0 ,8 5 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( —0,85)— ( — 0,825) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 (—0,825)—( — 0,8) 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 p o w y żej ( — 0,8) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

a liczb a ta ok reśla liczb ę p ow tórzeń , w k tórych estym ator param etru cm p rzyjął w artość poniżej ( — 1,175).

Źródło: O bliczenia w ła sn e.

11 = 100, m = 15 w 12 pow tórzeniach, zaś dla n = 300, m = 15 zaledw ie w 1 pow tórzeniu. W św ietle pow yższych uw ag m ożem y stw ierdzić, że stoso w ane dotychczas m etody b ad ania stacjonarności procesów losow ych są wysoce zawodne. O ile jed n a k m etoda B ox a-Jen k in sa m a w alory p ra k tyczne w przy p ad k u szeregów bardzo długich, to om ówiony w pracy te st stacjo n arn o ści je st pozbaw iony tak ich w alorów .

PRO PO ZYC JA M ETODY B A D A N IA STA C JO N A R N O ŚC I PRO CESÓW LOSOW YCH

P o dstaw ę proponow anej w nijnieszej p racy m eto dy badania sta c jo n a r ności stanow i hipoteza, że w p rzy p a d k u rozw ażania niestacjonarnego procesu losowego jako procesu AR(1), uzysk ana klasyczną m etodą n a j m niejszy ch k w a d ra tó w ocena p a ra m e tru a n p rzy jm u je w artość w iększą lu b ró w ną 1. Pow yższą hipotezę w eryfikow ano w oparciu o w yniki badań

(12)

B adanie stacjonarności jed n ow ym iarow ych procesów .., ₄₃₁

Tab. 5. E m piryczny rozkład estym atora param etru 0 1 1

E m pirical d istrib u tion of th e estim ator of param eter an

Przedział k lasow y A R (1) 011 = 0,99 AR (1) Ctll = 1 AR (1) a n = l,01 n = 5 0 n =100 n n : =200 — 300 n = 50 n = 100 n n =200 = 300 n = 5 0 n = = 100 n n= =200 = 300 poniżej 0,8 12 0 0 0 7 1 0 0 9 0 0 0 0,8—0,825 7 0 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0 0,825—0,85 6 2 0 0 10 4 0 0 2 2 0 0 0,85—0,875 7 5 0 0 12 4 1 0 3 1 0 0 0,875—0,9 11 3 3 1 8 4 1 0 8 0 1 0 0,9—0,925 6 9 2 0 14 12 1 0 15 1 0 0 0,925—0,95 22 27 12 14 20 20 6 6 9 8 0 0 0,95— 0,975 16 28 37 34 14 23 31 21 15 15 5 3 0,975— 1 10 24 44 49 8 27 55 64 17 31 10 7 1— 1,025 3 2 1 2 3 4 5 9 15 42 84 90 1,025— 1,05 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1,05— 1,075 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1,075— 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,1— 1,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,125— 1,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,15— 1,175 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Źródło: O bliczenia w łasn e.

sy m u lacy jny ch przeprow adzonych dla w yb rany ch stacjo narn y ch i n iesta cjonarny ch au to re g re sy jn y c h procesów losowych.

Procesy te dobierano w ten sposób, by p ierw iastk i odpow iadających im rów nań ch ara k te ry sty c z n y c h znajdow ały się w pobliżu lub na granicy stacjonarności. Zgodnie z form ułą (14) generow ano realizacje n a s tę p u ją cych procesów losowych:

A R (l):a u = 0,99; a u = l; a u = l,01 au = —0,99; a u = — 1; au = —1,01

A R (2):a2i = l ,l ; a22= —0,1 — proces n iestacjo n arn y (pierw iastek na granicy stacjonarności),

a 21 = l ,l ; a 22= —0,09 — proces n iestacjonarny, a21 = l , l ; a 22= —0,11 — proces stacjonarny, a 21= —0,21; a22=0,808 — proces niestacjonarn y,

a 21: —0,2; a 22= 0 ,8 — proces n iestacjo n arn y (pierw iastek na granicy stacjonarności

a2i = —0,19; a 22=0,792 — proces stacjo n arn y

A R (3):a31 = l ,l ; a 32 = 0,32; a 33= —0,42 — proces n iestacjo narny (pierw iastek na granicy stacjonarności)

(13)

432 A. Góral

Tab. 6. E m p iryczn y rozkład estym atora param etru 0 1 1

E m pirical d istrib u tion of th e estim ator o f param eter an

P rzedział k la so w y AR (2)

C2i

= l , l 0.22 “ — 0,11 A R (2) 0.22 = 021 = 1,1 = - 0 , 1 A R (1) 022 = 021 = 1,1 - 0 ,0 9 n = 50 n = 100 n= n = =200 =300 n = 50 n = 100 n= n = =200 =300 n = 50 n = 100 n= n= =200 =300 p oniżej 0,8 11 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 0,8—0,825 2 1 0 0 4 1 0 0 1 0 0 0 0,825— 0,85 8 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0,85— 0,875 4 4 0 0 2 3 0 0 (8 0 0 0 0,875—0,9 14 4 0 0 13 3 0 0 6 2 0 0 0,9— 0,925 14 13 3 1 20 9 2 0 8 4 0 0 0,925— 0,95 18 25 5 3 15 11 6 0 11 1 1 0 0,95— 0,975 15 29 30 28 16 33 27 20 17 9 4 0 0,975— 1,0 9 22 61 68 15 37 57 79 23 22 7 4 1,0— 1,025 5 2 1 0 7 2 8 1 20 61 88 96 1,025— 1,05 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 1,05— 1,075 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,075— 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

o

1,1— 1,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

oi>

1,125— 1,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

a

1,15— 1,175 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

a 31 = l , l l ; a 32=0,319; a33 — — 0,4242 — proces n iesta cjo n a rn y a 32= 0,33; a 33= —-0,37 — proces sta c jo n arn y Pojedynczy e k sp ery m en t polegał na 100-krotnym w y generow aniu re a lizacji jednego z w ym ienionych w yżej procesów. Na podstaw ie każdej realizacji w oparciu o m etodę n ajm n iejszy ch k w ad rató w szacow ano pa ra m e tr a u m odelu AR(1). U w zględniając w yniki dla w szystkich 100 po w tórzeń uzyskiw ano em piryczne rozkłady esty m ato ra p a ra m e tru a n. Ba dania przeprow adzono dla prób o liczebnościach n = 5 0 , 100, 200 i 300. U zyskiw ane w yniki zamieszczono w tab elach 4, 5, 6, 7 i 8.

Szczegółowa analiza in form acji zaw arty ch w tabelach 4— 8 pozwala stw ierdzić, że dla 200 i 300 elem entow ych realizacji procesów n iestacjo n ar ny ch o p ierw iastk ach ró w n an ia ch arak terysty czneg o znajdujących się w ew n ą trz okręgu o prom ieniu jednostk ow y m w około 90% eksperym entów uzyskiw ano ocenę au pow yżej w artości 1 lub ponieżj w artości — 1. Dla prób 50 i 100 elem entow ych w yniki te nie były już ta k korzystne i k ształto w ały się odpowiednio na poziomie około 15— 20% oraz 42—60%. W idać jed n a k w yraźnie, że w przyp adku, gdy bezw zględna w artość z oceny p aram e tr u an je s t w iększa lub rów na 1, to proces rep rezen to w an y przez d aną pró bę m ożna zakw alifikow ać do klasy n iestacjon arnych . Rozkład estym ato ra

(14)

B ad an ie stacjonarności jed n ow ym iarow ych procesów .., ₄₃₃

Tab. 7. E m piryczny rozkład estym atora param etru 0 1 1

Em pirical distrib u tion of th e estim ator of param eter an

Przedział k la so w y A R (2) 0 2 1 = — 022=0,808 0,21 AR (2) a2i = - 022 = 0,8 -0,2 A R (2) 021 = — 022=0,792 0,19 n = 5 0 n ==100 n n = 2 0 0 =300 n = 5 0 n =:100 n n = 2 0 0 =300 n = 5 0 n == 100 n n = 200 = 300 p oniżej (—1,175) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( - 1 ,1 7 5 )—( - 1 ,1 5 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (- 1 ,1 5 ) —(-1 ,1 2 5 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( —1,125)—( — 1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( - 1 ,1 ) — (-1 ,0 7 5 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (- 1 ,0 7 5 )— (- 1 ,0 5 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( - 1 ,0 5 ) —(-1 ,0 2 5 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (- 1 ,0 2 5 )— ( - 1 ,0 ) 35 61 75 90 4 7 2 3 1 0 0 0 ( - 1 ,0 ) — (-0 ,9 7 5 ) 36 16 10 5 23 36 40 48 6 10 2 1 (- 0 ,9 7 5 )—(- 0 ,9 5 ) 7 7 2 2 19 13 21 20 7 8 10 15 ( - 0 ,9 5 ) — (-0 ,9 2 5 ) 7 3 4 2 9 7 14 7 15 15 19 16 (- 0 ,9 2 5 )— ( - 0 ,9 ) 2 1 3 0 4 8 7 5 10 9 13 19 ( —0,9)— (-0 ,8 7 5 ) 2 3 3 0 2 7 2 5 9 10 10 19 (- 0 ,8 7 5 )— (—0,85) 1 1 0 0 6 5 1 4 10 8 8 8 ( - 0 ,8 5 ) — (-0 ,8 2 5 ) 2 2 1 1 3 2 4 3 3 7 9 7 ( - 0 ,8 2 5 )—( - 0 ,8 ) 1 3 0 0 4 2 2 1 2 4 4 4 p ow yżej (—0,8) 7 3 2 0 26 13 0 4 37 29 25 11

Źródło: O bliczenia w łasn e.

uzysk any dla procesów stacjo n arny ch w yraźnie w skazuje, że p rzy w yko rzy sta n iu powyższej uw agi do badania stacjonarności praw dopodobieństw o popełnienia błędu polegającego na zakw alifikow aniu procesu stacjo n arn e go do klasy n iestacjo n arn y ch jest bardzo m ałe i należy do przedziału od 0 do 0,05. Ł atw o zauważyć, że w przy p adk u procesów n iestacjo narny ch dla prób o liczbie obserw acji 200 i 300 praw dopodobieństw o tego, że bez w zględna w artość oceny p a ra m etru an jest m niejsza od 0,95 je st m ałe 1 n ależy do przedziału od 0 do 0,1. Dla 100 prób elem entow ych m ałe jest praw dopodobieństw o tego, że bezwzględna w artość oceny p a ra m e tru an jest m niejsza od 0,925. N ależy ono do przedziału od 0 do 0,2. W p rzy pad ku prób 50 elem entow ych tru d n o jest mówić o jakiejkolw iek praw idłow ości.

W św ietle pow yższych uw ag m ożna stw ierdzić, że zarów no dla prób m ałych, jak i dużych w ystąpienie w iększej lub rów nej 1, bądź m niejszej lub rów nej —1 w artości esty m ato ra p a ra m etru ctu pozwala stw ierdzić n iestacjonarność procesu reprezentow anego przez dan y szereg czasowy z niew ielkim praw dopodobieństw em popełnienia błędu. W p rzypadku prób o liczbie obserw acji większej lu b rów nej 100 w ystąpienie bezw

(15)

zglę-434 A. Góral

Tab. 8. E m p iryczn y rozkład estym atora param etru an E m p irical d istrib u tion of th e estim ator of p aram eter an

W artość estym atora AR (3) 0 3 2 = 0 3 3 = ~ 0 3 1 = 1 0,33 -0,378 AR (3) 0 3 2 = 0 3 3 = 03 1 = 1,1 =0,32 - 0 ,4 2 A R (3) 0 3 2 0 3 3 = 0 3 1 — 1,11 =0,32 - 0 ,4 2 n = 50 n = 100 n = n = 200 300 n = 50 n = 100 n= n = = 200 =300 n = 5 0 n ==100 n= n = =200 =300 p oniżej 0,8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8— 0,825 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0,825— 0,85 1 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0,85— 0,875 8 3 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 0,875— 0,9 11 3 0 0 6 0 0 0 2 0 0 0 0,9— 0,925 16 17 2 0 8 2 0 01 6 0 0 0 0,925— 0,95 19 21 21 13 21 6 0 0 12 3 0 0 0,95— 0,975 23 41 67 79 19 24 8 0 28 6 1 0 0,975— 1 14 15 10 8 21 48 66 78 24 32 7 4 1— 1,025 3 0 0 0 13 19 26 22 11 52 92 96 1,025— 1,05 1 0 0 0 4 1 0 0 8 7 0 0 1,05— 1,075 1 0 0 0 1 0 0 o | 1 ,0 0 0 1,075— 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,1— 1,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,125— 1,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,15— 1,175 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

dnej w artości e sty m ato ra p a ra m e tru a u na poziomie niższym od 0,925 pozwala zakw alifikow ać proces rep rezen to w an y przez dan y szereg czaso w y do klasy stacjo n arn y ch . P rzed staw io ne powyżej w nioski stanow ią przekonyw ającą podstaw ę proponow anej w p racy m etody badania sta - cjonarności.

M etoda ta nie rozstrzy ga problem u stacjonarności bądź n iestacjo n ar- ności w sy tuacji, gdy bezw zględna w artość oceny p a ra m e tru a u należy do przedziału (0,925; 1). P ro p o n u je się, by w tak iej sy tu a c ji proces był n iestacjo n arny , czyli, aby b a d an iu stacjonarności zgodnie z przedstaw io nym i w yżej uw agam i poddany został szereg pierw szych bądź k o lejnych różnic.

ZAK O Ń CZENIE

Przeprow adzone w pracy badania upow ażniają do sform ułow ania n a stę p u ją cy c h wniosków:

1. M edianow y te s t serii nie d aje możliwości w iarygodnego ro zstrz y gania p roblem u stacjonarności bądź n iestacjonarności procesów losowych;

(16)

2. Rozróżnienie realizacji procesów losow ych stacjon arnych i n iesta cjonarn ych w oparciu o analizę zachow ania w artości esty m ato ra funkcji au tok o relacji jest w p rzyp ad k u realizacji 50, 100 i często naw et 200 ele m entow ych prak tyczn ie niem ożliwe;

3. W przypadku, gdy uzyskane w oparciu o m etodę najm niejszych k w adratów oceny p a ra m e tru an procesu AR(1) c h a ra k te ry z u ją się bez w zględną w artością większą lub rów ną 1, to proces należy zaliczyć do klasy n iestacjonarnych;

4. W przypadku, gdy bezw zględna w artość oceny p a ra m etru an jest m niejsza od 0,925, to proces można zaliczyć do klasy stacjonarnych;

5. Jeżeli bezw zględna w artość oceny p a ra m etru an należy do przedzia łu (0,925; 1) nie m a możliwości określenia, do jakiej klasy należy proces. W takim przypad k u należy proces ten rozważać jako proces n iestacjo narny .

LITER A TU RA

1. A nderson O. D.: A N ew A pproach to A RM A M odelling: Som e C om m ents. A n a ly sin g T im e Series, N orth -H ollan d P u b lish in g C om pany— A m sterdam , 1980. 2. A nderson T. W.: S tatisticzesk ij an aliz w riem ien n y ch rjadow . Mir, M askw a 1976.

3. B eam ish N., P riestley H. B.: A S tu d y of A u to reg ressiv e and W indow S p ec tral E stim ation. A pplied Statistic^, 1981, 30, nr 1, s. 41—58.

4. B endat J. S., P ierso l A. G.: M etody analizy i pom iaru sy g n a łó w losow ych , PW N, W arszaw a 1976.

5. B ora-S en ta E., K ounias S.: P aram eter E stim ation and Order D eterm in ation of A u to reg ressiv e M odels, A n a ly sin g T im e Series, N orth -H ollan d P u b lish in g C om  pany, 1980.

6. B o x G. E. P., J en k in s G. M.: A n aliza szeregów czasow ych, PW N, W arszaw a 1983.

7. D om ański Cz: S ta ty sty czn e testy niep aram etryczn e, PWE, W arszaw a 1979. 8. F ish m an G. S.: S ym u lacja k om puterow a, pojęcia i m etody. PWE, W arszaw a 1981.

9. Z ieliń sk i R.: G eneratory liczb losow ych , WNT, W arszaw a 1979.

Р Е З Ю М Е В статье об су ж д а ю т ся прим еняем ы е в настоящ ее время методы и ссл ед о в а  ния стационарности одном ерны х случайны х процессов, т. е. м етод Б ок са- -Д ж ен к и н са и м едианны й тест серии. Опираясь на резуль таты сим уляционны х исследован ий, автор обн ар уж и в ает несоверш енство назв ан н ы х методов. В статье п р едл агается п р оц едур а, которая п редставляется конк урентн ой по отнош ению к названны м вышо. П редлагаем ая п р оц ед ур а представл яет собой р езул ь тат сим уляционны х исследован ий, п ров еден н ы х для ш ирокого класса стационарны х и н естационарн ы х авторегрессивны х процессов.

(17)

436 A. G óral S U M M A R Y

T he paper p resen ts an ev a lu a tio n o f th e m ethods w h ich so far h a v e b een a p  p lied to stu d y sta tio n a rity o f o n e-d im en sio n a l S toch astic processes. T hese m ethods are B o x -J e n k in s’ m eth od and a m ed ia n series test. T he resu lts of sim u la tio n s tu  dies p rove th e d ecep tiv en ess of th e m eth od s u n d er discussion. A procedure w as put forw ard w h ich seem s to be c o m p etiv ite in rela tio n to th e ones m en tion ed above. T his procedure is a re su lt of sim u la tio n stu d ies conducted for a w id e cla ss of s t a  tionary and n o n -sta tio n a ry a u to -r e g r e ssiv e p rocesses.