Wykad 6

Wykład VI

Badanie przebiegu funkcji

1. A - przedział otwarty,

𝑓 ∈ 𝐷 𝐴

∀

_𝑥∈𝐴

𝑓

′

_{𝑥 > 0 ⇒ 𝑓 ↑ 𝑛𝑎 𝐴}

∀

_𝑥∈𝐴

𝑓

′

_{𝑥 < 0 ⇒ 𝑓 ↓ 𝑛𝑎 𝐴}

2. A - przedział otwarty,

𝑓 ∈ 𝐷2(𝐴)

∀

_𝑥∈𝐴

𝑓

′′

_{𝑥 > 0 ⇒ 𝑓𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 𝑘𝑢 𝑔ó𝑟𝑧𝑒 𝑛𝑎 𝐴}

∀

_𝑥∈𝐴

𝑓

′′

_{𝑥 < 0 ⇒ 𝑓𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 𝑘𝑢 𝑑𝑜ł𝑜𝑤𝑖 𝑛𝑎 𝐴}

3. Ekstrema lokalne:

𝑓 ∈ 𝐷 𝐴 , 𝑥₀∈ 𝐴

∀

_𝛿>0

∃

_{𝑥∈ 𝑥0−𝛿,𝑥0}

𝑓

′

_{𝑥 > 0(< 0)}

∀

_𝛿>0

∃

_{𝑥∈ 𝑥0,𝑥0+𝛿}

𝑓

′

_{𝑥 < 0(> 0)}

𝑓 𝑥0 − 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙𝑛𝑒

4. Punkty przegięcia

𝑓 ∈ 𝐷2 _{𝐴 , 𝑥} 0∈ 𝐴

∀

_𝛿>0

∃

_{𝑥∈ 𝑥0−𝛿,𝑥0}

𝑓

′′

𝑥 > 0(< 0)

∀

_𝛿>0

∃

_{𝑥∈ 𝑥0,𝑥0+𝛿}

𝑓

′′

𝑥 < 0(> 0)

𝑥0, 𝑓 𝑥0 − 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑔𝑖ę𝑐𝑖𝑎 Uwaga!

Do punktów 3. i 4 wystarczy, że 𝑥0∈ 𝐷𝑓, natomiast nie musi należeć do 𝐷𝑓′ , 𝐷𝑓′′ , tzn. wystarczy

Przykład 6.1

Zbadaj przebieg funkcji f i narysuj wykres:

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒1𝑥

Etap I. Bez pochodnej

𝐷: 𝑥 ≠ 0 𝐷 = −∞, 0 ∪ 0, +∞ lim 𝑥→−∞𝑥𝑒 1 𝑥 = −∞ lim 𝑥→∞𝑥𝑒 1 𝑥 = ∞ Brak asymptoty poziomej 𝐴𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑦 𝑝𝑖𝑜𝑛𝑜𝑤𝑒: lim

𝑥→0−𝑥𝑒

1 𝑥 = 0

brak asymptoty pionowej lewostronnej w x=0

lim 𝑥→0+𝑥𝑒 1 𝑥 = lim 𝑥→0+ 𝑒𝑥1 1 𝑥 = ∞ ∞ =𝐻 𝑥→0lim+ 𝑒1𝑥 _{∗ (−} 1 𝑥2) −_𝑥1₂ = lim𝑥→0+𝑒 1 𝑥 = ∞

asymptota pionowa prawostronna x=0

Badamy asymptoty ukośne

𝑎 = lim 𝑥→±∞ 𝑓 𝑥 𝑥 = lim𝑥→±∞ 𝑥𝑒1𝑥 𝑥 = lim𝑥→±∞𝑒 1 𝑥 _{= 1} 𝑏 = lim 𝑥→±∞ 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 = lim𝑥→±∞ 𝑥𝑒 1 𝑥 − 𝑥 = lim 𝑥→±∞𝑥 𝑒 1 𝑥− 1 = lim 𝑥→±∞ 𝑒1𝑥 _{− 1} 1 𝑥 = 0 0 =𝐻𝑥→±∞lim 𝑒𝑥1× − 1 𝑥2 −_𝑥1₂ = lim𝑥→±∞ 𝑒1𝑥 = 1

Prosta

𝑦 = 𝑥 + 1

- asymptota ukośna obustronna

Etap II. Pierwsza pochodna

𝑓′ _{𝑥 = 𝑒𝑥}1_{+ 𝑥 ∗ 𝑒}1_{𝑥 ∗ −} 1 𝑥2 = 𝑒

1 𝑥 _{1 −}1

𝑓′ _{𝑥 > 0 ⇔ 𝑒𝑥}1 _{1 −}1

𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 − 1

𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 𝑥 − 1 > 0

minimum lokalne w

𝑥 = 1

Etap III.

Druga pochodna

𝑓′′ _{𝑥 = 𝑒}1_{𝑥 1 −}1 𝑥 ′ = 𝑒1𝑥 ₋ 1 𝑥2 1 − 1 𝑥 + 𝑒 1 𝑥_∗ 1 𝑥2 = 𝑒 1 𝑥 _∗ 1 𝑥3 𝑓′′ _{𝑥 > 0 ⇔ 𝑒}1_{𝑥 ∗} 1 𝑥3> 0 ⇔ 1 𝑥3 > 0 ⇔ 𝑥 > 0

Etap IV.

Tabelka

x

(−∞, 0)

0

(0, 1)

1

(1, +∞)

f’(x)

+

-

0

+

f’’(x)

-

+

+

+

f(x)

_∞↗

0

∞↘

e

↗

∞

Etap V.

Wykres

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ

ZMIENNEJ

Z:

𝑅 ⊃ 𝑈

-przedział

𝑓: 𝑈 → 𝑅

Definicja 6.1 (funkcja pierwotna) 𝐹: 𝑈 → 𝑅 − 𝑝𝑖𝑒𝑟𝑤𝑜𝑡𝑛𝑎 𝑑𝑜 𝑓:⇔ ∀_𝑥∈𝑈𝐹′ _{𝑥 = 𝑓 𝑥}

Definicja 6.2 (całkowalność w sensie Newtona)

f – całkowalna w sensie Newtona na U:

⇔

f – posiada funkcję pierwotną F

f – całkowalna w sensie Newtona na przedział [a,b], F,G – funkcje pierwotne do f na [a,b]

𝑡𝑜 ⇒ 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎

Dowód:

𝐹, 𝐺 − 𝑝𝑖𝑒𝑟𝑤𝑜𝑡𝑛𝑒 𝑑𝑜 𝑓 𝑛𝑎 𝑎, 𝑏 ⇒ ∃𝐶∈𝑅∀𝑥∈[𝑎,𝑏]𝐹 𝑥 = 𝐺 𝑥 + 𝐶 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝐺 𝑏 + 𝐶 − 𝐺 𝑎 + 𝐶 = 𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎

Defincija 6.3 (całka Newtona)

f – całkowalna na [a,b] ∧ F – pierwotna do f na [a,b]

𝑡𝑜 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≔ 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 _𝑎𝑏 nazywamy całką Newtona

Definicja 6.4 (całka nieoznaczona)

f – całkowalna w sensie Newtona na U

F – pierwotna do f na U

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Twierdzenie 6.1.(niektóre własności całki nieoznaczonej)

Z: f,g –całkowalne w sensie Newtona na U

T:

∀

_{𝛼,𝛽𝜖𝑅}

𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝛼 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

(𝛼𝑓 + 𝛽𝑔)

- całkowalna w sensie Newtona na U

F – pierwotna do f na U

G – pierwotna do g na U

∀

_𝑥∈𝑅

𝑝𝑟𝑎𝑤𝑎 𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑎 = 𝛼𝐹 𝑥 + 𝛽𝐺 𝑥 + 𝐶

∀

_𝑥∈𝑅

𝛼𝐹 𝑥 + 𝛽𝐺 𝑥

′

= 𝛼𝐹

′

𝑥 + 𝛽𝐺

′

_{𝑥 = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔(𝑥)}

METODY CAŁKOWANIA

I.

Całkowanie przez podstawienie

𝜑: 𝑅 ⊃ 𝑈 → 𝑉 ⊂ 𝑅 (𝑈, 𝑉 − 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑𝑧𝑖𝑎ł𝑦)

𝜑 − 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑘𝑐𝑗𝑎(𝑜𝑑𝑤𝑟𝑎𝑐𝑎𝑙𝑛𝑎), 𝜑 ∈ 𝐷(𝑢)

𝑓: 𝑉 → 𝑅

T:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝜑 𝑡 𝜑′ _{𝑡 𝑑𝑡|} 𝑡=𝜑−1_(𝑥) Przykład 6.2 𝑥2 _4𝑥3 3_{+ 5𝑑𝑥 =} 4𝑥 3_{+ 5} 3 = 𝑡|3 _12𝑥2_{𝑑𝑥 = 3𝑡}2_𝑑𝑡 4𝑥3_{+ 5 = 𝑡}3 _𝑥2_{𝑑𝑥 =}1 4𝑡2𝑑𝑡 = 1₄𝑡2_{× 𝑡𝑑𝑡 =}1 4 𝑡3𝑑𝑡 =1 4× 𝑡4 4 + 𝐶 = 1 16( 4𝑥3+ 5 3 )4_{+ 𝐶} Przykład 6.3 𝑥 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 1 + 4𝑥2 = 𝑥𝑑𝑥 1 + 4𝑥2− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥

I I

1

I

2 𝐼₁= 1 + 4𝑥2 _{= 𝑡} 8𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑥𝑑𝑥 =1 8𝑑𝑡 =1₈ 𝑑𝑡_𝑡 =1 8ln 𝑡 + 𝐶 = 1 8ln 1 + 4𝑥2 + 𝐶

𝐼₂= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 = 𝑡|2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 = 𝑡2 2 1 + 4𝑥2𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡 1 1 + 4𝑥2𝑑𝑥 = 𝑡𝑑𝑡 = 𝑡2_{𝑑𝑡 =}𝑡3 3 + 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 3 3 + 𝐶 𝐼 =1 8ln 1 + 4𝑥2 − 1 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 3 + 𝐶

Stwierdzenie:

𝑓′_(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln 𝑓(𝑥) + 𝐶

II.

Całkowanie przez części

Z:

𝑢, 𝑣: 𝑈 → 𝑅; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷(𝑈)

T:

𝑢 𝑥 𝑣′ _{𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − 𝑢}′ _{𝑥 𝑣 𝑥 𝑑𝑥}

D:

𝑢 𝑥 𝑣′ _{𝑥 + 𝑢}′ _{𝑥 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 + 𝐶 ⇔ 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥} ′ _{= 𝑢 𝑥 𝑣}′ _{𝑥 + 𝑢}′ _{𝑥 𝑣 𝑥}

Typowe całki do metody II:

1. Typ:

𝑊𝑛 𝑒𝑥 𝑎𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = _𝑢′𝑢 = 𝑊_{= 𝑊}𝑛(𝑥) 𝑣′ = 𝑒𝑥 𝑛−1(𝑥) 𝑣 = 𝑒𝑥 = Przykład 6.4 (𝑥2_{+ 2𝑥 + 3) cos 2𝑥 𝑑𝑥 =} 𝑢 = 𝑥 2_{+ 2𝑥 + 3 𝑣}′ _{= cos 2𝑥} 𝑢′ _{= 2𝑥 + 2 𝑣 =}1 2sin 2𝑥 =1 2 𝑥2+ 2𝑥 + 3 sin 2𝑥 − 2 2 𝑥 + 1 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑥 + 1 𝑣′ _{= sin 2𝑥} 𝑢′ _{= 1 𝑣 = −}1 2cos 2𝑥 =1 2 𝑥2+ 2𝑥 + 3 sin 2𝑥 − [− 1 2(𝑥 + 1) cos 2𝑥 + 1 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥] =1 2 𝑥2+ 2𝑥 + 3 sin 2𝑥 + 1 2 𝑥 + 1 cos 2𝑥 − 1 4sin 2𝑥 + 𝐶

2. Typ:

𝑊𝑛 ln 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥 arcsin 𝑥 arccos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 = ln 𝑥 𝑣′ _{= 𝑊} 𝑛(𝑥) 𝑢′ ₌1 𝑥 𝑣 = 𝑊𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = Przykład 6.5 arcsin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 = arcsin 𝑥 𝑣′ _{= 1} 𝑢′ ₌ 1 1 − 𝑥2 𝑣 = 𝑥 = 𝑥 arcsin 𝑥 − 𝑥𝑑𝑥 1 − 𝑥2=∗ 𝑥𝑑𝑥 1 − 𝑥2 = 1 − 𝑥2 _{= 𝑡|}2 1 − 𝑥2 _{= 𝑡}2 −2𝑥𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡 𝑥𝑑𝑥 = −𝑡𝑑𝑡 = −𝑡𝑑𝑡 𝑡 = −𝑑𝑡 = −𝑡 + 𝐶 = − 1 − 𝑥2+ 𝐶

3. Typ:

𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑎𝑥 _{cos 𝑥}𝑑𝑥 = 𝑢, 𝑣 − 𝑤𝑠𝑧𝑦𝑠𝑡𝑘𝑜 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜 = Przykład 6.6 𝐼 = 𝑒2𝑥_{cos 3𝑥 𝑑𝑥 =} 𝑢 = cos 3𝑥 𝑣 ′ _{= 𝑒}2𝑥 𝑢′ _{= −3 sin 3𝑥 𝑣 =}1 2𝑒2𝑥 =1₂𝑒2𝑥_{cos 3𝑥 +}3 2 sin 3𝑥 𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑢 = sin 3𝑥 𝑣 ′ _{= 𝑒}2𝑥 𝑢′ _{= 3 cos 3𝑥 𝑣 =}1 2𝑒2𝑥 =1 2𝑒2𝑥cos 3𝑥 + 3 2[ 1 2𝑒2𝑥sin 3𝑥 − 3 2 𝑒2𝑥cos 3𝑥 𝑑𝑥] 𝐼 =1 2𝑒2𝑥cos 3𝑥 + 3 4𝑒2𝑥sin 3𝑥 − 9 4𝐼 13 4 𝐼 = 1 4𝑒2𝑥(2 cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥) 𝐼 = 1 13𝑒2𝑥 2 cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 + 𝐶

Uwaga!