Wybór portfela akcji z wykorzystaniem narzędzi teorii gier. prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu = Research papers of Wroclaw University of Economics, 2012, Nr 254, s. 271-280

Inwestycje finansowe

i ubezpieczenia – tendencje

światowe a rynek polski

PRACE NAUKOWE

Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu

RESEARCH PAPERS

of Wrocław University of Economics

254

Redaktorzy naukowi

Krzysztof Jajuga

Wanda Ronka-Chmielowiec

Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu

Wrocław 2012

Recenzenci: Diarmuid Bradley, Jan Czekaj, Marek Gruszczyński, Jacek Lisowski, Paweł Miłobędzki, Włodzimierz Szkutnik, Mirosław Szreder, Adam Szyszka, Waldemar Tarczyński, Stanisław Wieteska, Tomasz Wiśniewski

Redaktor Wydawnictwa: Aleksandra Śliwka Redaktor techniczny: Barbara Łopusiewicz Korektor: Barbara Cibis

Łamanie: Małgorzata Czupryńska Projekt okładki: Beata Dębska

Publikacja jest dostępna w Internecie na stronach: www.ibuk.pl, www.ebscohost.com,

The Central and Eastern European Online Library www.ceeol.com, a także w adnotowanej bibliografii zagadnień ekonomicznych BazEkon http://kangur.uek.krakow.pl/bazy_ae/bazekon/nowy/index.php Informacje o naborze artykułów i zasadach recenzowania znajdują się na stronie internetowej Wydawnictwa

www.wydawnictwo.ue.wroc.pl

Kopiowanie i powielanie w jakiejkolwiek formie wymaga pisemnej zgody Wydawcy

© Copyright by Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wrocław 2012

ISSN 1899-3192 ISBN 978-83-7695-293-2

Wersja pierwotna: publikacja drukowana Druk: Drukarnia TOTEM

Spis treści

Wstęp ... 9 Barbara Będowska-Sójka: Zastosowanie zmienności zrealizowanej i modeli

typu ARCH w wyznaczaniu wartości zagrożonej ... 11

Jacek Białek: Zastosowanie statystycznych indeksów łańcuchowych do

oce-ny przeciętnego zwrotu grupy OFE ... 23

Beata Bieszk-Stolorz, Iwona Markowicz: Zastosowanie modelu

logitowe-go i modelu regresji Coxa w analizie zmian cen akcji spółek giełdowych w wyniku kryzysu finansowego ... 33

Katarzyna Byrka-Kita: Premia z tytułu kontroli na polskim rynku

kapitało-wym – wyniki badań ... 42

Krzysztof Echaust: Analiza przekroczeń wysokości depozytów

zabezpieczają-cych na podstawie kontraktów futures notowanych na GPW w Warszawie . 52

Magdalena Frasyniuk-Pietrzyk, Radosław Pietrzyk: Rentowność

inwesty-cji na rynku regulowanym i w alternatywnym systemie obrotu w Polsce . 61

Daniel Iskra: Wartość zagrożona instrumentu finansowego szacowana

prze-działowo ... 74

Bogna Janik: Analiza stóp zwrotu z inwestycji w indeksy akcji spółek

spo-łecznie odpowiedzialnych ... 83

Paweł Kliber: Niestacjonarność aktywności transakcyjnej na Giełdzie

Papie-rów Wartościowych w Warszawie ... 93

Krzysztof Kowalke: Ocena przydatności rekomendacji giełdowych opartych

na metodzie DCF na przykładzie spółek budowlanych ... 103

Mieczysław Kowerski: Modele selekcji próby stóp dywidend spółek

noto-wanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie... 113

Dominik Krężołek: Granica efektywności portfeli inwestycyjnych a indeks

ogona rozkładu stopy zwrotu – analiza empiryczna na przykładzie GPW w Warszawie ... 124

Monika Kubik-Kwiatkowska: Znaczenie raportów finansowych dla wyceny

spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie SA ... 133

Agnieszka Majewska: Wycena opcji menedżerskich – wybrane problemy ... 142 Sebastian Majewski: Pomiar nastroju inwestycyjnego jako metoda

wspoma-gająca strategie inwestycyjne ... 152

Piotr Manikowski: Cykle ubezpieczeniowe w Europie Środkowej... 162

6

Spis treści

Artur Mikulec: Metody oceny wyników inwestycyjnych przy braku

normal-ności rozkładu stóp zwrotu ... 171

Joanna Olbryś: Tarcie w procesach transakcyjnych i jego konsekwencje ... 181 Andrzej Paliński: Spłata zadłużenia kredytowego w ujęciu teoriogrowym ... 190 Monika Papież, Stanisław Wanat: Modele autoregresji i wektorowej

auto-regresji w prognozowaniu podstawowych zmiennych charakteryzujących rynek ubezpieczeń działu II ... 199

Daniel Papla: Przykład zastosowania metod analizy wielowymiarowej

w analizie zarażania rynków finansowych ... 209

Tomasz Pisula: Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych do

prognozo-wania upadłości przedsiębiorstw ... 219

Agnieszka Przybylska-Mazur: Wybrane reguły nastawione na cel a

progno-zowanie wskaźnika inflacji ... 235

Paweł Siarka: Wykorzystanie modeli scoringowych w bankowości

komer-cyjnej ... 246

Rafał Siedlecki: Struktura kapitału w cyklu życia przedsiębiorstwa ... 262 Anna Sroczyńska-Baron: Wybór portfela akcji z wykorzystaniem narzędzi

teorii gier ... 271

Michał Stachura, Barbara Wodecka: Zastosowania kopuli

niesymetrycz-nych w modelowaniu ekonomicznym ... 281

Michał Stachura, Barbara Wodecka: Zastosowanie estymatora

k-to-rekor-dowego do szacowania wartości narażonej na ryzyko ... 289

Piotr Staszkiewicz: Multi entry framework for financial and risk reporting... 298 Anna Szymańska: Czynniki decydujące o wyborze ubezpieczyciela w

przy-padku ubezpieczeń komunikacyjnych AC ... 310

Sławomir Śmiech, Wojciech Zysk: Oceny ratingowe jako element

konku-rencyjności wybranych systemów gospodarczych – weryfikacja na przy-kładzie agencji Fitch ... 323

Rafał Tuzimek: Wpływ wypłat dywidendy na wartość akcji spółek

notowa-nych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie ... 333

Jacek Welc: Rewersja do średniej dynamiki przychodów oraz rentowności

spółek a zmiany relatywnej dynamiki zysków ... 347

Ryszard Węgrzyn: Zastosowanie delty „wolnej od modelu” w hedgingu

opcyjnym ... 356

Stanisław Wieteska: Wyładowania atmosferyczne jako element ryzyka

w ubezpieczeniach majątkowo-osobowych w polskim obszarze klima-tycznym ... 367

Alicja Wolny-Dominiak: Modelowanie liczby szkód w ubezpieczeniach

ko-munikacyjnych w przypadku występowania dużej liczby zer ... 381

Spis treści

7

Summaries

Barbara Będowska-Sójka: Modeling value-at-risk when realized volatility

and ARCH-type models are used ... 22

Jacek Białek: The application of chain indices to evaluate the average rate

of return of a group of Open Pension Funds ... 32

Beata Bieszk-Stolorz, Iwona Markowicz: The application of the logit model

and the Cox regression model in the analysis of financial crisis related price changes of listed companies’ shares ... 41

Katarzyna Byrka-Kita: Control premium on Polish capital market –

empir-ical evidence ... 51

Krzysztof Echaust: Analysis of margin exceedances on the basis of futures

contracts quoted on the Warsaw Stock Exchange ... 60

Magdalena Frasyniuk-Pietrzyk, Radosław Pietrzyk: Return on investment

on a regulated market and multilateral trading facility in Poland ... 73

Daniel Iskra: Confidence interval for Value at Risk ... 82 Bogna Janik: Analysis of rates of return on investments in equity SRI

indi-ces ... 92

Paweł Kliber: Non-stationarity in transaction activity on the Warsaw Stock

Exchange ... 102

Krzysztof Kowalke: Assessment of the usefulness of Stock Exchange

recommendations based on the DCF method on the example of construc-tion companies ... 112

Mieczysław Kowerski: The sample selection models of dividend yield of

companies quoted on the Warsaw Stock Exchange ... 123

Dominik Krężołek: The efficient frontier of investment portfolios and the tail

index of distribution of returns – an empirical analysis on the WSE ... 132

Monika Kubik-Kwiatkowska: Value relevance of financial reporting on the

Warsaw Stock Exchange ... 141

Agnieszka Majewska: The value of employee stock options – selected

prob-lems ... 151

Sebastian Majewski: Measuring of investment sentiment as a method of

sup-porting investment strategies ... 161

Piotr Manikowski: Insurance cycles in Central Europe... 170 Artur Mikulec: Investment performance evaluation methods in the absence

of normality of the rates of return ... 180

Joanna Olbryś: Friction in trading processes and its implications ... 189 Andrzej Paliński: The game theoretic approach to bank credit repayment .... 198 Monika Papież, Stanisław Wanat: The application of autoregressive

models and vector autoregressive models in forecasting basic variables on the non-life insurance market ... 208

8

Spis treści

Daniel Papla: Example of using multidimensional methods in analyzing the

contagion on the financial markets ... 218

Tomasz Pisula: Application of artificial neural networks for forecasting

cor-porate bankruptcy ... 234

Agnieszka Przybylska-Mazur: Selected targeting rules and forecasting

in-flation rate ... 245

Paweł Siarka: The use of scoring models in commercial banking ... 261 Rafał Siedlecki: The structure of capital in the company life cycle ... 270 Anna Sroczyńska-Baron: The choice of shares portfolio based on the theory

of games ... 280

Michał Stachura, Barbara Wodecka: Asymmetric copulas applications in

economic modelling ... 288

Michał Stachura, Barbara Wodecka: Value-at-Risk estimation using ‘k-th

record’ estimator ... 297

Piotr Staszkiewicz: Zapis poczwórny jako mechanizm pozwalający na

inte-grację sprawozdawczości finansowej i ostrożnościowej ... 309

Anna Szymańska: Factors determining a choice of an insurer in case of

mo-tor hull insurance ... 322

Sławomir Śmiech, Wojciech Zysk: Assessments of rating as part of

com-petitiveness of selected economies – verification on the example of Fitch agency ... 332

Rafał Tuzimek: Effect of dividend payments on the value of shares listed on

the Warsaw Stock Exchange ... 346

Jacek Welc: Impact of mean-reversion of sales growth and profitability on the

relative growth of corporate earnings ... 355

Ryszard Węgrzyn: Application of model free delta to option hedging ... 366 Stanisław Wieteska: Lightning as an element of risk in non-life insurance in

the Polish area of climate ... 380

Alicja Wolny-Dominiak: Zero-inflated claim count modeling in automobile

insurance. Case Study ... 390

PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS nr 254 • 2012

Inwestycje finansowe i ubezpieczenia – tendencje światowe a rynek polski ISSN 1899-3192

Anna Sroczyńska-Baron

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach

WYBÓR PORTFELA AKCJI

Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI TEORII GIER

Streszczenie: Jednym z istotnych problemów podczas gry na giełdzie jest wybór

odpowied-niego portfela. Gracz pragnie dużego zysku, ale równocześnie i małego ryzyka. Każdy rozsąd-ny gracz ogranicza swój wybór tylko do portfeli należących do efektywnego zbioru. Jednak w tym momencie decyzja o wyborze jednego konkretnego portfela spośród wskazanych jest już indywidualna i zależy od gracza, jego awersji do ryzyka. W artykule problem ten został przedstawiony jako gra – wewnętrzny konflikt gracza. Z jednej strony oczekuje on dużego zysku, z drugiej strony oczekuje niskiego poziomu ryzyka. Który portfel powinien zostać mu wskazany, aby usatysfakcjonować go pod względem zarówno oczekiwanej wygranej, jak i ryzyka? W celu rozwiązania tak postawionego problemu pewna gra została sformułowana, opisana i rozwiązana na podstawie modelu Raiffa gier kooperacyjnych.

Słowa kluczowe: gry kooperacyjne, model Raiffa, wybór portfela.

1. Wstęp

Teoria gier jako dziedzina matematyki jest jedną z metod podejmowania decyzji w świecie ekonomii w warunkach strategicznej niepewności co do działań, które po-dejmują inne podmioty. Wydaje się więc odpowiednim narzędziem do wykorzysta-nia podczas gry na giełdzie. W pracy tej elementy teorii gier wykorzystane zostaną do wyboru portfela akcji przez gracza giełdowego.

Podczas gry na giełdzie gracz staje przed problemem wyboru odpowiedniego dla siebie portfela. Znając oczekiwane zyski wraz z poziomem ryzyka dla poszcze-gólnych portfeli, musi on podjąć decyzję o wyborze konkretnego portfela najko-rzystniejszego dla niego. Z jednej strony pragnie oczywiście uzyskać jak największy zysk, z drugiej jednak – minimalizować ryzyko. Problem leży więc w wyborze ta-kiego portfela, który usatysfakcjonowałby go pod względem zarówno oczekiwanej wygranej, jak i ryzyka. W pracy tej rozwiązanie tak postawionego problemu znale-zione zostało na bazie teorii gier. Poszukiwanie odpowiedniego portfela potrakto-wano jako pewną grę dwuosobową i rozwiązano ją, wykorzystując narzędzia gier kooperacyjnych.

272

Anna Sroczyńska-Baron Celem pracy jest przedstawienie możliwości wykorzystania teorii gier do kon-strukcji portfela. Sposób postępowania gracza giełdowego przeanalizowany zosta-nie na podstawie danych pochodzących z GPW w Warszawie.

2. Model Markowitza

W modelu Markowitza jako miara dochodu wykorzystywana jest oczekiwana stopa zwrotu, a jako miara ryzyka odchylenie standardowe stóp zwrotu. Wykorzystując dane historyczne, wartość oczekiwaną stopy zwrotu dla i-tej akcji wyznacza się ze wzoru [Haugen 1993]:

n

r

Er

n k ik i

∑

=

=

1 , (1)

gdzie: r_ik– stopa zwrotu i-tej akcji zrealizowana w k-tym okresie,

n – liczba okresów, z jakich pochodzą dane. Odchylenie standardowe

sto-py zwrotu dla i-tej akcji można obliczyć, wykorzystując wzór

(

)

2 1 _. n ik i k i r Er s n = − =

∑

(2)

Znając rozkłady stóp zwrotu i odchylenie standardowe akcji wchodzących w skład portfela, można określić, ile wynosi oczekiwana stopa zwrotu z portfela i jakie jest jego ryzyko. Przez oczekiwaną stopę zwrotu z portfela określa się średnią ważoną oczekiwanych stóp zwrotu akcji wchodzących w skład portfela, przy czym wagami są ich udziały w portfelu. Opisaną zależność dla portfela zbudowanego z m akcji przedstawia wzór 1 , m p i i i r x Er = =

∑

₍₃₎

gdzie: x_i – waga i-tej akcji. Odchylenie standardowe dla portfela określa się nato-miast jako pierwiastek z sumy iloczynów postaci

( )

cov ,r ri j × ×x xi j, (4)

gdzie i, j = 1, ..., m. Wyrażenie cov(r_i,r_j) oznacza kowariancję obliczaną zgodnie ze wzorem

( )

(

)

(

)

1 cov ,i j n ik i jk j . k r Er r Er r r n = − − =

∑

(5) 26-Sroczyńska-Baron.indd 272 2013-02-12 11:46:52

Wybór portfela akcji z wykorzystaniem narzędzi teorii gier

273

Znając oczekiwaną stopę zwrotu i odchylenie standardowe dla portfeli, gracz giełdowy musi podjąć decyzję o wyborze jednego z nich. Łatwo jest wskazać gra-czowi, który wybór jest błędny ze względu na to, iż istnieją portfele o takim samym stopniu ryzyka, ale o wyższej stopie zwrotu. Analogicznie gracz nie powinien wybie-rać portfela, gdy można zbudować portfel o takiej samej stopie zwrotu, a mniejszym poziomie ryzyka. Zbiór wszystkich portfeli, jakie można utworzyć na podstawie roz-patrywanej populacji akcji, nazywa się zbiorem możliwości [Haugen 1993]. Krzywa ograniczająca zbiór możliwości to zbiór minimalnego ryzyka, czasami nazywany pociskiem Markowitza. Wszystkie portfele leżące w nim mają najniższe możliwe do osiągnięcia odchylenia standardowe dla zadanej wartości oczekiwanej stopy zwrotu. Jeżeli dodatkowo na portfel zostanie nałożony warunek, iż ma on najwyższą możli-wą do osiągnięcia stopę zwrotu, przy zadanym poziomie ryzyka, otrzymuje się tzw. zbiór efektywny, będący górną częścią zbioru minimalnego ryzyka rozpoczynającą się punktem o najniższym ryzyku, zwanym globalnym portfelem minimalnego ry-zyka. Z punktu widzenia gracza, biorąc pod uwagę tylko odchylenie standardowe i oczekiwaną stopę zwrotu, zbiór efektywny określa najlepsze portfele.

Decyzja wyboru konkretnego portfela spośród zbioru efektywnego jest indywi-dualną decyzją gracza i zależy od jego skłonności do ryzyka. Jednym ze sposobów wskazania postępowania jest wykorzystanie krzywych obojętności. W tym przypad-ku gracz powinien wybrać portfel będący punktem styczności krzywej obojętności do zbioru efektywnego. W ten sposób gracz otrzymałby tzw. portfel maksymalnej użyteczności (portfel Z na rys. 1). Każdy bowiem inny portfel leży na krzywej obo-jętności odpowiadającej niższej wartość funkcji użyteczności.

Rys. 1. Wybór portfela maksymalnej użyteczności

Źródło: [Jajuga 1997].

274

Anna Sroczyńska-Baron Niestety, metoda ta wymaga wyznaczenia rzeczywistych krzywych obojętności dla danego gracza, co w praktyce stwarza wiele problemów.

3. Gry kooperacyjne

Dwuosobowe gry kooperacyjne zakładają możliwość porozumienia się graczy przed grą i wspólny wybór pewnego rozwiązania. Gracze mogą rozszerzyć tradycyjny ob-szar wypłat w danej grze przez korelowanie swoich strategii mieszanych. Gdy gra-cze współdziałają, mogą zastosować łączne strategie zrandomizowane [Luce, Raiffa 1964], czyli strategie zrandomizowane ustalone przez obydwu graczy, przy czym nie każda łączna randomizacja daje się zrealizować przez niezależny wybór strategii mieszanych. Gracze oczywiście ograniczają utworzony w ten sposób zbiór do zbioru strategii łącznie niezdominowanych, gdzie punkt

(

α β,

)

jest łącznie zdominowa-ny przez

(

α β1, 1

)

, jeżeli α α1≥ oraz β1≥β. Jest to tzw. łączny zbiór maksymal-ny. W tym momencie gracze nie mogą już dłużej współdziałać w celu osiągnięcia wspólnych korzyści, ich preferencje stają się przeciwstawne. Neumann i Morgen-stern stwierdzili, iż trudno jest wymagać od gracza, aby zgodził się on na rozwiąza-nie dające mu mrozwiąza-niejszą wygraną niż ta, którą może sobie zapewnić sam. Wykluczyli więc dodatkowo punkty dające mniej niż wygrana w przypadku niekooperacyjnej wersji tej gry realizowanej przez strategię maksyminową z łącznego zbioru maksy-malnego. W ten sposób otrzymuje się obszar negocjacji gry będący rozwiązaniem gier kooperacyjnych Neumanna i Morgensterna. Jednakże w pewnych szczególnych przypadkach rozsądne wydaje się założenie, iż gracze gotowi są nawet do pewnych ustępstw, aby uzyskać rozwiązanie satysfakcjonujące obydwu graczy. W takich przypadkach należy jedynie ograniczyć możliwe rozwiązania do łącznego zbioru maksymalnego i wykorzystując wybrany schemat arbitrażowy, poszukać w nim roz-wiązania. Jedna z metod postępowania zaproponowana została przez Raiffę [1953]. Uściślając, należy stwierdzić, że rozgrywając grę kooperacyjną dwuosobową, za-kładamy, iż wszystkie wiadomości poprzedzające grę formułowane przez jednego gracza są przekazywane drugiemu, wszystkie umowy są wiążące, wartościowanie wyników gry przez gracza nie ulega zniekształceniom wskutek negocjacji przed grą oraz preferencje każdego z graczy na zbiorze wyników zrandomizowanych może odzwierciedlić liczbowy wskaźnik użyteczności, a każdemu potencjalnemu rozwiązaniu przyporządkowana jest para użyteczności

(

α β,

)

przedstawiona jako punkt na płaszczyźnie, gdzie α i β reprezentują odpowiednio użyteczność dla gra-cza pierwszego i drugiego. Do rozwiązania gry dwuosobowej kooperacyjnej Raiffa wykorzystał podejście, w którym proponuje się wybór punktu, którego współrzędne są średnimi arytmetycznymi współrzędnych dwóch punktów proponowanych od-powiednio przez gracza I i II. Gracz I proponuje rozwiązanie

(

α β1, 1

)

, gracz II na-tomiast dąży do rozwiązania

(

α β2, 2

)

. Wówczas rozwiązaniem jest punkt

(

α β*, *

)

, gdzie * 1 2 2 α α α = + oraz * 1 2_. 2 β β

β = + Raiffa rozszerzył podany model do tzw.

Wybór portfela akcji z wykorzystaniem narzędzi teorii gier

275

delu o ruchu ciągłym, który można wyobrazić sobie jako graniczny przypadek coraz to większej liczby skoków dyskretnych o coraz mniejszej długości. Sposób postępo-wania zilustrowany został na rys. 2.

Rys. 2. Rozwiązanie gry kooperacyjnej metodą Raiffy

Źródło: opracowanie własne.

4. Konstrukcja portfela akcji jako gry portfelowej

Zadaniem gracza giełdowego jest przede wszystkim znalezienie portfela satysfak-cjonującego go pod względem zarówno spodziewanego zysku, jak i poziomu ry-zyka. Z jednej strony dąży on do jak najwyższej wartości oczekiwanego zysku, ale z drugiej strony do jak najmniejszego ryzyka. Który portfel powinien zostać wska-zany graczowi jako ten, który w pełni go zadowala? Rozwiązanie tak postawionego problemu znalezione zostanie na podstawie teorii gier. Poszukiwanie odpowiednie-go portfela potraktować należy jako grę dwuosobową. Niech pierwszym graczem w przedstawianej grze będzie ta część ludzkiej natury, która jest odpowiedzialna za „ostrożność i rozwagę”, a drugim graczem ta strona ludzkiej natury, która jest odpowiedzialna za – nazwijmy ją tak w przenośni – „żądzę pieniądza”. Wypłatą dla gracza I niech będą poziomy ryzyka dla portfeli, a wypłatą gracza II oczekiwane wartości zysku z portfeli. Graczowi I zależy więc na jak najmniejszym ryzyku, a gra-czowi II na jak największej wygranej. Nie jest to gra antagonistyczna, ponieważ nie zawsze dobra strategia dla gracza I jest złą dla gracza II. Może się znaleźć portfel, który będzie miał wysoki poziom ryzyka i równocześnie niską wartość oczekiwaną zysku i przez to nie będzie zadowalał żadnego z graczy. Na pewno można jednak tę grę traktować jako kooperacyjną, biorąc pod uwagę, iż jest to wewnętrzny konflikt gracza. Dodatkowo można także założyć, iż gracze gotowi są nawet do pewnych

276

Anna Sroczyńska-Baron ustępstw, aby znaleźć rozwiązanie satysfakcjonujące obydwu z nich. Zakłada się więc, że rozwiązanie musi należeć do łącznego zbioru maksymalnego i w nim trzeba poszukać rozwiązania arbitrażowego.

W celu wyjaśnienia sposobu postępowania wykorzystany zostanie przykład oparty na danych pochodzących z GPW w Warszawie. Za miarę zysku przyjęto oczekiwaną stopę zwrotu, a za miarę ryzyka odchylenie standardowe. Zadaniem gra-cza giełdowego jest skonstruowanie portfela składającego się z akcji dwóch spółek: Positive Advisory SA i Internet Group SA. Spółki te zostały wybrane do portfela jako najlepsze inwestycje na giełdzie zgodnie z miesięczną stopą zwrotu podaną przez Dom Maklerski BDM SA (źródło: www.money.pl) 17 czerwca 2011 r. Tabe-la 1 przedstawia obliczone na podstawie 50 obserwacji oczekiwane stopy zwrotu wraz z odchyleniem standardowym dla podanych spółek.

Tabela 1. Charakterystyki Positive Advisory SA i Internet Group SA w dniu 17.06.2011 wyznaczone

na podstawie 50 obserwacji

Spółka Oczekiwana stopa zwrotu Odchylenie standardowe Positive Advisory SA 0,486 8,843839 Internet Group SA 0,3232 4,069942 Źródło: opracowanie własne.

Na podstawie wyznaczonych oczekiwanych stóp zwrotu i odchyleń standar-dowych dla poszczególnych spółek wyznaczono oczekiwane stopy zwrotu wraz z odchyleniami standardowymi dla portfeli zbudowanych z analizowanych dwóch spółek przy zmieniających się ich udziałach w portfelu. Uzyskane rezultaty zostały przedstawione na rys. 3.

Rys. 3. Zbiór portfeli złożonych z akcji spółek IGROUP i POSITIVE 17.06.2011

Źródło: opracowanie własne.

Wybór portfela akcji z wykorzystaniem narzędzi teorii gier

277

Oczywiście, w pierwszym kroku należy ograniczyć przedstawiony zbiór do portfeli tworzących zbiór efektywny modelu Markowitza (rys. 4).

Rys. 4. Zbiór efektywny portfeli w modelu Markowitza (spółki IGROUP i POSITIVE)

Źródło: opracowanie własne.

Zbiór ten tworzą najlepsze portfele. Proponując portfel, który nie należy do tego zbioru, zawsze możemy wskazać inny lepszy od danego pod względem albo wyso-kości oczekiwanej stopy zwrotu, albo poziomu ryzyka. Na przykład wybór portfela

3,8

p

S = i E r =

( )

_p 0,337 (co oznacza 9% akcji IGROP i 91% akcji POSITIVE) jest nierozsądny ze względu na możliwość wyboru portfela: S =p 3,8 i E r =

( )

p 0,366 (co oznacza 27% akcji IGROP i 73% akcji POSITIVE). Od tego momentu decyzja wyboru konkretnego portfela spośród zbioru efektywnego jest indywidualną decyzją gracza i zależy od jego skłonności do ryzyka. Jednym ze sposobów postępowania jest wykorzystanie krzywych obojętności i wyznaczenie portfela maksymalnej uży-teczności. Metoda ta wymaga jednak wyznaczenia dla realnego gracza krzywych obojętności, co jest procesem bardzo skomplikowanym i stwarzającym duże pro-blemy. W pracy tej znajdziemy rozwiązanie problemu wyboru najlepszego portfela dla gracza giełdowego, który z jednej strony dąży do jak największego zysku, ale oczywiście z drugiej strony obawia się ryzyka, wykorzystując narzędzia teorii gier.

Aby przeanalizować sposób postępowania, należy na rys. 3 spojrzeć nie jak na zbiór portfeli, ale jak na zbiór możliwych wypłat w pewnej grze. Oczywiście, aby otrzymać klasyczną postać gry (aby obydwaj gracze dążyli do jak największej wygranej; w niezmienionej wersji gracz I dążyłby do jak najmniejszej wygranej – odchylenia standardowego), przeprowadzono pewną transformację. Na rysun-ku 5 przedstawiono zbiór wszystkich możliwych wypłat w grze portfelowej po transformacji. W tej chwili obydwaj gracze dążą już do uzyskania jak największej wypłaty.

278

Anna Sroczyńska-Baron

Rys. 5. Zbiór wszystkich możliwych wypłat w grze portfelowej (IGROUP i POSITIVE 17.06. 2011)

Źródło: opracowanie własne.

W ten sposób otrzymano zbiór wszystkich możliwych wypłat w grze. Oczywi-ście gracze ograniczą swój wybór tylko do zbioru strategii łącznie niezdominowanych i w ten sposób otrzymujemy łączny zbiór maksymalny (przedstawiony na rys. 6).

Rys. 6. Łączny zbiór maksymalny w grze portfelowej (IGROUP i POSITIVE 17.06. 2011)

Źródło: opracowanie własne.

Zbiór rozwiązań tworzących łączny zbiór maksymalny to równocześnie zbiór efektywny modelu Markowitza. Można powiedzieć, iż łączny zbiór maksymalny w terminologii teorii gier to zbiór efektywny w terminologii modelu Markowitza. Obydwa zbiory składają się z tych samych portfeli.

Wybór portfela akcji z wykorzystaniem narzędzi teorii gier

279

Po ograniczeniu rozwiązań do łącznego zbioru maksymalnego gracze nie mogą dłużej współpracować, ich dążenia stają się przeciwstawne. Gracz I proponuje roz-wiązanie (8,884; 0,352) natomiast gracz II (3,697; 0,486) Do rozwiązania problemu użyto metody Raiffa.

Gracz I proponuje więc rozwiązanie (8,884; 0,352), natomiast gracz II (3,697; 0,486). Stąd * 8,844 3,697 6,271, 2 α = + = * 0,352 0,486 0,419. 2 β = + = (6)

Gracz I proponuje w tym momencie rozwiązanie (7,077; 0,419), natomiast gracz

II (6,271; 0,436). Stąd * 7,077 6,271 6,674, 2 α = + = * 0,419 0,436 0,428. 2 β = + = (7)

Zatem gracz I proponuje rozwiązanie (6,687; 0,427), natomiast gracz II (6,674; 0,428). Kontynuując postępowanie, w analogiczny sposób otrzymuje się rozwiąza-nie gry(6,680; 0,428). Szukany portfel charakteryzuje się więc oczekiwaną stopą zwrotu 0,428 oraz odchyleniem standardowym 5,862 (współrzędne punktu przed transformacją). Oznacza to, iż udział akcji spółki IGROUP powinien wynieść 64,2%, a POSITIVE 35,8%. W ten sposób otrzymano pewnego rodzaju uniwersalny portfel maksymalnej użyteczności.

5. Wnioski

Gracz giełdowy, znając oczekiwany poziom zysku i ryzyka dla poszczególnych stra-tegii (wyboru portfela), może wykorzystać narzędzia teorii gier do podjęcia decyzji o wyborze portfela. Metoda ta została zaprezentowana i opisana w niniejszym ar-tykule. Model Markowitza opisano jako pewną grę (wewnętrzny konflikt gracza) i rozwiązano ją, korzystając z metod teorii gier kooperacyjnych. Największą zaletą podanej metody jest jej prostota w zastosowaniu praktycznym. Nie wymaga się od gracza żadnych dodatkowych działań, szczególnie wyznaczania krzywych obojęt-ności, co w praktyce stwarza duże problemy. Nie charakteryzuje się również żadny-mi restrykcyjnyżadny-mi założeniażadny-mi trudnyżadny-mi do spełnienia. Cechuje ją także pewnego rodzaju uniwersalność. W pracy za miarę zysku przyjęto oczekiwaną stopę zwrotu, a za miarę ryzyka odchylenie standardowe. Jednakże opisane postępowanie oparte na podanej metodzie możliwe jest w przypadku użycia dowolnej innej miary zysku czy ryzyka. Należy jednak podkreślić, iż do rozwiązania zbudowanej w pracy gry użyto metody Raiffy. Wadą tej metody w ujęciu teorii gier jest niespełnienie aksjo-matu Nasha o niezależności od alternatyw niezwiązanych, ale wydaje się, iż w kon-tekście wykorzystania jej na rynku kapitałowym nie stanowi to istotnego problemu.

280

Anna Sroczyńska-Baron Aby wyjaśnić wszystkie mechanizmy rządzące giełdą, należałoby potraktować ją jako jedną gigantyczną grę z wieloma graczami, co wydaje się zadaniem zbyt obszernym i złożonym. Dlatego też próba opisu funkcjonowania giełdy jako jednej wielkiej gry wydaje się nasuwać zbyt wiele wątpliwości, problemów i pytań. Na pewno można jednak wykorzystywać pewne narzędzia teorii gier do rozwiązywania zadań cząstkowych stojących przed graczem giełdowym.

Literatura

Harris L., The Winners and Losers of Zero – Sum Game: The Origins of Trading Profits, Price

Efficien-cy and Market Liquidity, University of Southern California, California 1993.

Haugen R., Modern Investment Theory, Prentice Hall Inc., 1993.

Jajuga K., Jajuga T., Inwestycje. Instrumenty finansowe; ryzyko finansowe, inżynieria finansowa, PWN, Warszawa 1997.

Luce R., Raiffa H., Games and Decisions. Introduction and Critical Survey, John Wiley&Sons Inc., New York 1964.

Markowitz H., Portfolio selection, “Journal of Finance” 1966, t. 7.

Neuman J., Morgenstern O., Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, Princeton 1953.

Raiffa H., Arbitration schemes for generalized two-person games, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, Princeton 1953, t. 28. 387.

THE CHOICE OF SHARES PORTFOLIO BASED ON THE THEORY OF GAMES

Summary: During gambling on the stock exchange the problem of the choice of proper

port-folio appears. The player wants the impossibility: both great profit and low risk. It is rea-sonable for him to limit the choice only to portfolios which belong to the efficient set. Then the decision of choice of a particular portfolio is individual and depends on the player and his aversion to the risk. In this article this problem is presented as the game that is the inner conflict of the player. On the one hand he is expecting a great profit, yet on the other he is expecting a low risk. Which portfolio should be pointed out to give the satisfaction to the player? For the purpose of solving this problem one game was formulated and described. The solution of this problem was found by the theory of cooperative games with the use of Raiffa model and applied on the stock exchange in Warsaw.

Keywords: cooperative games, model of Raiffa, portfolio selection.