1.3. Liczby rzeczywiste..pdf 

1.3. LICZBY RZECZYWISTE

Zbiór liczb niewymiernych : NW – zbiór liczb, które nie są liczbami wymiernymi

Przykład 1.3.1. Podaj przykłady liczb niewymiernych.

Rozwiązanie Komentarz 7 2 5 3 −

π

Liczb tych nie moŜna przedstawić w postaci ułamka zwykłego , w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi.

Przykład 1.3.2. Wymień wszystkie liczby całkowite większe od 13 i mniejsze od 130 .

Rozwiązanie Komentarz 6 , 3 13 = 4 , 11 130 = Odp. : 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11 Liczby 13 i 130 przedstawiamy w przybliŜeniu do 0,1

Wypisujemy liczby całkowite większe od 13i mniejsze od 130.

Zbiór liczb rzeczywistych: R – wszystkie liczby wymierne i niewymierne

KaŜdą liczbę wymierną moŜna przedstawić w postaci dziesiętnej skończonej

( np. 0,75 4

3

= )

lub w postaci dziesiętnej nieskończonej okresowej ( np. 0,3333... 0,(3) 3

1 _{= =}

)

KaŜdą liczbę niewymierną moŜna przedstawić w postaci dziesiętnej nieskończonej nieokresowej

Przykład 1.3.3. Które z liczb: 9 4 5 , 2 , 48 , 2 1 1 , 11 3

π

mają rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.

Rozwiązanie Komentarz 3 7 9 49 9 4 5 = = Odp.: 9 4 5 , 2 1 1 , 11 3

Rozwinięcie dziesiętne skończone lub

nieskończone okresowe mają liczby wymierne .

Przykład 1.3.4. Ułamek dziesiętny 0,0802 przedstaw w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego Rozwiązanie Komentarz 5000 401 10000 802 10000 802 0802 , 0 2 : / = = = =

Zamieniając ułamek dziesiętny na zwykły , w mianowniku wstawiamy potęgę 10 z taką ilością zer ile jest cyfr po przecinku.

Ułamek

10000 802

skracamy przez 2.

Przykład 1.3.5. Ułamek okresowy 0,3

( )

45 zamień na ułamek zwykły.

Rozwiązanie Komentarz ... 3454545 , 0 =

x Oznaczamy przez x dany ułamek okresowy.

... 4545 , 345 1000 1000 / ... 3454545 , 0 = ⋅ = x

x Obie strony równania mnoŜymy przez 1000, aby przecinek znalazł się za pierwszym wystąpieniem okresu. ... 454545 , 3 10 10 / ... 3454545 , 0 = ⋅ = x

x Obie strony pierwszego równania mnoŜymy przez 10, aby przecinek znalazł się przed wystąpieniem okresu. ... 4545 , 3 ... 4545 , 345 10 1000x− x= − 165 57 990 342 990 : / 342 990 6 : / = = = x x x

Wykonujemy odejmowanie i obliczamy x.

Odp.

( )

165 57 45 3 , 0 =

ĆWICZENIA Ćwiczenie 1.3.1. Ze zbioru:

( )

      − − − − − 5 ; 2 2 , 1 6 ; 2 1 1 ; 3 , 1 ; 1 2 ; 1 ; 0 ; 9 ; 7 π wybierz liczby: a) (1pkt.) naturalne, b) (1pkt.) całkowite ujemne, c) (1pkt.) wymierne dodatnie, d) (1pkt.) niewymierne. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Wypisanie wskazanych liczb z danego zbioru. 1

Ćwiczenie 1.3.2. (1pkt.) Wykonaj działania:

5 , 0 3 2 25 , 0 75 , 0 : 125 , 1 3 1 1 ⋅       + − . schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wyniku. 1

Ćwiczenie 1.3.3. (1pkt.) Ułamek okresowy 0,

( )

345 zamień na ułamek zwykły nieskracalny.

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Podanie ułamka zwykłego nieskracalnego. 1