4
Operatory
4.1
Podstawowe własności i definicje
Operatory a obserwable.
Operatorem na przetrzeni wektorowej V nazywamy odwzorowanie ketu |ψi w ket |ϕi: ˆ
Q |ψi = |ϕi . (4.1)
Podobnie jak funkcje, operatory określone są w pewnej dziedzinie. Dwa operatory są równe, gdy
ˆ
Q1|ψi = ˆQ2|ψi
dla wszystkich |ψi należących do ich dziedzin. W mechanice kwantowej ograniczamy się do pewnej klasy operatorów, mianowicie do operatorów liniowych:
ˆ
Q (c1|ψ1i + c2|ψ2i) = c1Q |ψˆ 1i + c2Q |ψˆ 2i , gdzie c1,2 są dowolnymi stałymi. Podobnie suma operatorów
³ ˆ
Q1+ ˆQ2 ´
|ψi = ˆQ1|ψi + ˆQ2|ψi . Operator możemy pomnożyć przez liczbę
³ c ˆQ ´ |ψi = c ³ ˆ Q |ψi ´ .
Operatory możemy mnożyć ³ ˆ Q1Qˆ2 ´ |ψi = ˆQ1 ³ ˆ Q2|ψi ´ ,
musimy jedank pamiętać, aby ket |ϕi = ˆQ2|ψi należał do dziedziny operatora ˆQ1. Na ogół mnożenie operatorów nie jest przemienne:
ˆ
A ˆB 6= ˆB ˆA.
Zdefiniujmy komutator h
ˆ
A, ˆBi= ˆA ˆB − ˆB ˆA.
Warto wymienić kilka użytecznych własności komutatorów: h ˆ A, ˆBi = −hB, ˆˆ Ai, antysymetria, [ ˆA, ˆB + ˆC] = [ ˆA, ˆB] + [ ˆA, ˆC], liniowość, [ ˆA, ˆB ˆC] = h ˆ A, ˆB i ˆ C + ˆB[ ˆA, ˆC], „łączność”. Na koniec podajmy bardzo tżsamo sć, tzw. to ˙zsamo sć Jaobiego:
hh ˆ A, ˆB i , ˆC i + hh ˆ B, ˆC i , ˆA i + hh ˆ C, ˆA i , ˆB i = 0. (4.2)
4.2
Przedstawienie macierzowe, operatory hermitowskie
Łatwo przekonać się, że z wektorów bazowych w przestrzeni wektorowej V można zbu-dować operator jednostkowy
ˆ I =X i |ii hi| . (4.3) Rzeczywiście ˆ I |ψi =X i |ii hi|X j aj|ji = X i,j aj|ii hi| ji =δij =X j aj|ji .
Podobnie dla przypadku ciągłego mamy ˆ
I =
Z
dx |xi hx| . (4.4)
W mechanice kwantowej szczególną rolę odgrywa operator energii zwany hamiltoni-anem ˆ H =X i Ei|Eii hEi| . (4.5) Policzmy wielkość hψ| ˆH |ψi =X i Ei|hψ| Eii|2. (4.6)
Ponieważ hEi| ψi = aijest amplitudą prawdopodobieństwa otrzymania w wyniku pomiaru
energii układu w stanie |ψi wartości Ei
hψ| ˆH |ψi =X
i
Eipi = hEi . (4.7)
Ten wynik łatwo uogólnić na dowolny operator ˆQ odpowiadajacy jakiejś obserwabli,
którego spektrum oznaczymy przez {qi} . Wówczas stany, dla których z
prawdopobieńst-wem 1 otrzymamy w wyniku pomiaru wartość qi, oznaczamy jako |qii i operator ma
postać ˆ Q =X i qi|qii hqi| . (4.8) Zauważmy, że ˆ Q |qki = X i qi|qii hqi| qki = qk|qki . (4.9)
Jest to równanie własne, które pozwala znaleźć zarówno kety |qii jak i wartości własne qi.
Rozważmy element macierzowy operatora ˆQ, który ma rzeczywiste wartości własne
(wyniki pomiarów fizycznych są liczbami rzeczywistymi) między stanami
|ψi =X i ai|qii , |ϕi = X j bj|qji (4.10)
gdzie hϕ| ˆQ |ψi =X ij b∗ jai hqj| ˆQ |qii = X i b∗ iaiqi, hψ| ˆQ |ϕi =X ij a∗ i bjhqi| ˆQ |qji = X i bia∗i qi. (4.11) Z równania (4.11) wynika hϕ| ˆQ |ψi∗ = hψ| ˆQ |ϕi . (4.12) Operator o takiej własności nazywamy operatorem hermitowskim. Zdefiniujmy sprzężenie hermitowskie dowolnego operatora ˆR:
hϕ| ˆR†|ψi∗ = hψ| ˆR |ϕi . (4.13)
Z tego widać, że opertory hermitowskie są samosprzężone.
Pokażemy teraz, że operatory hermitowskie posiadają rzeczywiste wartości własne i wektory własne, które tworzą ortogonalną bazę. Obliczmy
hqk| ˆQ |qii = qihqk |qii oraz hqi| ˆQ |qki = qkhqi |qki . (4.14)
Ze wzoru (2.38) mamy
hqi |qki = hqk|qii∗
a z hermitowskości (4.12)
hqk| ˆQ |qii − hqi| ˆQ |qki∗ = 0 = (qi− q∗k) hqk|qii . (4.15)
Jeżeli i = k to musi być qi = qi∗ – wartości własne są rzeczywiste. Jeżeli i 6= k to
hqk|qii = 0.
Równanie (4.1)
|ϕi = ˆR |ψi =X
j
ajR |jiˆ
dla dowolnego operatora ˆR w dowolnej bazie |ji pomnóżmy z lewej strony przez bra hj| hi |ϕi =X j aj hi| ˆR |ji = X j Rijaj. (4.16)
Równanie to definiuje elemnty macierzowe operatora ˆR
hi| ˆR |ji = Rij. (4.17)
Wówczas, jeżeli
|ϕi =X
j
to
bi =
X
j
Rijaj. (4.18)
Zatem operatorom odpowiadają macierze (skończenie lub nieskończenie wymiarowe). Łatwo wykazać, że ˆ Q ˆR =⇒ QijRjk. Pamiętajmy ³ ˆ Q ˆR ´† = ˆR†Qˆ†. (4.19)
Podobnie dla transpozycji i odwrotności.
W zależności od wyboru bazy |ii mówimy o operatorze Q w reprezentacji |ii. Do na-jczęściej używanych reprezentacji należą: reprezentacja energetyczna, położeniowa lub pę-dowa. Zauważmy, że w reprezentacji położeniowej „macierz” operatora ma ciągłe wzkaźniki
ˆ
Q =⇒ hx| ˆQ |x0i . (4.20)
Funkcja od operatora. Mamy daną funkcję liczbową f (x). Wówczas
f ( ˆQ) =X
i
f (qi) |ii hi| . (4.21)
Jeżeli znamy rozwinięcie w szereg Taylora funkcji f (x)
f (x) =X n 1 n!f (n)xn, f ( ˆQ) =X n 1 n!f (n)Qˆn. (4.22)
Ostatnie wyrażenie ma sens, bo operatory umiemy mnożyć. Można pokazć, że z (4.22) wynika (4.21).
Szczególną funkcją jest 1/x: 1 ˆ Q = X i 1 qi |ii hi| . (4.23) Pomnóżmy 1 ˆ QQ =ˆ X i,j qj qi |ii hi| ji | {z } δij hj| =X i |ii hi| = ˆI. (4.24) Czyli 1 ˆ Q = ˆQ −1. (4.25) Wyliczmy h ˆ A, f ( ˆB) i =X n=1 1 n!f (n)hA, ˆˆ Bni (4.26)
(człon z n = 0 znika). Jeżeli hh ˆ A, ˆB i , ˆB i = 0 (4.27) np. h ˆ A, ˆB i jest liczbą, to h ˆ A, ˆBni = nhA, ˆˆ BiBˆn−1 dla n > 1. (4.28) Wynika to ze wzoru h ˆ A, ˆBni=hA, ˆˆ B ˆBn−1i = ˆBhA, ˆˆ Bn−1i+hA, ˆˆ BiBˆn−1 Wtedy h ˆ A, f ( ˆB) i = h ˆ A, ˆB i µ f(1)+ f(2)B + . . . +ˆ 1 (n − 1)!f (n)Bˆn−1. . . ¶ = h ˆ A, ˆBi df d ˆB. (4.29)
Pokażemy teraz, że jeśli h
ˆ
A, ˆB
i
= 0 (4.30)
to operatory te mają wspólny układ stanów własnych. ˆ A |aii = ai|aii , B |bˆ ii = bi|bii . (4.31) Czyli |bii = X n |ani αni. (4.32) Rozważmy ˆ A ˆB |bii = biAˆ X n |ani αni = bi X n |ani anαni= bi|ψi ˆ B ˆA |bii = ˆB X n |ani anαni= ˆB |ψi . (4.33) Ponieważ ˆA ˆB = ˆB ˆA ˆ B |ψi = bi|ψi (4.34) czyli |ψi = c |bii =⇒ αni = cδni. (4.35) Zatem |bii = c |ani . (4.36)
Z warunku unormowania c = 1. Wartości własne komutujących operatorów mogą służyć do kompletnego numerowania stanów.
